(2012·抚州调研)下列有关抛物线的说法正确的是( )
①有一个顶点；②有一个焦点；③有一个对称中心；④有一条对称轴；⑤有一条准线．
A．①②③
B．②③④
C．①②④⑤
D．①②③④⑤
答案：C.
过抛物线y2＝4x的焦点F作直线l交抛物线于A，B两点，若|AB|＝6，则线段AB的中点横坐标为( )
A．1
B．2
C．3
D．4
解析：选B.抛物线y2＝4x中p＝2，弦AB为焦点弦．设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AB|＝x1＋x2＋p＝x1＋x2＋2＝6，即x1＋x2＝4，则＝2，即线段AB的中点横坐标为2.
已知过抛物线y2＝4x的焦点F的直线交该抛物线于A，B两点，|AF|＝2，则|BF|＝______．
解析：设点A，B的横坐标分别是x1，x2，则依题意有焦点F(1，0)，|AF|＝x1＋1＝2，则x1＝1，故直线AF的方程是x＝1.此时弦AB为抛物线的通径，故|BF|＝|AF|＝2.
答案：2
(2012·宝鸡质检)垂直于x轴的直线与抛物线y2＝4x相交于点A，B，且|AB|＝4，则直线AB的方程为______________．
解析：设点A在x轴上方，且直线AB与x轴交于点M，则由抛物线的对称性可得|AM|＝2，此即为点A的纵坐标，代入抛物线方程可得x＝3，从而直线AB的方程为x＝3.
答案：x＝3
[A级 基础达标]
(2012·阜阳质检)顶点在原点，关于y轴对称，并且经过点M(－4，5)的抛物线方程为( )
A．y2＝x
B．y2＝－x
C．x2＝y
D．x2＝－y
解析：选C.由题设知，抛物线开口向上，设方程为x2＝2py(p>0)，将(－4，5)代入得p＝，所以，抛物线方程为x2＝y.
设斜率为2的直线l过抛物线y2＝ax(a≠0)的焦点F，且和y轴交于点A，若△OAF(O为坐标原点)的面积为4，则抛物线方程为( )
A．y2＝±4x
B．y2＝±8x
C．y2＝4x
D．y2＝8x
解析：选B.抛物线y2＝ax(a≠0)的焦点F坐标为(，0)，则直线l的方程为y＝2(x－)，它与y轴的交点为A(0，－)，所以△OAF的面积为·||·||＝4，解得a＝±8.所以抛物线方程为y2＝±8x.
已知点(x，y)在抛物线y2＝4x上，则z＝x2＋y2＋3的最小值为( )
A．2
B．3
C．4
D．0
解析：选B.z＝x2＋×4x＋3＝(x＋1)2＋2，
∵x≥0，
∴x＝0时，z有最小值，zmin＝3.
顶点在原点，焦点在x轴上且通径长为6的抛物线方程是________．
解析：设抛物线的方程为y2＝2ax，
由于通径长为6，
即2|a|＝6，
∴a＝±3.
∴适合题意的抛物线方程为y2＝±6x.
答案：y2＝±6x
(2012·南阳质检)过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F作倾斜角为45°的直线交抛物线于A、B两点，若线段AB的长为8，则抛物线的焦点坐标为________．
解析：∵F(，0)，∴设AB：y＝x－，与y2＝2px联立，得x2－3px＋＝0，∴xA＋xB＝3p.由焦半径公式xA＋xB＋p＝4p＝8，得p＝2.故焦点坐标为(1，0)．
答案：(1，0)
已知抛物线y2＝2x.设点A，求抛物线上距点A最近的点P的坐标及相应的距离|PA|.
解：设P(x0，y0)为抛物线y2＝2x上任意一点，则|PA|2＝＋y＝x＋x0＋＝＋.
∵x0∈[0，＋∞)，∴当x0＝0时，|PA|＝＋＝，即|PA|min＝.
∴距点A最近点P的坐标为(0，0)，此时|PA|＝.
[B级 能力提升]
(2010·高考山东卷)已知抛物线y2＝2px(p>0)，过其焦点且斜率为1的直线交抛物线于A，B两点，若线段AB的中点的纵坐标为2，则该抛物线的准线方程为( )
A．x＝1
B．x＝－1
C．x＝2
D．x＝－2
解析：选B.抛物线的焦点为F(，0)，所以过焦点且斜率为1的直线方程为y＝x－，即x＝y＋，将其代入y2＝2px，整理得y2－2py－p2＝0，由已知得该方程有两个不相等的实数根，则y1＋y2＝2p，所以p＝＝2，所以抛物线的方程为y2＝4x，准线方程为x＝－1.
抛物线y＝－x2上的点到直线4x＋3y－8＝0的距离的最小值是( )
A. B.
C.
D．3
解析：选A.设抛物线y＝－x2上一点为(m，－m2)，则该点到直线4x＋3y－8＝0的距离为＝＝≥＝，当且仅当m＝时等号成立，此时，该点到直线4x＋3y－8＝0的距离的最小值为.
(2012·上饶质检)过抛物线x2＝2py(p>0)的焦点作斜率为1的直线与该抛物线交于A，B两点，A，B在x轴上的正射影分别为D，C，若梯形ABCD的面积为12，则p＝________．
解析：依题意知抛物线的焦点F的坐标为(0，)，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，直线AB的方程为y－＝x，代入抛物线方程得y2－3py＋＝0，故y1＋y2＝3p，|AB|＝|AF|＋|BF|＝y1＋y2＋p＝4p，又直线AB的斜率为1，故直角梯形有一个内角为45°，故|CD|＝|AB|＝×4p＝2p，则梯形ABCD的面积为(|BC|＋|AD|)×|CD|＝×3p×2p＝3p2＝12，解得p＝2.
答案：2
若抛物线y2＝2px(p>0)上一点M到准线及对称轴的距离分别为10和6，求点M的横坐标和p的值．
解：设M(x0，y0)，则
因为y＝2px0，
所以36＝2p(10－)．
所以p＝2或p＝18.
所以或
所以m的横坐标为9或1，相应的P值为2或18.
(创新题)已知抛物线y2＝－x与直线y＝k(x＋1)相交于A，B两点．
(1)求证：OA⊥OB；
(2)当△OAB的面积等于时，求k的值．
解：
(1)证明：如图所示，由方程组消去x后，整理，得ky2＋y－k＝0.
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由根与系数的关系，得
y1·y2＝－1.
∵A，B在抛物线y2＝－x上，
∴y＝－x1，y＝－x2.∴y·y＝x1x2.
∴kOA·kOB＝·＝＝＝－1，
∴OA⊥OB.
(2)设直线AB与x轴交于点N，显然k≠0.
令y＝0，则x＝－1，即N(－1，0)．
∵S△OAB＝S△OAN＋S△OBN
＝|ON||y1|＋|ON||y2|
＝|ON|·|y1－y2|，
∴S△OAB＝·1·
＝ .
∵S△OAB＝，
∴＝ ，
解得k＝±.(2012·南阳测试)某汽车的紧急刹车装置在遇到特别情况时需在2 s内完成刹车，其位移(单位：m)关于时间(单位：s)的函数为s(t)＝－t3－4t2＋20t＋15，则s′(1)的实际意义为( )
A．汽车刹车后1 s内的位移
B．汽车刹车后1 s内的平均速度
C．汽车刹车后1 s时的瞬时速度
D．汽车刹车后1 s时的位移
解析：选C.由导数的实际意义知，位移关于时间的瞬时变化率为该时刻的瞬时速度．
(2012·驻马店质检)某旅游者爬山的高度h(单位：m)是时间t(单位：h)的函数，关系式是h＝－100t2＋800t，则他在2 h这一时刻的高度变化的速度是( )
A．500 m/h
B．1000 m/h
C．400 m/h
D．1200 m/h
解析：选C.∵h′＝－200t＋800，
∴当t＝2 h时，h′(2)＝－200×2＋800＝400(m/h)．
物体的运动方程是s(t)＝4t－0.3t2，则从t＝2到t＝4的平均速度是________．
解析：由题意可得，Δt＝4－2＝2，Δs＝(4×4－0.3×42)－(4×2－0.3×22)＝11.2－6.8＝4.4，
∴平均速度为＝＝2.2.
答案：2.2
若某段导体通过的电量Q(单位：C)与时间t(单位：s)的函数关系为Q＝f(t)＝t2＋t－80，t∈[0，30]，则f′(15)＝________，它的实际意义是____________________．
解析：Q′＝f′(t)＝t＋1，令t＝15，则f′(15)＝ (C/s)，这表示t＝15 s时的电流强度，即单位时间内通过的电量．
答案： C/s t＝15 s时的电流强度为 C/s
[A级 基础达标]
圆的面积S是半径r的函数，S＝πr2，那么在r＝3这一时刻面积的变化率是( )
A．6
B．9
C．9π
D．6π
解析：选D.S′＝2πr，∴S′(3)＝6π.
(2012·宝鸡检测)自由落体的运动公式是s＝gt2(g为重力加速度)，则物体在下落3 s到4 s之间的平均变化率是(取g＝10 m/s2)( )
A．30
B．32
C．35
D．40
解析：选C.v＝＝＝g＝35.
某公司的盈利y(元)和时间x(天)的函数关系是y＝f(x)，假设f′(x)＞0恒成立，且f′(10)＝10，f′(20)＝1，则这些数据说明第20天与第10天比较( )
A．公司已经亏损
B．公司的盈利在增加，增加的幅度变大
C．公司在亏损且亏损幅度变小
D．公司的盈利在增加，但增加的幅度变小
解析：选D.导数为正说明盈利是增加的，导数变小说明增加的幅度变小了，但还是增加的．
人体血液中药物的质量浓度c＝f(t)(单位：mg/mL)随时间t(单位：min)变化，若f′(2)＝0.3，则f′(2)表示________________________________________________________________________
________________________________________________________________________.
答案：服药2 min时血液中药物的质量浓度以每分钟0.3 mg/mL的速度增加
(2012·西安调研)一质点沿直线运动，如果由始点起经过t秒后的位移为s＝3t2＋t，则速度v＝10时的时刻t＝________．
解析：s′＝6t＋1，则v(t)＝6t＋1，令6t＋1＝10，则t＝.
答案：
氡气是一种由地表自然散发的无味的放射性气体．如果最初有500克氡气，那么t天后，氡气的剩余量为A(t)＝500×0.834t.
(1)氡气的散发速度是多少？
(2)A′(7)的值是什么(精确到0.1)？它表示什么意义？
解：(1)A′(t)＝500×0.834t×ln 0.834.
(2)A′(7)＝500×0.8347×ln 0.834≈－25.5，它表示7天时氡气散发的瞬时速度．
[B级 能力提升]
(2012·宜春调研)细杆AB的长为20 cm，M为细杆AB上的一点，AM段的质量与A到M的距离的平方成正比，当AM＝2 cm时，AM的质量为8 g，那么当AM＝x cm时，M处的细杆线密度ρ(x)为( )
A．2x
B．3x
C．4x
D．5x
解析：选C.当AM＝x cm时，设AM的质量为f(x)＝kx2，因为f(2)＝8，所以k＝2，即f(x)＝2x2，故细杆线密度ρ(x)＝f′(x)＝4x，故选C.
某人拉动一个物体前进，他所做的功W是时间t的函数W＝W(t)，则W′(t0)表示( )
A．t＝t0时做的功
B．t＝t0时的速度
C．t＝t0时的位移
D．t＝t0时的功率
答案：D
(2012·西安测试)酒杯的形状为倒立的圆锥(如图)，杯深8 cm，上口宽6 cm，水以20 cm3/s的流量倒入杯中，当水深为4 cm时，水升高的瞬时变化率为________．
解析：设水深为h时，水面半径为r，
则＝，∴r＝h，
经过t s后，水的体积为20t，
则20t＝π(h)2·h，即h(t)＝ ，
∴h′(t)＝ t－.又h＝4时，r＝，V＝3π，
∴t＝，h′(π)＝.
答案： cm/s
将1 kg铁从0 ℃加热到t ℃需要的热量Q(单位：J)：Q(t)＝0.000297t2＋0.4409t.
(1)当t从10变到20时函数值Q关于t的平均变化率是多少？它的实际意义是什么？
(2)求Q′(100)，并解释它的实际意义．
解：(1)当t从10变到20时，函数值Q关于t的平均变化率为≈0.4498，它表示在铁块的温度从10 ℃增加到20 ℃的过程中，平均每增加1 ℃，需要吸收热量约为0.4498 J.
(2)Q′(t)＝0.000594t＋0.4409，则Q′(100)＝0.5003，它表示在铁块的温度为100 ℃这一时刻每增加1 ℃，需要吸收热量0.5003 J.
某食品厂生产某种食品的总成本C(单位：元)和总收入R(单位：元)都是日产量x(单位：kg)的函数，分别为C(x)＝100＋2x＋0.02x2，R(x)＝7x＋0.01x2，试求边际利润函数以及当日产量分别为200 kg，250 kg，300 kg时的边际利润，并说明其经济意义．
解：(1)根据定义知，总利润函数为L(x)＝R(x)－C(x)＝5x－100－0.01x2，
所以边际利润函数为L′(x)＝5－0.02x.
(2)当日产量分别为200 kg，250 kg，300 kg时，边际利润分别为L′(200)＝1(元)，L′(250)＝0(元)，L′(300)＝－1(元)．
其经济意义是：当日产量为200 kg时，再增加1 kg，则总利润可增加1元；当日产量为250 kg时，再增加1 kg，则总利润无增加；当日产量为300 kg时，再增加1 kg，则总利润反而减少1元．
由此可得到：当企业的某一产品的生产量超过了边际利润的零点时，反而会使企业“无利可图”．本资料来自于资源最齐全的２１世纪教育网www.21cnjy.com
(2012·上饶质检)下列命题是特称命题的是( )
①有一个实数a，a不能取对数；
②所有不等式的解集A，都有A R；
③有些向量方向不定；
④矩形都是平行四边形．
A．①③
B．②④
C．①②
D．③④
解析：选A.找出命题中含有的量词，根据量词的特征即可判断．①中含有存在量词“有一个”；②中含有全称量词“所有”；③中含有存在量词“有些”；④中含有存在量词“都是”．故①③是特称命题．
命题“每个二次函数的图像都开口向下”的否定是( )
A．每个二次函数的图像都不开口向上
B．存在一个二次函数，其图像开口向下
C．存在一个二次函数，其图像开口向上
D．每个二次函数的图像都开口向上
解析：选C.所给命题为全称命题，故其否定应为特称命题，即存在一个二次函数，其图像开口向上．
命题“存在x∈R，使得x2＋2x＋5＝0”的否定是________．
解析：对任意x∈R，都有x2＋2x＋5≠0，因为已知命题是特称命题，所以该命题的否定是全称命题．存在量词“存在”的否定是全称量词“任意”，所以该命题的否定是“对任意x∈R，都有x2＋2x＋5≠0”．
答案：对任意x∈R，都有x2＋2x＋5≠0
(2012·阜阳检测)命题“对任意x∈R，存在m∈Z，使m2－m＜x2＋x＋1”是________命题．(填“真”或“假”)
解析：由于对任意x∈R，x2＋x＋1＝＋≥>0，所以只需m2－m≤0，即0≤m≤1.所以当m＝0或m＝1时，对任意x∈R，m2－m＜x2＋x＋1成立，因此该命题是真命题．
答案：真
[A级 基础达标]
(2012·南阳质检)已知命题p：任意x∈R，sinx≤1，则p的否定为( )
A．存在x∈R，sinx≥1
B．任意x∈R，sinx≥1
C．存在x∈R，sinx＞1
D．任意x∈R，sinx＞1
解析：选C.由全称命题的否定，将“任意”改为“存在”，“sinx≤1”改为“sinx＞1”，可知选C.
命题“存在x∈R，2x≤0”的否定是( )
A．不存在x∈R，2x＞0
B．存在x∈R，2x≥0
C．对任意的x∈R，2x≤0
D．对任意的x∈R，2x＞0
解析：选D.命题中含有存在量词“存在”，因此是特称命题，其否定为全称命题．“存在”否定为“对任意的”，“≤”的否定为“＞”，则此命题的否定为：对任意的x∈R，2x＞0.
已知a＞0，函数f(x)＝ax2＋bx＋c.若x0满足关于x的方程2ax＋b＝0，则下列选项的命题中为假命题的是( )
A．存在x∈R，使f(x)≤f(x0)
B．存在x∈R，使f(x)≥f(x0)
C．对任意x∈R，使f(x)≤f(x0)
D．对任意x∈R，使f(x)≥f(x0)
解析：选C.由x0＝－(a＞0)及抛物线的相关性质可得C选项是错误的．
(2012·咸阳检测)命题“任意常数列都是等比数列”的否定是________．
解析：该命题是全称命题，而全称命题的否定是特称命题．
答案：存在一个常数列不是等比数列
(2012·西安调研)若命题“存在x∈R，使得x2＋(1－a)x＋1＜0”是真命题，则实数a的取值范围是________．
解析：由题意知，不等式x2＋(1－a)x＋1＜0有实数解，则Δ＝(1－a)2－4＞0，解得a＞3或a＜－1.
答案：(3，＋∞)∪(－∞，－1)
.写出下列命题的否定并判断其真假．
(1)所有正方形都是矩形；
(2)至少有一个实数x0使x3＋1＝0；
(3)存在θ∈R，函数y＝sin(2x＋θ)为偶函数；
(4)任意x，y∈R，|x＋1|＋|y－1|≥0.
解：(1)命题的否定：
有的正方形不是矩形，假命题．
(2)命题的否定：
不存在实数x，使x3＋1＝0，假命题．
(3)命题的否定：
任意θ∈R，函数y＝sin(2x＋θ)不是偶函数，假命题．
(4)命题的否定：
存在x，y∈R，|x＋1|＋|y－1|＜0，假命题．
[B级 能力提升]
(2010·高考天津卷)下列命题中，真命题是( )
A．存在m∈R，使函数f(x)＝x2＋mx(x∈R)是偶函数
B．存在m∈R，使函数f(x)＝x2＋mx(x∈R)是奇函数
C．对任意m∈R，函数f(x)＝x2＋mx(x∈R)都是偶函数
D．对任意m∈R，函数f(x)＝x2＋mx(x∈R)都是奇函数
解析：选A.由于当m＝0时，函数f(x)＝x2＋mx＝x2为偶函数，故“存在m∈R，使函数f(x)＝x2＋mx(x∈R)为偶函数”是真命题．
下列命题中的假命题是( )
A．存在实数α和β，使cos(α＋β)＝cosαcosβ＋sinαsinβ
B．不存在无穷多个α和β，使cos(α＋β)＝cosαcosβ＋sinαsinβ
C．对任意α和β，使cos(α＋β)＝cosαcosβ－sinαsinβ
D．不存在这样的α和β，使cos(α＋β)≠cosαcosβ－sinαsinβ
解析：选B.cos(α＋β)＝cosα·cosβ－sinα·sinβ，显然选项C，D为真；sinα·sinβ＝0时，选项A为真；选项B为假．故选B.
给出下列四个命题：①存在x∈R，使sin2＋cos2＝；②每个指数函数都是增函数；③存在x∈(0，1)，使logx＞logx；④对任意的x∈[0，π]，有 ＝sinx，其中是假命题的为________．
解析：①是假命题，因为对任意x∈R，均有sin2＋cos2＝1；②是假命题，因为对于指数函数y＝，它是减函数；③是真命题，因为当x＝时，log＜log＝1＝log；④是真命题，因为当x∈[0，π]时，sinx≥0，所以 ＝＝sinx.
答案：①②
.已知特称命题“存在c＞0，使y＝cx在R上为减函数”为真命题，同时全称命题“任意x∈R，x＋|x－2c|＞1”为真命题，求c的取值范围．
解：命题“存在c＞0，使y＝cx在R上为减函数”是真命题，所以0＜c＜1.
因为x＋|x－2c|＝
由全称命题“任意x∈R，x＋|x－2c|＞1”是真命题，
所以任意x∈R，x＋|x－2c|的最小值为2c.
所以2c＞1.所以c＞.
综上所述，＜c＜1.
(创新题)若全称命题“对任意x∈[－1，＋∞)，x2－2ax＋2≥a恒成立”是真命题，求实数a的取值范围．
解：由题意对任意x∈[－1，＋∞)，f(x)＝x2－2ax＋2≥a恒成立，所以f(x)＝(x－a)2＋2－a2可转化为对任意x∈[－1，＋∞)，f(x)min≥a成立．
对任意x∈[－1，＋∞)，
f(x)min＝
由f(x)的最小值f(x)min≥a，
解得实数a的取值范围是[－3，1]．
21世纪教育网 -- 中国最大型、最专业的中小学教育资源门户网站。 版权所有@21世纪教育网(2011·高考安徽卷)双曲线2x2－y2＝8的实轴长是( )
A．2
B．2
C．4
D．4
解析：选C.∵2x2－y2＝8，∴－＝1，∴a＝2，∴2a＝4.
(2011·高考湖南卷)设双曲线－＝1(a>0)的渐近线方程为3x±2y＝0，则a的值为( )
A．4
B．3
C．2
D．1
解析：选C.－＝1的渐近线为y＝±x，∴a＝2.
已知双曲线－＝1的离心率为2，焦点与椭圆＋＝1的焦点相同，那么双曲线的焦点坐标为______，渐近线方程为______．
解析：椭圆的焦点坐标为(4，0)，(－4，0)，故c＝4，且满足＝2，故a＝2，b＝＝2.所以双曲线的渐近线方程为y＝±x＝±x.
答案：(±4，0) y＝±x
已知以双曲线C的两个焦点及虚轴的两个端点为顶点的四边形中，有一个内角为60°，则双曲线C的离心率为________．
解析：如图，∵c>b，∴∠B1F1B2＝60°，
∴∠B1F1O＝30°.在△B1OF1中，＝tan 30°，
∴＝.
∴＝.∴1－＝，∴＝.
∴e2＝＝，∴e＝.
答案：
[A级 基础达标]
(2012·西安质检)下列曲线中离心率为的是( )
A.－＝1
B.－＝1
C.－＝1
D.－＝1
解析：选B.双曲线的离心率e＝＝＝＝，得＝，只有B选项符合，故选B.
双曲线mx2＋y2＝1的虚轴长是实轴长的2倍，则m的值为( )
A．－
B．－4
C．4
D.
解析：选A.由双曲线方程mx2＋y2＝1，知m<0，则双曲线方程可化为y2－＝1，则a2＝1，a＝1，又虚轴长是实轴长的2倍，∴b＝2.∴－＝b2＝4.∴m＝－，故选A.
双曲线x2－y2＝－3的( )
A．顶点坐标是(±，0)，虚轴端点坐标是(0，±)
B．顶点坐标是(0，±)，虚轴端点坐标是(±，0)
C．顶点坐标是(±，0)，渐近线方程是y＝±x
D．虚轴端点坐标是(0，±)，渐近线方程是x＝±y
解析：选B.将x2－y2＝－3化为－＝1，知a＝，b＝，c＝，焦点在y轴上，所以顶点坐标是(0，±)，虚轴端点坐标是(±，0)，渐近线方程是y＝±x.
(2012·咸阳检测)双曲线－＝1的渐近线方程是______．
解析：方程－＝1，即为－＝1，∴a＝2，b＝2.∴双曲线－＝1的渐近线方程为y＝±x.
答案：y＝±x
(2012·新余调研)与椭圆x2＋4y2＝16有共同焦点，且一条渐近线方程是x＋y＝0的双曲线的方程是________．
解析：椭圆x2＋4y2＝16化为标准方程为＋＝1，
∴焦点在x轴上，且c＝2.
∴双曲线焦点在x轴上，且c＝2.
又＝，
∴＝，即a2＝3b2.
又a2＋b2＝c2＝12，
∴a2＝9，b2＝3.
∴双曲线方程为－＝1.
答案：－＝1
双曲线与椭圆4x2＋y2＝64有公共的焦点，它们的离心率互为倒数，求该双曲线的方程．
解：椭圆4x2＋y2＝64即＋＝1，焦点为(0，±4)，离心率为，所以双曲线的焦点在y轴上，c＝4，e＝，所以a＝6，b＝＝2，所以双曲线方程为－＝1.
[B级 能力提升]
焦距为10，且＝的双曲线的标准方程为( )
A.－＝1
B.－＝1
C.－＝1
D.－＝1或－＝1
解析：选D.由题意知2c＝10，c＝5，又＝，c2＝b2＋a2，∴a2＝9，b2＝16，∴所求双曲线的标准方程为－＝1或－＝1.故选D.
(2011·高考天津卷)已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的左顶点与抛物线y2＝2px(p>0)的焦点的距离为4，且双曲线的一条渐近线与抛物线的准线的交点坐标为(－2，－1)，则双曲线的焦距为( )
A．2
B．2
C．4
D．4
解析：选B.由，解得，
由题得，得，
又＋a＝4，故a＝2，b＝1，c＝＝，∴焦距2c＝2.故选B.
(2012·驻马店质检)如果双曲线－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1、F2，点P在双曲线的右支上，且|PF1|＝4|PF2|，则此双曲线的离心率e的最大值为________．
解析：∵P在双曲线右支上，
∴|PF1|－|PF2|＝2a.
又|PF1|＝4|PF2|，
∴|PF2|＝a≥c－a.
∴a≥c，即≤.
∴双曲线离心率e最大值为.
答案：
双曲线C与双曲线－＝1有共同的渐近线，且C上存在一点P与点Q(2－2，5)关于直线y＝－x＋2对称，求双曲线C的方程．
解：设所求双曲线方程为－＝λ(λ≠0)，
又设P点坐标为(x，y)，由题意，
得解之得
又双曲线C过点P(－3，2)，所以λ＝－＝，所以所求双曲线C的方程为－＝，即x2－y2＝1.
(创新题)已知F1、F2是两个定点，点P是以F1和F2为公共焦点的椭圆和双曲线的一个交点，并且PF1⊥PF2，e1和e2分别是椭圆和双曲线的离心率，求eq \f(1,e)＋eq \f(1,e)的值．
解：设椭圆的长半轴长为a1，双曲线的实半轴长为a2，
则有|PF1|＋|PF2|＝2a1，||PF1|－|PF2||＝2a2.
由题意可知，|PF1|2＋|PF2|2＝4c2，
整理得(|PF1|＋|PF2|)2－2|PF1|·|PF2|＝4c2，
(|PF1|－|PF2|)2＋2|PF1|·|PF2|＝4c2，
则两式相加得4a＋4a＝8c2，
整理得eq \f(1,e)＋＝2.函数f(x)＝x3－3x(|x|＜1)，则f(x)( )
A．有最大值，但无最小值
B．有最大值，也有最小值
C．无最大值，也无最小值
D．无最大值，但有最小值
解析：选C.f′(x)＝3x2－3，∵x2＜1，∴x2－1＜0，即f′(x)＜0恒成立．∴f(x)在(－1，1)内为减函数．∴无最大值，也无最小值．
(2012·南阳质检)已知某生产厂家的年利润y(单位：万元)与年产量x(单位：万件)的函数关系式为y＝－x3＋81x－234，则使该生产厂家获得最大年利润的年产量为( )
A．13万件
B．11万件
C．9万件
D．7万件
解析：选C.因为y′＝－x2＋81，所以当x＞9时，y′＜0；当x∈(0，9)时，y′＞0，所以函数y＝－x3＋81x－234在(9，＋∞)上单调递减，在(0，9)上单调递增，所以x＝9是函数的极大值点，又因为函数在(0，＋∞)上只有一个极大值点，所以函数在x＝9处取得最大值．
某箱子的容积与底面边长x的关系为V(x)＝x2(0＜x＜60)，则当箱子的容积最大时，箱子底面边长为________．
解析：V(x)＝30x2－x3，∴V′(x)＝60x－x2＝－x(x－40)．
∵x∈(0，40)时，V′(x)＞0，x∈(40，60)时，V′(x)＜0，
∴x＝40时，V(x)有极大值也是最大值．
答案：40
(2012·淮北检测)函数f(x)＝2x3－6x2＋a(a为常数)在[－2，2]上的最大值为5，那么此函数在[－2，2]上的最小值为________．
解析：f′(x)＝6x2－12x＝6x(x－2)．
由f′(x)＝0得x＝0或2.
∵f(0)＝a，f(2)＝a－8，f(－2)＝a－40.∴a＝5.
此函数[－2，2]上的最小值是5－40＝－35.
答案：－35
[A级 基础达标]
函数f(x)＝＋x(x∈[1，3])的值域为( )
A．(－∞，1)∪(1＋∞)
B．[，＋∞)
C.
D.
解析：选D.f′(x)＝＋1＝，又x∈[1，3]，所以f′(x)＞0在[1，3]上恒成立，即函数在[1，3]上单调递增，所以函数的最大值是f(3)＝，最小值是f(1)＝，故选D.
(2012·汉中检测)已知函数f(x)的图像过点(0，－5)，它的导数f′(x)＝4x3－4x，则当f(x)取得极大值－5时，x的值应为( )
A．－1
B．0
C．1
D．±1
解析：选B.∵f′(x)＝4x3－4x，∴f(x)＝x4－2x2＋c.
∵f(x)过点(0，－5)，∴f(x)＝x4－2x2－5.
又f′(x)＝0得x＝0或x＝±1，且－1＜x＜0或x＞1时，
f′(x)＞0；0＜x＜1时，f′(x)＜0.
∴x＝0时取得极大值－5.
当函数f(x)＝x＋2cos x在区间上取得最大值时，x＝( )
A．0
B.
C.
D.
解析：选B.f′(x)＝1＋2(－sin x)，令f′(x)＝0，解得sin x＝.∵0≤x≤，∴x＝.当0≤x＜时，f′(x)＞0，函数是增加的；当＜x≤时，f′(x)＜0，函数是减少的，
∴当x＝时，函数取得极大值，也是最大值．
函数y＝的最大值为________．
解析：函数的定义域为(0，＋∞)，y′＝＝，令y′＝0，得x＝e，当x＞e时，y′＜0；当0＜x＜e时，y′＞0，所以x＝e是函数的极大值点，也是最大值点，故ymax＝＝.
答案：
(2012·商洛测试)用总长为14.8 m的钢条制作一个长方体容器的框架，若所制作容器的底面的一边比高长0.5 m，则当高为______米时，容器的容积最大．
解析：由题意直接列出函数表达式，再用导数求最值，设高为x米，
则V＝x(x＋0.5)(3.2－2x)，
V′＝－6x2＋4.4x＋1.6＝0，
解15x2－11x－4＝0，
得x＝1，x＝－(舍去)．
答案：1
在经济学中，生产x单位产品的成本称为成本函数，记为C(x)；出售x单位产品的收益称为收益函数，记为R(x)；R(x)－C(x)称为利润函数，记为P(x)．
(1)设C(x)＝10－6x3－0.003x2＋5x＋1000，生产多少单位产品时，边际成本C′(x)最低？
(2)设C(x)＝50x＋10000，产品的单价p＝100－0.01x，怎样定价可使利润最大？
解：(1)C′(x)＝3×10－6x2－0.006x＋5，记g(x)＝C′(x)．由g′(x)＝6×10－6x－0.006＝0，解得x＝1000.
结合C′(x)的图像可知，当x＝1000时，边际成本最低．
∴生产1000单位产品时，边际成本最低．
(2)由p＝100－0.01x，得收益函数R(x)＝x(100－0.01x)，则利润函数P(x)＝R(x)－C(x)＝100x－0.01x2－(50x＋10000)＝－0.01x2＋50x－10000.
由P′(x)＝－0.02x＋50＝0，解得x＝2500.
结合P(x)的图像可知，当x＝2500时，利润最大，此时p＝100－0.01×2500＝75.
∴当产品的单价为75时，利润最大．
[B级 能力提升]
(2012·西安质检)设底面为等边三角形的直棱柱的体积为V，则其表面积最小时，底面边长为( )
A.
B.
C.
D．2
解析：选C.设直棱柱的底面边长为a，高为h.
则a2·h＝V，∴h＝.
则表面积S(a)＝3ah＋a2＝＋a2.
S′(a)＝－＋a.令S′(a)＝0，得a＝.
当0＜a＜时S′(a)＜0，当a＞时，S′(a)＞0.
当a＝时，S(a)最小．
(2011·高考湖南卷)设直线x＝t与函数f(t)＝x2，g(x)＝ln x的图像分别交于点M，N，则当|MN|达到最小时t的值为( )
A．1
B.
C.
D.
解析：选D.|MN|的最小值，即函数h(x)＝x2－ln x的最小值，h′(x)＝2x－＝，显然x＝是函数h(x)在其定义域内唯一的极小值点，也是最小值点，故t＝.
(2012·淮北检测)已知函数f(x)＝xln x．若对于任意x∈不等式2f(x)≤－x2＋ax－3恒成立，则实数a的取值范围为________．
解析：由题意知，2xln x≤－x2＋ax－3，则a≥2ln x＋x＋.设h(x)＝2ln x＋x＋(x＞0)，则h′(x)＝＋1－＝.当x∈时，h′(x)＜0，h(x)单调递减；当x∈(1，e]时，h′(x)＞0，h(x)单调递增．由h＝－2＋＋3e，h(e)＝2＋e＋，h－h(e)＝2e－－4＞0，可得h＞h(e)．所以当x∈时，h(x)的最大值为h＝－2＋＋3e.故a≥－2＋＋3e.
答案：a≥－2＋＋3e
(2011·高考北京卷)已知函数f(x)＝(x－k)ex.
(1)求f(x)的单调区间；
(2)求f(x)在区间[0，1]上的最小值．
解：(1)f′(x)＝(x－k＋1)ex.
令f′(x)＝0，得x＝k－1.
f(x)与f′(x)的变化情况如下：
x (－∞，k－1) k－1 (k－1，＋∞)
f′(x) － 0 ＋
f(x) ? －ek－1 ?
所以，f(x)的单调递减区间是(－∞，k－1)；单调递增区间是(k－1，＋∞)．
(2)当k－1≤0，即k≤1时，函数f(x)在[0，1]上单调递增，
所以f(x)在区间[0，1]上的最小值为f(0)＝－k；
当0＜k－1＜1，即1＜k＜2时，
由(1)知f(x)在[0，k－1)上单调递减，在(k－1，1]上单调递增，所以f(x)在区间[0，1]上的最小值为f(k－1)＝－ek－1；
当k－1≥1，即k≥2时，函数f(x)在[0，1]上单调递减，
所以f(x)在区间[0，1]上的最小值为f(1)＝(1－k)e.(创新题)某工厂统计资料显示：产品的次品率b与日产量x件(x∈N，1≤x≤89)的关系符合下列规律：
x 1 2 3 4 … 89
b …
又知道每一件正品盈利a元，每生产一件次品损失(a＞0)元．
(1)将该厂日盈利额表示成日产量x件的函数；
(2)为了获得最大盈利，该厂的日产量应定为多少件？(≈1.7)
解：(1)由b与x的对应规律得次品率为b＝(x∈N，1≤x≤89)．
故日产量x件中，次品数为bx件，正品数为(x－bx)件，
则日盈利额为T＝a(x－bx)－bx＝a(x∈N，且1≤x≤89)．
(2)T′＝a＝a.
令T′＝0，则100－x＝10，x＝100－10，
当1≤x≤100－10时，T′＞0，函数递增，
当100－10＜x≤89时，T′＜0.函数递减．
所以当x＝100－10≈83时，T取最大值．
因此，要获得最大盈利，该厂的日产量应定为83件．设P是椭圆＋＝1上的点，若F1，F2是椭圆的两个焦点，则|PF1|＋|PF2|等于( )
A．4
B．5
C．8
D．10
解析：选D.由椭圆的标准方程得a2＝25，即a＝5.又由椭圆的定义知|PF1|＋|PF2|＝2a＝10，故选D.
已知椭圆的两个焦点的坐标分别是(0，－3)和(0，3)，且椭圆经过点(0，4)，则该椭圆的标准方程是( )
A.＋＝1 B.＋＝1
C.＋＝1 D.＋＝1
解析：选B.∵椭圆的焦点在y轴上，∴可设它的标准方程为＋＝1(a>b>0)．∵2a＝＋＝8，∴a＝4，又c＝3，∴b2＝a2－c2＝16－9＝7，故所求的椭圆的标准方程为＋＝1.
(2012·咸阳检测)设F1，F2分别是椭圆＋＝1的左、右焦点，则点F1，F2的坐标分别是______．
解析：由椭圆的标准方程＋＝1，可得a2＝25，b2＝16，所以c2＝a2－b2＝25－16＝9，即c＝3.则点F1，F2的坐标分别是(－3，0)，(3，0)．
答案：(－3，0)，(3，0)
若方程＋＝1表示焦点在y轴上的椭圆，则实数k的取值范围是________．
解析：由10－k>k－5>0，得5答案：
[A级 基础达标]
已知椭圆＋＝1上一点P到其一个焦点的距离为3，则点P到另一个焦点的距离为( )
A．2
B．3
C．5
D．7
解析：选D.由方程知a＝5，设椭圆的两个焦点为F1、F2，则|PF1|＋|PF2|＝10，所以点P到另一个焦点的距离为10－3＝7.
(2012·焦作调研)椭圆2x2＋y2＝8的焦点坐标是( )
A．(±2，0)
B．(0，±2)
C．(±2，0)
D．(0，±2)
解析：选B.椭圆标准方程为＋＝1，
∴椭圆焦点在y轴上，且c2＝8－4＝4，
∴焦点为(0，±2)．
已知△ABC的顶点B、C在椭圆＋y2＝1上，顶点A是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点在BC边上，则△ABC的周长是( )
A．2
B．6
C．4
D．12
解析：选C.设椭圆的另一个焦点为F(如图)，则△ABC的周长为(|AB|＋|BF|)＋(|CA|＋|CF|)＝2a＋2a＝4a.而a2＝3，a＝，∴4a＝4，
即△ABC的周长为4.
已知圆x2＋y2＝1，从这个圆上任意一点P向y轴作垂线段PP′，则线段PP′的中点M的轨迹方程是________．
解析：设点M(x，y)，P(x0，y0)，则x＝，y＝y0.
∵P(x0，y0)在圆x2＋y2＝1上，∴x＋y＝1.①
将x0＝2x，y0＝y代入①得4x2＋y2＝1.
答案：4x2＋y2＝1
(2012·淮北质检)过点A(－1，－2)且焦点与椭圆＋＝1的两个焦点相同的椭圆的标准方程是________．
解析：＋＝1的焦点坐标为(0，)，(0，－)，
∴2a＝＋，
∴a2＝6，∴b2＝a2－c2＝6－3＝3，
∴椭圆的标准方程为＋＝1.
答案：＋＝1
写出适合下列条件的椭圆的标准方程：
(1)两个焦点在坐标轴上，且经过A(，－2)和B(－2，1)两点；
(2)a＝4，c＝；
(3)过点P(－3，2)，且与椭圆＋＝1有相同的焦点．
解：(1)设所求椭圆方程为mx2＋ny2＝1(m>0，n>0，m≠n)，由A(，－2)和B(－2，1)两点在椭圆上可得
，即，
解得.
故所求椭圆的标准方程为＋＝1.
(2)因为a＝4，c＝，所以b2＝a2－c2＝1，所以当焦点在x轴上时，椭圆的标准方程是＋y2＝1；当焦点在y轴上时，椭圆的标准方程是＋x2＝1.
(3)因为所求的椭圆与椭圆＋＝1的焦点相同，所以其焦点在x轴上，且c2＝5.
设所求椭圆的标准方程为＋＝1(a>b>0)．
因为所求椭圆过点P(－3，2)，所以有＋＝1①
又a2－b2＝c2＝5，②
由①②解得a2＝15，b2＝10.
故所求椭圆的标准方程为＋＝1.
[B级 能力提升]
(2012·上饶检测)椭圆＋＝1上的一点M到其左焦点F1的距离为2，N是MF1的中点，则|ON|等于( )
A．2
B．4
C．8
D.
解析：选B.设椭圆的右焦点为F2，则由|MF1|＋|MF2|＝10，知|MF2|＝10－2＝8，ONMF2，所以|ON|＝|MF2|＝4.
(2012·南昌质检)“m>n>0”是“方程mx2＋ny2＝1”表示焦点在y轴上的椭圆的( )
A．充分而不必要条件
B．必要而不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
解析：选C.椭圆方程为＋＝1，
当m>n>0时，有<，∴椭圆焦点在y轴上．
当椭圆焦点在y轴上时，有>>0，
∴m>n>0.∴是充要条件．
如图所示，F1、F2分别为椭圆＋＝1的左、右焦点，点P在椭圆上，△POF2是面积为的正三角形，则b2的值是________．
解析：因为F1、F2分别为椭圆的左、右焦点，点P在椭圆上，且正三角形POF2的面积为，所以S△POF2＝|OF2|·|PO|sin 60°＝c2＝，所以c2＝4.
∴点P的坐标为，即(1，)，∴＋＝1，
又b2＋c2＝a2，所以，解得b2＝2.
答案：2
在△ABC中，∠A，∠B，∠C所对的三边分别是a，b，c，且|BC|＝2，求满足b，a，c成等差数列且c>a>b的顶点A的轨迹．
解：由已知条件可得b＋c＝2a，则|AC|＋|AB|＝2|BC|＝4>|BC|，结合椭圆的定义知点A在以B，C为焦点的一个椭圆上，且椭圆的焦距为2.
以BC所在的直线为x轴，BC的中点为原点O，建立平面直角坐标系，如图所示．
设顶点A所在的椭圆方程为＋＝1(m>n>0)，则m＝2，n2＝22－12＝3，从而椭圆方程为＋＝1.又c>a>b且A是△ABC的顶点，结合图形，易知x>0，y≠0.
故顶点A的轨迹是椭圆＋＝1的右半部分(x>0，y≠0)．
(创新题)
船上两根高7.5 m的桅杆相距15 m，一条30 m长的绳子，两端系在桅杆的顶上，并按如图所示的方式绷紧．假设绳子位于两根桅杆所在的平面内，求绳子与甲板接触点P到桅杆AB的距离．
解：以两根桅杆的顶端A，C所在的直线为x轴，线段AC的垂直平分线为y轴，建立直角坐标系，则P点在以A，C为焦点的椭圆上，依题意，此椭圆的标准方程为＋＝1.因为P点的纵坐标为－7.5，代入椭圆方程可解得P点的坐标为(－12.25，－7.5)，所以P到桅杆AB的距离为12.25－7.5＝4.75(m)．本资料来自于资源最齐全的２１世纪教育网www.21cnjy.com
下列求导运算正确的是( )
A.′＝1＋
B．(log2x)′＝
C．(3x)′＝3xlog3e
D．(x2cos x)′＝－2xsin x
解析：选B.由导数的运算法则以及常用函数的导数公式易得．
设f(x)＝xlnx，若f′(x0)＝2，则x0＝( )
A．e2
B．e
C.
D．ln2
解析：选B.因为f′(x)＝(xlnx)′＝lnx＋1，
所以f′(x0)＝lnx0＋1＝2，
所以lnx0＝1，即x0＝e.
已知f(x)＝x－5＋3sin x，则f′(x)＝________．
答案：－5x－6＋3cos x
(2012·宿州调研)设f(x)＝aex＋bx，且f′(－1)＝，f′(1)＝e，则a＋b＝________．
解析：f′(x)＝aex＋b，∴＝f′(－1)＝a·＋b，e＝f′(1)＝ae＋b.∴a＝1，b＝0.∴a＋b＝1.
答案：1
[A级 基础达标]
若函数f(x)＝ex·sin x，则函数的图像在点(4，f(x))处的切线的倾斜角为( )
A.
B．0
C．钝角
D．锐角
解析：选C.∵f′(x)＝exsin x＋excos x，
∴f′(4)＝(sin 4＋cos 4)e4.
∵e4＞0，sin 4＜0，cos 4＜0，∴f′(4)＜0.
∴切线的斜率小于零．
∴倾斜角为钝角．
(2010·高考江西卷)若函数f(x)＝ax4＋bx2＋c满足f′(1)＝2，则f′(－1)＝( )
A．－1
B．－2
C．2
D．0
解析：选B.由f(x)＝ax4＋bx2＋c得f′(x)＝4ax3＋2bx，又f′(1)＝2，所以4a＋2b＝2，即2a＋b＝1，f′(－1)＝－4a－2b＝－2.故选B.
曲线y＝在点(－1，－1)处的切线方程为( )
A．y＝2x＋1
B．y＝2x－1
C．y＝－2x－3
D．y＝－2x－2
解析：选A.∵y′＝＝，∴切线斜率k＝＝2，∴切线方程为y＋1＝2(x＋1)，即y＝2x＋1.
(2012·淮北质检)已知f(x)＝＋4x，则f′(2)＝________．
解析：∵f(x)＝＋4x，
∴f′(x)＝－＋4，
∴f′(1)＝－f′(1)＋4，∴f′(1)＝2，
∴f′(x)＝－＋4，
∴f′(2)＝－＋4＝.
答案：
(2012·驻马店质检)若曲线f(x)＝x·sin x＋1在x＝处的切线与直线ax＋2y＋1＝0互相垂直，则实数a＝________．
解析：因为f′(x)＝sin x＋xcos x，所以f′＝sin ＋cos＝1.又直线ax＋2y＋1＝0的斜率为－，根据题意得1×＝－1，解得a＝2.
答案：2
已知直线l：y＝4x＋a和曲线C：y＝x3－2x2＋3相切．求：(1)切点的坐标；(2)a的值．
解：(1)设直线l与曲线C相切于点P(x0，y0)，
∵y′＝3x2－4x，
由题意可知直线l的斜率k＝4，∴3x－4x0＝4，解得x0＝－或x0＝2，代入曲线的方程，得切点的坐标为或(2，3)．
(2)当切点为时，有＝4×＋a，
解得a＝；
当切点为(2，3)时，有3＝4×2＋a，解得a＝－5.
∴a＝或a＝－5.
[B级 能力提升]
(2011·高考江西卷)若f(x)＝x2－2x－4ln x，则f′(x)＞0的解集为( )
A．(0，＋∞)
B．(－1，0)∪(2，＋∞)
C．(2，＋∞)
D．(－1，0)
解析：选C.令f′(x)＝2x－2－＝＞0，利用数轴标根法可解得－1＜x＜0或x＞2，又x＞0，所以x＞2.故选C.
(2011·高考湖南卷)曲线y＝－在点M处的切线的斜率为( )
A．－
B.
C．－
D.
解析：选B.y′＝＝，把x＝代入得导数值为，即所求切线的斜率为.
已知f(x)＝(x－1)(x－2)(x－3)(x－4)(x－5)，则f′(1)＝________．
解析：f′(x)＝(x－1)′[(x－2)(x－3)(x－4)(x－5)]＋(x－1)[(x－2)(x－3)(x－4)(x－5)]′＝(x－2)(x－3)(x－4)(x－5)＋(x－1)[(x－2)(x－3)(x－4)(x－5)]′，
∴f′(1)＝(1－2)×(1－3)×(1－4)×(1－5)＋0×[(x－2)(x－3)(x－4)(x－5)]′＝(－1)×(－2)×(－3)×(－4)＝24.
答案：24
设f(x)＝(ax＋b)sin x＋(cx＋d)cos x，若已知f′(x)＝xcos x，求f(x)的解析式．
解：因为f′(x)＝[(ax＋b)sin x]′＋[(cx＋d)cos x]′＝(ax＋b)′sin x＋(ax＋b)(sin x)′＋(cx＋d)′cos x＋(cx＋d)(cos x)′＝asin x＋(ax＋b)cos x＋ccos x－(cx＋d)sin x＝(a－d－cx)sin x＋(ax＋b＋c)cos x.
又因为f′(x)＝xcosx，所以
解方程组，得
因此f(x)的解析式为f(x)＝xsin x＋cos x.
(创新题)已知二次函数y＝f(x)的图像经过坐标原点，其导函数为f′(x)＝6x－2.数列{an}的前n项和为Sn，点(n，Sn)(n∈N＋)均在函数y＝f(x)的图像上．
(1)求函数y＝f(x)的解析式；
(2)求数列{an}的通项公式．
解：(1)由题意可设二次函数f(x)＝ax2＋bx(a≠0)，则f′(x)＝2ax＋b.由f′(x)＝6x－2，得a＝3，b＝－2.
所以f(x)＝3x2－2x.
(2)因为点(n，Sn)(n∈N＋)均在函数y＝f(x)的图像上，所以Sn＝3n2－2n.
当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝(3n2－2n)－[3(n－1)2－2(n－1)]＝6n－5；
当n＝1时，a1＝S1＝3×12－2×1＝6×1－5＝1.
故an的通项公式为an＝6n－5(n∈N＋)．
21世纪教育网 -- 中国最大型、最专业的中小学教育资源门户网站。 版权所有@21世纪教育网本资料来自于资源最齐全的２１世纪教育网www.21cnjy.com
(2012·焦作质检)“x＝”是“函数y＝sin2x取得最大值”的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
解析：选A.当x＝时，函数y＝sin2x＝sin＝1取得最大值；反过来，当函数y＝sin2x取得最大值时，不能推出x＝，如x＝时，函数y＝sin2x也可取得最大值．综上所述，“x＝”是“函数y＝sin2x取得最大值”的充分不必要条件，选A.
不等式ax2＋bx＋c＞0(a≠0)的解集为R的充要条件是( )
A．a＞0，b2－4ac＞0
B．a＞0，b2－4ac＜0
C．a＜0，b2－4ac＞0
D．a＜0，b2－4ac＜0
解析：选B.由题意得二次函数y＝ax2＋bx＋c的图像在x轴的上方，所以a＞0，b2－4ac＜0.
(2012·榆林调研)用符号“ ”“ ”“ ”填空：
(1)x＝1________x＜2；
(2)整数a能被2整除________整数a的个位数字是偶数；
(3)三角形为等腰三角形________三角形为等边三角形．
答案：(1) (2) (3)
在“充分不必要条件”“必要不充分条件”“充要条件”“既不充分又不必要条件”中选出一种填空：
(1)“a＝0”是“函数f(x)＝x2＋ax(x∈R)为偶函数”的________；
(2)“sinα＞sinβ”是“α＞β”的________；
(3)“M＞N”是“log2M＞log2N”的________；
(4)“x∈M∩N”是“x∈M∪N”的________．
答案：(1)充要条件 (2)既不充分又不必要条件 (3)必要不充分条件 (4)充分不必要条件
[A级 基础达标]
函数f(x)＝x2＋mx＋1的图像关于直线x＝1对称的充要条件是( )
A．m＝－2
B．m＝2
C．m＝－1
D．m＝1
解析：选A.函数f(x)＝x2＋mx＋1的图像的对称轴为x＝－，所以－＝1，即m＝－2.
(2011·高考福建卷)若a∈R，则“a＝2”是“(a－1)(a－2)＝0”的( )
A．充分而不必要条件
B．必要而不充分条件
C．充要条件
D．既不充分又不必要条件
解析：选A.由(a－1)(a－2)＝0，得a＝1或a＝2，所以a＝2 (a－1)(a－2)＝0.而由(a－1)(a－2)＝0不一定推出a＝2，故a＝2是(a－1)(a－2)＝0的充分而不必要条件．
(2012·蚌埠质检)设α、β、γ为平面，m、n、l为直线，则m⊥β的一个充分条件是( )
A．α⊥β，α∩β＝l
B．α∩γ＝m，α⊥γ，β⊥γ
C．α⊥β，β⊥γ，m⊥α
D．n⊥α，n⊥β，m⊥α
解析：选D.A、B、C都推不出m⊥β，而D中有α∥β，m⊥α，∴m⊥β.
在△ABC中，“sinA＝sinB”是“a＝b”的________条件．
解析：在△ABC中，由正弦定理及sinA＝sinB可得2RsinA＝2RsinB，即a＝b；反之也成立．
答案：充要
平面内的一个四边形为平行四边形的充要条件有多个，如两组对边分别平行，类似地，写出空间中的一个四棱柱为平行六面体的两个充要条件：充要条件①____________；充要条件②____________．(写出你认为正确的两个充要条件)
答案：两组相对侧面分别平行 一组相对侧面平行且全等；底面是平行四边形等
(2012·淮北检测)已知m∈Z，关于x的一元二次方程
x2－4x＋4m＝0，①
x2－4mx＋4m2－4m－5＝0.②
求使方程①②的根都是整数的充要条件．
解：方程①有实数根 Δ＝16－16m≥0，得m≤1；
方程②有实数根 Δ＝16m＋20≥0，
得m≥－；
所以－≤m≤1.又因为m∈Z，所以m＝－1，0，1.
经检验只有m＝1时，①②的根都是整数．
所以方程①②的根都是整数的充要条件是m＝1.
[B级 能力提升]
(2012·商洛调研)设a，b都是非零向量，则“a·b＝±|a||b|”，是“a，b共线”的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
解析：选C.设〈a，b〉＝θ，a·b＝|a||b|cosθ，当|a||b|cosθ＝|a||b|，∴cosθ＝±1，θ＝0或π，则a与b共线，若a、b共线，则〈a，b〉＝0或π，则a·b＝±|a||b|.
“α＝＋2kπ(k∈Z)”是“cos2α＝”的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
解析：选A.α＝＋2kπ(k∈Z) 2α＝＋4kπ(k∈Z) cos2α＝cos＝，但cos2α＝ 2α＝2kπ±(k∈Z) α＝±＋kπ(k∈Z) α＝＋2kπ(k∈Z)．故选A.
(2012·宝鸡质检)若p：x(x－3)＜0是q：2x－3＜m的充分不必要条件，则实数m的取值范围是________．
解析：p：x(x－3)＜0，则0＜x＜3；q：2x－3＜m，则x＜.在数轴上表示出这两个解集如图所示，
由题意知p q，qp，则≥3，解得m≥3.
答案：m≥3
求证：函数f(x)＝ax2＋bx＋c是偶函数的充要条件是：
b＝0.
证明：充分性：若b＝0，则f(x)＝ax2＋c，
∴f(－x)＝ax2＋c，∴f(－x)＝f(x)，故f(x)是偶函数．
必要性：若f(x)＝ax2＋bx＋c是偶函数，则对任意x，都有f(－x)＝f(x)．
∴ax2－bx＋c＝ax2＋bx＋c，
∴bx＝0，∴b＝0.
∴b＝0是f(x)＝ax2＋bx＋c为偶函数的充要条件．
(创新题)在如图所示电路图中，闭合开关K1是灯泡L亮的什么条件？
解：图①，闭合开关K1或闭合开关K2，都可以使灯泡L亮；反之，若要灯泡L亮，不一定非要闭合开关K1.因此，闭合开关K1是灯泡L亮的充分不必要条件．
图②，闭合开关K1而不闭合开关K2，灯泡L不亮；反之，若要灯泡L亮，开关K1必须闭合，说明闭合开关K1是灯泡L亮的必要不充分条件．
图③，闭合开关K1可使灯泡L亮；而灯泡L亮，开关K1一定是闭合的．因此，闭合开关K1是灯泡L亮的充要条件．
图④，灯泡L亮否与开关K1的闭合无关，故闭合开关K1是灯泡L亮的既不充分也不必要条件．
21世纪教育网 -- 中国最大型、最专业的中小学教育资源门户网站。 版权所有@21世纪教育网(2012·驻马店检测)抛物线y2＝－8x的焦点坐标是( )
A．(2，0)
B．(－2，0)
C．(4，0)
D．(－4，0)
答案：B
在抛物线y2＝2px(p>0)上，横坐标为4的点到焦点的距离为5，则p的值为( )
A.
B．1
C．2
D．4
解析：选C.由题意＋4＝5，所以p＝2.
(2012·吉安质检)已知抛物线过点(1，1)，则该抛物线的标准方程是______．
解析：设抛物线为y2＝2px(p>0)或x2＝2my(m>0)，把(1，1)代入得1＝2p或1＝2m，
∴p＝或m＝，
∴抛物线方程为y2＝x或x2＝y.
答案：y2＝x或x2＝y
动点P到点F(2，0)的距离与它到直线x＋2＝0的距离相等，则P的轨迹方程为______________．
解析：由题意知，P的轨迹是以点F(2，0)为焦点，以直线x＋2＝0为准线的抛物线，所以p＝4，故抛物线的方程为y2＝8x.
答案：y2＝8x
[A级 基础达标]
(2012·阜阳检测)过点(1，－2)的抛物线的标准方程是( )
A．y2＝4x和x2＝y
B．y2＝4x
C．y2＝4x和x2＝－y
D．x2＝－y
解析：选C.因为点(1，－2)在第四象限，所以满足条件的抛物线的标准方程是y2＝2p1x(p1>0)或x2＝－2p2y(p2>0)．将点(1，－2)分别代入上述两个方程，解得p1＝2，p2＝.因此满足条件的抛物线有两条，它们的方程分别为y2＝4x和x2＝－y.
设抛物线y2＝8x上一点P到y轴的距离是4，则点P到该抛物线焦点的距离是( )
A．4
B．6
C．8
D．12
解析：选B.由抛物线的方程得＝＝2，再根据抛物线的定义，可知所求距离为4＋2＝6，故选B.
已知抛物线y2＝2px(p>0)的焦点为F，点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，P3(x3，y3)在抛物线上，且2x2＝x1＋x3，则有( )
A．|FP1|＋|FP2|＝|FP3|
B．|FP1|2＋|FP2|2＝|FP3|2
C．2|FP2|＝|FP1|＋|FP3|
D．|FP2|2＝|FP1|·|FP3|
解析：选C.由抛物线方程y2＝2px(p>0)得准线方程为x＝－.由定义得|FP1|＝x1＋，|FP2|＝x2＋，|FP3|＝x3＋，则x1＝|FP1|－，x2＝|FP2|－，x3＝|FP3|－，又2x2＝x1＋x3，所以2|FP2|＝|FP1|＋|FP3|.
(2012·汉中质检)已知抛物线顶点为坐标原点，焦点在y轴上，抛物线上的点M(m，－2)到焦点的距离为4，则m＝________．
解析：由已知，可设抛物线方程为x2＝－2py.由抛物线定义有2＋＝4，∴p＝4，∴x2＝－8y.将(m，－2)代入上式，得m2＝16.∴m＝±4.
答案：±4
已知F是抛物线y2＝x的焦点，A，B是该抛物线上的两点，|AF|＋|BF|＝3，则线段AB的中点到y轴的距离为________．
解析：∵|AF|＋|BF|＝xA＋xB＋＝3，∴xA＋xB＝.∴线段AB的中点到y轴的距离为＝.
答案：
设抛物线y2＝mx(m≠0)的准线与直线x＝1的距离为3，求抛物线的方程．
解：当m>0时，由2p＝m，得＝，
这时抛物线的准线方程是x＝－.
∵抛物线的准线与直线x＝1的距离为3，
∴1－＝3，解得m＝8.
这时抛物线的方程是y2＝8x.
同理，当m<0时，抛物线的方程是y2＝－16x.
[B级 能力提升]
(2012·焦作检测)设抛物线y2＝8x的焦点为F，准线为l，P为抛物线上一点，PA⊥l，A为垂足．如果直线AF的斜率是－，那么|PF|＝( )
A．4
B．8
C．8
D．16
解析：选B.如图，设准线l与x轴的交点为H，由直线AF的斜率为－，得∠AFH＝60°，∠FAH＝30°，∴∠PAF＝60°.
又由抛物线的定义知|PA|＝|PF|，
∴△PAF为等边三角形，
由|HF|＝4得|AF|＝8，
∴|PF|＝8.
(2011·高考山东卷)设M(x0，y0)为抛物线C：x2＝8y上一点，F为抛物线C的焦点，以F为圆心、|FM|为半径的圆和抛物线C的准线相交，则y0的取值范围是( )
A．(0，2)
B．[0，2]
C．(2，＋∞)
D．[2，＋∞)
解析：选C.圆心到抛物线准线的距离为p＝4，根据已知只要|FM|>4即可，根据抛物线定义，|FM|＝y0＋2，由y0＋2>4，解得y0>2，故y0的取值范围是(2，＋∞)．
设抛物线y2＝2px(p>0)的焦点为F，点A的坐标为(0，2)，若线段FA的中点B在抛物线上，则点B到该抛物线准线的距离为________．
解析：抛物线的焦点F的坐标为(，0)，线段FA的中点B的坐标为(，1)，代入抛物线方程得1＝2p×，解得p＝，故点B的坐标为(，1)，故点B到该抛物线准线x＝－的距离为＋＝.
答案：
点M到直线l：y＝－1的距离比它到点F(0，2)的距离小1，求点M的轨迹方程．
解：∵点M到直线l：y＝－1的距离比它到点F(0，2)的距离小1，
∴点M到点F的距离与它到直线l：y＝－2的距离相等，
即点M的轨迹是以F(0，2)为焦点，直线l：y＝－2为准线的抛物线．
设M点坐标为(x，y)，∵＝2，且开口向上，
∴点M的轨迹方程为x2＝8y.
(创新题)已知A，B为抛物线y2＝2x上两个动点，|AB|＝3，求AB的中
点P到y轴距离的最小值．
解：如图所示，分别过点A，B，P作准线l的垂线，设垂足分别为A1，B1，P1，PP1交y轴于Q点，连接AF，BF，由抛物线定义可知|AF|＝|A1A|，|BF|＝|B1B|，所以|A1A|＋|B1B|＝|AF|＋|BF|.又四边形
ABB1A1为梯形，P1P是中位线，所以|PP1|＝(|A1A|＋|B1B|)＝(|AF|＋|BF|)，所以|PP1|≥|AB|＝.又|PQ|＝|PP1|－＝|PP1|－，所以|PQ|≥－＝1，当且仅当A，B，F三点共线时取等号．
故AB的中点P到y轴距离的最小值为1.本资料来自于资源最齐全的２１世纪教育网www.21cnjy.com
“xy≠0”是指( )
A．x≠0且y≠0
B．x≠0或y≠0
C．x，y至少有一个不为0
D．x，y不都是0
答案：A
(2012·九江质检)对命题p：A∩ ＝ ，命题q：A∪ ＝A，下列说法正确的是( )
A．p且q为真
B．p或q为假
C．非p为真
D．非q为真
解析：选A.p真，q真，p且q为真．
“空集是集合A的子集”的否定是________．
答案：空集不是集合A的子集
(2012·铜川调研)已知命题p：函数f(x)＝log0.5(3－x)的定义域为(－∞，3)；命题q：若k＜0，则函数h(x)＝在(0，＋∞)上是增函数．则下列结论中错误的是________．
①命题“p且q”为真；②命题“p或﹁q”为假；③命题“p或q”为假；④命题“﹁p且﹁q”为假．
解析：由3－x＞0，得x＜3，所以命题p为真，命题﹁p为假．
又由k＜0，易知函数h(x)＝在(0，＋∞)上是增函数，所以命题q为真，命题﹁q为假．
综上可知命题“p且q”为真，命题“p或﹁q”为真，命题“p或q”为真，命题“﹁p且﹁q”为假．
答案：②③
[A级 基础达标]
(2011·高考北京卷)若p是真命题，q是假命题，则( )
A．p且q是真命题
B．p或q是假命题
C．﹁p是真命题
D．﹁q是真命题
解析：选D.由于p是真命题，q是假命题，所以﹁p是假命题，﹁q是真命题，p且q是假命题，p或q是真命题．
若p、q是两个简单命题，“p或q”的否定是真命题，则必有( )
A．p真q真
B．p假q假
C．p真q假
D．p假q真
解析：选B.“p或q”的否定是真命题，故“p或q”为假命题，所以p假q假．
(2012·宿州检测)已知命题p：＞0；命题q：lg(＋)有意义，则﹁p是﹁q的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
解析：选A.由p，得x＞－1，由q，得－1＜x≤1，则q是p的充分不必要条件，故﹁p是﹁q的充分不必要条件．
若命题“﹁p”与命题“p或q”都是真命题，那么命题q一定是________命题(“真”或“假”)．
解析：∵﹁p真，∴p假，
又p或q真，∴q真．
答案：真
(2012·新余调研)若“x∈[2，5]或x∈{x|x＜1或x＞4}”是假命题，则x的范围是________．
解析：∵原命题为假命题，
∴∴1≤x＜2.
答案：[1，2)
(2012·蚌埠质检)已知命题p：关于x的不等式ax2＋2x＋3≥0解集为R.如果﹁p是真命题，求实数a的取值范围．
解：∵﹁p为真命题，∴p为假命题．
当p是真命题时，即关于x的不等式ax2＋2x＋3≥0解集为R时，
应有，即，解得a≥.
∴当p为假命题时，a＜.
即所求a的取值范围是.
[B级 能力提升]
已知命题p：任意x∈R，x2－x＋＜0；命题q：存在x∈R，sinx＋cosx＝.则下列命题正确的是( )
A．p或q真
B．p且q真
C．﹁q真
D．p真
解析：选A.易知p假，q真，故p或q为真．
(2012·焦作调研)下列各组命题中，满足“‘p或q’为真、‘p且q’为假、‘非p’为真”的是( )
A．p：0＝ ；q：0∈
B．p：在△ABC中，若cos2A＝cos2B，则A＝B；q：y＝sinx在第一象限内是增函数
C．p：a＋b≥2(a，b∈R)；q：不等式|x|＞x的解集是(－∞，0)
D．p：圆(x－1)2＋(y－2)2＝1的面积被直线x＝1平分；q：对于任意的x∈{1，－1，0}，都有2x＋1＞0
解析：选C.若要满足“‘p或q’为真，‘p且q’为假、‘非p’为真”，则p为假命题，q为真命题．A中p为假命题，q为假命题；B中p为真命题，q为假命题；C中p为假命题，q为真命题；D中p为真命题，q为假命题．
(2012·亳州质检)已知命题p，q，“﹁p为假命题”是“p或q为真命题”的________条件．
解析：∵﹁p为假命题，∴p为真命题，因此p或q为真命题；而p或q为真命题时可能有p假q真，得不到p为真命题，故“﹁p为假命题”是“p或q为真命题”的充分不必要条件．
答案：充分不必要
(2012·榆林质检)已知a＞0，a≠1，设p：函数y＝logax在(0，＋∞)上单调递减，q：曲线y＝x2＋(2a－3)x＋1与x轴交于不同的两点．若“p且q”为假，“﹁q”为假，求a的取值范围．
解：p：0＜a＜1，由Δ＝(2a－3)2－4＞0，得q：a＞或a＜.
因为“p且q”为假，“﹁q”为假，所以p假q真，
即∴a＞.
(创新题)是否存在同时满足下列三个条件的命题p和命题q？若存在，试构造出这样的一组命题；若不存在，请说明理由．
①“p或q”为真命题；②“p且q”为假命题；③“非p”为假命题．
解：由①知，命题p，q中至少有一个为真命题，由②知，命题p，q中至少有一个为假命题，从而，命题p，q中一个为真命题，一个为假命题．
由③知，p为真命题，因此命题q为假命题．
综上知，满足题设三个条件的命题p，q存在，可举例如下：
p：菱形的对角线互相垂直，q：菱形的两条对角线相等．
21世纪教育网 -- 中国最大型、最专业的中小学教育资源门户网站。 版权所有@21世纪教育网本资料来自于资源最齐全的２１世纪教育网www.21cnjy.com
(2012·西安检测)某物体的位移公式为s＝s(t)，从t0到t0＋Δt这段时间内，下列理解正确的是( )
A．(t0＋Δt)－t0称为函数值增量
B．t0称为函数值增量
C．Δs＝s(t0＋Δt)－s(t0)称为函数值增量
D.称为函数值增量
解析：选C.函数值增量的概念是指函数值的改变量．
已知函数f(x)＝x2＋1，则在x＝2，Δx＝0.1时，Δy的值为( )
A．0.40
B．0.41
C．0.43
D．0.44
解析：选B.∵x＝2，Δx＝0.1，∴Δy＝f(x＋Δx)－f(x)
＝f(2.1)－f(2)＝(2.12＋1)－(22＋1)＝0.41.
函数y＝在区间[x0，x0＋Δx](x0≠0，且x0＋Δx≠0)的平均变化率为________．
解析：＝＝
＝－.
答案：－
(2012·焦作检测)一木块沿某一斜面自由下滑，测得下滑的距离s与时间t之间的函数关系为s＝t2，则t＝2时，木块的瞬时速度为________．
解析：＝＝t＋Δt.
当t＝2，且Δt趋于0时，趋于.
答案：
[A级 基础达标]
在曲线y＝x2＋1上取一点(1，2)及邻近一点(1＋Δx，2＋Δy)，则为( )
A．Δx＋
B．Δx－－2
C．Δx＋2
D．2＋Δx－
解析：选C.Δy＝f(1＋Δx)－f(1)＝(1＋Δx)2＋1－(12＋1)＝(Δx)2＋2Δx，∴＝Δx＋2.
(2012·石柱质检)某质点的运动规律为s＝t2＋3，则在时间(3，3＋Δt)中的平均速度等于( )
A．6＋Δt
B．6＋Δt＋
C．3＋Δt
D．9＋Δt
解析：选A.v＝＝
＝＝6＋Δt.
水以恒速(即单位时间内注入水的体积相同)注入下面四种底面积相同的容器中，按顺序与各容器对应的水的高度h与时间t的函数关系图像相对应的一项是( )
A．①②③④
B．②①③④
C．②①④③
D．②④①③
解析：选C.以第二个容器为例，由于容器上细下粗，所以水以恒速注入时，开始阶段高度增加得慢，以后高度增加得越来越快，反映在图像上，①符合上述变化情况．同理可知其他三种容器的情况．
(2012·江津测试)某日中午12时整，甲车自A处以40 km/h的速度向正东方向行驶，乙车自A处以60 km/h的速度向正西方向行驶，至当日12时30分，两车之间的距离对时间的平均变化率为________．
解析：＝＝100 km/h.
答案：100 km/h
汽车行驶的路程s和时间t之间的函数图像如图，在时间段[t0，t1]，[t1，t2]，[t2，t3]上的平均速度分别为v1，v2，v3，则三者的大小关系为________．
解析：∵v1＝＝kOA；
v2＝＝kAB；
v3＝＝kBC.
又∵kBC＞kAB＞kOA，∴v3＞v2＞v1.
答案：v3＞v2＞v1
求函数y＝x2在x＝1，2，3附近的平均变化率，取Δx都为，哪点附近的平均变化率最大．
解：在x＝1附近的平均变化率为k1＝
＝＝2＋Δx；
在x＝2附近的平均变化率为k2＝
＝＝4＋Δx；
在x＝3附近的平均变化率为k3＝
＝＝6＋Δx.
令Δx＝，可得k1＝，k2＝，k3＝，故函数f(x)在x＝3附近的平均变化率最大．
[B级 能力提升]
(2012·九江测试)将半径为R的铁球加热，若铁球的半径增加ΔR，则铁球的表面积增加( )
A．8πR(ΔR)
B．8πR(ΔR)＋4π(ΔR)2
C．4πR(ΔR)＋4π(ΔR)2
D．4π(ΔR)2
解析：选B.ΔS＝4π(R＋ΔR)2－4πR2＝8πR(ΔR)＋4π(ΔR)2.
物体运动时位移s与时间t的函数关系是s＝－4t2＋16t，此物体在某一时刻的速度为零，则相应的时刻为( )
A．t＝1
B．t＝2
C．t＝3
D．t＝4
解析：选B.Δs＝－4(t＋Δt)2＋16(t＋Δt)－(－4t2＋16t)＝16Δt－8t·Δt－4(Δt)2.又因为在某时刻的瞬时速度为零，
当Δt趋于0时，＝16－8t－4Δt＝0.
即16－8t＝0，解得t＝2.
求函数f(x)＝x2分别在[1，2]，[1，1]，[1，1.01]上的平均变化率，根据所得结果，你的猜想是________．
解析：k1＝＝＝＝3，
k2＝＝＝＝2.1，
k3＝＝＝＝2.01.
猜想x0＝1不变，Δx越小，函数的平均变化率越接近于2.
答案：x0＝1不变，Δx越小，函数的平均变化率越接近于2.
已知自由落体的运动方程为s＝gt2(g＝9.8 m/s2)，求：
(1)落体在t0到t0＋Δt这段时间内的平均速度；
(2)落体在t0时的瞬时速度；
(3)落体在t0＝2 s到t1＝2.1 s这段时间内的平均速度；
(4)落体在t0＝2 s时的瞬时速度．
解：(1)落体在t0到t0＋Δt这段时间内的位移增量为
Δs＝g(t0＋Δt)2－gt，因此，落体在这段时间内的平均速度为
v＝＝eq \f(\f(1,2)g（t0＋Δt）2－\f(1,2)gt,Δt)＝g·
＝g(2t0＋Δt)．
(2)落体在t0时的瞬时速度即Δt趋于0时，趋于gt0这一速度．
(3)落体在t0＝2 s到t1＝2.1 s，其时间增量Δt＝t1－t0＝0.1(s)，由(1)知平均速度为v＝g(2×2＋0.1)＝2.05×9.8＝20.09(m/s)．
(4)由(2)知落体在t0＝2 s时的瞬时速度为v＝9.8×2＝19.6(m/s)．
(创新题)质点M按规律s＝s(t)＝at2＋1做直线运动(位移s的单位：m，时间t的单位：s)．问是否存在常数a，使质点M在t＝2 s时的瞬时速度为8 m/s？若存在，求出a的值；若不存在，说明理由．
解：假设存在常数a，则Δs＝s(2＋Δt)－s(2)＝a(2＋Δt)2＋1－a×22－1＝4a＋4aΔt＋a(Δt)2＋1－4a－1＝4aΔt＋a(Δt)2，所以＝＝4a＋aΔt.当Δt趋于0时，4a＋aΔt趋于4a，由题易知4a＝8，解得a＝2.所以存在常数a＝2，使质点M在t＝2 s时的瞬时速度为8 m/s.
21世纪教育网 -- 中国最大型、最专业的中小学教育资源门户网站。 版权所有@21世纪教育网本资料来自于资源最齐全的２１世纪教育网www.21cnjy.com
一直线运动的物体，从时间t到t＋Δt时，物体的位移为Δs，那么 为( )
A．在t时刻该物体的瞬时速度
B．当时间为Δt时物体的瞬时速度
C．从时间t到t＋Δt时物体的平均速度
D．以上说法均错误
解析：选A.根据导数的概念可知， 表示瞬时变化率，即t时刻该物体的瞬时速度．
(2012·宝鸡检测)已知函数f(x)＝x3－x在x＝2处的导数为f′(2)＝11，则( )
A．f′(2)是函数f(x)＝x3－x在x＝2时对应的函数值
B．f′(2)是曲线f(x)＝x3－x在点x＝2处的割线斜率
C．f′(2)是函数f(x)＝x3－x在x＝2时的平均变化率
D．f′(2)是曲线f(x)＝x3－x在点x＝2处的切线的斜率
答案：D
(2012·西安质检)函数y＝在x＝1处的导数为________．
解析：作出函数y＝的图像如图．
由导数的几何意义可知，函数y＝在x＝1处的导数即为半圆在点P(1, )处的切线的斜率．
∴kl＝ －＝－＝－.
答案：－
已知函数y＝f(x)的图像在点M(1，f(1))处的切线方程是y＝x＋2，则f(1)＋f′(1)＝________．
解析：f(1)＝＋2＝，f′(1)＝，
∴f(1)＋f′(1)＝3.
答案：3
[A级 基础达标]
已知函数y＝f(x)的图像如图，则f′(xA)与f′(xB)的大小关系是( )
A．f′(xA)＞f′(xB)
B．f′(xA)＜f′(xB)
C．f′(xA)＝f′(xB)
D．不能确定
解析：选B.f′(xA)和f′(xB)分别表示函数图像在点A、B处的切线斜率，故f′(xA)＜f′(xB)．
(2012·上饶检测)函数y＝3x2在x＝1处的导数为( )
A．2
B．3
C．6
D．12
解析：选C.f′(1)＝
＝ ＝6.
设f(x)＝ax＋4，若f′(1)＝2，则a等于( )
A．2
B．－2
C．3
D．－3
解析：选A.∵＝
＝a，∴f′(1)＝a，又f′(1)＝2，
∴a＝2.
曲线y＝f(x)＝2x－x3在点(1，1)处的切线方程为________．
解析：∵f′(1)＝ ＝－1，
∴曲线在(1，1)处的切线方程为y－1＝－(x－1)，即x＋y－2＝0.
答案：x＋y－2＝0
函数y＝x2在x＝________处的导数值等于其函数值．
解析：y＝f(x)＝x2在x＝x0处的导数值为f′(x0)
＝ ＝(Δx＋2x0)＝2x0.
由2x0＝x，解得x0＝0或x0＝2.
答案：0或2
(2012·南昌调研)若一物体的运动方程为s＝3t2＋2，求此物体在t＝1时的瞬时速度．
解： ＝
＝＝(6＋3Δt)＝6.
所以物体在t＝1时的瞬时速度是6.
[B级 能力提升]
设曲线y＝ax2在点(1，a)处的切线与直线2x－y－6＝0平行，则a等于( )
A．1
B.
C．－
D．－1
解析：选A.令f(x)＝y＝ax2，则2＝k＝f′(1)
＝＝2a，故a＝1.
如图所示，单位圆中弧AB的长为x，f(x)表示弧AB与弦AB所围成的弓形面积的2倍，则函数y＝f(x)的图像是( )
eq \a\vs4\al( )
解析：选D.不妨设A固定，B从A点出发绕圆周旋转一周，刚开始时x很小，即弧AB长度很小，这时给x一个改变量Δx，那么弧AB与弦AB所围成的弓形面积的改变量非常小，即弓形面积的变化较慢；
当弦AB接近于圆的直径时，同样给x一个改变量Δx，那么弧AB与弦AB所围成的弓形面积的改变量将较大，即弓形面积的变化较快；
从直径的位置开始，随着B点的继续旋转，弓形面积的变化又由变化较快变为越来越慢．
由上可知函数y＝f(x)的图像应该是首先比较平缓，然后变得比较陡峭，最后又变得比较平缓，对比各选项知D正确．
(2012·宜春质检)在平面直角坐标系xOy中，点P在曲线C：y＝x3－10x＋3上，且在第二象限内，已知曲线C在点P处的切线的斜率为2，则点P的坐标为________．
解析：设P点的坐标为(x0，y0)．y′＝
＝ ＝3x2－10.已知曲线C在点P处的切线的斜率kP＝2，则3x－10＝2，解得x0＝±2，∵点P在第二象限内，∴x0＝－2.又点P在曲线C上，则y0＝(－2)3－10×(－2)＋3＝15，∴点P的坐标为(－2，15)．
答案：(－2，15)
(2012·榆林调研)已知曲线y＝x3上一点P，如图所示．
(1)求曲线在点P处的切线的斜率；
(2)求曲线在点P处的切线方程．
解：(1)因为y＝x3，
所以y′＝
＝
＝
＝[3x2＋3x·Δx＋(Δx)2]＝x2，
∵点P的坐标为，
所以曲线y＝x3在点P处的切线的斜率为4.
(2)曲线y＝x3在点P处的切线方程是y－＝4(x－2)，
即12x－3y－16＝0.
(创新题)已知曲线C的方程为y＝x3.
(1)求曲线C在横坐标为1的点处的切线方程；
(2)试判断(1)中的切线与曲线C是否还有其他公共点．
解：(1)将x＝1代入曲线C的方程得切点坐标为(1，1)，故切线的斜率k＝
＝ ＝[3＋3Δx＋(Δx)2]＝3，∴切线方程为y－1＝3(x－1)，即3x－y－2＝0.
(2)由消去y，整理得(x－1)(x2＋x－2)＝0，解得x1＝1，x2＝－2，从而所求公共点为(1，1)，(－2，－8)．说明切线与曲线C的公共点除了切点外，还有另外的点．
21世纪教育网 -- 中国最大型、最专业的中小学教育资源门户网站。 版权所有@21世纪教育网(2010·高考安徽卷)双曲线方程为x2－2y2＝1，则它的右焦点坐标为( )
A．(，0)
B．(，0)
C．(，0)
D．(，0)
解析：选C.将双曲线方程化为标准方程为x2－＝1，
∴a2＝1，b2＝，∴c＝＝，
故右焦点的坐标为(，0)．
在双曲线中，＝，且双曲线与椭圆4x2＋9y2＝36有公共焦点，则双曲线的方程是( )
A.－x2＝1
B.－y2＝1
C．x2－＝1
D．y2－＝1
解析：选B.椭圆＋＝1，焦点为(±，0)，
∴c＝，∴a＝2，∴b2＝c2－a2＝1，
双曲线为－y2＝1.
(2012·宿州质检)已知双曲线的焦距为26，＝，则双曲线的标准方程是________．
解析：由2c＝26，∴c＝13.
又＝，∴a2＝25.∴b2＝c2－a2＝132－25＝144.
∴所求方程为－＝1或－＝1.
答案：－＝1或－＝1
若双曲线8kx2－ky2＝8的一个焦点为(0，3)，则k＝______．
解析：依题意，双曲线方程可化为－＝1，已知一个焦点为(0，3)，所以－－＝9，解得k＝－1.
答案：－1
[A级 基础达标]
(2012·驻马店检测)双曲线－＝1的焦距为( )
A．3
B．4
C．3
D．4
解析：选D.由双曲线的标准方程知a2＝10，b2＝2，则c2＝a2＋b2＝10＋2＝12，因此2c＝4.故选D.
双曲线－＝1上一点P到点(5，0)的距离为15，则点P到点(－5，0)的距离为( )
A．7
B．23
C．7或23
D．5或25
解析：选C.依据题意知(5，0)，(－5，0)恰为双曲线的两个焦点，由双曲线的定义得点P到点(－5，0)的距离为15＋8＝23或15－8＝7.
(2012·商洛质检)设F1、F2分别是双曲线x2－＝1的左、右焦点．若点P在双曲线上，且·＝0，则|＋|＝( )
A.
B．2
C.
D．2
解析：选B.依题意，△PF1F2构成直角三角形，O为F1F2的中点，故|PO|＝|F1F2|，又＋＝2，故|PF1＋|＝2||＝|F1F2|＝2c＝2，故选B.
F1，F2是双曲线－＝1的两个焦点，P在双曲线上，且满足|PF1|·|PF2|＝32，则∠F1PF2＝______．
解析：由定义，知||PF1|－|PF2||＝2a＝6.两边平方，得|PF1|2＋|PF2|2＝100.∵|F1F2|＝2c＝2＝10，∴|PF1|2＋|PF2|2＝|F1F2|2，∴∠F1PF2＝90°.
答案：90°
(2012·安康检测)已知抛物线C1的方程为y＝x2，它的焦点F关于原点的对称点为E.若曲线C2上的点到E，F的距离之差的绝对值等于6，则曲线C2的标准方程为________．
解析：方程y＝x2可化为x2＝20y，其焦点为F(0，5)，所以点E的坐标为(0，－5)，根据题意知曲线C2是焦点在y轴上的双曲线，且其两焦点分别为F，E，设双曲线的标准方程为－＝1(a>0，b>0)，则2a＝6，即a＝3.又c＝5，b2＝c2－a2＝16，所以曲线C2的标准方程为－＝1.
答案：－＝1
求与双曲线－＝1有共焦点，且过点(3，2)的双曲线方程．
解：由于所求的双曲线与已知双曲线共焦点，从而可设所求的双曲线方程为－＝1.
由于点(3，2)在所求的双曲线上，
从而有－＝1.
整理，得k2＋10k－56＝0，∴k＝4或k＝－14.
又16－k>0，4＋k>0，∴－4从而得k＝4.故所求双曲线的方程为－＝1.
[B级 能力提升]
(2012·蚌埠调研)F1，F2是双曲线x2－＝1的两个焦点，P是双曲线上一点，且3|PF1|＝4|PF2|，则△PF1F2的面积等于( )
A．4
B．8
C．24
D．48
解析：选C.由P是双曲线x2－＝1上一点和3|PF1|＝4|PF2| ①，
可得|PF1|－|PF2|＝2 ②，解①②得|PF1|＝8，|PF2|＝6，又|F1F2|＝2c＝10，则有|PF1|2＋|PF2|2＝|F1F2|2，所以△PF1F2是直角三角形，所以△PF1F2的面积S＝×6×8＝24.
如图，从双曲线－＝1的左焦点F引圆x2＋y2＝3的切线FP交双曲线右支于点P，T为切点，M为线段FP的中点，O为坐标原点，则|MO|－|MT|等于( )
A. B.
C.－ D.＋
解析：选C.|OM|－|MT|＝|PE|－(|MF|－|FT|)
＝|FT|－(|PF|－|PE|)
＝－×2×
＝－.
(2012·毫州质检)如图所示，F为双曲线C：－＝1的左焦点，双曲线C上的点Pi与P7－i(i＝1，2，3)关于y轴对称，则|P1F|＋|P2F|＋|P3F|－|P4F|－|P5F|－|P6F|的值是________．
解析：设双曲线的右焦点为F2，则点F与F2关于y轴对称，分别连接P1F2，P2F2，P3F2，由双曲线C上的点Pi与P7－i(i＝1，2，3)关于y轴对称，可得|P6F|＝|P1F2|，|P5F|＝|P2F2|，|P4F|＝|P3F2|，于是|P1F|＋|P2F|＋|P3F|－|P4F|－|P5F|－|P6F|＝(|P1F|－|P1F2|)＋(|P2F|－|P2F2|)＋(|P3F|－|P3F2|)＝2a＋2a＋2a＝6×3＝18.
答案：18
在△ABC中，B(－6，0)，C(6，0)，直线AB，AC的斜率乘积为，求顶点A的轨迹．
解：设顶点A的坐标为(x，y)，根据题意得
·＝，化简得－＝1(x≠±6)．
所以，顶点A的轨迹是双曲线(除去与x轴的交点)．
(创新题)设点P到点M(－1，0)，N(1，0)的距离之差为2m，到x轴，y轴的距离之比为2，求m的取值范围．
解：设点P的坐标为(x，y)，依题意，有＝2，
即y＝±2x(x≠0)．
所以点P(x，y)，M(－1，0)，N(1，0)三点不共线，
所以||PM|－|PN||<|MN|＝2.
又因为||PM|－|PN|＝2|m|>0，
所以0<|m|<1.
所以点P在以M，N为焦点的双曲线上，且a2＝m2，c2＝1，所以b2＝1－m2，
所以－＝1.①
把y＝±2x(x≠0)代入①，得x2＝.
因为1－m2>0，所以1－5m2>0，
解得0<|m|<，
所以m的取值范围为∪.(2012·南阳测试)函数f(x)＝x3－x2＋x＋a的极值点有( )
A．0个
B．1个
C．2个
D．与a的取值有关
解析：选A.f′(x)＝x2－2x＋1，显然f′(x)＝(x－1)2 ≥0恒成立，∴f(x)在R上单调递增，故函数无极值点．
若x＝－2与x＝4是函数f(x)＝x3＋ax2＋bx的两个极值点，则有( )
A．a＝－2，b＝4
B．a＝－3，b＝－24
C．a＝1，b＝3
D．a＝2，b＝－4
解析：选B.f′(x)＝3x2＋2ax＋b，依题意有－2和4是方程3x2＋2ax＋b＝0的两个根，所以有－＝－2＋4，＝－2×4，解得a＝－3，b＝－24.
若函数f(x)＝在x＝1处取极值，则a＝________．
解析：f′(x)＝＝，因为函数f(x)在x＝1处取极值，所以f′(1)＝＝0，解得a＝3.
答案：3
(2012·赣州调研)若函数y＝－x3＋6x2＋m的极大值等于13，则实数m等于________．
解析：y′＝－3x2＋12x，由y′＝0，得x＝0或x＝4，容易得出当x＝4时函数取得极大值，所以－43＋6×42＋m＝13，解得m＝－19.
答案：－19
[A级 基础达标]
设a∈R，若函数y＝ex＋ax，x∈R有大于零的极值点，则( )
A．a＜－1
B．a＞－1
C．a＞－
D．a＜－
解析：选A.y′＝ex＋a，令y′＝0得ex＝－a，
即x＝ln (－a)＞0，则－a＞1，所以a＜－1.故选A.
已知函数y＝2x3＋ax2＋36x－24在x＝2处有极值，则该函数的一个递增区间可以是( )
A．(2，3)
B．(3，＋∞)
C．(2，＋∞)
D．(－∞，3)
解析：选B.因为函数y＝2x3＋ax2＋36x－24是可导函数，且在x＝2处有极值，所以有f′(2)＝0，而f′(x)＝6x2＋2ax＋36，代入得a＝－15，这时，f′(x)＝6x2－30x＋36，再令f′(x)＞0，解得x＞3或x＜2，所以该函数的递增区间是(3，＋∞)和(－∞，2)，故选B.
三次函数f(x)当x＝1时有极大值4，当x＝3时有极小值0，且函数图像过原点，则此函数解析式是( )
A．f(x)＝x3＋6x2＋9x
B．f(x)＝x3－6x2＋9x
C．f(x)＝x3－6x2－9x
D．f(x)＝x3＋6x2－9x
解析：选B.设三次函数为f(x)＝ax3＋bx2＋cx＋d(a≠0)，因为f(x)的图像过原点，所以d＝0，f′(x)＝3ax2＋2bx＋c.由题意知x＝1和x＝3为f′(x)＝0的两根，由一元二次方程根与系数的关系有
所以又f(1)＝4，即a＋b＋c＝4，
所以所以f(x)＝x3－6x2＋9x，故选B.
函数f(x)＝x3＋3ax2＋3[(a＋2)x＋1]既有极大值又有极小值，则a的取值范围是________．
解析：f′(x)＝3x2＋6ax＋3(a＋2)，令3x2＋6ax＋3(a＋2)＝0，即x2＋2ax＋a＋2＝0.
因为函数f(x)有极大值又有极小值，所以方程x2＋2ax＋a＋2＝0有两个不相等的实根，即Δ＝4a2－4a－8＞0，解得a＞2或a＜－1.
答案：a＞2或a＜－1
当a∈________时，函数f(x)＝ex(x2＋ax＋a＋1)没有极值点．
解析：由已知可得f′(x)＝ex(x2＋ax＋a＋1)＋ex(2x＋a)＝ex[x2＋(a＋2)x＋2a＋1]，若函数不存在极值点，则在方程f′(x)＝0即x2＋(a＋2)x＋2a＋1＝0中，有Δ＝(a＋2)2－4(2a＋1)＝a2－4a≤0，解之得0≤a≤4.
答案：[0，4]
(2012·亳州质检)若函数f(x)＝x3－6bx＋3b在(0，1)内有极小值，求实数b的取值范围．
解：f′(x)＝3x2－6b，∵f(x)在(0，1)内有极小值，
∴f′(x)在(0，1)内有零点．
又∵f′(x)＝3x2－6b在(0，1)上为增函数，
∴解得0＜b＜.
[B级 能力提升]
若函数f(x)＝x·2x在x0处有极小值，则x0等于( )
A.
B．－
C．－ln 2
D．ln 2
解析：选B.y′＝x·2x·ln 2＋2x＝2x(x·ln 2＋1)．
令y′＝0，解得x＝－.
设f(x)是一个三次函数，f′(x)为其导函数，如图所示的是y＝x·f′(x)的图像的一部分，则f(x)的极大值与极小值分别是( )
A．f(1)与f(－1)
B．f(－1)与f(1)
C．f(－2)与f(2)
D．f(2)与f(－2)
解析：选C.易知f′(－2)＝0，f′(2)＝0，当x∈(－∞，－2)时，由图可知x·f′(x)＜0，∴f′(x)＞0，即当x∈(－∞，－2)时f(x)递增．当x∈(－2，0)时，由图可知x·f′(x)＞0，∴f′(x)＜0；当x∈(0，2)时，由图可知x·f′(x)＜0，∴f′(x)＜0，故当x∈(－2，2)时f(x)递减．当x∈(2，＋∞)时，由图可知x·f′(x)＞0，∴f′(x)＞0，即当x∈(2，＋∞)时f(x)递增．故f(x)的极大值与极小值分别是f(－2)与f(2)．
(2012·杨凌测试)已知函数f(x)＝x3＋ax2－2x＋5在上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增，由下列结论正确的是________．
①－是方程f′(x)＝0的根；②1是方程f′(x)＝0的根；
③f(x)有极小值f(1)；④f(x)有极大值f；⑤a＝－
解析：∵f′(x)＝3x2＋2ax－2，由函数在上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增，可知f′(1)＝0，即3＋2a－2＝0，解得a＝－，故f′(x)＝3x2－x－2＝(x－1)(3x＋2)，∴－，1都是方程f′(x)＝0的根，且f(x)有极大值f，极小值为f(1)，故①②③④⑤正确．
答案：①②③④⑤
设函数f(x)＝6x3＋3(a＋2)x2＋2ax.
(1)若f(x)的两个极值点为x1，x2，且x1x2＝1，求实数a的值；
(2)是否存在实数a，使得f(x)是(－∞，＋∞)上的单调函数？若存在，求出a的值；若不存在，说明理由．
解：f′(x)＝18x2＋6(a＋2)x＋2a.
(1)由已知，有f′(x1)＝f′(x2)＝0，从而x1x2＝＝1，所以a＝9.
(2)不存在．理由如下：
令f′(x)＝18x2＋6(a＋2)x＋2a＝0.
因为Δ＝36(a＋2)2－4×18×2a＝36(a2＋4)＞0，
所以不存在实数a，使得f(x)是(－∞，＋∞)上的单调函数．
(创新题)已知函数f(x)＝x3－m2x(m＞0)．
(1)当f(x)在x＝1处取得极值时，求函数f(x)的解析式；
(2)当f(x)的极大值不小于时，求m的取值范围．
解：(1)因为f(x)＝x3－m2x(m＞0)，
所以f′(x)＝x2－m2.
因为f(x)在x＝1处取得极值，所以f′(1)＝1－m2＝0(m＞0)，所以m＝1，故f(x)＝x3－x.
(2)f′(x)＝x2－m2.令f′(x)＝0，解得x＝±m.
当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：
x (－∞，－m) －m (－m，m) m (m，＋∞)
f′(x) ＋ 0 － 0 ＋
f(x) ↗ 极大值 ↘ 极小值 ?↗
由上表，得f(x)极大值＝f(－m)＝－＋m3＝m3，由题意知f(x)极大值≥，所以m3≥1，解得m≥1.
故m的取值范围是[1，＋∞)．本资料来自于资源最齐全的２１世纪教育网www.21cnjy.com
“红豆生南国，春来发几枝？愿君多采撷，此物最相思．”这是唐代诗人王维的《相思》诗，在这4句诗中，可作为命题的是( )
A．红豆生南国
B．春来发几枝
C．愿君多采撷
D．此物最相思
解析：选A.“红豆生南国”是陈述句，意思是“红豆生长在中国南方”，这在唐代是事实，故本语句是命题，且是真命题；“春来发几枝”是疑问句，“愿君多采撷”是祈使句，“此物最相思”是感叹句，都不是命题．
命题“若f(x)是奇函数，则f(－x)是奇函数”的否命题是( )
A．若f(x)是偶函数，则f(－x)是偶函数
B．若f(x)不是奇函数，则f(－x)不是奇函数
C．若f(－x)是奇函数，则f(x)是奇函数
D．若f(－x)不是奇函数，则f(x)不是奇函数
解析：选B.原命题的条件是：f(x)是奇函数，结论是：f(－x)是奇函数，同时否定条件与结论，即得否命题：若f(x)不是奇函数，则f(－x)不是奇函数．
(2012·九江检测)有以下四个命题：
①在△ABC中 ，“若A＞B，则sinA＞sinB”；
②若数列{an}为等比数列，且a4＝4，a8＝9，则a6＝±6；
③不等式≤0的解集为{x|x＜－5}；
④若P是双曲线－＝1上一点，F1、F2分别是双曲线的左、右焦点，且|PF1|＝3，则|PF2|＝9.
其中真命题的序号为________(把正确命题的序号都填上)．
解析：对于①，在△ABC中 ，A＞B a＞b 2RsinA＞2RsinB sinA＞sinB，因此①是真命题；对于②，由已知得a＝a4·a8＝36，因为a4，a6，a8必同号，因此a6＝6，所以②是假命题；对于③，注意到x＝1是不等式≤0的一个解，因此③是假命题；对于④，由双曲线的定义得||PF1|－|PF2||＝|3－|PF2||＝6，因此3－|PF2|＝±6，所以|PF2|＝9或|PF2|＝－3(舍去)，所以④是真命题．综上所述，其中真命题的序号为①④.
答案：①④
(2012·阜阳检测)在命题“若a＞b，则a2＞b2”的逆命题，否命题，逆否命题中，假命题的个数为________．
解析：通过举反例知原命题为假命题，则其逆否命题为假命题；逆命题是“若a2＞b2，则a＞b”，显然为假命题，则否命题也为假命题．
答案：3
[A级 基础达标]
(2012·驻马店质检)命题“若x2＞y2，则x＞y”的逆否命题是( )
A．“若x＜y，则x2＜y2”
B．“若x＞y，则x2＞y2”
C．“若x≤y，则x2≤y2”
D．“若x≥y，则x2≥y2”
答案：C
有下列命题：①mx2＋2x－1＝0是一元二次方程；②抛物线y＝ax2＋2x－1与x轴至少有一个交点；③互相包含的两个集合相等；④空集是任何集合的真子集．其中真命题有( )
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
解析：选A.①错，当m＝0时，不是一元二次方程；②错，Δ＝4＋4a，并不一定大于或等于0；③正确；④错， 是任何非空集合的真子集．
(2011·高考陕西卷)设a，b是向量，命题“若a＝－b，则|a|＝|b|”的逆命题是( )
A．若a≠－b，则|a|≠|b|
B．若a＝－b，则|a|≠|b|
C．若|a|≠|b|，则a≠－b
D．若|a|＝|b|，则a＝－b
解析：选D.命题“若a＝－b，则|a|＝|b|”的逆命题是“若|a|＝|b|，则a＝－b”，所以选D.
(2012·南昌质检)命题“若c＞0，则函数f(x)＝x2＋x－c有两个零点”的逆否命题是________．
解析：原命题的条件c＞0的否定为c≤0，结论函数f(x)＝x2＋x－c有两个零点的否定为“函数f(x)＝x2＋x－c没有两个零点”，因此逆否命题为：若函数f(x)＝x2＋x－c没有两个零点，则c≤0.
答案：若函数f(x)＝x2＋x－c没有两个零点，则c≤0
下列四个命题中的真命题是________．(填序号)
①若sinA＝sinB，则A＝B；
②若lgx2＝0，则x＝1；
③若a＞b且ab＞0，则＜；
④若b2＝ac，则a，b，c成等比数列．
解析：①错，A＝30°，B＝150°；②错，还有x＝－1；③正确；④错，如b＝0，a＝0.
答案：③
分别写出下列命题的逆命题、否命题和逆否命题，并判断其真假．
(1)若实数a，b，c成等比数列，则b2＝ac；
(2)函数y＝logax(a＞0且a≠1)在(0，＋∞)上是减函数时，loga2＜0.
解：(1)
名称 命 题 真假
逆命题 若实数a，b，c满足b2＝ac，则a，b，c成等比数列 假
否命题 若实数a，b，c不成等比数列，则b2≠ac 假
逆否命题 若实数a，b，c，且b2≠ac，则a，b，c不成等比数列 真
(2)
名称 命 题 真假
逆命题 若loga2＜0，则函数y＝logax(a＞0且a≠1)在(0，＋∞)上是减函数 真
否命题 若函数y＝logax(a＞0且a≠1)在(0，＋∞)上是增函数，则loga2≥0 真
逆否命题 若loga2≥0，则函数y＝logax(a＞0且a≠1)在(0，＋∞)上是增函数 真
[B级 能力提升]
(2012·咸阳调研)已知a，b为两条不同的直线，α，β为两个不同的平面，且a⊥α，b⊥β，下列命题中的假命题是( )
A．若a∥b，则α∥β
B．若α⊥β，则a⊥b
C．若a，b相交，则α，β相交
D．若α，β相交，则a，b相交
解析：选D.举反例如图，已知α，β为两个不同的平面，且α∩β＝c，a⊥α于点A，b⊥β于点B，a与b异面．故“若α，β相交，则a，b相交”是假命题．
在空间中，有如下命题：
①互相平行的两条直线在同一个平面内的射影必然是互相平行的两条直线；
②若平面α∥平面β，则平面α内任意一条直线m∥平面β；
③若平面α与平面β的交线为m，平面α内的直线n⊥直线m，则直线n⊥平面β；
④若平面α内的三点A，B，C到平面β的距离相等，则α∥β.
其中正确命题的个数为( )
A．0
B．1
C．2
D．3
解析：选B.①互相平行的两条直线在同一个平面内的射影也可能是一条直线或两个点；②正确；③当平面α与平面β不垂直时，则直线n与平面β不垂直；④不一定，若三点A、B、C分别在平面β两侧，则得不到α∥β.
把下列不完整的命题补充完整，并使之成为真命题．若函数f(x)＝3＋log2x的图像与g(x)的图像关于________对称，则函数g(x)＝________．(填上你认为可以成为真命题的一种情况即可)
解析：该题将函数的图像和性质与命题综合在一起，要综合利用知识．可能的情况有：x轴，－3－log2x；y轴，3＋log2(－x)；原点，－3－log2(－x)；直线y＝x，2x－3等．答案不唯一．
答案：y轴 3＋log2(－x)(答案不唯一)
(2012·石河子质检)分别写出下列命题的逆命题、否命题、逆否命题．
(1)垂直于平面α内无数条直线的直线l垂直于平面α；
(2)设a，b，c，d是实数，若a＝b，c＝d，则a＋c＝b＋d.
解：(1)原命题：若直线l垂直于平面α内的无数条直线，则直线l垂直于平面α.
逆命题：若直线l垂直于平面α，则直线l垂直于平面α内的无数条直线．
否命题：若直线l不垂直于平面α内的无数条直线，则直线l不垂直于平面α.
逆否命题：若直线l不垂直于平面α，则直线l不垂直于平面α内的无数条直线．
(2)逆命题：设a，b，c，d是实数，若a＋c＝b＋d，则a＝b，c＝d.
否命题：设a，b，c，d是实数，若a≠b，c≠d，则a＋c≠b＋d.
逆否命题：设a，b，c，d是实数，若a＋c≠b＋d，则a≠b，c≠d.
(创新题)求证：若p2＋q2＝2，则p＋q≤2.
证明：该命题的逆否命题为：若p＋q＞2，则p2＋q2≠2.
p2＋q2＝[(p＋q)2＋(p－q)2]≥(p＋q)2.
∵p＋q＞2，∴(p＋q)2＞4，∴p2＋q2＞2.
即p＋q＞2时，p2＋q2≠2成立．
∴若p2＋q2＝2，则p＋q≤2.
21世纪教育网 -- 中国最大型、最专业的中小学教育资源门户网站。 版权所有@21世纪教育网本资料来自于资源最齐全的２１世纪教育网www.21cnjy.com
已知函数f(x)＝ln x，则f′(3)＝( )
A.
B．－
C．ln 3
D．－ln 3
解析：选A.f′(x)＝(ln x)′＝，故f′(3)＝.
(2012·铜川检测)已知函数f(x)＝cos x，f′(x)＝－1，则x＝( )
A.
B．－
C.＋2kπ，k∈Z
D．－＋2kπ，k∈Z
解析：选C.f′(x)＝－sin x，则sin x＝1，
∴x＝＋2kπ，k∈Z.
已知f(x)＝，则f′(64)＝________．
解析：∵f(x)＝x，∴f′(x)＝x－，故f′(64)＝.
答案：
(2012·蚌埠调研)已知f(x)＝x2，g(x)＝x3，若f′(x)－g′(x)＝－2，则x＝________．
解析：f′(x)＝2x，g′(x)＝3x2，
于是有2x－3x2＝－2，解得x＝.
答案：
[A级 基础达标]
(2012·南阳调研)曲线y＝xn(n∈N＋)在x＝2处的导数为12，则n等于( )
A．1
B．2
C．3
D．4
解析：选C.∵y′＝nxn－1，∴函数y＝xn(x∈N＋)在x＝2处的导数为n·2n－1＝12，
∴n＝3.
下列给出的四个命题中，正确的命题是( )
①若函数f(x)＝，则f′(0)＝0；
②若函数f(x)＝2x2＋1的图像上的点(1，3)的邻近一点是(1＋Δx，3＋Δy)，则＝4＋2Δx；
③瞬时速度是动点位移函数s(t)对时间t的导数；
④曲线y＝x3在点(0，0)处没有切线．
A．①②
B．②③
C．①②③
D．②③④
解析：选B.①中f′(x)＝(x)′＝，当x＝0时无意义；
④中y′＝(x3)′＝3x2，f′(0)＝0，有切线．
下列结论正确的个数为( )
①若y＝ln 2，则y′＝；②若f(x)＝，则f′(3)＝－；③若y＝2x，则y′＝2xln 2；④若y＝log5x，则y′＝.
A．4
B．1
C．2
D．3
解析：选D.在①中，(ln 2)′＝0，②③④都对．
若f(x)＝sin x，则f′(2π)＝________．
解析：∵f(x)＝sin x，∴f′(x)＝cos x.
∴f′(2π)＝cos 2π＝1.
答案：1
(2012·宿州检测)已知直线y＝kx是曲线y＝ln x的切线，则k＝________．
解析：y′＝(ln x)′＝，则＝k.
∴x＝.∴y＝k×＝1.
∴曲线y＝ln x过点，即1＝ln ，∴k＝.
答案：
.求过曲线y＝cos x上点P且与过这点的切线垂直的直线方程．
解：因为y＝cos x，所以y′＝－sin x.
曲线在点P处的切线的斜率是为－sin ＝－.
所以过点P且与切线垂直的直线的斜率为 .
所以所求的直线方程为y－＝，
即2x－y－＋＝0.
[B级 能力提升]
(2011·高考江西卷)曲线y＝ex在点A(0，1)处的切线斜率为( )
A．1
B．2
C．e D.
解析：选A.由题意知y′＝ex，故所求切线斜率k＝e0＝1.
设f0(x)＝sin x，f1(x)＝f′0(x)，f2(x)＝f′1(x)，…，fn＋1(x)＝f′n(x)，n∈N，则f2012(x)等于( )
A．sin x
B．－sin x
C．cos x
D．－cos x
解析：选A.f0(x)＝sin x，f1(x)＝f′0(x)＝cos x，
f2(x)＝f′1(x)＝－sin x，f3(x)＝f′2(x)＝－cos x.
f′4(x)＝f′3(x)＝sin x.
∴f2012(x)＝f0(x)＝sin x.
(2012·江津测试)半径为r的圆的面积S(r)＝πr2，周长C(r)＝2πr，若将r看成(0，＋∞)上的变量，则(πr2)′＝2πr①，①式可用语言叙述为：圆的面积函数的导数等于圆的周长函数．对于半径为R的球，若将R看成(0，＋∞)上的变量，请你写出类似于①的式子：________②.
②式可用语言叙述为________________________________________________________________________．
答案：′＝4πR2 球的体积函数的导数等于球的表面积函数
.点P是曲线y＝ex上一动点，求点P到直线y＝x的最小距离．
解：根据题意得：平行于直线y＝x且与曲线y＝ex相切的直线与曲线y＝ex的切点即为曲线y＝ex上到直线y＝x距离最近的点．设满足题意的P点的坐标为(x0，y0)，因为y′＝(ex)′＝ex，所以ex0＝1，得x0＝0，代入y＝ex，得y0＝1，即满足题意的P点坐标为(0，1)．
由点到直线的距离公式得所求最小距离为.
(创新题)如图，质点P在半径为1 m的圆上沿逆时针方向做匀角速运动，角速度为1 rad/s，设A为起始点，求时刻t时，点P在y轴上的射影点M的速度．
解：时刻t时，
∵角速度为1 rad/s，
∴∠POA＝1·t＝t rad，
∴∠MPO＝∠POA＝t rad，
∴OM＝OP·sin∠MPO＝sin t.
∴点M的运动方程为y＝sin t，∴v＝y′＝(sin t)′＝cos t.
即时刻t时，点P在y轴上的射影M点的速度为cos t m/s.
21世纪教育网 -- 中国最大型、最专业的中小学教育资源门户网站。 版权所有@21世纪教育网(2011·高考课标全国卷)椭圆＋＝1的离心率为( )
A.
B.
C.
D.
解析：选D.由＋＝1可得a2＝16，b2＝8，
∴c2＝a2－b2＝8.
∴e2＝＝，解得e＝或e＝－(舍去)．
椭圆＋＝1与＋＝1(0A．长轴的长相等
B．短轴的长相等
C．离心率相等
D．焦距相等
解析：选D.椭圆＋＝1与＋＝1(0比较椭圆①9x2＋y2＝36与②＋＝1的形状，______更扁(填序号)．
解析：椭圆①9x2＋y2＝36的离心率是；椭圆②＋＝1的离心率是，因为>，所以，椭圆①比②更扁．故填①.
答案：①
(2012·石河子检测)已知椭圆G的中心在坐标原点，长轴在x轴上，离心率为，且椭圆G上一点到两个焦点的距离之和为12，则椭圆G的方程为________．
解析：设椭圆的长半轴为a，由2a＝12知a＝6，又e＝＝，故c＝3，∴b2＝a2－c2＝36－27＝9.
∴椭圆的标准方程为＋＝1.
答案：＋＝1
[A级 基础达标]
(2012·九江质检)若椭圆的焦距长等于它的短轴长，则椭圆的离心率为( )
A.
B.
C.
D．2
解析：选B.由题意知2c＝2b，∴c＝b.
又b2＋c2＝a2，∴a＝c.∴e＝＝.
椭圆(m＋1)x2＋my2＝1的长轴长是( )
A.
B.
C.
D．－
解析：选C.将椭圆化为标准方程为＋＝1，
则必有m>0.
∵m＋1>m>0，∴<.
∴a2＝，a＝，2a＝.
中心在原点，焦点在x轴上，若长轴长为18，且两个焦点恰将长轴三等分，则此椭圆方程为( )
A.＋＝1
B.＋＝1
C.＋＝1
D.＋＝1
解析：选A.设方程为＋＝1(a>b>0)，
由题意得＝，且a＝9，
∴c＝3.∴b2＝a2－c2＝72.故方程为＋＝1.
若椭圆长轴长与短轴长之比为2，它的一个焦点是(2，0)，则椭圆的标准方程是________．
解析：由题意设椭圆方程为＋＝1(a>b>0)．
∴(其中c＝)
∴b2＝20，a2＝80.
答案：＋＝1
(2012·焦作检测)若一个椭圆长轴的长度、短轴的长度和焦距成等差数列，则该椭圆的离心率是________．
解析：由题意知2b＝a＋c，又b2＝a2－c2，
∴4(a2－c2)＝a2＋c2＋2ac.
∴3a2－2ac－5c2＝0，∴5c2＋2ac－3a2＝0.
同除以a2得5e2＋2e－3＝0，
∴e＝或e＝－1(舍去)．
答案：
已知椭圆E经过点A(2，3)，对称轴为坐标轴，焦点F1，F2在x轴上，离心率e＝.求椭圆E的方程．
解：设椭圆E的方程为＋＝1(a>b>0)．由e＝，即＝，得a＝2c，b2＝a2－c2＝3c2，
∴椭圆方程可化为＋＝1.
将A(2，3)代入上式，得＋＝1，解得c2＝4，
∴椭圆E的方程为＋＝1.
[B级 能力提升]
若点O和点F分别为椭圆＋＝1的中心和左焦点，点P为椭圆上的任意一点，则·的最大值为( )
A．2
B．3
C．6
D．8
解析：选C.由椭圆＋＝1可得点F(－1，0)，点O(0，0)，设P(x，y)，－2≤x≤2，则·＝x2＋x＋y2＝x2＋x＋3＝x2＋x＋3＝(x＋2)2＋2，当且仅当x＝2时，·取得最大值6.
(2012·宝鸡调研)以F1(－1，0)、F2(1，0)为焦点且与直线x－y＋3＝0有公共点的椭圆中，离心率最大的椭圆方程是( )
A.＋＝1
B.＋＝1
C.＋＝1
D.＋＝1
解析：选C.设椭圆方程为＋＝1(a>1)，
由，
得(2a2－1)x2＋6a2x＋(10a2－a4)＝0，
由Δ≥0，得a≥，
∴e＝＝≤，此时a＝，
故椭圆方程为＋＝1.
如图，已知椭圆E的方程为＋＝1(a>b>0)，A为椭圆的左顶点，B，C在椭圆上，若四边形OABC为平行四边形，且∠OAB＝30°，则椭圆的离心率等于________．
解析：由BC，OA平行且相等及椭圆的对称性，得出C点的横坐标为，又∠COx＝30°，易知点C的坐标为，代入椭圆的方程得＋＝1，即a2＝9b2，又b2＝a2－c2，故c2＝8b2，则椭圆的离心率e＝＝＝.
答案：
已知F1为椭圆的左焦点，A、B分别为椭圆的右顶点和上顶点，P为椭圆上的点，当PF1⊥F1A，PO∥AB(O为椭圆中心)时，求椭圆的离心率．
解：设椭圆方程为＋＝1(a>b>0)，
F1(－c，0)，c2＝a2－b2，
则P，即P.
∵AB∥PO，∴kAB＝kOP，即－＝.∴b＝c.
又a＝＝c，∴e＝＝.
(创新题)设P(x，y)是椭圆＋＝1上的点且P的纵坐标y≠0，已知点A(－5，0)，B(5，0)，试判断kPA·kPB是否为定值．若是定值，求出该定值；若不是定值，请说明理由．
解：是定值．因为点P的纵坐标y≠0，所以x≠±5.所以kPA＝，kPB＝.
所以kPA·kPB＝·＝.
因为点P在椭圆＋＝1上，
所以y2＝16×＝16×.
把y2＝16×代入kPA·kPB＝，
得kPA·kPB＝＝－.
所以kPA·kPB为定值，这个定值是－.(2012·南昌质检)如果函数f(x)是偶函数，且在(－∞，0)上f′(x)＜0，则在(0，＋∞)上f(x)的单调性是( )
A．递增
B．递减
C．先减后增
D．先增后减
解析：选A.∵在(－∞，0)上f′(x)＜0，故f(x)在(－∞，0)上递减，又函数f(x)是偶函数，其图像关于y轴对称，
∴在(0，＋∞)上f(x)递增．
已知函数f(x)＝＋ln x，则有( )
A．f(2)＜f(e)＜f(3)
B．f(e)＜f(2)＜f(3)
C．f(3)＜f(e)＜f(2)
D．f(e)＜f(3)＜f(2)
解析：选A.在(0，＋∞)上，f′(x)＝＋＞0，所以f(x)在(0，＋∞)上是增函数，所以有f(2)＜f(e)＜f(3)．故选A.
函数f(x)＝xln x的单调递增区间为________．
解析：f′(x)＝1＋ln x，令1＋ln x＞0得x＞，
∴f(x)的单调递增区间为.
答案：
(2012·淮北检测)函数f(x)＝＋x(x＞0)的单调递减区间是________．
解析：f′(x)＝－＋1(x＞0)，由f′(x)＜0，得0＜x＜.
答案：(0，)
[A级 基础达标]
函数f(x)＝2x－sin x在(－∞，＋∞)上( )
A．是增函数
B．是减函数
C．先增后减
D．先减后增
解析：选A.f′(x)＝2－cos x，因为cos x∈[－1，1]，所以2－cos x＞0恒成立，即f′(x)＞0恒成立，故选A.
(2012·蚌埠调研)函数y＝x2－ln x的单调减区间为( )
A．(0，1)
B．(0，1)和(－∞，－1)
C．(0，1)和(1，＋∞)
D．(0，＋∞)
解析：选A.y′＝x－，令y′＜0，即x－＜0，解得0＜x＜1或x＜－1，又因为函数的定义域为(0，＋∞)，所以函数的单调减区间为(0，1)，故选A.
函数y＝f(x)在定义域内可导，其图像如图所示．记y＝f(x)的导函数为y＝f′(x)，则不等式f′(x)≤0的解集为( )
A.∪[2，3)
B.∪
C.∪[1，2)
D.∪∪[2，3)
解析：选A.由y＝f(x)的图像可知，函数的递减区间有和[2，3)，故f′(x)≤0的解集为∪[2，3)．
函数f(x)＝excos x，则f与f的大小关系为________．
解析：∵f′(x)＝ex(cos x－sin x)，∴是函数f(x)的一个单调递增区间，又0＜＜＜，
∴f＜f.
答案：f＜f
(2011·高考江西卷改编)设f(x)＝－x3＋x2＋2ax，若f(x)在上存在单调递增区间，则a的取值范围是________．
解析：由f′(x)＝－x2＋x＋2a＝－＋＋2a，
当x∈时，f′(x)的最大值为f′＝＋2a.令＋2a＞0，得a＞－.
所以，当a＞－时，f(x)在上存在单调递增区间．
答案：
(2012·上饶调研)证明函数y＝x＋在(2，＋∞)上是递增加的．
证明：由导数公式表和求导法则可得，y′＝1－＝，当x∈(2，＋∞)时，y′＞0，
所以函数y＝x＋在(2，＋∞)上是增加的．
[B级 能力提升]
若y＝x3＋bx2＋(b＋2)x＋3是R上的单调增函数，则b的取值范围是( )
A．b＜－1，或b＞2
B．b≤－1，或b≥2
C．－1＜b＜2
D．－1≤b≤2
解析：选D.y′＝x2＋2bx＋(b＋2)，由题意知x2＋2bx＋b＋2≥0在x∈R上恒成立，故4b2－4(b＋2)≤0，解得－1≤b≤2.当b＝－1时，y′＝x2－2x＋1，显然符合题意；当b＝2时，y′＝x2＋4x＋4，显然符合题意．故－1≤b≤2.
设f′(x)是函数f(x)的导数，y＝f′(x)的图像如图所示，则y＝f(x)的图像最有可能是下列图中的( )
解析：选B.由f′(x)的图像可知：
x∈(－∞，－1)时，f′(x)＜0，则原函数f(x)为减函数，
x∈(－1，1)时，f′(x)＞0，则原函数f(x)为增函数，
x∈(1，＋∞)时f′(x)＜0，则原函数为减函数．B图像适合．
(2012·焦作调研)设函数f(x)在R上满足f(x)＋xf′(x)＞0，
若a＝(30.3)f(30.3)，b＝(logπ3)·f(logπ3)，
则a与b的大小关系为________．
解析：设函数F(x)＝xf(x)，
∴F′(x)＝f(x)＋xf′(x)＞0，
∴F(x)＝xf(x)在R上为增函数，
又∵30.3＞1，logπ3＜1，
∴30.3＞logπ3，
∴F(30.3)＞F(logπ3)，
∴(30.3)f(30.3)＞(logπ3)f(logπ3)，
∴a＞b.
答案：a＞b
已知f(x)＝ex－ax－1.
(1)求f(x)的单调增区间；
(2)若f(x)在定义域R内递增，求a的取值范围．
解：(1)∵f(x)＝ex－ax－1，
∴f′(x)＝ex－a.
令f′(x)＞0得ex＞a，
当a≤0时，有f′(x)＞0在R上恒成立；
当a＞0时，有x＞ln a.
综上可得，当a≤0时，f(x)的递增区间为R；
当a＞0时，f(x)的递增区间为(ln a，＋∞)．
(2)∵f′(x)＝ex－a.
又f(x)在R上递增，
∴f′(x)＝ex－a≥0(等号只能在有限个点处取得)恒成立，即a≤ex，x∈R恒成立．
∵x∈R时，ex∈(0，＋∞)，∴a≤0.
(创新题)设f(x)＝ax3＋x恰有三个单调区间，试确定a的取值范围，并求其单调区间．
解：f′(x)＝ax2＋1.
若a≥0，f′(x)＞0恒成立，此时f(x)在(－∞，＋∞)上为增函数，即只有一个单调区间(－∞，＋∞)，
∴a＜0.
当a＜0时，由f′(x)＞0得－＜x＜ ，
f′(x)＜0得x＜－ 或x＞ ，
即a＜0时，f(x)在上为增函数，在，上为减函数．
综上可知，a＜0时有3个单调区间，分别是
、、
