课件43张PPT。2．1 直线与方程
2．1.1 直线的斜率第2章 平面解析几何初步重点难点 重点：直线的倾斜角，斜率的概念及应用斜率公式证明三点共线问题．
难点：斜率公式的应用．x1≠x2不存在逆时针重合最小正角0°0°≤α＜180°tanα想一想
1.斜率公式与两点的顺序有关吗？
提示：斜率公式与两点的顺序无关，也就是说两点的纵、横坐标在公式中的次序可以同时调换(要一致)．2.如果y1＝y2，x1≠x2或y1≠y2，x1＝x2，分别表示什么样的直线？
提示：如果y1＝y2，x1≠x2，则直线与x轴平行或重合，k＝0；如果y1≠y2，x1＝x2，则直线与x轴垂直，k不存在．做一做
3.经过点P(6，5)，Q(2，3)的直线的斜率为________．4.已知直线的倾斜角为30°，则该直线的斜率为________．5.经过原点和点(1，－1)的直线的倾斜角为________．6.若直线l的斜率小于零，则直线l的倾斜角的取值范围为________．
答案：(90°，180°)变式训练
1.设直线l的斜率为k，且－1＜k＜1，求直线倾斜角α的取值范围．解：由于－1＜k＜1，故需分以下情况讨论：
①当－1＜k＜0时，有－1＜tan α＜0，
此时α∈(135°，180°)．
②当0≤k＜1时，有0≤tan α＜1，
此时α∈[0°，45°)．
综上可知α∈[0°，45°)∪(135°，180°)．名师微博
这里k的范围易错，勿必当心！在解决(2)时，一般是设想直线l绕点P旋转，考查这时直线l的斜率的变化规律．当直线绕定点由与x轴平行(或重合)位置按逆时针方向旋转到与x轴垂直时，斜率由0逐渐增大到＋∞(即斜率不存在)；按顺时针方向旋转到与x轴垂直时，斜率由0逐渐减小至－∞(即斜率不存在)．具体到(2)题这类问题时，不但要注意kPM与kPN这两个关键的数据，还要注意斜率是如何变化的．变式训练
2.已知A(3，3)，B(－4，2)，C(0，－2)．
(1)求直线AB和AC的斜率；
(2)若点D在线段BC上(包括端点)移动时，求直线AD的斜率的变化范围． 已知三点A(a，2)，B(5，1)，C(－4，2a)在同一条直线上，求a的值．变式训练
3.(1)判断下列三点是否在同一直线上：A(1，－3)，B(－1，1)，C(2，－1)．
(2)已知A(0，8)，B(－4，0)，C(m，－4)三点共线，求m的值．1.已知M(2m＋3，m)，N(2m－1，1)．
(1)当m为何值时，直线MN的倾斜角为锐角？直角？钝角？
(2)当m为何值时，直线MN的斜率为－1?2.已知点B在坐标轴上，点A(3，4)，kAB＝2，求点B的坐标．3.已知直线l过点P(－1，0)，且与以A(2，3)，B(3，0)为端点的线段AB有公共点，求直线l的斜率的取值范围．失误防范
涉及直线斜率问题，一定要分别讨论斜率不存在与存在两种情况．另外，斜率可以不存在，但倾斜角α存在且α＝90°.课件46张PPT。2．1.2 直线的方程第2章 平面解析几何初步重点难点 重点：直线方程的五种形式及形式的选择．
难点：直线方程的点斜式、斜截式、两点式和截距式的适用范围．1.点斜式方程：______________，它表示经过点P1(x1，y1)，且斜率为k的直线．
2.斜截式方程：________，它表示经过点P(0，b)，且斜率为k的直线方程．b为直线l在y轴上的____．y－y1＝k(x－x1)y＝kx＋b截距x轴y轴5.一般式方程：_____________(其中A、B、C是常数，______不全为0)，它可以表示平面内的任何一条直线．Ax＋By＋C＝0A、B想一想
1.平面直角坐标系下，任何直线都有点斜式方程吗？
提示：平面直角坐标系下，并不是所有的直线都存在点斜式方程．当直线与x轴垂直时(没有斜率)，不能用点斜式方程来表示．2.截距与距离是一回事吗？
提示：不是一回事，截距是直线与x轴(y轴)交点的横(纵)坐标，因此可正，可负也可为零，而“距离”必须是非负的． 根据条件写出下列直线的方程：
(1)过点A(－4，3)，斜率k＝3；
(2)经过点B(－1，4)，倾斜角为135°；
(3)过点C(－1，2)且与y轴平行；
(4)过点D(2，1)和E(3，－4)．【名师点评】 (1)求直线的点斜式方程．(2)将直线的方程求出后，为了统一答案的形式，如果没有特别要求，一般都将直线的方程化为Ax＋By＋C＝0(A、B不全为0)的形式．【名师点评】 (1)直线的两点式可由点斜式导出，当直线斜率不存在或斜率为0时，不能用两点式，此时直线与坐标轴重合或平行，直线方程更简单，即x＝x1或y＝y1；
(2)截距式方程有很大的局限性，除了不能表示与坐标轴垂直的直线外，还不能表示过原点的直线．(3)已知直线上的两点坐标时，通常用两点式求直线方程．
(4)由于减法运算的顺序性，一般用两点式求直线方程时常会将字母或数字的顺序错位而致错，错误的原因是没有将实际解题中的数与公式中的字母对应起来造成的，只有深刻理解公式，才能避免类似“低级”错误．变式训练
2.已知直线l经过点(3，4)，且在两轴上的截距相等，求直线l的方程． (本题满分14分)设直线l的方程为(m2－2m－3)x＋(2m2＋m－1)y＝2m－6，根据下列条件分别确定m的值．
(1)直线l的斜率为－1；
(2)直线l的横、纵截距相等．名师微博
注意分类讨论，否则会出错！变式训练
3.根据下列条件分别求出直线的方程，并化为一般式方程．
(1)斜率为3，经过点(5，－4)；
(2)斜率为－2，经过点(0，2)；
(3)经过两点(2，0)和(0，－3)；
(4)斜率为2，经过点(2，0)．解：(1)∵k＝3，过点(5，－4)．
由直线的点斜式方程，得y＋4＝3(x－5)，
∴所求直线方程为3x－y－19＝0.
(2)∵k＝－2，在y轴上的截距为2，
由直线的斜截式方程，得y＝－2x＋2，
∴所求直线方程为2x＋y－2＝0.1.求与两坐标轴围成的三角形面积为4，且斜率为－2的直线l的方程．方法技巧
1.一般地，已知一点通常选择点斜式；已知斜率选择斜截式或点斜式；已知截距或两点选择截距式或两点式．另外，从所求的结论来看，若求直线与坐标轴围成的三角形面积或周长，则应选用截距式．课件48张PPT。2．1.3 两条直线的平行与垂直第2章 平面解析几何初步重点难点 重点：两条直线平行与垂直的条件及应用．
难点：应用两条直线平行与垂直的条件求参数的值．1.两条直线平行与斜率的关系
设两条不重合的直线l1，l2，斜率存在且分别为k1，k2，倾斜角分别为α1，α2.则对应关系如下：k1＝k2l1∥l22.两条直线垂直与斜率的关系k1k2＝－1l1⊥l2想一想
1.当直线l1与l2斜率都存在时一定有k1＝k2?l1∥l2吗？
提示：不一定．当k1＝k2时，l1和l2可能重合．k1＝k2?l1∥l2或l1与l2重合．2.若两条直线垂直，它们的斜率之积一定为－1吗？
提示：不一定．如果两条直线l1，l2中的一条与x轴平行(或重合)，另一条与x轴垂直(即与y轴平行或重合)，即两条直线中一条的倾斜角为0°，另一条的倾斜角为90°，从而一条直线的斜率为0，另一条直线的斜率不存在，但这两条直线互相垂直．做一做
3.若直线l与直线y＝2x＋5平行，则直线l的斜率为________．
答案：24.直线y＝－1与x轴所在直线的位置关系为________．
答案：平行
5.若直线l与直线y＝－2x＋3垂直，则直线l的斜率为________．6.过点M(3，a)且与直线y＝5垂直的直线方程为________．
答案：x＝3【名师点评】 (1)判定两条直线是否平行，只要研究两条直线的斜率是否相等即可，但是要注意斜率都不存在的情况，以及两条直线是否重合．
(2)一般地，与直线Ax＋By＋C＝0平行的直线可设为Ax＋By＋C′＝0(C≠C′)，若直线A1x＋B1y＋C1＝0与A2x＋B2y＋C2＝0平行，则必有A1B2－A2B1＝0，反之也成立． 当a为何值时，直线l1：(a＋2)x＋(1－a)y－1＝0与直线l2：(a－1)x＋(2a＋3)y＋2＝0互相垂直？(3)一般地，与直线Ax＋By＋C＝0垂直的直线系方程可设为Bx－Ay＋m＝0(m为参数)．若直线A1x＋B1y＋C1＝0与A2x＋B2y＋C2＝0垂直，则必有A1A2＋B1B2＝0，反之也成立．变式训练
2.(1)已知直线(a－1)x＋ay＝2和直线ax＋(a－5)y＝1互相垂直，求实数a的值．
(2)求经过点A(2，1)且与直线2x＋y－10＝0垂直的直线l的方程．名师微博
分类讨论要全面，分类标准要统一.【名师点评】 (1)判定两条直线是平行还是垂直要“三看”：一看斜率是否存在，若两直线的斜率都不存在，则两直线平行，若一条直线的斜率为0，另一条直线的斜率不存在，则两直线垂直；斜率都存在时，二看斜率是否相等或斜率乘积是否为－1；两直线斜率相等时，三看两直线是否重合，若不重合，则两直线平行．(2)在本题解答过程中，由C、D两点的横坐标可知l2的斜率一定存在，由A、B两点的横坐标可知l1的斜率可能存在也可能不存在，因此应注意对a的取值进行讨论．1.若直线mx＋4y－1＝0和直线x＋my－3＝0不平行，求实数m的取值范围．2.将直线l向上平移2个单位后得到直线l1经过点P(2，2)，再将直线l1绕点P旋转90°后得到的直线l2经过点(4，－2)，求直线l的方程．方法技巧
1.判断两条不重合的直线l1与l2平行，即判断两直线的斜率k1＝k2，也可判断两直线的倾斜角相等．在利用k1＝k2来判断l1与l2平行时，一定要注意斜率的存在与否，但利用倾斜角相等来判断两直线平行，则无需讨论．
2.判断两直线l1与l2垂直，即判断两直线的斜率k1与k2之积为－1或其中一条直线的斜率不存在并且另一条直线的斜率为0.失误防范
无论是判断两条直线平行或垂直，都需注意特殊情况的讨论，即注意分类讨论思想方法的运用．课件49张PPT。2．1.4 两条直线的交点第2章 平面解析几何初步重点难点 重点：应用二元一次方程组的解讨论研究两条直线的位置关系并会求两直
线的交点．
难点：讨论方程中含参数的两条直线的位置关系．1.两直线的位置关系与二元一次方程组的关系
设两条直线的方程分别是l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0.
如果这两条直线相交，由于交点同时在这两条直线上，交点的坐标一定是这两个方程的_______；反之，如果这两个二元一次方程只有____公共解，那么以这个解为坐标的点必是直线l1与l2的交点．公共解一组2.方程组的解的组数与两直线的位置关系无有一个无数3.过两条直线交点的直线系方程
若两条直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0有交点，则过l1与l2交点的直线系方程为(A1x＋B1y＋C1)＋λ(A2x＋B2y＋C2)＝0(不包含直线l2)或(A2x＋B2y＋C2)＋λ(A1x＋B1y＋C1)＝0(不包含直线l1)(其中λ为常数)．想一想
1.若两直线的方程组成的方程组有解，两直线是否交于一点？做一做
3.直线l1：x＋y＝2与直线l2：x－y＝0的交点坐标为________．
答案：(1，1)4.已知直线l1：ax＋y＋1＝0与直线l相交于(1，0)，则a的值为________．
答案：－1
5.已知直线l：2x＋my＋1＝0与直线y＝x＋1相交，则m的取值范围是________．
答案：(－∞，－2)∪(－2，＋∞)6.若直线x－y＝0与ax＋y－1＝0无公共点，则a的取值为________．答案：－17.直线(a－1)x－(a＋1)y－1＝0经过的定点是________．变式训练
1.已知a∈R，试讨论两条直线l1：y＝a2x＋1，l2：y＝(3－2a)x＋a的位置关系． 求经过两直线l1：x－2y＋4＝0和l2：x＋y－2＝0的交点P，且与直线l3：3x－4y＋5＝0垂直的直线l的方程．即(1＋λ)x＋(λ－2)y＋4－2λ＝0，
又∵l⊥l3，∴3×(1＋λ)＋(－4)(λ－2)＝0，
解得λ＝11，
∴直线l的方程为4x＋3y－6＝0.(2)直线系是直线和方程的理论发展，是数学符号语言中一种有用的工具和解题技巧，应注意掌握和应用．变式训练
2.求经过两直线2x－3y－3＝0和x＋y＋2＝0的交点且与直线3x＋y－1＝0平行的直线方程．法二：
如图所示，设直线l2与x轴、y轴的交点分别为B，C，则其坐标分别为(4，0)，(0，1)．
(4分)名师微博
数形结合，方便快捷，但叙述要严密！【名师点评】 法二是用直线系方程结合数形结合法求解，数形结合法所起的作用是代数运算往往达不到的．变式训练
3.已知直线x＋y－3m＝0和2x－y＋2m－1＝0的交点在第四象限，求m的取值范围．1.设三条直线l1：x＋y－1＝0，l2：kx－2y＋3＝0，l3：x－(k＋1)y－5＝0.若这三条直线交于一点，求k的值．2.求证：不论m取什么实数，直线(2m－1)x＋(m＋3)y－(m－11)＝0都经过一个定点，并求出这个定点的坐标．解得x＝2，y＝－3.
∴所给的直线不论m取什么实数，都经过定点(2，－3)．课件49张PPT。2．1.5 平面上两点间的距离第2章 平面解析几何初步重点难点 重点：平面上两点间距离公式及应用；中点坐标公式及应用．
难点：应用中点坐标公式解决对称问题．做一做
3.已知两点A(－1，0)，B(2，3)则AB等于________．4.已知两点A(0，10)，B(a，－5)之间的距离为25，则a的值为________．
答案：±205.已知两点A(3，5)，B(5，1)，则线段AB的中点坐标为________．
答案：(4，3)
6.点P(2，－3)关于点M(4，1)的对称点的坐标是________．答案：(6，5)【思路点拨】 可先在直角坐标系中画出△ABC，估计其形状，以寻找解题的方向，然后去验证．名师微博
先画草图，再做判断，可减少繁琐的计算. 已知△ABC三边AB，BC，CA的中点分别是P(3，－2)，Q(1，6)，R(－4，2)，求点A的坐标．法二： 如图，连结PQ，QR，PR.
∵QR∥AP，PQ∥AR，
∴四边形APQR是平行四边形．
连结AQ交PR于点M，则M平分PR和AQ.由中点坐标公式得：【名师点评】 (1)中点坐标公式的应用与数形结合相联系，是解题的好途径．
(2)本例关键是探求三角形各顶点和中点的关系，使用中点坐标公式列方程组求解即可，也可以使用三角形中位线性质求解．变式训练
2.已知A(－1，0)，B(0，2)，C(4，0)，求△ABC的边AC上的中线长． 求直线x－y－2＝0关于直线l：3x－y＋3＝0对称的直线方程．【思路点拨】 本题属于轴对称问题，解决本题有两种方法，一是转化为点的对称，二是利用轴对称的条件，即应用中点公式与直线垂直的条件，代入可得．即7x＋y＋22＝0.
法二：设P(x，y)为所求直线上不同于与直线l的交点的任一点，点P关于直线l：3x－y＋3＝0的对称点为P′(x′，y′)．
根据PP′⊥l且线段PP′的中点在直线l上．变式训练
3.已知A(2，－3)，直线l：x－y＋1＝0.求：
(1)点A关于直线l的对称点B的坐标；
(2)直线l关于点A的对称直线l1的方程；
(3)直线2x－y－3＝0关于直线l的对称直线l2的方程．1.已知AO是△ABC中BC边的中线，证明：
AB2＋AC2＝2(AO2＋OC2)．2.试在直线l：2x－y＝0上求一点P，使点P到两个定点A(1，3)，B(2，6)的距离之和最小．3.入射光线通过点P(4，5)及直线l：x－y－1＝0上的点N(3，2)，经直线l反射，求反射光线所在直线的方程．失误防范
坐标平面上两点间的距离公式及中点坐标公式的形式要熟记，使用时才不致于出错．课件45张PPT。2．1.6 点到直线的距离第2章 平面解析几何初步重点难点 重点：点到直线距离、两条平行线间距离公式及应用．
难点：公式的灵活运用．点到直线的距离与两条平行线间的距离公垂线段想一想
1.点到直线的距离公式对于A＝0或B＝0或P在直线l上的特殊情况是否还适用？2.两平行线间的距离可转化为其中一直线上的任意一点到另一条直线的距离，而这一点的选取有何要求？
提示：这一点的选取具有任意性，一般选取计算较为简便的特殊点．想一想
3.原点(0，0)到直线l：5x－12y－9＝0的距离为________．4.已知A(1，1)，B(2，0)到直线2x＋3y＋1＝0的距离分别为d1和d2，则d1，d2的大小关系为________．答案：d1>d25.两条平行线5x－12y－2＝0，5x－12y－11＝0之间的距离等于________．答案：－1或－31【名师点评】 应用公式时，应先把直线方程化为一般形式求解，公式应用时要注意系数不可代错．变式训练
1.已知点A(a，2)到直线3x＋4y－2＝0的距离为5，求a的值． 求两平行线l1：3x＋4y－5＝0和l2：6x＋8y－9＝0间的距离．【名师点评】 (1)针对这个类型的题目一般有两种思路：
①利用“化归”思想将两平行直线间的距离转化为求其中一条直线上任意一点到另一条直线的距离．由于这种求法与点的选择无关，因此，选点时，常选取一个特殊点，如直线与坐标轴的交点等，以便于运算．变式训练
2.已知直线l1：3x－2y－1＝0和l2：3x－2y－13＝0，直线l与l1，l2的距离分别是d1，d2，若d1∶d2＝2∶1，求l的方程． (本题满分14分)两点A(1，0)，B(3，2)到直线l的距离均等于1，求直线l的方程．【思路点拨】 直线l的位置应考虑以下三种情况：(1)l∥AB，即点A，点B在l同侧；(2)l过AB的中点，即点A，点B在l异侧；(3)l⊥x轴．名师微博
理清分类标准是正确解题的关键.【名师点评】 本题作了两次分类，第一次以l是否垂直于x轴为标准分类，第二次以A，B是否在l同侧为标准分类．变式训练
3.两条互相平行的直线分别过点A(6，2)和B(－3，－1)，如果两条平行直线间的距离为d，求：
(1)d的变化范围；
(2)当d取最大值时，两条直线的方程．1.点P(2，0)到过点A(1，2)的直线l的距离等于1，求直线l的方程．2.试在抛物线y＝x2上求一点P，使它到直线l：x－y－1＝0的距离最小．3.设直线l过点A(2，4)，它被平行线x－y＋1＝0，x－y－1＝0所截得的线段的中点在直线x＋2y－3＝0上，试求直线l的方程．失误防范
应用公式求直线方程时，不要忘记讨论斜率不存在的情形．课件45张PPT。2．2 圆与方程
2．2.1 圆的方程第2章 平面解析几何初步重点难点 重点：圆的方程的两种形式及用待定系数法求圆的方程．
难点：根据条件选择恰当的圆的方程求解．1.圆的标准方程2.圆的一般方程
(1)圆的一般方程形式为____________________，它可以配方化为
_____________________________．x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0相等xy3.点与圆的位置关系
(1)点与圆的位置关系有三种：①点在圆外；②点在圆上；③点在圆内．
(2)设点P到圆心距离为d，圆的半径为r，则点与圆的位置有如表所示的对应关系(3)已知点M(x0，y0)和圆的方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F>0)．则其位置关系如下表：想一想
1.方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2(a，b，r∈R)表示一个圆吗？为什么？2.方程2x2＋2y2－4x－3y－1＝0表示圆吗？若表示圆，其圆心和半径分别是什么？答案：x2＋y2＝5.4.方程(x＋2)2＋(y－3)2＝49表示的圆的圆心坐标是________，半径是________．
答案：(－2，3) 7
5.若圆的方程为x2＋y2＋4x－6y－12＝0，则该圆的圆心坐标为________．
答案：(－2，3)6.点A(0，0)与圆x2＋y2＋4x－5＝0的位置关系为________．答案：点A在圆内 (本题满分14分)求圆心在直线x－2y－3＝0上，且过点A(2，－3)，B(－2，－5)的圆的标准方程．
【思路点拨】 解答本题可以先根据所给条件确定圆心和半径，再写方程，也可以设出方程用待定系数法求解．【解】 法一：设点C为圆心．
∵点C在直线l：x－2y－3＝0上，
∴可设点C的坐标为(2a＋3，a)．(2分)名师微博
据定义，求圆心，定半径，方便快捷.名师微博
这里采用的是待定系数法，此法常用，勿必掌握.变式训练
1.求下列各圆的标准方程：
(1)圆心在y＝－x上，且过两点(2，0)，(0，－4)；
(2)圆心在直线2x＋y＝0上，且与直线x＋y－1＝0切于点M(2，－1)．解这个方程组，得D＝－8，E＝6，F＝0.
所以，所求圆的方程是x2＋y2－8x＋6y＝0.
即(x－4)2＋(y＋3)2＝25.
故所求圆的圆心坐标是(4，－3)，半径为5. 已知圆C：(x－3)2＋(y－4)2＝1，点A(－1，0)，B(1，0)，点P在圆上运动，求d＝PA2＋PB2的最值及相应的点P的坐标．【名师点评】 由于圆既是中心对称图形，又是轴对称图形，因此涉及圆上的点的问题可转化为与圆的圆心及半径有关的问题来处理．变式训练
3.点A在圆C：x2＋y2＋ax＋4y－5＝0上，它关于直线x＋2y－1＝0的对称点也在圆C上，求实数a的值．1.求圆心在直线5x－3y－8＝0上，且与两坐标轴都相切的圆的标准方程．解：法一：设所求圆的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2，
∵圆与坐标轴相切，∴a＝±b，r＝|a|.
又∵圆心(a，b)在直线5x－3y－8＝0上，∴5a－3b＝8.所以圆的方程为(x－1)2＋(y＋1)2＝1.
综上所述，所求圆的方程为(x－4)2＋(y－4)2或(x－1)2＋(y＋1)2＝1.2.求证：无论实数m如何变化，点(4m，m)都在圆x2＋y2－2x－4y＋3＝0之外．失误防范
用待定系数法求圆的方程时，要注意平面几何知识的性质应用，可以简化计算.课件45张PPT。2．2.2 直线与圆的位置关系第2章 平面解析几何初步重点难点 重点：直线与圆的位置关系的判断及解决相切、相交的相关问题．
难点：直线与圆相切、相交时有关切线、弦长问题的解决方法．直线Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0)与圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0)的位置关系及判断210<＝>>＝<想一想
1.是否任意直线与圆的位置关系的判定都可以用几何法与代数法这两种方法？
提示：是．几何法与代数法是从不同的方面进行判断的，几何法侧重于“形”，代数法侧重于“数”．2.过平面内一点可作几条圆的切线？
提示：当点P在圆内时，切线不存在；当点P在圆上时，只能作一条圆的切线；当点P在圆外时，可作两条圆的切线．做一做
3.直线x＋y－2＝0与圆x2＋y2＝5的位置关系为________．答案：相交4.圆x2＋y2＋2x－8＝0被y轴截得的弦长为________．5.若直线mx－y＋2＝0与圆x2＋y2＝1相切，则实数m的值为________．6.若直线x＋y＋a＝0与圆(x＋2)2＋y2＝1没有公共点，则a的取值范围为________．【名师点评】 有关直线与圆的位置关系的问题，一般采用几何法，用圆心到直线的距离与圆的半径比较大小加以判断，用判别式判断时运算量较大． (本题满分14分)求过点(1，－7)且与圆x2＋y2＝25相切的直线方程．【思路点拨】 由于直线过定点(1，－7)，故可设切点或直线的斜率，采用几何法或代数法求解．名师微博
这里k是两解，可不要舍弃噢！变式训练
3.已知圆C：(x－1)2＋(y－2)2＝25，直线l：(2m＋1)x＋(m＋1)y－7m－4＝0(m∈R)．
(1)证明：不论m取什么实数，直线l与圆恒交于两点；
(2)求直线被圆C截得的弦长最小时l的方程．失误防范
处理直线与圆的位置关系时，要注意应用平面几何知识来简化计算．课件52张PPT。2．2.3 圆与圆的位置关系第2章 平面解析几何初步重点难点 重点：根据两圆的方程，判断两圆的位置关系．
难点：根据两圆的位置关系，求有关直线或圆的方程．外离外切相交内切内含r1＋r2|r1－r2|想一想
1.两圆没有交点，一定外离吗？
提示：不一定．两圆内含时也没有交点．2.将两个相交的圆的方程x2＋y2＋Dix＋Eiy＋Fi＝0(i＝1，2)相减，可得一直线方程，这条直线方程具有什么样的特殊性呢？
提示：两圆相减得一直线方程，它经过两圆的公共点，即两圆的公共弦所在的直线．做一做
3.圆x2＋y2＝4与圆(x－2)2＋y2＝3的位置关系为________．答案：相交4.圆(x＋1)2＋y2＝1与圆(x＋1)2＋(y－2)2＝9的位置关系为________．答案：内切5.与圆C1：x2＋y2＝1和圆C2：(x－3)3＋y2＝4都相切的直线共有________条．
解析：圆心C1(0，0)，半径r1＝1，C2(3，0)，r2＝2，|C1C2|＝3＝r1＋r2，∴两圆外切，∴公切线有3条．
答案：36.以(－2，0)为圆心，并与圆x2＋y2＝1相外切的圆的方程为________________．
答案：(x＋2)2＋y2＝1 a为何值时，两圆C1：x2＋y2－2ax＋4y＋a2－5＝0和C2：x2＋y2＋2x－2ay＋a2－3＝0.
(1)外切；(2)相交；(3)外离？【解】 将两圆方程写成标准方程：
C1：(x－a)2＋(y＋2)2＝9，C2：(x＋1)2＋(y－a)2＝4.
∴两圆的圆心和半径分别为
C1(a，－2)，r1＝3，C2(－1，a)，r2＝2.
设两圆的圆心距为d，则d2＝(a＋1)2＋(－2－a)2
＝2a2＋6a＋5.(1)当d＝5，即2a2＋6a＋5＝25时，两圆外切，
此时a＝－5或a＝2.即当a＝－5或a＝2时，两圆外切．
(2)当1
此时－5(3)当d>5，即2a2＋6a＋5>25时，两圆外离，
此时a>2或a<－5.即当a>2或a<－5时，两圆外离．【名师点评】 (1)判断两圆的位置关系或利用两圆的位置关系求参数的取值范围有以下几个步骤：
①化成圆的标准方程，写出圆心和半径；
②计算两圆圆心的距离d；
③通过d，r1＋r2，|r1－r2|的关系来判断两圆的位置关系或求参数的范围，必要时可借助于图形，数形结合．(2)应用几何法断定两圆的位置关系或求字母参数的范围是非常简单清晰的，要理清圆心距与两圆半径的关系．变式训练
1.已知圆C1：x2＋y2＋2x＋8y－8＝0，圆C2：x2＋y2－4x－4y－2＝0，试判断圆C1与圆C2的位置关系． 已知圆O1：x2＋y2＋2x＋6y＋9＝0和圆O2：x2＋y2－6x＋2y＋1＝0，求圆O1、圆O2的公切线方程．【名师点评】 (1)对于求切线问题，注意不要漏解，主要是根据几何图形来判断切线的条数．
(2)求公切线的一般步骤是：①判断公切线的条数；②设出公切线的方程；③利用切线性质建立所设字母的方程，求解字母的值；④验证特殊情况的直线是否为公切线；⑤归纳总结． (本题满分14分)已知两圆C1：x2＋y2－2x＋10y－24＝0，C2：x2＋y2＋2x＋2y－8＝0.
(1)求两圆公共弦的方程及其长度；
(2)求以两圆公共弦为直径的圆的方程．【思路点拨】 (1)先求出公共弦所在直线的方程，再利用半径、弦心距、半弦长构成的直角三角形求解；(2)求出圆心、半径，也可用经过两圆交点的圆系方程求解．名师微博
两圆方程相减得公共弦的方程，你知道为什么吗？【名师点评】 涉及圆的弦问题，一般都考虑利用半径、弦心距、半弦长构成的直角三角形求解．而不采取求出弦的两端点坐标，然后利用两点间的距离求解．1.求圆心在直线x－y－4＝0上，且经过两圆x2＋y2－4x－6＝0和x2＋y2－4y－6＝0的交点的圆的方程．解：联立两圆方程，解得两圆交点为A(－1，－1)，B(3，3)，则AB的中垂线方程为y－1＝－(x－1)，即x＋y－2＝0.与x－y－4＝0联立，解得圆心为C(3，－1)．
又半径r＝|CA|＝4，故圆方程为(x－3)2＋(y＋1)2＝16，即x2＋y2－6x＋2y－6＝0.2.已知实数x，y满足x2＋y2－2x＋4y－20＝0.求x2＋y2的最大值及最小值．方法技巧
1.判断两个圆的位置关系常用圆心距d与两圆半径的和、差比较大小．d＝R＋r时，两圆外切；d＝|R－r|时，两圆内切；d<|R－r|时，两圆内含；d>|R＋r|时，两圆外离；|R－r|?
2．3.1 空间直角坐标系
?
2．3.2 空间两点间的距离第2章 平面解析几何初步重点难点 重点：会建立空间直角坐标系，并能求出或画出某一点的坐标及应用空间
两点间的距离公式．
难点：根据所给空间图形的特征，建立适当的空间直角坐标系．1.空间直角坐标系
(1)空间直角坐标系及相关概念
①空间直角坐标系：从空间某一定点引三条两两垂直，且有相同单位长度的数轴：________________，这样就建立了一个空间直角坐标系________．x轴、y轴、z轴O-xyz②相关概念：点O叫做坐标原点，________________叫做坐标轴. 通过________________的平面叫做坐标平面，分别称为____平面、____平面、____平面．x轴、y轴、z轴每两个坐标轴xOyyOzzOxx轴y轴z轴2.空间一点的坐标
对于空间任意一点A，作点A在三条坐标轴上的____，即经过点A作三个平面分别____于x轴、y轴和z轴，它们与x轴、y轴和z轴分别交于P，Q，R.点P，Q，R在相应数轴上的坐标依次为x，y，z，我们把有序实数组(x，y，z)叫做点A的坐标，记为__________．射影垂直A(x，y，z)3.空间两点间的距离公式
一般地，空间中的任意两点P1(x1，y1，z1)，P2(x2，y2，z2)间的距离为P1P2＝ _____________________________________.想一想
1.在给定的空间直角坐标系下，空间中任意一点与有序实数组(x，y，z)之间是否存在惟一的对应关系？提示：是．在给定空间直角坐标系下，空间给定一点其坐标是惟一的有序实数组(x，y，z)；反之，给定一个有序实数组(x，y，z)，空间也有惟一的点与之对应．2.空间两点间的距离公式对在坐标平面内的点适用吗？
提示：适用．空间两点间的距离公式适用于空间任意两点，对同在某一坐标平面内的两点也适用．3.点(0，3，0)在平面xOz上射影点的坐标是________．
答案：(0，0，0)
4.点P(3，1，2)关于点Q(1，0，0)的对称点的坐标为________．
解析：画图在空间演示(图略)，也可用对称点公式：点(x1，y1，z1)关于点(x2，y2，z2)的对称点的坐标为(2x2－x1，2y2－y1，2z2－z1)．
答案：(－1，－1，－2)5.如图，点P′在x轴正半轴上，OP′＝2，P′P在xOz平面内，且垂直于x轴，P′P＝1，则点P的坐标为________．
答案：(2，0，1)6.点A(1，0，1)与点B(－1，1，－1)间的距离为________．答案：3②路径法：先从原点出发沿x轴的正方向(x＞0)或负方向(x＜0)移动|x|个单位，再沿y轴的正方向(y＞0)或负方向(y＜0)移动|y|个单位，最后沿z轴的正方向(z＞0)或负方向(z＜0)移动|z|个单位即可得到此点的坐标．变式训练
1.如图，OA，OB，OC两两互相垂直，OA＝OB＝OC＝2，D，E，F分别是AB，BC，CA的中点，试建立适当的空间直角坐标系，写出点A，B，C，D，E，F的坐标． 已知点P(2，3，－1)，求：
(1)点P关于各坐标平面对称的点的坐标；
(2)点P关于各坐标轴对称的点的坐标；
(3)点P关于坐标原点O对称的点的坐标．【解】 (1)设点P关于xOy坐标平面的对称点为P′，
则点P′在x轴上的坐标及在y轴上的坐标与点P的相应坐标相同，而点P′在z轴上的坐标与点P在z轴上的坐标互为相反数．所以，点P关于xOy坐标平面的对称点P′的坐标为(2，3，1)．同理，点P关于yOz，zOx坐标平面的对称点的坐标分别为(－2，3，－1)，(2，－3，－1)．
(2)设点P关于x轴的对称点为Q，则点Q在x轴上的坐标与点P的坐标相同，而点Q在y轴上的坐标及在z轴上的坐标与点P在y轴上的坐标及在z轴上的坐标互为相反数．所以，点P关于x轴的对称点Q的坐标为(2，－3，1)．变式训练
2.在空间直角坐标系中，点P(－2，1，4)．
(1)求点P关于x轴的对称点的坐标；
(2)求点P关于xOy平面的对称点的坐标；
(3)求点P关于点M(2，－1，－4)的对称点的坐标．(3)设对称点为P3(x，y，z)，则点M为线段PP3的中点，由中点坐标公式，可得x＝2×2－(－2)＝6，
y＝2×(－1)－1＝－3，z＝2×(－4)－4＝－12.
所以P3(6，－3，－12)．【思路点拨】 解答本题可由空间两点间的距离公式建立AB关于x的函数，由函数的性质求x，再确定坐标．名师微博
正确的列出表达式是解题的关键.【名师点评】 解决这类问题的关键是根据点的坐标的特征，应用空间两点间的距离公式建立已知与未知的关系，再结合已知条件确定点的坐标．1.在正方体ABCD－A1B1C1D1中，点E，F分别是BB1，D1B1的中点，棱长为1，建立空间直角坐标系，求点E，F的坐标．2.在xOy平面内的直线x＋y＝1上确定一点M，使M到点N(6，5，1)的距离最小．3.直三棱柱ABC－A1B1C1中，∠ACB＝90°，AC＝2，CB＝CC1＝4，E，F，M，N分别是A1B1，AB，C1B1，CB的中点，如图，建立空间直角坐标系．(1)在平面四边形ABB1A1内找一点P，使△ABP为正三角形；
(2)能否在MN上求得一点Q，使△AQB为以AB为斜边的直角三角形？若能，请求出点Q的坐标；若不能，请说明理由．方法技巧
空间直角坐标系和平面直角坐标系有很多相似的地方，平面直角坐标系中的一些结论可以类比地在空间直角坐标系中得到：
(1)求空间直角坐标系中点的坐标时，可以由点向各坐标轴作垂线，垂足的坐标即为在该轴上的坐标．失误防范
把空间直角坐标系与平面直角坐标系类比，但要注意两者的相同与不同之处．课件53张PPT。本章优化总结第2章 平面解析几何初步【分析】 (1)直线l过点M，斜率变化时，可以理解为直线l绕定点M旋转，数形结合进行分析． 求过定点P(2，1)且与坐标轴围成的三角形的面积为4的直线方程．
【分析】 根据已知条件，可以使用直线的截距式，通过直线过定点和与坐标轴所围成的三角形面积列方程． a为何值时，
(1)直线x＋2ay－1＝0与直线(3a－1)x－ay－1＝0平行？
(2)直线ax＋(1－a)y＝3与直线(a－1)x＋(2a＋3)y＝2互相垂直？【分析】 所给直线方程是一般式，且直线斜率可能不存在时，利用l1⊥l2?A1A2＋B1B2＝0和l1∥l2?A1B2－A2B1＝0且A1C2－A2C1≠0来判定两条直线是否垂直和平行，比用斜率来判定更简便，它不需要讨论斜率不存在的情况．判断直线与圆的位置关系以几何法为主，解题时应充分利用圆的几何性质以简化解题过程．【分析】 根据圆的对称性可知圆心在直线x＋2y＝0上，设出圆心坐标根据直线被圆所截得的弦长公式列方程．在两圆的位置关系中一般有两个主要问题．一个是判断两圆的位置关系，其关键就是抓住两圆的圆心和半径，根据圆心距和半径的和差大小关系作出判断；二是当两圆相交时求其公共弦所在的直线方程或是公共弦长，只要把两圆方程相减消掉二次项所得方程就是公共弦所在的直线方程，再根据其中一个圆和这条直线就可以求出公共弦长．【分析】 判断两圆的位置关系时，首先确定圆心之间的距离，其次确定半径之和或差，再分类比较，作出判断． 过圆C：x2＋y2＋4x－2y＋4＝0外的点P(－1，2)的切线l的方程是________，若切点分别为A，B，则直线AB的方程是________．【分析】 对于第(1)问，点在圆外，不能根据圆的切线性质直接解答，可以设出切线方程，利用圆心到直线的距离等于圆的半径解决；对于第(2)问，点P，A，C，B四点共圆，AB为该圆与圆C的公共弦所在的直线．【答案】 y＝2或x＝－1 x＋y＝0在解析几何中，经常遇到对称问题，本章的对称主要有以下四种：
(1)点关于点的对称问题通常利用中点坐标公式．点P(x，y)关于Q(a，b)的对称点为P′(2a－x，2b－y)．
(2)直线关于点的对称直线通常用转移法或取特殊点来求． 已知直线l：y＝3x＋3，求：
(1)点P(4，5)关于l的对称点坐标；
(2)直线y＝x－2关于l的对称直线的方程；
(3)直线l关于点A(3，2)的对称直线的方程． 若x，y满足x2＋y2－6x－4y＋12＝0，求x2＋y2的最值．
【分析】 若令P(x，y)，且点P(x，y)在圆x2＋y2－6x－4y＋12＝0上运动，则已知条件都有了几何背景，而x2＋y2可变形为(x－0)2＋(y－0)2，看作是点P到原点O的距离的平方，所以只要求出PO2的最大值、最小值即可．1.已知直线x＋ay＝2a＋2与直线ax＋y＝a＋1平行，则a的值为________．答案：12.圆P：x2＋y2－4x－4y－10＝0上的点到直线x＋y－14＝0的最大距离与最小距离的差为________．3.(2012·台州中学高二期末)曲线x2＋y2＝2|x|＋2|y|所围成的面积是________．解析：作出图象如图，此曲线在直角坐标系内所围成的图形在每个象限的面积相等且为π＋2，所以S＝4×(π＋2)＝4π＋8.答案：4π＋84.已知方程x2＋y2－2(t＋3)x＋2(1－4t2)y＋16t4＋9＝0(t∈R)的图形是圆．
(1)求t的取值范围；
(2)求其中面积最大的圆的方程；
(3)若点P(3，4t2)恒在所给圆内，求t的取值范围．课件8张PPT。第2章 平面解析几何初步第2章 平面解析几何初步