下列命题是全称命题并且是真命题的是________．
①每个二次函数的图象都开口向上；
②对任意非正数c，若a≤b＋c，则a≤b；
③存在一条直线与两个相交平面都垂直；
④存在一个实数x0使不等式x－3x0＋6<0成立．
解析：∵c≤0，∴b＋c≤b.
∵a≤b＋c，∴a≤b.
答案：②
(2010·高考安徽卷)命题“存在x∈R，使得x2＋2x＋5＝0”的否定是________．
解析：存在性命题的否定是全称命题．
答案：对任何x∈R，都有x2＋2x＋5≠0
(2010·高考安徽卷)命题“对任何x∈R，|x－2|＋|x－4|>3”的否定是________．
解析：全称命题的否定是存在性命题．
答案：存在x∈R，使得|x－2|＋|x－4|≤3
已知命题：“ x∈[1，2]，使x2＋2x＋a≥0”是真命题，则a的取值范围是________．
解析：由已知知道： x∈[1，2]，使a≥－x2－2x成立；若记f(x)＝－x2－2x(1≤x≤2)，则a≥f(x)min；而结合二次函数f(x)＝－x2－2x(1≤x≤2)的图象得f(x)的最小值为f(2)＝－22－2×2＝－8，所以a≥－8.
答案：a≥－8
不等式x2－x>x－a对 x∈R都成立，则a的取值范围是________．
解析：法一：不等式x2－x>x－a对 x∈R都成立，即不等式x2－2x＋a>0恒成立；
结合二次函数图象得其ＴΔ<0，即4－4a<0，所以a>1.
法二：不等式x2－x>x－a对 x∈R都成立，也可看作a>－x2＋2x对 x∈R都成立，所以a>(－x2＋2x)max；而二次函数f(x)＝－x2＋2x的最大值为＝1，所以a>1.
答案：a>1
[A级 基础达标]
下列存在性命题中，是真命题的是________．
① x∈R，x≤0；
②至少有一个整数，它既不是合数，也不是质数；
③ x∈{x|x是无理数}，x2是无理数．
解析：①真命题，如当x＝－1时，x≤0成立；②真命题，1既不是合数，也不是质数；③真命题，如x＝，x2＝为无理数．
答案：①②③
下列全称命题中是假命题的是________．
①2x＋1是整数(x∈R)；
②对所有的x∈R，x>3；
③对任意的x∈Z，2x2＋1为奇数．
解析：①假命题，当x＝0.6时，2x＋1＝2.2，不是整数；②假命题，当x＝1时，x<3；③真命题，∵x∈Z，∴2x2必为偶数，∴2x2＋1必为奇数．
答案：①②
(2011·高考辽宁卷改编)已知命题p： n∈N，2n>1000，则綈p为________．
解析：由于存在性命题的否定是全称命题，因而綈p为 n∈N，2n≤1000.
答案： n∈N，2n≤1000
命题“原函数与反函数的图象关于y＝x对称”的否定是________．
解析：命题中隐含全称量词“所有的”．
答案：存在一个原函数与反函数的图象不关于y＝x对称
下列命题的否定为假命题的是________．
① x∈R，－x2＋x－1<0；
② x∈R，|x|>x；
③ x，y∈Z，2x－5y≠12；
④ x∈R，Ｔsin2x＋sinx＋1＝0.
解析：命题的否定为假命题亦即原命题为真命题，只有①为真命题．
答案：①
判断下列命题是全称命题还是存在性命题，并写出它们的否定：
(1)p：对任意的x∈R，x2＋x＋1＝0都成立；
(2)p： x∈R，x2＋2x＋5>0.
解：(1)由于命题中含有全称量词“任意的”，因而是全称命题；又由于“任意的”的否定为“存在一个”，因此，綈p：存在一个x∈R，使x2＋x＋1≠0成立，即“ x∈R，使x2＋x＋1≠0成立”；
(2)由于“ x∈R”表示存在一个实数x，即命题中含有存在量词“存在一个”，因而是存在性命题；又由于“存在一个”的否定为“任意一个”，因此，綈p：对任意一个x都有x2＋2x＋5≤0，即“ x∈R，x2＋2x＋5≤0”．
判断下列命题的真假．
(1) x∈R，|x|>0；
(2) a∈R，函数y＝logax是单调函数；
(3) x∈R，x2>－1；
(4) aＸ∈{向量}，使a·b＝0；
(5) x>0，y>0，使x2＋y2＝0.
解：(1)由于0∈R，当x＝0时，|x|>0不成立，因此命题“ x∈R，|x|>0”是假命题．
(2)由于1∈R，当a＝1时，y＝logax无意义，因此命题“ a∈R，函数y＝logax是单调函数”是假命题．
(3)由于 x∈R，都有x2≥0，因而有x2>－1.
因此命题“ x∈R，x2>－1”是真命题．
(4)由于0∈{向量}，当a＝0时，能使a·b＝0，因此命题“ a∈{向量}，使a·b＝0”是真命题．
(5)由于使x2＋y2＝0成立的只有x＝y＝0，而0不是正实数，因而没有正实数x，y，使x2＋y2＝0，因此命题“ x>0，y>0，使x2＋y2＝0”是假命题．
[B级 能力提升]
已知：对 x>0，a≤x＋恒成立，则a的取值范围为________．
解析： x>0，x＋≥2(当且仅当x＝时等号成立)，＝2；
而对 x>0，a≤x＋恒成立，所以a≤2.
答案：a≤2
已知命题p： x∈R，ax2＋2x＋3>0，如果命题綈p是真命题，那么实数a的取值范围是________．
解析：因为命题綈p是真命题，所以命题p是假命题，而当命题p是真命题时，就是不等式ax2＋2x＋3>0对一切x∈R恒成立，这时就有，解得a>，因此当命题p是假命题，即命题綈p是真命题时，实数a的取值范围是a≤.
答案：a≤
已知p：|3x－4|>2，q：>0，求綈p和綈q对应的x的值的集合．
解：命题p中的元素组成的集合为M，那么对命题p的否定綈p组成的集合就是M的补集．
由p：|3x－4|>2，得p：x<或x>2，所以綈p：≤x≤2，即綈p：；
由q：>0，得q：x<－1或x>2，
所以綈q：－1≤x≤2，即綈q：{x|－1≤x≤2}．
(创新题)是否存在整数m，使得命题“ x∈R，m2－m
解：假设存在整数m，使得命题是真命题．由于对于 x∈R，x2＋x＋1＝(x＋)2＋≥>0，因此只需m2－m≤0，即0≤m≤1.故存在整数m＝0或m＝1，使得命题是真命题．从“ ”、“”与“ ”中选出适当的符号填空：
(1)x2＝1________x＝1；
(2)a＝b________a2＝b2；
(3)tanθ＝1________θ＝；
(4)A∩B＝A________A B.
解析：(1)x2＝1得x＝±1.故x2＝1x＝1.
(2)a＝b a2＝b2.
(3)tanθ＝1，则θ＝kπ＋，k∈Z，故Ｔtanθ＝1θ＝.
(4)根据Venn图可知A∩B＝A A B，A B A∩B＝A，即A∩B＝A A B.
答案：(1) (2) (3) (4)
设x∈R，则“x＝1”是“x3＝x”的________条件．
解析：当x＝1时，x3＝x成立．若x3＝x，x(x2－1)＝0，得x＝－1或x＝0或x＝1，不一定得x＝1.
答案：充分不必要
(2011·高考重庆卷改编)“x<－1”是“x2－1>0”的________条件．
解析：x2－1>0 x>1或x<－1，故x<－1 x2－1>0，但x2－1>0x<－1，∴“x<－1”是“x2－1>0”的充分不必要条件．
答案：充分不必要
(x＋1)(x＋2)>0是(x＋1)(x2＋2)>0的________条件．
解析：(x＋1)(x＋2)>0 x<－2或x>－1，(x＋1)·(x2＋2)>0 x>－1，因为x>－1 x<－2或x>－1，x<－2或x>－1x>－1，所以应填“必要不充分”．
答案：必要不充分
设p、r都是q的充分条件，s是q的充分必要条件，t是s的必要条件，t是r的充分条件，那么p是t的________条件，r是t的________条件．
解析：由题意知p q，r q，s q，s t，t r，所以p t，r t.
答案：充分 充要
[ＴA级 基础达标]
(2011·高考福建卷改编)若a∈R，则“a＝2”是“(a－1)(a－2)＝0”的________条件．(填“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分又不必要”的一个)
解析：因为a＝2 (a－1)(a－2)＝0，而(a－1)(a－2)＝0a＝2，故“a＝2”是“(a－1)(a－2)＝0”的充分不必要条件．
答案：充分不必要
“θ＝0”是“Ｔsinθ＝0”的________条件．
解析：θ＝0时sinθ＝sin0＝0，故“θ＝0”是“sinθ＝0”的充分条件，又当θ＝π时有sinπ＝0，故“θ＝0”是“sinθ＝0”的不必要条件，综上所述“θ＝0”是“sinθ＝0”的充分不必要条件．
答案：充分不必要
(2012·扬州高二检测)“x(x－5)<0成立”是“|x－1|<4成立”的________条件．(填“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分又不必要”之一)
解析：因为x(x－5)<0 0答案：充分不必要
“m＝”是“直线(m＋2)x＋3my＋1＝0与直线(m－2)x＋(m＋2)y－3＝0相互垂直”的________条件．
解析：当m＝时，两直线斜率乘积为－1，从而可得两直线垂直，故原命题为真．而当m＝－2时两直线一条斜率为0，一条斜率不存在，但两直线仍然垂直，所以其逆命题为假．
答案：充分不必要
函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象关于y轴对称的充要条件是________．
解析：f(x)关于y轴对称 －＝0 b＝0.
答案：b＝0
指出下列各组命题中p是q的什么条件．(充分不必要条件，必要不充分条件，充要条件，既不充分又不必要条件)
(1)p：数a能被6整除；q：数a能被3整除；
(2)p：x>1；q：x2>1；
(3)p：△ABC有两个角相等；q：△ABC是正三角形；
(4)p：|a·bＸ|＝a·bＸ；q：a·bＸ>0；
(5)在△ABC中，p：A>B；q：BC>AC；
(6)p：a解：(1)因为p q，但qp，所以p是q的充分不必要条件．
(2)因为p q，但qp，所以p是q的充分不必要条件．
(3)因为pq，但q p，所以p是q的必要不充分条件．
(4)因为当a·bＸ＝0时，|a·bＸ|＝a·bＸ，所以|a·bＸ|＝a·bＸa·bＸ>0.当a·bＸ>0时，|a·bＸ|＝a·bＸ，所以p是q的必要不充分条件．
(5)在△ABC中，A>B BC>AC，所以p是q的充要条件．
(6)因为a求证：关于x的方程ax2＋bx＋c＝0有一个根为－1的充要条件是a－b＋c＝0.
证明：充分性：因为a－b＋c＝0，
即a·(－1)2＋b·(－1)＋c＝0，
所以－1是ax2＋bx＋c＝0的一个根．
必要性：因为ax2＋bx＋c＝0有一个根为－1，
所以a·(－1)2＋b·(－1)＋c＝0，即a－b＋c＝0.
综上可得ax2＋bx＋c＝0有一个根为－1的充要条件是a－b＋c＝0.
[ＴB级 能力提升]
已知p：|x－4|>6，q：x2－2x＋1－a2>0(a>0)，若p是q的充分不必要条件，则实数a的取值范围为________．
解析：依题意可得p：A＝{x|x<－2或x>10}，
q：B＝{x|x<1－a或x>1＋a(a>0)}．
∵p是q的充分不必要条件，
∴A B且A≠B，
，∴实数a的取值范围是0答案：0(2011·高考陕西卷)设n∈N＋，一元二次方程x2－4x＋n＝0有整数根的充要条件是n＝________．
解析：由题意得x＝＝2±，因为x是整数，即2±为整数，所以为整数，且n≤4，又因为n∈N＋，取n＝1，2，3，4，验证可知n＝3，4符合题意；反之n＝3，4时都可推出一元二次方程x2－4x＋n＝0有整数根．
答案：3或4
已知p：A＝{x∈R|x2＋ax＋1≤0}，q：B＝{x∈R |x2－3x＋2≤0}，若p是q的充分不必要条件，求实数a的取值范围．
解：B＝{x∈R|x2－3x＋2≤0}＝{x|1≤x≤2}，
∵p是q的充分不必要条件，
∴p q，qp，即AB，
可知A＝ 或方程x2＋ax＋1＝0的两根在区间[1，2]内，
∴ＴΔ＝a2－4<0或，得－2≤a<2.
即实数a的取值范围为－2≤a<2.
(创新题)已知M＝{x|(x＋3)(x－5)>0}，P＝{x|x2＋(a－8)x－8a≤0}．
(1)求a的一个值，使它成为M∩P＝{x|5(2)求a的一个取值范围，使它成为M∩P＝{x|5解：M＝{x|x<－3或x>5}，P＝{x|(x＋a)(x－8)≤0}．
(1)显然，当－3≤－a≤5，即－5≤a≤3时，M∩P＝{x|5(2)当M∩P＝{x|50；④垂直于同一条直线的两条直线必平行吗？⑤一个数不是合数就是质数；⑥把门关上．其中不是命题的是________．
解析：①是命题，能判断真假．
②不是命题，因为语句中含有变量x，在没给变量x赋值前，我们无法判断语句的真假．
③是命题，能作出真假判断的语句，是一个真命题．
④不是命题，因为并没有对垂直于同一条直线的两条直线是否平行作出判断．
⑤是命题，是假命题，因为1既不是合数也不是质数．
⑥不是命题，没有作出判断．
答案：②④⑥
(2011·高考山东卷改编)已知a，b，c∈R，命题“若a＋b＋c＝3，则a2＋b2＋c2≥3”的否命题是________．
解析：由于一个命题的否命题既否定题设又否定结论，因此原命题的否命题为“若a＋b＋c≠3，则a2＋b2＋c2<3”．
答案：若a＋b＋c≠3，则a2＋b2＋c2<3
命题“若b≠3，则b2≠9”的逆命题是________．
解析：“若p则q”的逆命题是“若q则p”．
答案：若b2≠9，则b≠3
命题“对于正数a，若a>1，则Ｔlga>0”及其逆命题、否命题、逆否命题四个命题中真命题的个数为________．
解析：原命题“对于正数a，若a>1，则lga>0”是真命题；逆命题“对于正数a，若lga>0，则a>1”是真命题；否命题“对于正数a，若a≤1，则lga≤0”是真命题；逆否命题“对于正数a，若lga≤0，则a≤1”是真命题．
答案：4
给出下列命题：
①命题“若b2－4ac<0，则方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)无实根”的否命题；
②命题“如果△ABC中，AB＝BC＝CA，那么△ABC为等边三角形”的逆命题；
③命题“若a>b>0，则>>0”的逆否命题；
④“若m>1，则mx2－2(m＋1)x＋(m－3)>0的解集为R”的逆命题．
其中真命题的序号为________．
解析：①命题“若b2－4ac<0，则方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)无实根”的否命题为：“若b2－4ac≥0，则方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有实根”，根据一元二次方程根的判定知其为真命题．
②命题“如果△ABC中，AB＝BC＝CA，那么△ABC为等边三角形”的逆命题为：“如果△ABC为等边三角形，那么AB＝BC＝CA”，由等边三角形的定义可知其为真命题．
③原命题“若a>b>0，则>>0”为真命题，由原命题与其逆否命题有相同的真假性可知其逆否命题为真命题．
④原命题的逆命题为：“若方程mx2－2(m＋1)x＋(m－3)>0的解集为RＸ，则m>1”，不妨取m＝2验证，当m＝2时，有2x2－6x－1>0，ＴΔ＝62－4×2×(－1)>0，其解集不为RＸ，故为假命题．
答案：①②③
[ＴA级 基础达标]
下列语句：①平行四边形不是梯形；②是无理数；③方程9x2－1＝0的解是x＝±；④这是一棵大树；⑤2012年7月27日是伦敦奥运会开幕的日子．
其中命题的个数是________．
解析：①②③⑤都是命题，对于④，由于“大树”没有界定标准，不能判断真假，所以④不是命题．
答案：4
设A、B为两个集合，下列四个命题：
①A B 对任意x∈A，有x B；
②A B A∩B＝ ；
③A B A B；
④A B 存在x∈A，使得x B.
其中真命题的序号是____．(把符合要求的命题序号都填上)
解析：A B的情况有多种A、B之间的关系，A中至少有一个元素不属于B.
答案：④
命题“若a，b都是偶数，则a＋b是偶数”的逆否命题是________．
解析：“若p则q”的逆否命题是“若非q则非p”．
答案：若a＋b不是偶数，则a，b不都是偶数
命题“若a>b，则2a>2b－1”的否命题为________．
解析：∵“a>b”的否定是“a≤b”，“2a>2b－1”的否定是“2a≤2b－1”，∴原命题的否命题是“若a≤b，则2a≤2b－1”．
答案：若a≤b，则2a≤2b－1
命题“若A＝60°，则△ABC是等边三角形”的否命题“若A≠60°，则△ABC不是等边三角形”为________命题(填“真”或“假”)．
解析：“若A＝60°，则△ABC是等边三角形”的逆命题为“若△ABC是等边三角形，则A＝60°”，逆命题为真命题，所以否命题为真命题．
答案：真
把下列命题写成“若p则q”的形式，并判断真假．
(1)奇函数的图象关于原点对称；
(2)当x2－2x－3＝0时，x＝－3或x＝1；
(3)a<0时，函数y＝ax＋b的值随x值的增大而增大．
解：(1)若一个函数是奇函数，则它的图象关于原点对称，是真命题．
(2)若x2－2x－3＝0，则x＝－3或x＝1，是假命题．
(3)若a<0，则函数y＝ax＋b的值随x值的增大而增大，是假命题．
写出下列命题的逆命题、否命题和逆否命题．
(1)若四边形的对角互补，则该四边形是圆的内接四边形；
(2)若在二次函数y＝ax2＋bx＋c中，b2－4ac<0，则该函数图象与x轴有公共点．
解：(1)逆命题：若四边形是圆的内接四边形，则该四边形的对角互补；
否命题：若四边形的对角不互补，则该四边形不是圆的内接四边形；
逆否命题：若四边形不是圆的内接四边形，则该四边形的对角不互补．
(2)逆命题：若二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象与x轴有公共点，则b2－4ac<0；
否命题：若在二次函数y＝ax2＋bx＋c中，b2－4ac≥0，则该函数图象与x轴无公共点；
逆否命题：若二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象与x轴无公共点，则b2－4ac≥0.
[B级 能力提升]
已知命题p：x2－x≥6或x2－x≤－6，q：x∈Z，且p假q真，则x的值为________．
解析：因为p假q真，所以
.
故x的取值为－1，0，1，2.
答案：－1，0，1，2
若命题“ax2－2ax－3>0不成立”是真命题，则实数a的取值范围是________．
解析：ax2－2ax－3≤0恒成立，当a＝0时，－3≤0成立；当a≠0时，得，解得－3≤a<0，故－3≤a≤0.
答案：[－3，0]
判断下列命题的真假：
(1)对任意非正数c，若有a≤b＋c成立，则a≤b.
(2)若x≠1，则x2－3x＋2≠0.
解：(1)由题意知，其逆否命题为：对任意非正数c，若有a>b成立，则a>b＋c.
∵c≤0，∴b＋c≤bb＋c，逆否命题正确，所以原命题为真命题．
(2)由题意知，其逆否命题为：若x2－3x＋2＝0，则x＝1.
∵x2－3x＋2＝0 x＝1或x＝2.易知，逆否命题错误，所以原命题为假命题．
(创新题)已知命题p：函数f(x)＝，实数m满足不等式f(m)<2，命题q：实数m使方程2x＋m＝0(x∈R)有实根．若命题p、q中有且只有一个真命题，求实数m的范围．
解：f(x)＝，
又f(m)<2，
∴<2，∴－5∴p：m>－5.
因为方程2x＋m＝0(x∈R)有实根，
2x>0，∴m<0，
∴q：m<0.
若命题p、q中有且只有一个真命题，存在两种情况：
(1)当p为真命题，q为假命题时，
，∴m≥0，
(2)当q为真命题，p为假命题时，，
∴m≤－5.
综上，当命题p、q中有且只有一个真命题时，m≤－5或m≥0.已知命题p：所有有理数都是实数，命题q：正数的对数都是负数，则下列命题中为真命题的是________．
①(綈p)或q；②p且q；③(綈p)且(綈q)；④(綈p)或(綈q)．
解析：不难判断命题p为真命题，命题q为假命题，从而上述叙述中只有(綈p)或(綈q)为真命题．
答案：④
由命题p：“矩形有外接圆”，q：“矩形有内切圆”组成的复合命题“p或q”“p且q”“非p”形式的命题中真命题是________．
解析：由p真q假可得．
答案：p或q
命题“的值不超过3”看作“非p”形式时，则p为________．
解析：不超过的否定为超过，注意格式上的否定，不关注真假．
答案： >3
已知命题p1：函数y＝2x－2－x在R上为增函数，p2：函数y＝2x＋2－x在R上为减函数，则在命题q1：p1或p2；q2：p1且p2；q3：(綈p1)或p2；q4：p1且(綈p2)中，真命题有________．
解析：易知p1是真命题；对p2，取特殊值来判断，如取x1＝1x4＝－2，得y3＝答案：q1，q4
若p、q是两个命题，且“p或q”的否定是真命题，则p、q的真假性是________．
解析：由p或q的否定是真命题，即p或q为假命题，因此p、q为假命题．
答案：p假q假
[ＴA级 基础达标]
若命题p：0是偶数，命题q：2是3的约数，则下列命题中为真的是________．
①p且q；②p或q；③綈p；④綈p且綈q.
解析：因为命题p真，命题q假，所以“p或q”为真．
答案：②
对于命题p、q，若p且q为真命题，则下列四个命题：
①p或綈q是真命题；②p且綈q是真命题；
③綈p且綈q是假命题；④綈p或q是假命题．
其中真命题是________．
解析：∵p且q真，则p真，q真，∴綈p假，綈q假，所以只有①③为真命题．
答案：①③
4名学生参加一次数学竞赛，每人预测情况如下
甲：如果乙获奖，那么我就没获奖；
乙：甲没有获奖，丁也没有获奖；
丙：甲获奖或者乙获奖；
丁：如果丙没有获奖那么乙获奖．
竞赛结果只有1人获奖且4人预测恰有3人正确，则________获奖．
解析：若甲获奖，则甲、丙对，乙，丁错；
若乙获奖，则甲、乙、丙、丁都对；
若丙获奖，则甲、乙、丁对，丙错；
若丁获奖，则甲对，乙、丙、丁错，因此学生丙获奖了．
答案：学生丙
给出两个命题：p：|x|＝x的充要条件是x为正实数，q：奇函数的图象一定关于原点对称，则(綈p)∧q为________命题(填真、假)．
解析：∵p为假命题，∴綈p为真命题，又∵q为真命题，
故(綈p)∧q为真命题．
答案：真
若命题p：不等式4x＋6>0的解集为{x|x>－}，命题q：关于x的不等式(x－4)(x－6)<0的解集为{x|4解析：因为命题p为真命题，q为真命题，所以“綈p”为假命题，“p或q”，“p且q”为真命题．
答案：p或q，p且q
指出下列命题的形式及其构成．
(1)若α是一个三角形的最小内角，则α不大于60°；
(2)一个内角为90°，另一个内角为45°的三角形是等腰直角三角形；
(3)有一个内角为60°的三角形是正三角形或直角三角形．
解：(1)是非p形式的复合命题，
其中p：若α是一个三角形的最小内角，则α>60°.
(2)是p且q形式的复合命题，
其中p：一个内角为90°，另一个内角为45°的三角形是等腰三角形，
q：一个内角为90°，另一个内角为45°的三角形是直角三角形．
(3)是p或q形式的复合命题，
其中p：有一个内角为60°的三角形是正三角形，
q：有一个内角为60°的三角形是直角三角形．
分别指出下列各组命题构成的“p∧q”“p∨q”“綈p”形式的命题的真假．
(1)p：6<6.q：6＝6；
(2)p：梯形的对角线相等．q：梯形的对角线互相平分；
(3)p：函数y＝x2＋x＋2的图象与x轴没有公共点．
q：不等式x2＋x＋2<0无解；
(4)p：函数y＝cosx是周期函数．
q：函数y＝cosx是奇函数．
解：(1)∵p为假命题，q为真命题，
∴p∧q为假命题，p∨q为真命题，綈p为真命题．
(2)∵p为假命题，q为假命题，
∴p∧q为假命题，p∨q为假命题，綈p为真命题．
(3)∵p为真命题，q为真命题，
∴p∧q为真命题，p∨q为真命题，綈p为假命题．
(4)∵p为真命题，q为假命题，
∴p∧q为假命题，p∨q为真命题，綈p为假命题．
[B级 能力提升]
由下列各组构成的命题中，p或q为真，p且q为假，非p为真的是________．
①p：3＋2＝6；q：5>3；②p：3是偶数；q：4是奇数；③p：a∈{a，b}；q：{a}{a，b}；④p：ZR；q：N＝N.
解析：①中p假q真；②中p假q假；③中p真q真；④中p真q真．
答案：①
已知命题p：集合{x|x＝(－1)n，n∈N}只有3个真子集，q：集合{y|y＝x2＋1，x∈R }与集合{x|y＝x＋1}相等．则下列新命题：①p或q；②p且q；③非p；④非q.其中真命题的个数为________．
解析：命题p的集合为{－1，1}，只有2个元素，有3个真子集，故p为真；q中的两个集合不相等，故q为假，因此有2个新命题为真．
答案：2
设函数f(x)＝Ｔlg的定义域为A，若命题p：3∈A与q：5∈A有且只有一个为真命题，求实数a的取值范围．
解：A＝，
若p：3∈A为真，则>0，即若q：5∈A为真，则>0，即1若p真q假，则，所以a无解；
若p假q真，则，所以1综上，a∈∪[9，25)．
(创新题)数学家斯摩林根据莎士比亚的名剧《威尼斯商人》中的情节编了一道题：女主角鲍西娅对求婚者说：“这里有三只盒子：金盒、银盒和铅盒，每只盒子的铭牌上各写有一句话．三句话中，只有一句是真话．谁能猜中我的肖像放在哪一只盒子里，谁就能做我的丈夫．”盒子上的话如图所示，求婚者猜中了，你知道他是怎样猜中的吗？
解：金盒上的铭牌：“肖像在这盒里”(即肖像在金盒里)与铅盒上面的铭牌“肖像不在金盒里”是两个命题，其中一个是另一个的否定．依据简易逻辑知识，可知：一句话要么是真，要么是假，两者必具其一，因此可以得出结论，这两句话必是一真一假．又因为三句话中只有一句是真话，所以银盒的铭牌所说的那句话“肖像不在这只盒子里”就肯定是假话了，于是求婚者断定鲍西娅的肖像放在银盒子里．本资料来自于资源最齐全的２１世纪教育网www.21cnjy.com
(时间：120分钟；满分：160分)
一、填空题(本大题共14小题，每小题5分，共70分，请把答案填在题中横线上)
给出命题：若函数y＝f(x)是幂函数，则函数y＝f(x)的图象不过第四象限．在它的逆命题、否命题、逆否命题三个命题中，真命题的个数是________．
解析：易知原命题是真命题，则其逆否命题也是真命题，而逆命题、否命题是假命题．故它的逆命题、否命题、逆否命题三个命题中，真命题有一个．
答案：1
a<0是方程ax2＋2x＋1＝0至少有一个负数根的______条件．
解析：由Δ＝22－4a>0，得a<1时方程有根；a<0时，x1x2＝<0，方程有负根，又a＝1时，方程根为x＝－1.
答案：充分不必要
命题“若x2≥1，则x≥1或x≤－1”的逆否命题是______．
解析：命题的条件为“x2≥1”，结论为“x≥1或x≤－1”，否定结果作条件，否定条件作结论，即为其逆否命题．
答案：若－1下列命题：
①G＝(G≠0)是a，G，b成等比数列的充分不必要条件；
②若角α，β满足cosαcosβ＝1，则sin(α＋β)＝0；
③若不等式|x－4|0；
④函数y＝sinx＋sin|x|的值域是[－2，2]．
其中正确命题的序号是________(把你认为正确的命题序号都填上)．
解析：当G＝(G≠0)时，有G2＝ab，所以a，G，b成等比数列，但当a，G，b成等比数列时，还可以有G＝－，所以G＝(G≠0)是a，G，b成等比数列的充分不必要条件，故①正确；
当cosαcosβ＝1时，有cosα＝cosβ＝－1或cosα＝cosβ＝1，即α＝2k1π＋π(k1∈Z)，β＝2k2π＋π(k2∈Z)或α＝2k3π(k3∈Z)，β＝2k4π(k4∈Z)，这时α＋β＝2(k1＋k2)π＋2π(k1，k2∈Z)或α＋β＝2(k3＋k4)π(k3，k4∈Z)，必有sin(α＋β)＝0，故②正确；
由于|x－4|的最小值等于0，所以当a≤0时，不等式|x－4|0，故③正确；
函数y＝sinx＋sin|x|＝，所以该函数的值域为[－2，2]，故④正确．
答案：①②③④
给出命题：① x∈(－∞，1)，使x3<1；② x∈Q，使x2＝2；③ x∈N，有x3>x2；④ x∈R，有x2＋4>0.其中的真命题是________(填序号)．
解析：方程x2＝2的解只有无理数x＝±，所以不存在有理数x使得方程x2＝2成立，故②为假命题；比如存在x＝0，使得03＝02，故③为假命题，①④显然正确．
答案：①④
若非空集合A，B，C满足A∪B＝C，且B不是A的子集，则“x∈C”是“x∈A”的________条件．
解析：x∈A x∈C，但是x∈C不能推出x∈A.
答案：必要不充分
“a＝”是“对任意的正数x，2x＋≥1”的________条件．
解析：a＝ 2x＋＝2x＋≥2＝1，另一方面对任意正数x，2x＋≥1只要2x＋≥2＝2≥1 a≥.
答案：充分不必要
已知命题p：关于x的不等式x2＋2ax＋4>0对 x∈R恒成立；命题q：函数y＝－(4－2a)x是R上的减函数．若“p∨q”为真命题，“p∧q”为假命题，则实数a的取值范围是________．
解析：先简化命题p、q，构建关于a的关系式．
由x2＋2ax＋4>0对 x∈R恒成立，得
ＴΔ＝(2a)2－4×4<0，解得－2所以p：－2由y＝－(4－2a)x是R上的减函数，
得4－2a>1，解得a<.
所以q：a<.
由“p∨q”为真，“p∧q”为假知，p与q中必有一真一假，即p真q假或p假q真．
所以或
从而得≤a<2或a≤－2.
答案：[，2)∪(－∞，－2]
已知函数f(x)、g(x)定义在R上，h(x)＝f(x)·g(x)，则“f(x)、g(x)均为奇函数”是“h(x)为偶函数”的________条件．
解析：由f(x)、g(x)均为奇函数可得h(x)＝f(x)·g(x)为偶函数，反之则不成立，如h(x)＝x2是偶函数，而f(x)＝，g(x)＝x－1都不是奇函数．
答案：充分不必要
已知命题p：不等式x(x－1)<0的解集是{x|0①p真q假；②p∧q为真；③p∨q为假；④p假q真．
解析：对于命题p，由x(x－1)<0，解得0对于命题q，由A＝B，一定有cosA＝cosB，但当cosA＝cosB时，不一定有A＝B，所以“A＝B”是“cosA＝cosB”成立的充分不必要条件，因此命题q为假命题．
答案：①
已知p(x)：x2＋2x－m>0，如果p(1)是假命题，p(2)是真命题，那么实数m的取值范围是____________．
解析：因为p(1)是假命题，所以1＋2－m≤0，即m≥3.又因为p(2)是真命题，所以4＋4－m>0，即m<8.故实数m的取值范围是3≤m<8.
答案：3≤m<8
给出下列四个命题：
①“若xy＝1，则x，y互为倒数”的逆命题；
②“相似三角形的周长相等”的否命题；
③“若b≤－1，则x2－2bx＋b2＋b＝0有实数根”的逆否命题；
④若sinα＋cosα>1，则α必定是锐角．
其中真命题的序号是________(请把所有真命题的序号都填上)．
解析：①“若xy＝1，则x，y互为倒数”的逆命题为“若x，y互为倒数，则xy＝1”，是真命题；
②“相似三角形的周长相等”的否命题为“两个三角形不相似，则周长不相等”，显然是假命题；
③∵b≤－1，∴Δ＝4b2－4(b2＋b)＝－4b≥4>0，∴“若b≤－1，则x2－2bx＋b2＋b＝0有实数根”为真命题，∴其逆否命题也是真命题；
④∵当α＝时，sinα＋cosα>1成立，∴此命题是假命题．
答案：①③
已知命题p：“ x∈[0，1]，a≥ex”，命题q：“ x∈R，x2＋4x＋a＝0”，若上述两个命题都是真命题，则实数a的取值范围为________．
解析：由 x∈[0，1]，a≥ex，得a≥e；由 x∈R，x2＋4x＋a＝0，得Δ＝42－4a≥0，解得a≤4，从而a的取值范围为[e，4]．
答案：[e，4]
已知“关于x的不等式<3对于 x∈R恒成立”的充要条件是“a∈(a1，a2)”，则a1＋a2＝________．
解析：∵x2－x＋1>0，∴原不等式化为x2－ax＋2<3x2－3x＋3，即2x2＋(a－3)x＋1>0.
∵ x∈R时，2x2＋(a－3)x＋1>0恒成立，
∴Δ＝(a－3)2－8<0.
∴3－2∴a1＋a2＝6.
答案：6
二、解答题(本大题共6小题，共90分，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
(本小题满分14分)将命题“ab＝0，则a，b中至少有一个为0”改写为“若p则q”的形式，写出其逆命题、否命题、逆否命题，并判断真假．
解：原命题：若ab＝0，则a，b中至少有一个为0.是真命题；
逆命题：若a，b中至少有一个为0，则ab＝0.是真命题；
否命题：若ab≠0，则a，b中都不为0.是真命题；
逆否命题：若a，b中都不为0，则ab≠0.是真命题．
(本小题满分14分)写出下列命题的否定，并判断真假．
(1)正方形都是菱形；
(2) x∈R，使4x－3>x；
(3) x∈R，有x＋1＝2x；
(4)集合A是集合A∩B或集合A∪B的子集．
解：(1)命题的否定：正方形不都是菱形，是假命题．
(2)命题的否定： x∈R，有4x－3≤x.因为当x＝2时，4×2－3＝5>2，所以“ x∈R，有4x－3≤x”是假命题．
(3)命题的否定： x∈R，使x＋1≠2x.因为当x＝2时，x＋1＝2＋1＝3≠2×2，所以“ x∈R，使x＋1≠2x”是真命题．
(4)命题的否定：集合A既不是集合A∩B的子集也不是集合A∪B的子集，是假命题．
(本小题满分14分)已知两个命题r(x)：Ｔsinx＋cosx>m，s(x)：x2＋mx＋1>0.如果对 x∈R，r(x)与s(x)有且仅有一个是真命题．求实数m的取值范围．
解：∵sinx＋cosx＝sin≥－，
∴当r(x)是真命题时，m<－.
又∵对 x∈R，s(x)为真命题，即x2＋mx＋1>0恒成立，
有Δ＝m2－4<0，∴－2∴当r(x)为真，s(x)为假时，m<－，同时m≤－2或m≥2，即m≤－2；
当r(x)为假，s(x)为真时，m≥－且－2即－≤m<2.
综上，实数m的取值范围是m≤－2或－≤m<2.
(本小题满分16分)已知不等式|x－m|<1成立的充分不必要条件是解：由不等式|x－m|<1得m－1因为不等式|x－m|<1成立的充分不必要条件是(本小题满分16分)已知x，y∈R，求证|x＋y|＝|x|＋|y|的成立的充要条件是xy≥0.
证明：充分性：
如果xy＝0，那么x＝0，y≠0或x≠0，y＝0或x＝0，y＝0，于是|x＋y|＝|x|＋|y|；
如果xy>0，即x>0，y>0或x<0，y<0，
当x>0，y>0时，|x＋y|＝x＋y＝|x|＋|y|，
当x<0，y<0时，|x＋y|＝－x－y＝(－x)＋(－y)＝|x|＋|y|，
总之，当xy≥0时，|x＋y|＝|x|＋|y|.
必要性：
由|x＋y|＝|x|＋|y|及x，y∈R得(x＋y)2＝(|x|＋|y|)2，
即x2＋2xy＋y2＝x2＋2|xy|＋y2，得|xy|＝xy，所以xy≥0，故必要性成立；
综上，原命题成立．
(本小题满分16分)(1)设集合M＝{x|x>2}，P＝{x|x<3}，则“x∈M或x∈P”是“x∈(M∩P)”的什么条件？
(2)求使不等式4mx2－2mx－1<0恒成立的充要条件．
解：(1)x∈M或x∈P x∈R，x∈(M∩P) x∈(2，3)，因为x∈M或x∈Px∈(M∩P)，但x∈(M∩P) x∈M或x∈P.故“x∈M或x∈P”是“x∈(M∩P)”的必要不充分条件．
(2)当m≠0时，不等式4mx2－2mx－1<0恒成立 －421世纪教育网 -- 中国最大型、最专业的中小学教育资源门户网站。 版权所有@21世纪教育网