课件29张PPT。第三章 指数函数和对数函数第三章 指数函数和对数函数§1 正整数指数函数
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重点难点
重点：正整数指数函数的概念及性质．
难点：正整数指数幂的运算及函数性质．
1．正整数指数函数的概念
一般地，函数_____________ (a＞0，a≠1，x∈N＋)叫作正整数指数函数，其中x是自变量，定义域是正整数集N＋.
y＝ax做一做
答案：D
2．正整数指数函数的图像和性质
由于正整数指数函数的定义域
是正整数集N＋，所以用描点
法画正整数指数函数的图像时，
不能用平滑的曲线将各点连接
起来．也就是说，正整数指数
函数的图像是由一些____________组成的．
孤立的点(1)当底数a＞1时，正整数指数函数的图像是_________的；
(2)当底数0＜a＜1时，正整数指数函数的图像是_________的．
由此得出正整数指数函数的单调性：
上升下降(1)当底数a＞1时,正整数指数函数是___函数;
(2)当底数0＜a＜1时，正整数指数函数是
____函数．
想一想
y＝2x(x∈N＋)的单调增区间是N＋吗？
提示：不是 由于正整数指数函数的定义域是N＋，而N＋
不是区间，因此正整数指数函数虽然是单调函数，却没有单调区间．
增减做一做题型一 正整数指数函数的概念
若x∈N＋，判断下列函数是否是正整数指数函数，若是，指出其单调性．
【名师点睛】 根据函数的解析式判断是否为正整数指数函数时，关键是抓住正整数指数函数解析式的基本特征：ax前的系数必须是1，自变量x∈N＋，且x在指数位置上，底数a＞0，a≠1.
变式训练
1．若函数y＝(a2－3a＋3)·ax为正整数指数函数，则实数a的值为________．
解析：根据正整数指数函数解析式的结构特征，若函数y＝(a2－3a＋3)·ax为正整数指数函数，则ax的系数a2－3a＋3＝1，且底数
a＞0，a≠1.由此可知，实数a的值为2.
答案：2
题型二 正整数指数函数的图像与性质
(本题满分10分)在同一平面直角坐标系中，分别画出下列两组函数的图像，并分析底数的不同对函数的单调性和图像递增或递减快慢的影响．
(1)y＝2x，x∈N＋，与y＝3x，x∈N＋；
【思路点拨】 正整数指数函数的图像是由一些孤立的点组成的．由(1)(2)的图像可推广出正整数指数函数的底数对函数单调性的影响以及正整数指数函数随底数的增大，其图像改变快慢的问题．
【解】 两组函数的图像如下(为了便于辨认某点在哪一函数图像上，特用虚线将同一函数图像上的点连接)．
5分
由上图可以看出，对于正整数指数函数y＝ax(a＞0，a≠1，x∈N＋)，当a＞1时，底数a越大，图像上升的越快；
当0＜a＜1时，底数a越小，图像下降的越
快. 10分
【问题技巧】描点作图是常用的作图方法，根据图像研究函数的性质又是常用的研究函数的方法，其间用到数形结合的数学思想．
变式训练
2．比较下列各组幂值的大小(用“＞”或“＜”填空)．
(1)1.5819________1.5820；
(2)0.52012________0.52013.
解析：(1)考虑正整数指数函数y＝1.58x，x∈N＋.
∵1.58＞1，∴y＝1.58x在N＋上是增函数
又∵19＜20，∴1.5819＜1.5820.
(2)考虑正整数指数函数y＝0.5x，x∈N＋.
∵0＜0.5＜1，∴y＝0.5x在N＋上是减函数．
又∵2012＜2013，∴0.52012＞0.52013.
答案：＜ ＞
题型三 正整数指数函数的实际应用
某种放射性物质不断变化为其他物质，每经过1年剩留的这种物质是原来的
84%.(1)写出这种物质的剩留量y随时间
x(x∈N＋)变化的函数关系式；(2)画出该函
数的图像；(3)说明该函数的单调性；(4)从图像上求出经过多少年，剩留量是原来的一
半．
【解】 (1)设这种物质最初的质量是1，经过x年，剩留量是y，由题意得
经过1年，剩留量y＝1×84%＝0.841；
经过2年,剩留量y＝1×84%×84%＝0.842；
……
一般地，经过x年，剩留量y随时间x变化的函数关系式为y＝0.84x(x∈N＋)．
(2)根据函数关系式列表如下：
用描点法画出指数函数y＝0.84x(x∈N＋)的图像，它的图像是由一些孤立的点组成的．
(3)通过计算和看图知道，随着时间的增加，剩留量在逐渐减少，该函数为减函数．
(4)从图上看出y＝0.5，只需x≈4.
即约经过4年，剩留量是原来的一半．
【思维总结】在实际生活中，增长率问题、降低率问题、复利问题、浓度问题等都是常见的正整数指数函数．
变式训练
3．一个蜂巢里有1只蜜蜂．第1天，它飞出去找回了5个伙伴；第2天，6只蜜蜂飞出
去，各自找回了5个伙伴，…，如果找伙伴的过程这样继续下去，第6天所有的蜜蜂都归巢后，蜂巢中一共有多少只蜜蜂？
解：设第n天共有yn只蜜蜂，则：
y1＝5＋1＝6，
y2＝6×5＋6＝62，
y3＝62×5＋62＝63
yn＝6n，
∴y6＝66＝46656，
∴第6天共有46656只蜜蜂．
1．比较下列几个幂.0.910,0.911,1.14,1.15,0.010的大小．
解:可先考察正整数指数函数y＝0.9x(x∈N＋),因为此函数是减函数，所以0.911＜0.910＜1;再考察正整数指数函数y＝1.1x(x∈N＋),因为此函数是增函数，所以1.15＞1.14＞1.因此0.911＜0.910＜0.010＜1.14＜1.15.
2．解不等式4x＞23－2x(x∈N＋)．方法技巧
根据正整数指数函数的解析式y＝ax(a＞0，a≠1，x∈N＋)的特征来判断，如果是正整数指数函数，那么根据底数与1的大小关系来确定其单调性．
失误防范
1．要注意正整数指数函数与幂函数y＝xa的区别：正整数指数函数解析式中的底数是常数，而幂函数解析式中的指数是常数．
2．正整数指数函数的值域不是[a，＋∞)，而是{a，a2，a3，…}．?
