1.从A地到B地要经过C地和D地，从A地到C地有3条路，从C地到D地有2条路，从D地到B地有4条路，则从A地到B地不同走法的种数是( )
A．3＋2＋4＝9 B．1
C．3×2×4＝24 D．1＋1＋1＝3
解析：选C.由题意从A地到B地需过C、D两地，实际就是分三步完成任务，用分步乘法计数原理．
2.已知两条异面直线a，b上分别有5个点和8个点，则这13个点可以确定不同的平面的个数是( )
A．40 B．13
C．10 D．16
解析：选B.直线a与b上的8个点可分别确定8个不同的平面；直线b与a上的5个点可分别确定5个不同的平面．故可确定5＋8＝13个不同的平面．
3.一个学习小组有4名男生，5名女生，任选1名当组长，共有________种选法；选男、女生各1名当组长，共有________种选法．
解析：选1名当组长分为两类：第一类，从4名男生中选1名共有4种选法，第二类，从5名女生中选1名共有5种选法，一共有4＋5＝9种选法；选男、女生各1名当组长可分为两步：第一步是选1名男生，有4种选法，第二步是选1名女生，有5种选法，则有4×5＝20种选法．
答案：9 20
4.在一块并排共10垄的田地上，选择2垄分别种植A、B两种作物，每种作物种植1垄，为了有利于作物生长，要求A、B两种作物的间隔不小于6垄，则不同的选垄方法有________种(结果用数字作答)．
解析：把空的6垄看作一个整体，A、B两种作物可在其余4垄上种植，不同的选垄方法为(3＋2＋1)×2＝12(种)．
答案：12
[A级 基础达标]
1.现有4件不同款式的上衣和3条不同颜色的长裤，如果一条长裤与一件上衣配成一套，则不同的配法种数为( )
A．7 B．12
C．64 D．81
解析：选B.要完成配套，分两步：第一步，选上衣，从4件上衣中任选一件，有4种不同选法；第二步，选长裤，从3条长裤中任选一条，有3种不同选法．故共有4×3＝12种不同的配法．
2.十字路口来往的车辆，如果不允许回头，共有不同的行车路线( )
A．24种 B．16种
C．12种 D．10种
解析：选C.完
成该任务可分为四类，从每一个方向入口都可作为一类，如图：从第1个入口进入时，有3种行车路线；同理，从第2个，第3个，第4个入口进入时，都分别有3种行车路线，由分类加法计数原理可得共有3＋3＋3＋3＝12种不同的行车路线，故选C.
3.(2012·北京质检)用0到9这10个数字可以组成没有重复数字的三位偶数的个数为( )
A．324 B．328
C．360 D．684
解析：选B.分两类：(1)个位是0的，有9×8个；(2)个位不是0的，个位只能是2，4，6，8中的任意一个有4×8×8个，总共有9×8＋4×8×8＝328(个)．
4.加工某个零件分三道工序，第一道工序有5人，第二道工序有6人，第三道工序有4人，从中选3人每人做一道工序，则选法有________种．
解析：选第一、第二、第三道工序各一人的方法数依次为5、6、4，由分步乘法计数原理知，选法总数为N＝5×6×4＝120.
答案：120
5.从1，2，3，4，7，9六个数中，任取两个数作对数的底数和真数，则所有不同的对数的值的个数为________．
解析：(1)当取1时，1只能为真数，此时对数的值为0.
(2)不取1时，分两步：
①取底数，5种；
②取真数，4种．
其中log23＝log49，log32＝log94，log24＝log39，log42＝log93，
∴N＝1＋5×4－4＝17.
答案：17
6.从黄瓜、白菜、油菜、扁豆4种蔬菜品种中选出3种，分别种在不同土质的三块土地上，其中黄瓜必须种植，求有多少种不同的种植方法．
解：若黄瓜种在第一块土地上，则有3×2＝6种不同种植方法．
同理，黄瓜种在第二块、第三块土地上，均有3×2＝6种．故不同的种植方法共有6×3＝18种．
[B级 能力提升]
7.(2011·高考课标全国卷)有3个兴趣小组，甲、乙两位同学各自参加其中一个小组，每位同学参加各个小组的可能性相同，则这两位同学参加同一个兴趣小组的概率为( )
A. B.
C. D.
解析：选A.甲、乙两位同学参加3个小组的所有可能性有3×3＝9(种)，其中甲、乙两人参加同一个小组的情况有3(种)．故甲、乙两位同学参加同一个兴趣小组的概率P＝＝.
8.某电话局的电话号码为168×××××，若后面的五位数字是由6或8组成的，则这样的电话号码一共有( )
A．20个 B．25个
C．32个 D．60个
解析：选C.五位数字是由6或8组成的，可分五步完成，每一步都有两种方法，根据分步乘法计数原理，共有25＝32个．
9.
如图所示的电路图，从A到B共有________条不同的单支线路可通电．
解析：先分三类．第一类，经过支路①有3种方法；第二类，经过支路②有1种方法；第三类，经过支路③有2×2＝4种方法，所以总的线路条数N＝3＋1＋4＝8.
答案：8
10.在一次中美贸易洽谈会上，我方有三名代表分别来自三个工厂，美方有4个代表也来自四个不同的工厂，见面时每人与对方代表握手一次，要求我方代表必须与对方代表签约，且只与一家代表签一次约，问这些人共握手几次？有多少不同的签约结果？
解：(1)我方代表甲与对方握手4次，乙、丙也是各握手4次，共4＋4＋4＝12次．
(2)我方代表甲有4种签约的可能．同样，乙、丙也有4种可能，完成签约看成分三步完成，
∴共有4×4×4＝64种签约结果．
11.(创新题)形如45132这样的数称为“波浪数”，即十位数字，千位数字，均比各自相邻的数字大，由1、2、3、4、5可构成数字不重复的五位“波浪数”有多少？
解：1、2不可能作为十、千位数字．当波浪数形如：□3□5□时，只有13254，23154两个，当波浪数形如□5□3□时有45132，45231两个．
当波浪数形如□4□5□时1、2、3可在□内任意填有
3×2×1＝6个．
同理形如□5□4□的也有6个．
共有：2＋2＋6＋6＝16个．
1.5A＋4A＝( )
A．107 B．323
C．320 D．348
解析：选D.原式＝5×5×4×3＋4×4×3＝348.
2.4×5×6×…·(n－1)·n等于( )
A．A B．A
C．n！－4! D．A
解析：选D.原式可写成n·(n－1)·…×6×5×4，故选D.
3.已知A－A＝10，则n＝________．
解析：由A－A＝10，得(n＋1)·n－n(n－1)＝10，解得n＝5.
答案：5
4.6名学生排成两排，每排3人，则不同的排法种数为________．
解析：排法种数为A＝720.
答案：720
[A级 基础达标]
1.已知A＝132，则n等于( )
A．11 B．12
C．13 D．14
解析：选B.A＝n(n－1)＝132，且n∈N＋，∴n＝12.
2.有3名男生和5名女生站成一排照相，如果男生不排在最左边且不相邻，则不同的排法有( )
A．A·A种 B．A·A种
C．A·A种 D．A·A种
解析：选C.插空法，注意考虑最左边位置.5名女生先排有A种排法，除去最左边的空还有5个空位供男生选，有A种排法，故共有A·A种不同的排法．故选C.
3.某班新年联欢会原定的5个节目已排成节目单，开演前又增加了两个新节目，如果将这两个新节目插入原节目中，那么不同的插法共有( )
A．42种 B．30种
C．20种 D．12种
解析：选A.将两个新节目插入节目单有两种情形：(1)两个新节目相邻的插法种数为6A；(2)两个新节目不相邻的插法种数为A，由分类加法计数原理，共有6A＋A＝42(种)．
4.若A＝10×9×…×5，则m＝________．
解析：10－m＋1＝5，得m＝6.
答案：6
5.5个人站成一排，其中甲、乙两人不相邻的排法有________种．(用数字作答)
解析：甲、乙两人被其余3人隔开，故先排列其余3人，在3人隔开的4个空位上安排甲、乙两人．分两个步骤完成，第一步先排除甲、乙外的其他3人，有A种方法；第二步将甲、乙两人安排在这3人隔开的4个空位中的两个上，有A种方法．则甲、乙两人不相邻的排法有AA＝72(种)．
答案：72
6.有三张卡片的正反面分别写着1和2，4和6，7和8，用它们组成三位数，并且6可以当9用，则可得到多少个不同的三位数？
解：法一：分为三类考察：
第一类，不含6，有AAA＝24个，
第二类：含有6且6不当作9用，有AAA＝24个，
第三类：含有6但6当作9用，有AAA＝24个，
于是可得不同的三位数个数为
3AAA＝3×24＝72.
法二：AAAA＝72.
[B级 能力提升]
7.甲、乙、丙3位志愿者安排在周一至周五的5天中参加某项志愿者活动，要求每人参加一天且每天至多安排一人，并要求甲安排在另外两位前面．不同的安排方法共有( )
A．20种 B．30种
C．40种 D．60种
解析：选A.分类解决，甲排周一，乙、丙只能是周二至周五四天中选两天进行安排，有A＝12种方法；甲排周二，乙、丙只能是周三至周五三天中选两天进行安排，有A＝6种方法；甲排周三，乙、丙只能安排在周四和周五，有A＝2种方法，由分类加法计数原理知共有12＋6＋2＝20种方法．
8.把同一排6张座位编号1，2，3，4，5，6的电影票全部分给4个人，每人至少分1张，至多分2张，且这2张具有连续的编号，那么不同的分法种数是( )
A．168 B．96
C．72 D．144
解析：选D.6张电影票全部分给4人，每人至少1张至多2张，则必有两人分得2张且这2张具有连续的编号，故这两人共有6种分法：①12，34；②12，45；③12，56；④23，45；⑤23，56；⑥34，56.四个人为甲、乙、丙、丁，其中得两张票的两人可有①甲，乙；②甲，丙；③甲，丁；④乙，丙；⑤乙，丁；⑥丙，丁六种情况．于是，第一步将票搭配，有6种方法；第二步确定得2张票的人，有6种情况；第三步将得2张票的人和得1张票的人分别全排列，于是不同的方法有N＝6×6×A×A＝144(种)．
9.(2011·高考北京卷)用数字2，3组成四位数，且数字2，3至少都出现一次，这样的四位数共有________个．(用数字作答)
解析：可用排除法，这个四位数每一位上的数字只能是2或3，则共有24个，而这其中要求数字2或3至少出现一次，所以全是2和全是3不满足，即满足要求的四位数有24－2＝14个．
答案：14
10.解不等式：A>6A.
解：原不等式可化为>，
其中3≤x≤9，x∈N*，
∴(11－x)(10－x)>6，即x2－21x＋104>0，
∴(x－8)(x－13)>0，∴x<8或x>13.
又∵3≤x≤9，x∈N*，∴3≤x<8，x∈N*.
故x＝3，4，5，6，7.
11.(创新题)明年高考后，我们就要填报志愿了！下面是高考第一批录取志愿表，假若你已经选中了较为满意的8个学校和5个专业，若表格填满没有重复，同一学校的专业也没有重复的话，那么你将有多少种不同的填写方法？
学校
专业
一
二
1
2
3
4
5
6
解：尽管第二排的六个学校志愿是平行志愿，但在录取时还是从前至后，因此仍然存在顺序，再加上第一志愿的一个学校，于是问题相当于从8个学校中，选出7个不同学校的排列问题，每一学校对应着3个专业，由分步乘法计数原理可知，共有A(A)7种不同的填报志愿方法．
1.计算C＋C＋C等于( )
A．120 B．240
C．60 D．480
解析：选A.原式＝C＋C＝C＝120.
2.身高各不相同的7名同学排成一排照相，要求正中间的同学最高，左右两边分别顺次一个比一个低，这样的排法种数是( )
A．5040 B．36
C．18 D．20
解析：选D.最高的同学先站中间，从余下6人中选3人在一侧只有一种站法，另3人在另一侧也只有一种站法，∴排法有C＝20种．故选D.
3.把8名同学分成两组，一组5人学习电脑，一组3人做生物实验，则不同的安排方法有________种．
解析：C＝56.
答案：56
4.(2012·粤西北九校联考)从8名女生4名男生中，选出3名学生组成课外小组，如果按性别比例分层抽样，则不同的抽取方法数为________．
解析：根据分层抽样，3名学生组成课外小组应是男生1人，女生2人；所以取2名女生1名男生的方法的种数为CC＝112.
答案：112
[A级 基础达标]
1.下面几个问题中属于组合问题的是( )
①由1，2，3，4构成的双元素集合；②5个队进行单循环足球比赛的分组情况；③由1，2，3构成两位数的方法；④由1，2，3组成无重复数字的两位数的方法．
A．①③ B．②④
C．①② D．①②④
解析：选C.①②不用考虑顺序，属于组合问题．
2.若C－C＝C，则n等于( )
A．12 B．13
C．14 D．15
解析：选C.C－C＝C，即C＝C＋C＝C，所以n＋1＝7＋8，即n＝14.
3.(2011·高考大纲全国卷)某同学有同样的画册2本，同样的集邮册3本，从中取出4本赠送给4位朋友，每位朋友1本，则不同的赠送方法共有( )
A．4种 B．10种
C．18种 D．20种
解析：选B.分两种情况：①选2本画册，2本集邮册送给4位朋友有C＝6种方法；②选1本画册，3本集邮册送给4位朋友有C＝4种方法，所以不同的赠送方法共有6＋4＝10种，故选B.
4.某仪表显示屏上一排有7个小孔，每个小孔可显示出0或1，若每次显示其中三个孔，但相邻的两孔不能同时显示，则这种显示屏可以显示的不同信号的种数是________种．
解析：显示的孔不相邻，用插空法，4个不显示孔形成5个空．∴有C种选法．每个孔有2种显示方法．
∴共有23C＝80种．
答案：80
5.2011年3月10日是第六届世界肾脏日，某社区服务站将5位志愿者分成3组，其中两组各2人，另一组1人，分别去三个不同的社区宣传这届肾脏日的主题：“保护肾脏，拯救心脏”，则不同的分配方案有________种．(用数字作答)
解析：分配方案有×A＝＝90(种)．
答案：90
6.现有10件产品，其中有2件次品，任意抽出3件检查．
(1)正品A被抽到有多少种不同的抽法？
(2)恰有一件是次品的抽法有多少种？
(3)至少一件是次品的抽法有多少种？
解：(1)C＝＝36(种)．
(2)从2件次品中任取1件有C种方法，从8件正品中取2件有C种方法，由分步乘法计数原理，不同的抽法共有C×C＝2×＝56(种)．
(3)法一：含1件次品的抽法有CC种，含2件次品的抽法有C×C种，由分类加法计数原理，不同的抽法共有C×C＋C×C＝56＋8＝64(种)．
法二：从10件产品中任取3件的抽法为C种，不含次品的抽法有C种，所以至少1件次品的抽法为C－C＝64(种)．
[B级 能力提升]
7.(2012·浙江瑞安期末质检)某校一社团共有10名成员，从周一到周五每天安排两人值日，若甲、乙必须排在同一天，且丙、丁不能排在同一天，则不同的安排方案共有( )
A．21600 B．10800
C．7200 D．5400
解析：选B.CCCCC×CA＝10800.
8.(2012·北京海淀检测)某班班会准备从甲、乙等7名学生中选派4名学生发言，要求甲、乙两人至少有一人参加．当甲乙同时参加时，他们两人的发言不能相邻．那么不同的发言顺序的种数为( )
A．360 B．520
C．600 D．720
解析：选C.若甲乙同时参加，可以先从剩余的5人中选出2人，先排此两人，再将甲乙两人插入其中即可，则共有CAA种不同的发言顺序；若甲乙两人只有一人参加，则共有CCA种不同的发言顺序，综上可得不同的发言顺序为CAA＋CCA＝600种．
9.(2011·高考大纲全国卷)4位同学每人从甲、乙、丙3门课程中选修1门，则恰有2人选修课程甲的不同选法共有________种．
解析：分三步，第一步先从4位同学中选2人选修课程甲，共有C种不同的选法，第二步给第3位同学选课程，必须从乙、丙中选取，共有2种不同的选法，第三步给第4位同学选课程，也必须从乙、丙中选取，共有2种不同的选法，故共有N＝C×2×2＝24种不同的选法．
答案：24
10.有5名男司机，4名女司机，现从中选派3名男司机、2名女司机到5个不同的地区去，有多少种不同的分派方法？
解：∵从5名男司机中选3名，有C种不同选法，
从4名女司机中选2名，有C种不同选法，
然后把选出的5人分派到5个不同的地区去，有A种不同的分派方法，
∴所求的不同的分派方法有C·C·A＝7200(种)．
即有7200种不同的分派方法．
11.(创新题)对于各数互不相等的正整数数组(i1，i2，…，in)(n是不小于2的正整数)，如果当p＜q时，有ip＜iq则称“ip，iq”是该数组的一个“好序”，一个数组中所有“好序”的个数称为此数组的“好序数”．例如，数组(1，3，4，2)中有好序“1，3”“1，4”“1，2”“3，4”，其“好序数”等于4.若各数互不相等的正整数数组(a1，a2，a3，a4，a5，a6)的“好序数”是2，则(a6，a5，a4，a3，a2，a1)的“好序数”是多少？
解：易知各数互不相等的正整数数组(i1，i2，…，in)的“好序数”与(in，…，i2，i1)的“好序数”之和为C，所以(a6，a5，a4，a3，a2，a1)的“好序数”是C－2＝13.
1.(2011·高考福建卷)(1＋2x)5的展开式中，x2的系数等于( )
A．80 B．40
C．20 D．10
解析：选B.(1＋2x)5的展开式的通项为Tr＋1＝C(2x)r＝2rC·xr，令r＝2，得22×C＝4×10＝40，故选B.
2.(x－1)5＋5(x－1)4＋10(x－1)3＋10(x－1)2＋5(x－1)＝( )
A．x5 B．x5－1
C．x5＋1 D．(x－1)5－1
解析：选B.运用二项式定理，得原式＝[(x－1)＋1]5－1＝x5－1.
3.(2012·韶关第一次调研)(2－)8展开式中含x4项的系数为________．
解析：由二项式通项公式得：Tr＋1＝C28－r(－)r，r＝8，系数为C28－r·(－1)r＝1.
答案：1
4.(2011·高考浙江卷)设二项式(a>0)的展开式中x3的系数为A，常数项为B，若B＝4A，则a的值是________．
解析：Tr＋1＝Cx6－r＝(－a)rCx6－r，所以6－r＝3时，r＝2，所以A＝15a2，6－r＝0时，r＝4，所以B＝15a4，
所以15a4＝4×15a2，所以a2＝4，又a＞0，得a＝2.
答案： 2
[A级 基础达标]
1.二项式的展开式中的常数项是( )
A．第10项 B．第9项
C．第8项 D．第7项
解析：选B.展开式的通项公式Tr＋1＝2rCx20－r，令20－r＝0，得r＝8，展开式中常数项是第9项，故选B.
2.(x－y)10的展开式中x6y4项的系数是( )
A．840 B．－840
C．210 D．－210
解析：选A.在通项公式Tr＋1＝C(－y)rx10－r中，令r＝4，即得(x－y)10的展开式中x6y4项的系数为C·(－)4＝840.
3.若Cx＋Cx2＋…＋Cxn能被7整除，则x，n的值可能为( )
A．x＝4，n＝3 B．x＝4，n＝4
C．x＝5，n＝4 D．x＝6，n＝5
解析：选C.由Cx＋Cx2＋…＋Cxn＝(1＋x)n－1，分别将选项A、B、C、D代入检验知，仅有C适合．
4.(2011·高考山东卷)若展开式的常数项为60，则常数a的值为________．
解析：二项式的通项为Tr＋1＝C(－1)ra·x6－3r，令6－3r＝0，则r＝2，故其常数项为C·a＝60，所以a＝4.
答案：4
5.(x＋a)12的展开式中的倒数第4项是________．
解析：∵(x＋a)12的展开式中共13项，它的倒数第4项是第10项，
∴T9＋1＝Cx12－9a9＝Cx3a9＝220x3a9.
答案：220x3a9
6.的展开式中第9项与第10项的二项式系数相等，求x的一次项系数．
解：C＝C，∴n＝17，则Tr＋1＝Cx·2r·x－，
∴－＝1，
∴r＝9，
∴T10＝C·x4·29·x－3
∴T10＝C·29·x，其一次项系数为C29.
[B级 能力提升]
7.(2011·高考陕西卷)(4x－2－x)6(x∈R)展开式中的常数项是( )
A．－20 B．－15
C．15 D．20
解析：选C.由题意得Tr＋1＝C(4x)6－r·(－2－x)r＝(－1)r·C2(12－3r)x，令12－3r＝0得r＝4，则常数项为(－1)4C＝15，故选C.
8.(＋)12的展开式中，含x的正整数次幂的项共有( )
A．4项 B．3项
C．2项 D．1项
解析：选B.设第(r＋1)项含x的正整数次幂，则Tr＋1＝C(x)12－r·(x)r＝Cx6－r，
其中0≤r≤12.要使6－r为正整数，
必须使r为6的倍数，∴r＝0、6、12，
即第1项，第7项，第13项为符合条件的项．
9.(x＋xlgx)5的展开式中的第3项为106，则x的值是________．
解析：T3＝C·x3·(xlgx)2＝106，
即x3·x2lgx＝105，也就是x3＋2lgx＝105，
∵x＞0且x≠1，
∴两边取以10为底的对数，得(3＋2lgx)lgx＝5，
即2(lgx)2＋3lgx－5＝0，
∴lgx＝1或lgx＝－，∴x＝10或x＝10－.
答案：10或10－
10.用二项式定理证明1110－1能被100整除．
证明：∵1110－1＝(10＋1)10－1＝(1010＋C×109＋…＋C×10＋1)－1
＝1010＋C×109＋C×108＋…＋102
＝100×(108＋C×107＋C×106＋…＋1)，
∴1110－1能被100整除．
11.(创新题)已知二项式的展开式中前三项的系数成等差数列．
(1)求n的值；
(2)设＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn；
①求a5的值；
②求a0－a1＋a2－a3＋…＋(－1)nan的值；
③求ai(i＝0，1，2，…，n)的最大值．
解：(1)由题设，得C＋C＝2××C，
即n2－9n＋8＝0，
解得n＝8，n＝1(舍去)．
(2)①Tr＋1＝Cx8－r，
令8－r＝5?r＝3，∴a5＝7.
②在等式的两边取x＝－1，
得a0－a1＋a2－a3＋…＋a8＝.
③设第r＋1项的系数最大，则
即
解得r＝2或r＝3.
∴a6＝C＝7，a5＝C＝7，
所以ai的最大值为7.
1.已知(a＋b)n展开式中只有第5项的二项式系数最大，则n等于( )
A．11 B．10
C．9 D．8
解析：选D.由二项式展开式中只有第5项的二项式系数最大，即第5项是中间项，且中间只有一项，所以展开式共有9项，n＝8.
2.设(1＋x)＋(1＋x)2＋(1＋x)3＋…＋(1＋x)n＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn，当a0＋a1＋a2＋…＋an＝126时，n等于( )
A．5 B．6
C．7 D．8
解析：选B.令x＝1，得2＋22＋…＋2n＝126，所以n＝6.
3.(x3＋2x)7的展开式的第4项的系数是________．
解析：第4项的系数C23＝280.
答案：280
4.在(a＋)n的展开式中，若奇数项的系数和是512，则第8项是________．
解析：(a＋)n的展开式中的奇数项的系数与奇数项的二项式系数相等，则有C＋C＋…＝2n－1，故2n－1＝512，n＝10，故T7＋1＝Ca3()7＝120a6.
答案：120a6
[A级 基础达标]
1.在(1＋x)n(n∈N*)的二项展开式中，若只有x3的系数最大，则n＝( )
A．6 B．9
C．10 D．11
解析：选A.因为只有x3的系数最大，应有7项，所以n＝6，故选A.
2.在(a－b)20的二项展开式中，二项式系数与第6项二项式系数相同的项是( )
A．第15项 B．第16项
C．第17项 D．第18项
解析：选B.第6项的二项式系数为C，与它相等的为倒数第6项，即第16项．
3.若展开式的二项式系数之和为64，则展开式的常数项为( )
A．10 B．20
C．30 D．120
解析：选B.由2n＝64，得n＝6，
∴Tr＋1＝Cx6－r＝Cx6－2r(0≤r≤6，r∈N)．
由6－2r＝0，得r＝3.∴T4＝C＝20.
4.若(x－2)5＝a5x5＋a4x4＋a3x3＋a2x2＋a1x＋a0，则a1＋a2＋a3＋a4＋a5＝________．(用数字作答)
解析：由题设令x＝0得a0＝(－2)5＝－32.
令x＝1得a5＋a4＋a3＋a2＋a1＋a0＝(1－2)5＝－1，
故a1＋a2＋a3＋a4＋a5＝－1－(－32)＝31.
答案：31
5.(2012·长沙质检)将杨辉三角中的奇数换成1，偶数换成0，得到如图所示的0－1三角数表．从上往下数，第1次全行的数都为1的是第1行，第2次全行的数都为1的是第3行，…，第n次全行的数都为1的是第________行；第61行中1的个数是________．
第1行 1 1
第2行 1 0 1
第3行 1 1 1 1
第4行 1 0 0 0 1
第5行 1 1 0 0 1 1
…… …… …… …… …… …… ……
解析：由杨辉三角的性质结合归纳推理知第n次全行的数都为1的是第(2n－1)行，第61行有62个数，其中偶数有30个，故第61行中1的个数为32.
答案：2n－1 32
6.若(3x－1)7＝a7x7＋a6x6＋…＋a1x＋a0，求
(1)a1＋a2＋…＋a7；
(2)a1＋a3＋a5＋a7；
(3)a0＋a2＋a4＋a6.
解：(1)令x＝0，则a0＝－1，
令x＝1，则a7＋a6＋…＋a1＋a0＝27＝128.①
∴a1＋a2＋…＋a7＝129.
(2)令x＝－1，则－a7＋a6－a5＋a4－a3＋a2－a1＋a0＝(－4)7，②
由得a1＋a3＋a5＋a7＝[128－(－4)7]＝8256.
(3)由得a0＋a2＋a4＋a6
＝[128＋(－4)7]＝－8128.
[B级 能力提升]
7.(2012·山东省聊城高二期末)在二项式(2－)8的展开式中不含x4的所有项的系数和( )
A．－1 B．0
C．1 D．2
解析：选B.展开式的通项公式Tr＋1＝C·28－r·(－)r，则含x4项的系数为1，令x＝1，得展开式所有项系数和为(2－)8＝1，因此展开式中不含x4项的系数的和为1－1＝0，故选B.
8.令an为(1＋x)n＋1的展开式中含xn－1项的系数，则数列的前n项和为( )
A. B.
C. D.
解析：选D.Tr＋1＝C·xr，
∴an＝C＝C＝，
＝＝2，
∴ ＝2
＝2＝.
9.(2012·浙江瑞安期末质检)设(x2＋1)(2x＋1)9＝a0＋a1(x＋2)＋a2(x＋2)2＋…a11(x＋2)11，则a0＋a1＋…＋a11的值为________．
解析：令f(x)＝(x2＋1)(2x＋1)9，a0＋a1＋…＋a11＝f(－1)＝－2.
答案：－2
10.在的展开式中，
(1)系数的绝对值最大的项是第几项？
(2)求二项式系数最大的项；
(3)求系数最大的项；
(4)求系数最小的项．
解：Tr＋1＝C·()8－r
＝(－1)r·C·2r·x4－.
(1)设第r＋1项系数的绝对值最大．
则
∴?5≤r≤6.
故系数绝对值最大的项是第6项和第7项．
(2)二项式系数最大的项为中间项，即为第5项．
∴T5＝C·24·x4－＝1120x－6.
(3)由(1)知，展开式中的第6项和第7项系数的绝对值最大，而第6项的系数为负，而第7项的系数为正．
则系数最大的项为T7＝C·26·x－11＝1792x－11.
(4)系数最小的项为T6＝C·25x－＝－1792x－.
11.(创新题)已知，(1)若展开式中第五项、第六项、第七项的二项式系数成等差数列，求展开式中二项式系数最大的项的系数；(2)若展开式中前三项的二项式系数之和等于79，求展开式中系数最大的项．
解：(1)由已知得2C＝C＋C，即n2－21n＋98＝0，解得n＝7或n＝14.
当n＝7时，展开式中二项式系数最大的项是第四项和第五项．
第四项的系数等于C·23＝，第五项的系数等于C··24＝70.
当n＝14时，展开式中二项式系数最大的项是第八项，它的系数为C··27＝3432.
(2)由C＋C＋C＝79，
得n2＋n－156＝0，
解得n＝－13(舍去)，n＝12.
设Tr＋1项的系数最大，
∵＝·(1＋4x)12，
∴?9.4≤r≤10.4.
∴r＝10.
∴展开式中系数最大的项是
T11＝·C·410·x10＝16896x10.
1.8件产品中有3件次品，其余均为正品，从中任取2件，可为随机变量的是( )
A．取到产品的件数 B．取到次品的件数
C．取到正品的概率 D．取到次品的概率
解析：选B.取到产品的件数为定值，不是随机变量，故A不正确；同理，取到正品的概率与取到次品的概率为定值，不是随机变量，故C、D不正确；取到次品的件数为随机变量．
2.设某项试验的成功率是失败率的2倍，用随机变量ξ去描述一次试验的成功次数，则P(ξ＝0)等于( )
A．0 B.
C. D.
解析：选C.设ξ的分布列为
ξ
0
1
P
p
2p
即“ξ＝0”表示试验失败，“ξ＝1”表示试验成功，设失败率为p，则成功率为2p.由p＋2p＝1得p＝.
3.设X是一个离散型随机变量，其分布列为
X
0
1
2
P
0.5
0.4
0.1
则P(X<2)＝________．
解析：P(X<2)＝P(X＝0)＋P(X＝1)＝0.5＋0.4＝0.9.
答案：0.9
4.从分别标有数字1，2，3，4，5，6，7，8，9的9张卡片中任取2张，则两数之和是偶数的概率是________．
解析：由题意，由古典概型概率公式可得所求概率为＝＝.
答案：
[A级 基础达标]
1.一个袋中装有质量相等的红、黄、绿、白四种小球各若干个，一次倒出三个小球，下列变量为离散型随机变量的是( )
A．小球滚出的最大距离
B．倒出小球所需的时间
C．倒出的三个小球的质量之和
D．倒出的三个小球的颜色的种数
解析：选D.因为不能明确小球滚动的范围，所以小球滚出的最大距离不是一个随机变量，故A不正确；因为不能明确所需时间的范围，所以倒出小球所需的时间不是一个随机变量，故B不正确；三个小球的质量之和为定值，不是随机变量，就更不是离散型随机变量，故C不正确；倒出的三个小球的颜色的种数是离散型随机变量，故选D.
2.设随机变量ξ的分布列为P(ξ＝i)＝a()i，i＝1，2，3，则a的值为( )
A．1 B.
C. D.
解析：选D.由P(ξ＝1)＋P(ξ＝2)＋P(ξ＝3)＝1，
得(＋＋)a＝1，∴a＝.
3.(2012·安溪检测)一盒中有12个乒乓球，其中9个新的，3个旧的，从盒中任取3个球来用，用完后装回盒中，此时盒中旧球个数X是一个随机变量，其分布列为P(X)，则P(X＝4)的值为( )
A. B.
C. D.
解析：选C.由题意知取出的3个球必为2个旧球1个新球，故P(X＝4)＝＝.
4.一批产品的次品率为5%，从中任意抽取一个进行检验，用随机变量X来描述次品出现的情况，即得分布列(填概率)：
X
0
1
P
(其中X＝0表示产品为合格品，X＝1表示产品为次品)
解析：X＝0表示取到一个合格品，其概率为95%，这是一个二点分布问题．
答案：95% 5%
5.(2012·荆门检测)由于电脑故障，使得随机变量X的分布列中部分数据丢失(以“x，y”代替)，其表如下：
X
1
2
3
4
5
6
P
0.20
0.10
0.x5
0.10
0.1y
0.20
则丢失的两个数据依次为________．
解析：由0.20＋0.10＋(0.1x＋0.05)＋0.10＋(0.1＋0.01y)＋0.20＝1，得10x＋y＝25，
于是两个数据分别为2，5.
答案：2，5
6.某商店搞促销活动，规则如下：木箱内放有5枚白棋子和5枚黑棋子，顾客从中一次性任意取出5枚棋子，如果取出5枚棋子中恰有5枚白棋子或4枚白棋子或3枚白棋子，则有奖品，奖励办法如表：
取出的棋子
奖品
5枚白棋子
价值50元的商品
4枚白棋子
价值30元的商品
3枚白棋子
价值10元的商品
求一顾客从中得到的奖金数ξ的分布列．
解：ξ可能取的值为50，30，10，0.
P(ξ＝50)＝＝；
P(ξ＝30)＝＝；
P(ξ＝10)＝＝＝；
P(ξ＝0)＝1－－－＝.
∴ξ的分布列为
ξ
0
10
30
50
P
[B级 能力提升]
7.若在甲袋内装有8个白球，4个红球，在乙袋内装有6个白球，6个红球，今从两袋里分别任意取出1个球，设取出的白球个数为ξ，则下列概率中等于的是( )
A．P(ξ＝0) B．P(ξ≤2)
C．P(ξ＝1) D．P(ξ＝2)
解析：选C.即取出白球个数为1的概率，利用古典概型概率公式知选C.
8.(2012·烟台检测)随机变量X的概率分布规律为P(X＝n)＝(n＝1，2，3，4)，其中a是常数，则P的值为( )
A. B.
C. D.
解析：选D.由题意得＋＋＋＝1，
a＝＝1，a＝，
P＝P(X＝1)＋P(X＝2)＝＋＝＝.
9.某国科研合作项目成员由11个美国人，4个法国人和5个中国人组成．现从中随机选出两位作为成果发布人，则此两人不属于同一国家的概率为________．
解析：成员有11＋4＋5＝20人，从中任选2人的不同选法有C种，其中不属于同一国家的有(C·C＋C·C＋C·C)种，根据等可能性事件发生的概率公式，可得所求概率P＝＝，∴应填.
答案：
10.一个袋中有10个大小相同的黑球和白球．已知从袋中任意摸出2个球，至少得到1个白球的概率是.
(1)求白球的个数；
(2)从袋中任意摸出3个球，记得到白球的个数为X，求随机变量X的分布列．
解：(1)记“从袋中任意摸出两个球，至少得到一个白球”为事件A，
设袋中白球的个数为x，
则P(A)＝1－＝，得到x＝5.
故白球有5个．
(2)X服从超几何分布，其中N＝10，M＝5，n＝3，
其中P(X＝k)＝，k＝0，1，2，3.
于是可得其分布列为
X
0
1
2
3
P
11.(创新题)PM2.5是指大气中直径小于或等于2.5微米的颗粒物，也称为可入肺颗粒物．我国PM2.5标准采用世卫组织设定的最宽限值，即PM2.5日均值在35微克/立方米以下空气质量为一级；在35微克/立方米～75微克/立方米之间空气质量为二级；在75微克/立方米以上空气质量为超标．
某试点城市环保局从该市市区2011年全年每天的PM2.5监测数据中随机的抽取15天的数据作为样本，监测值如茎叶图所示(十位为茎，个位为叶)
(1)从这15天的PM2.5日均监测数据中，随机抽出三天，求恰有一天空气质量达到一级的概率；
(2)从这15天的数据中任取三天数据，记ξ表示抽到PM2.5监测数据超标的天数，求ξ的分布列．
解：(1)记“从15天的PM2.5日均监测数据中，随机抽出三天，恰有一天空气质量达到一级”为事件A，P(A)＝＝.
(2)依据条件，ξ服从超几何分布：其中N＝15，M＝5，n＝3，ξ的可能值为0，1，2，3，其分布列为：P(ξ＝k)＝(k＝0，1，2，3)．
于是可得其分布列为
ξ
0
1
2
3
P
1.已知P(B|A)＝，P(AB)＝，则P(A)等于( )
A. B.
C. D.
解析：选C.由P(AB)＝P(A)P(B|A)可得P(A)＝.
2.如图所示，在两个圆盘中，指针落在本圆盘每个数所在区域的机会均等，那么两个指针同时落在奇数所在区域的概率是( )
A. B.
C. D.
解析：选A.设A表示：“第一个圆盘的指针落在奇数所在的区域”，则P(A)＝，
B表示：“第二个圆盘的指针落在奇数所在的区域”，则P(B)＝.
则P(AB)＝P(A)P(B)＝×＝.
3.某人一周晚上值班2次，在已知他周日一定值班的条件下，则他在周六晚上值班的概率为________．
解析：设事件A为“周日值班”，事件B为“周六值班”，则P(A)＝，P(AB)＝，故P(B|A)＝＝.
答案：
4.(2010·高考重庆卷)某篮球队员在比赛中每次罚球的命中率相同，且在两次罚球中至多命中一次的概率为，则该队员每次罚球的命中率为________．
解析：设此队员每次罚球的命中率为p，则1－p2＝，
∴p＝.
答案：
[A级 基础达标]
1.已知P(B|A)＝，P(A)＝，则P(AB)等于( )
A. B.
C. D.
解析：选C.本题主要考查由条件概率公式变形得到的乘法公式，P(AB)＝P(B|A)·P(A)＝×＝，故选C.
2.(2011·高考辽宁卷)从1，2，3，4，5中任取2个不同的数，事件A＝“取到的2个数之和为偶数”，事件B＝“取到的2个数均为偶数”，则P(B|A)＝( )
A. B.
C. D.
解析：选B.P(A)＝＝，P(AB)＝＝，
P(B|A)＝＝.
3.(2011·高考广东卷)甲、乙两队进行排球决赛，现在的情形是甲队只要再赢一局就获冠军，乙队需要再赢两局才能得冠军．若两队胜每局的概率相同，则甲队获得冠军的概率为( )
A. B.
C. D.
解析：选D.先求乙获得冠军的概率p1，则p1＝×＝，故甲获得冠军的概率为p＝1－p1＝，故选D.
4.已知有两台独立在两地工作的雷达，它们发现飞行目标的概率分别为0.9和0.85，则恰有一台雷达发现飞行目标的概率为________．
解析：所求概率为0.9×(1－0.85)＋(1－0.9)×0.85＝0.22.
答案：0.22
5.袋中有大小相同的3个红球，5个白球，从中不放回地依次摸取2球，在已知第一次取出白球的前提下，第二次取得红球的概率是________．
解析：设事件A为“第一次取白球”，事件B为“第二次取红球”，则P(A)＝＝，P(AB)＝＝，故P(B|A)＝＝.
答案：
6.甲、乙两名篮球运动员分别进行一次投篮，如果两人投中的概率都是0.6，计算：
(1)两人都投中的概率；
(2)其中恰有一人投中的概率；
(3)至少有一人投中的概率．
解：(1)设事件A＝“甲投篮一次，投中”，B＝“乙投篮一次，投中”，由题意知，事件A与B相互独立，根据公式所求概率为P(A∩B)＝P(A)·P(B)＝0.6×0.6＝0.36.
(2)事件“两人各投篮一次，恰好有一人投中”包括两种情况：一种是甲投中，乙未投中；另一种是甲未投中，乙投中，根据题意，这两种情况在各投篮一次时不可能同时发生，即事件A∩与∩B互斥，并且A与，与B相互独立，因而所求概率为P(A∩)＋P(∩B)＝P(A)·P()＋P()·P(B)＝0.6×(1－0.6)＋(1－0.6)×0.6＝0.48.
(3)事件“两人各投篮一次，至少有一人投中”的对立事件是“两人各投篮一次，均未投中”，它的概率是
P(∩)＝P()·P()
＝(1－0.6)×(1－0.6)＝0.16.
因此，至少有一人投中的概率为
P(A∪B)＝1－P(∩)＝1－0.16＝0.84.
[B级 能力提升]
7.抛掷一枚均匀的骰子所得的样本空间为Ω＝{1，2，3，4，5，6}，令事件A＝{2，3，5}，B＝{1，2，4，5，6}，则P(A|B)等于( )
A. B.
C. D.
解析：选A.∵A∩B＝{2，5}，∴n(AB)＝2.
又∵n(B)＝5，故P(A|B)＝＝.
8.(2011·高考湖北卷)如图，用K、A1、A2三类不同的元件连接成一个系统．当K正常工作且A1、A2至少有一个正常工作时，系统正常工作，已知K、A1、A2正常工作的概率依次为0.9、0.8、0.8，则系统正常工作的概率为( )
A．0.960 B．0.864
C．0.720 D．0.576
解析：选B.A1、A2同时不能工作的概率为0.2×0.2＝0.04，所以A1、A2至少有一个正常工作的概率为1－0.04＝0.96，所以系统正常工作的概率为0.9×0.96＝0.864.故选B.
9.在一次三人象棋对抗赛中，甲胜乙的概率为0.4，乙胜丙的概率为0.5，丙胜甲的概率为0.6，比赛顺序如下：第一局，甲对乙；第二局，第一局胜者对丙；第三局，第二局胜者对第一局败者；第四局，第三局胜者对第二局败者，则乙连胜四局的概率为________．
解析：乙连胜四局，即乙先胜甲，然后胜丙，接着再胜甲，最后再胜丙，∴概率P＝(1－0.4)×0.5×(1－0.4)×0.5＝0.09.
答案：0.09
10.在一个选拔项目中，每个选手都需要进行四轮考核，每轮设有一个问题，能正确回答者进入下一轮考核，否则被淘汰．已知某选手能正确回答第一、二、三、四轮问题的概率分别为、、、，且各轮问题能否正确回答互不影响．
(1)求该选手进入第三轮才被淘汰的概率；
(2)求该选手至多进入第三轮考核的概率；
(3)该选手在选拔过程中回答过的问题的个数记为X，求随机变量X的分布列．
解：设事件Ai(i＝1，2，3，4)表示“该选手能正确回答第i轮问题”，由已知P(A1)＝，P(A2)＝，
P(A3)＝，P(A4)＝.
P(X＝4)＝P(A1A2A3)＝××＝，
所以，X的分布列为
X
1
2
3
4
P
11.(创新题)如图，三行三列的方阵中有9个数aij(i＝1，2，3，j＝1，2，3)，从中任取三个数，已知取到a22的条件下，求至少有两个数位于同行或同列的概率．
解：令事件A＝{任取的三个数中有a22}．
令事件B＝{三个数至少有两个数位于同行或同列}．
1.种植某种树苗，成活率为0.9，若种植这种树苗5棵，则恰好成活4棵的概率是( )
A．0.33 B．0.066
C．0.5 D．0.45
解析：选A.由n次独立重复试验恰好发生k次的概率公式可知这5棵树苗恰好成活4棵的概率为C×0.94×0.1≈0.33.
2.(2011·高考重庆卷)将一枚均匀的硬币抛掷6次，则正面出现的次数比反面出现的次数多的概率为________．
解析：正面出现的次数比反面出现的次数多，则正面可以出现4次，5次或6次，所求概率P＝C＋C＋C＝.
答案：
3.某射手射击1次，击中目标的概率是0.9，他连续射击4次，且各次射击是否击中目标相互之间没有影响．有下列结论：
①他第3次击中目标的概率是0.9；
②他恰好击中目标3次的概率是0.93×0.1；
③他至少击中目标1次的概率是1－0.14.
其中正确结论的序号是________(写出所有正确结论的序号)．
解析：②中概率P＝C×0.93×0.1.故填①③.
答案：①③
[A级 基础达标]
1.某一试验中事件A发生的概率为p，则在n次独立重复试验中，A发生k次的概率为( )
A．1－pk B．(1－p)kpn－k
C．(1－p)k D．C(1－p)kpn－k
解析：选D.A发生的概率为p，则A发生的概率为1－p，n次试验中A发生k次的概率为C(1－p)kpn－k.
2.(2012·江西九江检测)某人射击一次击中目标的概率为0.6，经过3次射击，此人至少有两次击中目标的概率为( )
A. B.
C. D.
解析：选A.两次击中的概率P1＝C0.62(1－0.6)＝，三次击中的概率P2＝0.63＝，至少两次击中目标的概率P＝P1＋P2＝.故选A.
3.将一枚质地均匀的骰子(它是一种各面上分别标有数1、2、3、4、5、6的正方体玩具)先后抛掷3次，至少出现一次6点向上的概率是( )
A. B.
C. D.
解析：选D.P＝1－＝.
4.接种某种流感疫苗后，出现发热反应的概率为0.2，现在5人接种该疫苗，恰有2人出现发热反应的概率为________．
解析：设出现发热反应的人数为X，则X～B(5，0.2)，
所以P(X＝2)＝C(0.2)2(1－0.2)3＝0.2048.
答案：0.2048
5.如果ξ～B(20，p)，当p＝且P(ξ＝k)取得最大值时，k＝________．
解析：当p＝时，P(ξ＝k)＝C·＝·C，显然当k＝10时，P(ξ＝k)取得最大值．
答案：10
6.(2012·唐山市高二期末)张师傅驾车从公司开往火车站，途径4个交通岗，这4个交通岗将公司到火车站分成5个时段，每个时段的驾车时间都是3分钟，如果遇到红灯要停留1分钟．假设他在各交通岗遇到红灯是相互独立的，并且概率都是.
(1)求张师傅此行程时间不小于16分钟的概率；
(2)记张师傅此行程所需时间为Y分钟，求Y的分布列．
解：(1)如果不遇到红灯，全程需要15分钟，否则至少需要16分钟．张师傅此行程时间不小于16分钟的概率P＝1－＝.
(2)设此行程遇到红灯的次数为X，则X～B，
P(X＝k)＝C×，k＝0，1，2，3，4.
依题意，Y＝15＋X，则Y的分布列为
Y
15
16
17
18
19
P
[B级 能力提升]
7.将一枚硬币连掷5次，如果出现k次正面的概率等于出现k＋1次正面的概率，那么k的值为( )
A．0 B．1
C．2 D．3
解析：选C.由C＝C·，即C＝C，∴k＋(k＋1)＝5，k＝2.
8.(2012·福州高二质检)在三次独立重复试验中，事件A在每次试验中发生的概率相同，若事件A至少发生一次的概率为，则事件A恰好发生一次的概率为( )
A. B.
C. D.
解析：选C.设事件A在每次试验中发生的概率为x，由题意有1－C(1－x)3＝，得x＝，则事件A恰好发生一次的概率为C×＝.
9.位于坐标原点的一个质点P按下述规则移动：质点每次移动一个单位，移动的方向为向上或向右，并且向上、向右移动的概率都是，质点P移动五次后位于点(2，3)的概率是________．
解析：如图，
由题可知，质点P必须向右移动2次，向上移动3次才能位于点(2，3)，问题相当于5次独立重复试验向右恰好发生2次的概率．所求概率为P＝C×＝C＝.
答案：
10.某篮球职业联赛总决赛在甲、乙两支球队之间进行，比赛采用五局三胜制，即哪个队先胜三场即可获得总冠军．已知在每一场比赛中，甲队获胜的概率为，乙队获胜的概率为，求：
(1)甲队以3∶0获胜的概率；
(2)甲队获得总冠军的概率．
解：(1)设“甲队以3∶0获胜”为事件A，
则P(A)＝＝.
(2)设“甲队获得总冠军”为事件B，则事件B包括以下结果：3∶0，3∶1，3∶2三种情况．
若以3∶0胜，则P1＝＝；
若以3∶1胜，则P2＝C··＝；
若以3∶2胜，则P3＝C··＝.
所以，甲队获得总冠军的概率为
P(B)＝P1＋P2＋P3＝.
11.
(创新题)如图，一个圆形游戏转盘被分成6个均匀的扇形区域．用力旋转转盘，转盘停止转动时，箭头A所指区域的数字就是每次游戏所得的分数(箭头指向两个区域的边界时重新转动)，且箭头A指向每个区域的可能性都是相等的．在一次家庭抽奖的活动中，要求每个家庭派一位儿童和一位成人先后分别转动一次游戏转盘，得分情况记为(a，b)(假设儿童和成人的得分互不影响，且每个家庭只能参加一次活动)．
(1)求某个家庭得分为(5，3)的概率？
(2)若游戏规定：一个家庭的得分为参与游戏的两人得分之和，且得分大于等于8的家庭可以获得一份奖品．请问某个家庭获奖的概率为多少？
(3)若共有5个家庭参加抽奖活动．在(2)的条件下，记获奖的家庭数为ξ，求ξ的分布列．
解：(1)记事件A：某个家庭得分情况为(5，3)．
P(A)＝×＝.
所以某个家庭得分情况为(5，3)的概率为.
(2)记事件B：某个家庭在游戏中获奖，则符合获奖条件的得分包括(5，3)，(5，5)，(3，5)共3类情况．所以P(B)＝×＋×＋×＝.所以某个家庭获奖的概率为.
(3)由(2)可知，每个家庭获奖的概率都是，所以ξ～B.
P(ξ＝0)＝C×＝，
P(ξ＝1)＝C ×＝，
P(ξ＝2)＝C×＝，
P(ξ＝3)＝C×＝，
P(ξ＝4)＝C×＝，
P(ξ＝5)＝C×＝.
所以ξ分布列为：
ξ
0
1
2
3
4
5
P
1.随机变量ξ的分布列是
ξ
1
3
5
P
0.5
0.3
0.2
则其数学期望E(ξ)等于( )
A．1 B.
C．4.5 D．2.4
解析：选D.E(ξ)＝1×0.5＋3×0.3＋5×0.2＝2.4.
2.已知随机变量X～B(n，p)，若E(X)＝4，Y＝2X＋3，D(Y)＝3.2，则P(X＝2)＝________．(结果用数字表示)
解析：由已知条件可得，∴n＝5，p＝0.8，
故P(X＝2)＝Cp2(1－p)3＝0.0512.
答案：0.0512
3.编号为1，2，3的3位同学随意坐座位编号为1，2，3的三个座位，每位同学坐一个座位，设与座位编号相同的学生个数是ξ，求E(ξ)，D(ξ)和.
解：ξ＝0，1，3，P(ξ＝0)＝＝，P(ξ＝1)＝＝，P(ξ＝3)＝＝，
所以ξ的分布列为
ξ
0
1
3
P
所以E(ξ)＝0×＋1×＋3×＝1，
D(ξ)＝(0－1)2×＋(1－1)2×＋(3－1)2×＝1，
＝1.
[A级 基础达标]
1.设随机变量X的概率分布为P(X＝k)＝(1－p)kp1－k(k＝0，1)，则E(X)、D(X)的值分别是( )
A．0和1 B．p和p2
C．p和1－p D．1－p和p(1－p)
解析：选D.随机变量X的概率分布为P(X＝k)＝(1－p)kp1－k(k＝0，1)，则P(X＝0)＝p，P(X＝1)＝1－p，E(X)＝0×p＋1×(1－p)＝1－p，D(X)＝[0－(1－p)]2×p＋[1－(1－p)]2×(1－p)＝p(1－p)．
2.随机抛掷一枚骰子，则所得骰子点数ξ的期望为( )
A．0.6 B．1
C．3.5 D．2
解析：选C.抛掷骰子所得点数ξ的分布列为
ξ
1
2
3
4
5
6
P
所以，E(ξ)＝1×＋2×＋3×＋4×＋5×＋6×＝(1＋2＋3＋4＋5＋6)×＝3.5.
3.某人从家乘车到单位，途中有3个交通岗亭．假设在各交通岗遇到红灯的事件是相互独立的，且概率都是0.4，则此人上班途中遇红灯的次数的期望为( )
A．0.4 B．1.2
C．0.43 D．0.6
解析：选B.遇到红灯的次数X服从n＝3，p＝0.4的二项分布，E(X)＝3×0.4＝1.2.
4.若随机变量X的分布列是P(X＝k)＝C·0.1k·0.94－k，k＝0、1、2、3、4.则E(X)＝________．
解析：由题意，X～B(4，0.1)，E(X)＝4×0.1＝0.4.
答案：0.4
5.随机变量ξ的分布列如下：
ξ
－1
0
1
P
a
b
c
其中a、b、c成等差数列，若E(ξ)＝，则D(ξ)的值是______．
解析：E(ξ)＝－1×a＋0×b＋1×c＝c－a＝，
又a＋b＋c＝1，且2b＝a＋c，∴a＝，b＝，c＝.
∴D(ξ)＝×＋×＋×＝.
答案：
6.(2012·北海市检测)某企业招聘中，依次进行A科、B科考试，当A科合格时，才可考B科，且两科均有一次补考机会，两科都合格方通过．甲参加招聘，已知他每次考A科合格的概率均为，每次考B科合格的概率均为.假设他不放弃每次考试机会，且每次考试互不影响．
(1)求甲恰好3次考试通过的概率；
(2)记甲参加考试的次数为ξ，求ξ的分布列和期望．
解：设甲“第一次考A科成绩合格”为事件A1，“A科补考后成绩合格”为事件A2，“第一次考B科成绩合格”为事件B1，“B科补考后成绩合格”为事件B2.
分布列如下表
ξ
2
3
4
P
E(ξ)＝2×＋3×＋4×＝.
[B级 能力提升]
7.若随机变量X1～B(n，0.2)，X2～B(6，p)，X3～B(n，p)，且E(X1)＝2，D(X2)＝，则标准差的值是( )
A．0.5 B.
C. D．3.5
解析：选C.∵X1～B(n，0.2)，
∴E(X1)＝0.2n＝2，∴n＝10.
又X2～B(6，p)，
∴D(X2)＝6p(1－p)＝，∴p＝.
又X3～B(n，p)，∴X3～B，
∴＝ ＝.
8.有10件产品，其中3件是次品，从中任取两件，若X表示取到次品的个数，则E(X)等于( )
A. B.
C. D．1
解析：选A.X＝1时，P＝；X＝2时，P＝，
∴E(X)＝1×＋2×＝＝.
9.(2011·高考浙江卷)某毕业生参加人才招聘会，分别向甲、乙、丙三个公司投递了个人简历，假定该毕业生得到甲公司面试的概率为，得到乙、丙两公司面试的概率均为p，且三个公司是否让其面试是相互独立的．记X为该毕业生得到面试的公司个数．若P(X＝0)＝，则随机变量X的数学期望E(X)＝________．
解析：∵P(X＝0)＝×(1－p)2＝，
∴p＝.
则P(X＝1)＝××＋×××2＝，
P(X＝2)＝×××2＋××＝，
P(X＝3)＝××＝.
∴E(X)＝0×＋1×＋2×＋3×＝.
答案：
10.
(2012·郑州高二质检)第30届夏季奥运会于2012年7月27日在伦敦举行，当地某学校招募了8名男志愿者和12名女志愿者．将这20名志愿者的身高编成如下茎叶图(单位：cm)：若身高在180 cm以上(包括180 cm)定义为“高个子”，身高在180 cm以下(不包括180 cm)定义为“非高个子”，且只有“女高个子”才能担任“礼仪小姐”．
(1)如果用分层抽样的方法从“高个子”和“非高个子”中抽取5人，再从这5人中选2人，那么至少有一人是“高个子”的概率是多少？
(2)若从所有“高个子”中选3名志愿者，用X表示所选志愿者中能担任“礼仪小姐”的人数，试写出X的分布列，并求X的数学期望．
解：(1)根据茎叶图，有“高个子”8人，“非高个子”12人，用分层抽样的方法，每个人被抽中的概率是＝，所以选中的“高个子”有8×＝2人，“非高个子”有12×＝3人．
用事件A表示“至少有一名“高个子”被选中”，则它的对立事件A表示“没有一名“高个子”被选中”，则P(A)＝1－＝1－＝.因此，至少有一人是“高个子”的概率是.
(2)依题意，所选志愿者中能担任“礼仪小组”的人数X的取值分别为0，1，2，3.
P(X＝0)＝＝，P(X＝1)＝＝，P(X＝2)＝＝，P(X＝3)＝＝.
因此，X的分布列如下：
X
0
1
2
3
P
所以X的数学期望E(X)＝0×＋1×＋2×＋3×＝.
11.(创新题)有甲、乙两个单位都愿意聘用你，而你能获得如下信息：
甲单位不同职位月工资X1/元
1200
1400
1600
1800
获得相应职位的概率P1
0.4
0.3
0.2
0.1
乙单位不同职位月工资X2/元
1000
1400
1800
2200
获得相应职位的概率P2
0.4
0.3
0.2
0.1
根据工资待遇的差异情况，你愿意选择哪家单位？
解：根据月工资的分布列，利用计算器可算得
E(X1)＝1200×0.4＋1400×0.3＋1600×0.2＋1800×0.1＝1400，
D(X1)＝(1200－1400)2×0.4＋(1400－1400)2×0.3＋(1600－1400)2×0.2＋(1800－1400)2×0.1＝40000；
E(X2)＝1000×0.4＋1400×0.3＋1800×0.2＋2200×0.1＝1400，
D(X2)＝(1000－1400)2×0.4＋(1400－1400)2×0.3＋(1800－1400)2×0.2＋(2200－1400)2×0.1＝160000.
因为E(X1)＝E(X2)，D(X1)＜D(X2)，所以两家单位的工资均值相等，但甲单位不同职位的工资相对集中，乙单位不同职位的工资相对分散．这样，如果你希望不同职位的工资差距小一些，就选择甲单位；如果你希望不同职位的工资差距大一些，就选择乙单位．
1.关于正态曲线性质的叙述：
①曲线关于直线x＝μ对称，整条曲线在x轴上方；
②曲线对应的正态总体概率密度函数是偶函数；
③曲线在x＝μ处处于最高点，由这一点向左右两边延伸时，曲线逐渐降低；
④曲线的对称位置由μ确定，曲线的形状由σ确定，σ越大曲线越“矮胖”，反之，曲线越“高瘦”．
上述对正态曲线的叙述正确的是( )
A．①②③ B．①③④
C．②③④ D．①②③④
解析：选B.根据正态曲线的性质，当x∈(－∞，＋∞)时，正态曲线全在x轴上方，只有当μ＝0时，正态曲线才关于y轴对称，所以②不正确．
2.
如图是当ξ取三个不同值ξ1，ξ2，ξ3时的三种正态曲线N(0，σ2)的图象，那么σ1，σ2，σ3的大小关系是( )
A．σ1＞1＞σ2＞σ3＞0
B．0＜σ1＜σ2＜1＜σ3
C．σ1＞σ2＞1＞σ3＞0
D．0＜σ1＜σ2＝1＜σ3
解析：选D.利用正态曲线的性质求解．
当μ＝0，σ＝1时，正态曲线f(x)＝e－(x∈R)，在x＝0时，取最大值，故σ2＝1.由正态曲线的性质，当μ一定时，曲线的形状由σ确定，σ越小，曲线越“高瘦”；σ越大，曲线越“矮胖”，于是有0＜σ1＜σ2＝1＜σ3.
3.已知正态分布落在区间(0.2，＋∞)上的概率为0.5，那么相应的正态曲线f(x)在x＝________时，达到最高点．
解析：由于正态曲线关于直线x＝μ对称且其落在区间(0.2，＋∞)上的概率为0.5，得μ＝0.2.
答案：0.2
4.设离散型随机变量ξ～N(0，1)，则P(ξ≤0)＝________；P(－2＜ξ＜2)＝________．
解析：因为标准正态曲线的对称轴为x＝0，所以P(ξ≤0)＝P(ξ＞0)＝.而P(－2＜ξ＜2)＝P(－2σ＜ξ＜2σ)＝0.954.
答案： 0.954
[A级 基础达标]
1.设随机变量X服从正态分布，且相应的概率密度函数为f(x)＝e－，则( )
A．μ＝2，σ＝3 B．μ＝3，σ＝2
C．μ＝2，σ＝ D．μ＝3，σ＝
解析：选C.由f(x)＝e，得μ＝2，σ＝.故选C.
2.正态总体N(0，1)取值于区间(－1，1)内的概率约为( )
A．0 B．0.841
C．0.683 D．1
解析：选C.设变量ξ～N(0，1)，
则μ＝0，σ＝1，(μ－σ，μ＋σ)＝(－1，1)．
所以ξ取值于区间(－1，1)内的概率约为0.683.
3.已知一次考试共有60名同学参加，考生的成绩X～N(110，52)，据此估计，大约应有57人的分数在下列哪个区间内？( )
A．(90，110] B．(95，125]
C．(100，120] D．(105，115]
解析：选C.由于X～N(110，52)，∴μ＝110，σ＝5.
因此考试成绩在区间(105，115]，(100，120]，(95，125]上的概率分别应是0.683，0.954，0.997.
由于一共有60人参加考试，
∴成绩位于上述三个区间的人数分别是：
60×0.683≈41人，
60×0.954≈57人，
60×0.997≈60人．故选C.
4.在某项测量中，测量结果ξ服从正态分布N(1，σ2)(σ2＞2)．若ξ在(0，1)内取值的概率为0.4，则ξ在(0，2)内取值的概率为________．
解析：因为ξ的概率密度函数曲线关于直线x＝1对称，所以ξ在(0，1)内取值的概率与ξ在(1，2)内取值的概率相等，故ξ在(0，2)内取值的概率为0.4×2＝0.8.
答案：0.8
5.某地农民月平均收入服从μ＝500元，σ＝20元的正态分布，则此地农民月平均收入在500元～520元之间人数的百分比是________．
解析：因为μ＝500，σ＝20，所以P(500－20＜ξ＜500＋20)＝0.683.
所以月平均收入在500～520元之间人数的百分比为×0.683＝0.3415＝34.15%.
答案：34.15%
6.水浒书业在2012年上半年对《优化方案》同步系列丛书，在河南某校调查了1200人，其调查的分数服从(95，52)的正态分布，该书业公司准备在下半年对于评分为85分～95分的人再作详细调查，那么水浒书业应准备多少人的问卷？
解：设每人的评分X～N(95，52)，
得分85～95分的概率为
P(85＝×0.954＝0.477.
故85～95分的人数为0.477×1200≈572.4
故准备573人的问卷．
[B级 能力提升]
7.若随机变量ξ～N(2，100)，若ξ落在区间(－∞，k)和(k，＋∞)内的概率是相等的，则k等于( )
A．2 B．10
C. D．可以是任意实数
解析：选A.由于ξ的取值落在(－∞，k)和(k，＋∞)内的概率是相等的，所以正态曲线在直线x＝k的左侧和右侧与x轴围成的面积应该相等，于是正态曲线关于直线x＝k对称，即μ＝k，而μ＝2，∴k＝2.故选A.
8.设随机变量ξ服从正态分布N(0，1)，已知P(ξ≤－1.96)＝0.025，则P(|ξ|<1.96)＝( )
A．0.025 B．0.050
C．0.950 D．0.975
解析：选C.ξ服从正态分布N(0，1)，则P(ξ<1.96)＝1－P(ξ≤－1.96)，从而P(|ξ|<1.96)＝P(－1.96<ξ<1.96)＝P(ξ<1.96)－P(ξ≤－1.96)＝1－2P(ξ≤－1.96)＝1－2×0.025＝0.950.故选C.
9.(2012·深圳中学期末)如果随机变量ξ～N(－1，σ2)，且P(－3≤ξ≤－1)＝0.4，则P(ξ≥1)＝________．
解析：如果随机变量ξ～N(－1，σ2)，且P(－3≤ξ≤－1)＝0.4，
∴P(ξ≥1)＝＝＝0.1.
答案：0.1
10.(2012·佛山质检)佛山某学校的场室统一使用“佛山照明”的一种灯管，已知这种灯管使用寿命ξ(单位：月)服从正态分布N(μ，σ2)，且使用寿命不少于12个月的概率为0.8，使用寿命不少于24个月的概率为0.2.
(1)求这种灯管的平均使用寿命μ；
(2)假设一间功能室一次性换上4支这种新灯管，使用12个月时进行一次检查，将已经损坏的灯管换下(中途不更换)，求至少两支灯管需要更换的概率．
解：(1)∵ξ～N(μ，σ2)，P(ξ≥12)＝0.8，P(ξ≥24)＝0.2，∴P(ξ＜12)＝0.2，
显然P(ξ＜12)＝P(ξ ＞24)，
由正态分布密度函数的对称性可知，μ＝＝18，
即每支这种灯管的平均使用寿命是18个月．
(2)每支灯管使用12个月时已经损坏的概率为1－0.8＝0.2，
假设使用12个月时该功能室需要更换的灯管数量为η支，则η～B(4，0.2)，
故至少两支灯管需要更换的概率为
P＝1－P(η＝0)－P(η＝1)＝1－C0.84－C0.83×0.21＝(写成≈0.18也可以)．
11.(创新题)某投资商制定了两个投资方案，准备选择其中一个．已知这两个投资方案的利润x(万元)分别服从正态分布N(8，32)和N(7，12)．该投资商要求“利润超过5万元”的概率尽量地大，他应该选择哪一个方案？
解：①当选择X～N(8，32)的方案时，
则有μ＝8，σ＝3.
∴P(8－3＜X＜8＋3)＝P(5＜X＜11)＝0.683，
∴P(X＞5)＝＋P(5＜X＜8)＝＋P(5＜X＜11)＝0.5＋0.3415＝0.8415.
即选择X～N(8，32)的方案时，利润超过5万元的概率为0.8415.
②当选择X～N(7，12)的方案时，
则有μ′＝7，σ′＝1.
∴P(7－2×1＜X＜7＋2×1)＝P(5＜X＜9)＝0.954，
∴P(X＞5)＝＋P(5＜X＜7)＝＋P(5＜X＜9)＝0.5＋0.477＝0.977，
即选择X～N(7，12)的方案时，利润超过5万元的概率为0.977.
综上可得选择X～N (7，12)的方案时，利润超过5万元的概率大．
1.事件A、B是相互独立的，下列四个式子：
其中正确的有( )
A．1个 B．2个
C．3个 D．4个
解析：选D.事件A与B相互独立，则A与B，A与B，A与B也相互独立．
2.对于分类变量A与B的统计量χ2，下列说法正确的是( )
A．χ2越大，说明“A与B有关系”的可信度越小
B．χ2越大，说明“A与B无关”的程度越大
C．χ2越小，说明“A与B有关系”的可信度越小
D．χ2接近于0，说明“A与B无关”的程度越小
解析：选C.由独立性检验的定义及χ2的意义可知C正确．
3.用χ2统计量进行独立性检验时，使用的表称为________，要求表中的四个数据均大于或等于________．
解析：在使用χ2统计量作2×2列联表的独立性检验时，要求表中的4个数据大于或等于5.在选取样本容量时一定要注意这一点．
答案：2×2列联表 5
4.若两个分类变量X和Y的列联表为：
y1
y2
合计
x1
5
15
20
x2
40
10
50
合计
45
25
70
则X与Y之间有关系的概率约为________．
解析：χ2≈18.8＞6.635.故有99%的把握认为X与Y有关．
答案：99%
[A级 基础达标]
1.如果在犯错误的概率不超过0.05的前提下说事件A和B有关系，那么具体计算出的数据是( )
A．χ2≥3.841 B．χ2≤3.841
C．χ2≥6.635 D．χ2≤6.635
解析：选A.比较χ2的值与临界值的大小，P(χ2≥3.841)≈0.05.
2.提出统计假设H0，计算出χ2的值，则拒绝H0的是( )
A．χ2＝6.635 B．χ2＝2.63
C．χ2＝0.725 D．χ2＝1.832
解析：选A.χ2的大小可以决定是否拒绝原来的统计假设H0，若χ2的值较大，就拒绝H0，即拒绝两个分类变量无关．
3.调查男女学生购买食品时，是否看出厂日期与性别有无关系，最有说明力的是( )
A．期望 B．方差
C．正态分布 D．独立性检验
解析：选D.判断两个事件是否相关时，常用独立性检验．
4.为了了解高中生是否喜欢上体育课与性别之间的关系，在某校随机调查了一些学生情况，具体数据如下表：
喜欢
不喜欢
男
20
8
女
7
15
假设是否喜欢上体育课与性别无关，根据表中的数据，可以得到
χ2＝≈7.782.
因为χ2>6.635，所以判定是否喜欢上体育课与性别有关系，那么这种判断出错的可能性为________．
解析：因为χ2>6.635所以我们有99%的把握认为喜欢上体育课与性别有关系，从而判断出错的可能性为1%.
答案：1%
5.某卫生机构对366人进行健康体检，有阳性家族史者糖尿病发病的有16例，不发病的有93例，阴性家族史者糖尿病发病的有17例，不发病的有240例，则有________的把握认为糖尿病患者与遗传有关系．
解析：列出2×2列联表：
发病
不发病
合计
阳性家族史
16
93
109
阴性家族史
17
240
257
合计
33
333
366
所以随机变量χ2的值为：
χ2＝≈6.067＞3.841.
所以有95%的把握认为糖尿病患者与遗传有关．
答案：95%
6.在一次恶劣气候的飞行航程中调查男女乘客在机上晕机的情况，共调查了89位乘客，其中男乘客有24人晕机，31人不晕机；女乘客有8人晕机，26人不晕机．根据此材料您是否认为在恶劣气候飞行中，男人比女人更容易晕机？
解：由已知数据制成如下列联表：
晕机
不晕机
合计
男人
24
31
55
女人
8
26
34
合计
32
57
89
根据表中数据得χ2＝≈3.689.
由于3.689<3.841，所以我们没有把握认为在本次飞机飞行中，晕机与男女有关．尽管这次航班中男人晕机的比例24∶55比女人晕机的比例8∶34高，但我们不能认为在恶劣气候中飞行，男人比女人更容易晕机．
[B级 能力提升]
7.下面是一个2×2列联表：
y1
y2
合计
x1
a
21
73
x2
2
25
27
合计
b
46
100
则表中a，b的值分别为( )
A．94，96 B．52，50
C．52，54 D．54，52
解析：选C.∵a＋21＝73，∴a＝73－21＝52.
又∵a＋2＝b，∴b＝52＋2＝54.
8.考察棉花种子经过处理与得病之间的关系得到如下表数据
种子处理
种子未处理
合计
得病
32
101
133
不得病
61
213
274
合计
93
314
407
根据以上数据，则( )
A．种子经过处理跟是否生病有关
B．种子经过处理跟是否生病无关
C．种子是否经过处理决定是否生病
D．以上都是错误的
解析：选B.χ2＝
≈0.1641＜3.841，故种子是否经过处理与生病无关．
9.(2012·青岛检测)调查者通过随机询问72名男女中学生喜欢文科还是理科，得到如下列联表(单位：名)：
性别与喜欢文科还是理科列联表
喜欢文科
喜欢理科
合计
男生
8
28
36
女生
20
16
36
合计
28
44
72
估计中学生的性别和喜欢文科还是理科________关系．(填“有”或“没有”)
解析：χ2＝≈8.416＞6.635.故我们有99%的把握认为中学生的性别和喜欢文科还是理科有关系．
答案：有
10.巴西医生马廷思收集犯有各种贪污、受贿罪的官员和廉洁官员寿命的调查资料：500名贪官中有348人的寿命小于平均寿命，152人的寿命大于或等于平均寿命；590名廉洁的官员中有93人的寿命小于平均寿命，497人的寿命大于或等于平均寿命．这里，平均寿命是指“当地人均寿命”．试分析官员在经济上是否清白与他们寿命的长短之间是否独立？
解：设寿命大于平均寿命为长寿，寿命小于平均寿命为短寿，根据题意有下列2×2列联表：
短寿
长寿
合计
贪官
348
152
500
廉洁官员
93
497
590
合计
441
649
1090
由公式得
χ2＝≈325.635.
因为325.635>6.635，所以我们有99%的把握说官员在经济上是否清白与他们寿命的长短之间有关系，即在经济上不清白的官员易过早死亡．
11.(创新题)有两个变量x与y，其一组观测值如下面的2×2列联表所示：
y1
y2
合计
x1
a
20－a
20
x2
15－a
30＋a
45
合计
15
50
65
其中a，15－a均为大于5的整数，则a取何值时，有95%的把握认为x与y之间有关系？
解：查表可知，要使有95%的把握认为x与y之间有关系，则χ2>3.841，
而χ2＝
＝＝.由χ2>3.841得a>7.688或a<1.543.又a>5且15－a>5，a∈Z，即a＝8，9，故a为8或9时，有95%的把握认为x与y之间有关系．
1.下列有关线性回归的说法，不正确的是( )
A．变量取值一定时，因变量的取值带有一定随机性的两个变量之间的关系叫做相关关系
B．在平面直角坐标系中，用描点的方法得到的，表示具有相关关系的两个量的一组数据的图形叫做散点图
C．线性回归直线方程最能代表观测值x，y之间的关系
D．任何一组观测值都能得到具有代表意义的回归直线方程
解析：选D.只有对两个变量具有线性相关性作出判断时，利用最小二乘法求出线性方程才有意义．
2.对变量x，y有观测数据(xi，yi)(i＝1，2，…，10)，得散点图如图①；对变量u，v有观测数据(ui，vi)(i＝1，2，…，10)，得散点图如图②.由这两个散点图可以判断( )
A．变量x与y正相关，u与v正相关
B．变量x与y正相关，u与v负相关
C．变量x与y负相关，u与v正相关
D．变量x与y负相关，u与v负相关
解析：选C.题图①中的数据y随着x的增大而减小，因此变量x与变量y负相关；题图②中的数据随着u的增大，v也增大，因此u与v正相关．
3.若施化肥量x与小麦产量Y之间的回归直线方程为＝250＋4x，当施化肥量为50 kg时，预计小麦产量为________kg.
解析：把x＝50代入＝250＋4x，可求得＝450 (kg)．
答案：450
4.下面是两个变量的一组数据：
x
1
2
3
4
5
6
7
8
y
1
4
9
16
25
36
49
64
则x与y两个变量之间的回归方程为________．
＝y－x＝25.5－9×4.5＝－15，
∴回归直线方程为＝－15＋9x.
答案：＝－15＋9x
[A级 基础达标]
1.若回归直线方程中的回归系数b＝0，则相关系数( )
A．r＝1 B．r＝－1
C．r＝0 D．无法确定
若b＝0，则r＝0.
2.(2012·山东省潍坊月考)为了解儿子身高与其父亲身高的关系，随机抽取5对父子的身高数据如下：
父亲身高x(cm)
174
176
176
176
178
儿子身高y(cm)
175
175
176
177
177
则y对x的线性回归方程为( )
A．y＝x－1 B．y＝x＋1
C．y＝x＋88 D．y＝176
解析：选C.由回归方程＝bx＋a过点可以知道线性回归方程为y＝x＋88.
3.工人工资(元)以劳动生产率(千元)变化的回归方程为＝50＋80x，下列判断正确的是( )
A．劳动生产率为1000元时，工资为130元
B．劳动生产率提高1000元时，工资提高80元
C．劳动生产率提高1000元时，工资提高130元
D．当月工资210元时，劳动生产率为2000元
解析：选B.＝50＋80x是工人工资()与劳动生产率(x)的回归方程，所以2－1＝80(x2－x1)，当x2－x1＝1(千元)时，2－1＝80(元)．
4.设有一个回归方程为＝2－2.5x，则变量x增加一个单位时，________．
解析：由回归方程可知，x增加1，y减少2.5.
答案：平均减少2.5个单位
5.(2012·滕州二中期中)某单位为了了解用电量y度与气温x ℃之间的关系，随机统计了某4天的用电量与当天气温，并制作了对照表：
气温(℃)
18
13
10
－1
用电量(度)
24
34
38
64
由表中数据得线性回归方程＝bx＋a中b＝－2，预测当气温为－4 ℃时，用电量的度数约为________．
解析：由回归方程＝bx＋a过点，可以得到a＝60，则回归方程＝－2x＋60，当x＝－4时，y＝68.
答案：68
6.一个工厂在某年里每月产品的总成本y(万元)与该月产量x(万件)之间有如下一组对应数据：
x(万件)
1.08
1.12
1.19
1.28
1.36
1.48
y(万元)
2.25
2.37
2.40
2.55
2.64
2.75
x(万件)
1.59
1.68
1.80
1.87
1.98
2.07
y(万元)
2.92
3.03
3.14
3.26
3.36
3.50
(1)画出散点图；
(2)求月总成本y对月产量x的回归直线方程．
解：(1)散点图如图所示．
故所求的回归直线方程为＝1.216x＋0.973.
[B级 能力提升]
7.某考察团对全国10大城市进行职工人均工资水平x(千元)与居民人均消费水平Y(千元)统计调查，Y与x具有相关关系，回归方程为＝0.66x＋1.562，若某城市居民人均消费水平为7.675千元，估计该城市人均消费额占人均工资收入的百分比约为( )
A．83% B．72%
C．67% D．66%
解析：选A.将y＝7.675代入回归方程，可计算得x≈9.26，所以该城市人均消费额占人均工资收入的百分比约为7.675÷9.26≈0.83，即约为83%.
8.(2011·高考山东卷)某产品的广告费用x与销售额y的统计数据如下表：
广告费用x(万元)
4
2
3
5
销售额y(万元)
49
26
39
54
根据上表可得回归方程＝x＋中的为9.4，据此模型预报广告费用为6万元时销售额为( )
A．63.6万元 B．65.5万元
C．67.7万元 D．72.0万元
9.(2011·高考广东卷)某数学老师身高176 cm，他爷爷、父亲和儿子的身高分别是173 cm、170 cm和182 cm.因儿子的身高与父亲的身高有关，该老师用线性回归分析的方法预测他孙子的身高为________cm.
解析：儿子和父亲的身高可列表如下：
父亲身高
173
170
176
儿子身高
170
176
182
答案：185
10.为研究物体质量x(单位：克)对弹簧长度y(单位：厘米)的影响，对挂有不同质量的物体的6根弹簧(弹簧的弹性系数是相同的)的长度进行测量，数据如下表：
x(克)
4
6
8
10
12
14
y(厘米)
6.3
7.1
7.9
8.9
9.9
10.8
(1)画出散点图；
(2)对x，y两个变量进行相关性检验；
(3)求y对x的回归直线方程．
解：(1)散点图如图所示．
查临界值表：4－2＝2的r0.05＝0.950.
因为r>r0.05，所以Y与x有线性相关关系．
(2)由(1)可知Y与x有线性相关关系，
所以，＝≈0.7286，
＝8.25－0.7286×12.5＝－0.8575.
所以Y对x的回归直线方程为＝0.7286x－0.8575.
(3)要使≤10，即0.7286x－0.8575≤10，
则x≤14.9019.
所以机器的转速应控制在15转/秒以下．
(时间：120分钟；满分：150分)
一、选择题(本大题共12小题．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1.由数字1，2，3，4，5组成没有重复数字的五位数，其中小于50000的偶数共有( )
A．60个 B．48个
C．36个 D．24个
解析：选C.个位数有A种排法，万位有A种，其余三位有A种，共有AAA＝36(个)．
2.过三点(3，10)，(7，20)，(11，24)的线性回归方程是( )
A.＝5.75－1.75x
B.＝5.75＋1.75x
C.＝1.75＋5.75x
D.＝1.75－5.75x
解析：选B.运用公式求出，即可或求、代入验证．
3.有甲、乙两种钢材，从中各取等量样品检验它们的抗拉强度指标如下：
X
110
120
125
130
135
P
0.1
0.2
0.4
0.1
0.2
X
100
115
125
130
145
P
0.1
0.2
0.1
0.4
0.2
现要比较两种钢材哪一种抗拉强度较好，应考察哪项指标( )
A．期望与方差 B．正态分布
C．卡方χ2 D．概率
解析：选A.检验钢材的抗拉强度先考察平均抗拉强度．若平均抗拉强度相同，再比较波动情况．故选A.
4.有5盆菊花，其中黄菊花2盆、白菊花2盆、红菊花1盆，现把它们摆放成一排，要求2盆黄菊花必须相邻，2盆白菊花不能相邻，则这5盆花的不同摆放种数是( )
A．12 B．24
C．36 D．48
解析：选B.利用相邻问题捆绑法，间隔问题插空法得：AAA＝24.
5.袋中共有8个球，其中3个红球、2个白球、3个黑球．若从袋中任取3个球，则所取3个球中至多有1个红球的概率是( )
A. B.
C. D.
解析：选D.明确公式P＝中n表示为“从8个球取3个球，”的各种情形，m表示“至多有1个红球”的各种情形．解题的关键是将“至多有1个红球”分为“有一个红球”和“没有红球”两类．P＝＋＝.
6.宿舍走廊装有编号为1，2，3，…，8的8盏照明灯，既照明又省电，要熄灭其中3盏灯，但编号相邻的不能同时熄灭，共有不同的熄灯方法有( )
A．20种 B．120种
C．1120种 D．56种
解析：选A.将熄灭的3盏灯插入5盏灯的6个空当，故有C＝20种．故选A.
7.在的展开式中，x4的系数为( )
A．－120 B．120
C．－15 D．15
解析：选C.在的展开式中，x4项是Cx7·＝－15x4.
8.五名志愿者去四个不同的社区参加创建文明城市的公益活动，每个社区至少一人，且甲、乙不能分在同一个社区，则不同的分配方法有( )
A．240种 B．216种
C．120种 D．72种
解析：选B.五名志愿者分成四组，每组至少一人且甲乙不在同一组共有＋C种，再把四组安排到四个社区，共有· A＝216.
9.某小组有8名学生，从中选出2名男生，1名女生，分别参加数、理、化单科竞赛，每人参加一种，共有90种不同的参赛方案，则男女生的人数应是( )
A．男生6名，女生2名
B．男生5名，女生3名
C．男生3名，女生5名
D．男生2名，女生5名
解析：选C.设男生有n人，则女生有(8－n)人，所以CCA＝90，得n(n－1)(8－n)＝30，所以n＝3.故选C.
10.
某次市教学质量检测，甲、乙、丙三科考试成绩的直方图如图所示(由于人数众多，成绩分布的直方图可视为正态分布)，则由如图曲线可得下列说法中正确的是( )
A．甲科总体的标准差最小
B．丙科总体的平均数最小
C．乙科总体的标准差及平均数都居中
D．甲、乙、丙总体平均数不相同
解析：选A.甲、乙、丙平均数一样，甲科总体的标准差最小．
11.随机变量X的分布列如下表：
X
1
2
3
P
0.2
0.5
m
若随机变量η＝2X＋1，则E(η)为( )
A．4.2 B．2.1
C．5.2 D．随m变化而变化
解析：选C.由题意知0.2＋0.5＋m＝1，得m＝0.3.
E(X)＝1×0.2＋2×0.5＋3×0.3＝2.1，
∴E(η)＝2E(X)＋1＝2×2.1＋1＝5.2.
12.已知ab＜0，a＋b＝1，(a＋b)9展开按a的降幂排列后第二项不大于第三项，则a的取值范围是( )
A．(－∞，) B．[，＋∞)
C．(－∞，) D．(1，＋∞)
解析：选B.∵Ca8b≤Ca7b2，
∴a8b－4a7b2≤0，即a7b(a－4b)≤0.
∵ab＜0，∴a－4b≥0，∴a－4(1－a)≥0，
∴a≥.
二、填空题(本大题共4小题，请把正确的答案填在题中横线上)
13.
在具有5个行政区域的地图(如图)上，给这5个区域着色共使用了4种不同的颜色，相邻区域不使用同一颜色，则有________种不同的着色方法．
解析：依题意，一共使用了4种不同的颜色，因5块区域，故必有2块颜色相同．分成2类：若1，5块颜色相同，则CCC＝24；若2，4颜色相同，同理也有24种，故共有48种不同的着色方法．
答案：48
14.已知随机变量X服从正态分布N(0，σ2)且P(－2≤X≤0)＝0.4，则P(X＞2)＝________．
解析：由已知P(0≤X≤2)＝P(－2≤X≤0)＝0.4，
∴P(X＞2)＝×(1－0.4－0.4)＝0.1.
答案：0.1
15.某校要从2名男生和4名女生中选出4人担任某游泳赛事的志愿者工作，则在选出的志愿者中，男、女生都有的概率为________．(结果用数值表示)
解析：根据限制条件进行分类“1男3女”“2男2女”两类情况，然后利用公式P＝进行求解．若“1男3女”则有CC，“2男2女”有CC，故P＝＝.
答案：
16.从1，2，3，4，5中任取2个不同的数，事件A＝“取到的2个数之和为偶数”，事件B＝“取到的2个数均为偶数”，则P(B|A)＝________．
解析：法一：∵P(A)＝＝，P(AB)＝＝，
∴P(B|A)＝＝.
法二：事件A发生的基本事件数有C＋C＝4个，事件B发生的基本事件数只有一个，所以P(B|A)＝.
答案：
三、解答题(本大题共6小题，解答时应写必要的出文字说明、证明过程或演算步骤)
17.水浒书业印刷部11名工人中，有5人只会排版，4人只会印刷，还有2人既会排版又会印刷，现从11人中选4人排版，4人印刷，有多少种不同的选法？
解：将只会印刷的4人作为分类标准，将问题分为三类：
第一类：只会印刷的4人全被选出，有CC(种)；
第二类：从只会印刷的4人中选出3人，
有CCC(种)；
第三类：从只会印刷的4人中选出2人，
有CCC(种)．
所以共有CC＋CCC＋CCC＝185(种)．
18.二项式的展开式中，
(1)求常数项；
(2)有几个有理项？
(3)有几个整式项？
解：展开式的通项为Tr＋1＝(－1)rC()15－r
＝(－1)r2rCx.
(1)设Tr＋1项为常数项，
则＝0，
得r＝6，即常数项为T7＝26·C.
(2)设Tr＋1项为有理项，则＝5－r为整数，
∴r为6的倍数．
又∵0≤r≤15，
∴r可取0，6，12三个数，即有3个有理项．
(3)令5－r为非负整数，得r＝0或r＝6，
∴有2个整式项．
19.经统计，某大型商场一个结算窗口每天排队结算的人数及相应概率如下：
排队人数
0～5
6～10
11～15
16～20
21～25
25人以上
概率
0.1
0.15
0.25
0.25
0.2
0.05
求：(1)每天不超过20人排队结算的概率是多少？
(2)一周7天中若有3天以上(含3天)出现超过15人排队结算的概率大于0.75，商场就需要增加结算窗口．请问该商场是否需要增加结算窗口？
解：设每天排队结算的人数为X，则
(1)P(X≤20)＝0.1＋0.15＋0.25＋0.25＝0.75，
即每天不超过20人排队结算的概率为0.75.
(2)该商场每天出现超过15人的概率为P(X＞15)＝0.25＋0.2＋0.05＝0.5，
设7天中出现这一事件的天数为Y，则P(Y≥3)＝1－P(Y＝0)－P(Y＝1)－P(Y＝2)＝1－C×0.57－C×0.57－C×0.57＝，因为＞0.75，所以该商场需要增加结算窗口．
为了解某班学生喜爱打篮球是否与性别有关，对本班50人进行了问卷调查得到了如下的列联表：
喜爱打篮球
不喜爱打篮球
合计
男生
5
女生
10
合计
50
已知在全部50人中随机抽取1人抽到喜爱打篮球的学生的概率为.
(1)请将上面的列联表补充完整；
(2)是否有99.5%的把握认为喜爱打篮球与性别有关？说明你的理由．
解：(1)列联表补充如下：
喜爱打篮球
不喜爱打篮球
合计
男生
20
5
25
女生
10
15
25
合计
30
20
50
(2)∵χ2＝
＝≈8.333＞7.879，
∴有99.5%的把握认为喜爱打篮球与性别有关．
某学校为调查了解学生体能状况，决定对高三学生进行一次体育达标测试，具体测试项目有100米跑、立定跳远、掷实心球．测试规定如下：
①三个测试项目中有两项测试成绩合格即可认定为体育达标；
②测试时要求考生从三个项目中随机抽取两个进行测试，若抽取的两个项目测试都合格或都不合格时，不再参加第三个项目的测试；若抽取的两个项目只有一项合格．则必须参加第三项测试．
已知甲同学跑、跳、掷三个项目测试合格的概率分别是、、，各项测试时间间隔恰当．每次测试互不影响．
(1)求甲同学恰好先抽取跳、掷两个项目进行测试的概率；
(2)求甲同学经过两个项目测试就能达标的概率；
(3)若甲按规定完成测试，参加测试项目个数为X，求X的分布列和期望．
解：(1)甲同学先从三个项目中随机抽取两项，共有C＝3种方法，
则恰好抽取跳、掷两个项目的概率为P1＝.
(2)经过两项测试就能达标的概率是
P2＝××＋××＋××＝.
(3)X的取值分别是2，3.
当X＝2时，甲参加随机抽取的两项测试全部合格或者全不合格，此时
P(X＝2)＝×＋×＝＝，
当X＝3时，甲参加随机抽取的两场测试应该是一项合格另一项不合格，必须参加第三次测试，此时
P(X＝3)＝×
＝.
则X的分布列是
X
2
3
P
E(X)＝2×＋3×＝.
某同学参加3门课程的考试．假设该同学第一门课程取得优秀成绩的概率为，第二、第三门课程取得优秀成绩的概率分别为p、q(p＞q)，且不同课程是否取得优秀成绩相互独立．记ξ为该生取得优秀成绩的课程数，其分布列为
ξ
0
1
2
3
P
a
b
(1)求该生至少有1门课程取得优秀成绩的概率；
(2)求p，q的值；
(3)求数学期望E(ξ)．
解：事件Ai表示“该生第i门课程取得优秀成绩”，i＝1，2，3.
由题意知P(A1)＝，P(A2)＝p，P(A3)＝q.
(1)由于事件“该生至少有1门课程取得优秀成绩”与事件“ξ＝0”是对立的，
所以该生至少有1门课程取得优秀成绩的概率是
1－P(ξ＝0)＝1－＝.
b＝P(ξ＝2)＝1－P(ξ＝0)－P(ξ＝1)－P(ξ＝3)＝.
E(ξ)＝0×P(ξ＝0)＋1×P(ξ＝1)＋2×P(ξ＝2)＋3×P(ξ＝3)＝.
(时间：120分钟；满分：150分)
一、选择题(本大题共12小题．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1.将(x－q)(x－q－1)(x－q－2)…(x－19)写成A的形式是( )
A．A B．A
C．A D．A
解析：选D.由排列形式可以看出(x－q)为最大数，
∴n＝x－q，又n－m＋1＝x－19
∴m＝n＋1－x＋19
＝x－q＋1－x＋19
＝20－q，故选D.
2.在的二项展开式中，x2的系数为( )
A．－ B.
C．－ D.
解析：选C.Tr＋1＝C·
＝(－1)r22r－6Cx3－r，令3－r＝2，则r＝1，所以x2的系数为(－1)1×2－4×C＝－，故选C.
3.现在甲、乙、丙三个盒子，其中每个盒子中都装有标号分别为1、2、3、4、5、6的六张卡片，现从甲、乙、丙三个盒子中依次各取一张卡片使得卡片上的标号恰好成等差数列的取法数为( )
A．14 B．16
C．18 D．20
解析：选C.由等差数列性质，x＋y＝2z，x、y必同奇同偶，不同取法为2CC＝18，故选C.
4.甲、乙、丙3位同学选修课程，从4门课程中，甲选修2门，乙、丙各选修3门，则不同的选修方案共有( )
A．36种 B．48种
C．96种 D．192种
解析：选C.甲、乙、丙3位同学选修课程，从4门课程中，甲选修2门，乙、丙各选修3门，则不同的选修方案共有C·C·C＝96种，选C.
5.8名学生和2位老师站成一排合影，2位老师不相邻的排法种数为( )
A．AA B．AC
C．AA D．AC
解析：选A.8名学生共有A种排法，把2位老师插入到9个空中有A种排法，故共有AA种排法．
6.一次考试中，要求考生从试卷上的9个题目中选6个进行答题，要求至少包含前5个题目中的3个，则考生答题的不同选法的种数是( )
A．40 B．74
C．84 D．200
解析：选B.分三类：
第一类：前5个题目的3个，后4个题目的3个，
第二类：前5个题目的4个，后4个题目的2个，
第三类：前5个题目的5个，后4个题目的1个，
由分类加法计数原理得CC＋CC＋CC＝74.
7.(ax＋1)7的展开式中，x3项的系数是x2项的系数与x5系数的等比中项，则a的值为( )
A. B.
C. D．1±
解析：选C.(Ca3)2＝Ca2Ca5，解得a＝.
8.从1，2，3，4，5，6，7这七个数字中任取两个奇数和两个偶数，组成没有重复数字的四位数，其中奇数的个数为( )
A．432 B．288
C．216 D．108
解析：选C.首先个位数字必须为奇数，从1，3，5，7四个中选择一个有C种，再从剩余3个奇数中选择一个，从2，4，6三个偶数中选择两个，进行十位，百位，千位三个位置的全排，则共有CCCA＝216(个)，故选C.
9.将5名志愿者分配到3个不同的奥运场馆参加接待工作，每个场馆至少分配一名志愿者的方案种数为( )
A．540 B．300
C．180 D．150
解析：选D.先将5人分成3组有两类：①1，1，3分组有CA种；②1，2，2分组有A(均匀分组，要除以组数的阶乘)．故共有CA＋A＝150种．
10.为了迎接某次运动会，某大楼安装了5个彩灯，它们闪亮的顺序不固定．每个彩灯只能闪亮红、橙、黄、绿、蓝中的一种颜色，且这5个彩灯所闪亮的颜色各不相同．记这5个彩灯有序地各闪亮一次为一个闪烁．在每个闪烁中，每秒钟有且仅有一个彩灯闪亮，而相邻两个闪烁的时间间隔均为5秒．如果要实现所有不同的闪烁，那么需要的时间至少是( )
A．1205秒 B．1200秒
C．1195秒 D．1190秒
解析：选C.由题意知，共有A＝120个不同的闪烁，而每一个闪烁要完成5个闪亮需用时5秒钟，共用120×5＝600秒，每两个闪烁之间需间隔5秒钟，共有120－1＝119个闪烁间隔，用时119×5＝595秒，故总用时600＋595＝1195秒．
11.若展开式中各项系数和为1024，则展开式中含x的整数次幂的项共有( )
A．2项 B．3项
C．5项 D．6项
解析：选B.令x＝1，22n＝1024，∴n＝5.
Tr＋1＝C(3x)5－r＝C·35－rx，含x的整数次幂即使为整数，r＝0、r＝2、r＝4，有3项，故选B.
12.
如图，在一花坛A，B，C，D四个区域种花，现有4种不同的花供选种，要求在每块里种1种花，且相邻的两块种不同的花，则不同的种法总数为( )
A．48 B．60
C．72 D．84
解析：选D.当A与C同色时有4×3×3＝36种不同的涂法，当A与C不同色时有4×3×2×2＝48种不同的涂法，∴共有36＋48＝84.
二、填空题(本大题共4小题，把正确的答案填在题中横线上)
13.(1－)20的二项展开式中，x的系数与x9的系数之差为________．
解析：(1－)20的二项展开式的通项公式Tr＋1＝C·(－)r＝C·(－1)r·x，令＝1，得r＝2，
∴x的系数为C·(－1)2＝190.
令＝9，∴x9的系数为C(－1)18＝C＝190，故x的系数与x9的系数之差为0.
答案：0
14.今有2个红球、3个黄球、4个白球，同色球不加以区分，将这9个球排成一列有________种不同的方法(用数字作答)．
解析：法一：只需找到不同颜色的球所在的位置即可，有CCC＝1260(种)．
法二：将9个球视为不同的球进行全排列，只有A种不同的排法，而2个红球，3个黄球，4个白球不加区分，所以A，A，A仅视为一种，故所有不同的排法种数为＝1260.
答案：1260
15.二项式的展开式中的常数项为15，则实数a的值为________．
解析：∵Tr＋1＝C(2x)6－r＝(－1)rC26－r·arx6－3r，∴6－3r＝0，∴r＝2，∴C·24·a2＝15.
∴a＝±.
答案：±
16.有4位同学在同一天的上、下午参加“身高与体重”、“立定跳远”、“肺活量”、“握力”、“台阶”五个项目的测试，每位同学上、下午各测试一个项目，且不重复．若上午不测“握力”项目，下午不测“台阶”项目，其余项目上、下午都各测试一人．则不同的安排方式共有________种(用数字作答)．
解析：上午测试安排有A种方法，下午测试分为：(1)若上午测试“台阶”的同学下午测试“握力”，其余三位同学有2种方法测试；(2)若上午测试“台阶”的同学下午不测试“握力”，则有C种方法选择，其余三位同学选1人测试“握力”有C种方法，其余两位只有一种方法，则共有C·C＝9因此测试方法共有A·(2＋9)＝264种．
答案：264
三、解答题(本大题共6小题，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
17.求(－)9展开式中的有理项．
解：∵Tr＋1＝C(x)9－r(－x)r＝(－1)rCx.
令∈Z，即4＋∈Z，且r＝0，1，2，…，9.
∴r＝3或r＝9.
当r＝3时，＝4，T4＝(－1)3·C·x4＝－84x4；
当r＝9时，＝3，T10＝(－1)9Cx3＝－x3.
18.某甲A篮球队12名队员(含2名外援)中有5名主力队员(含1名外援)，选5名队员首发上场，要求主力队员不少于4名且两名外援不能同时上场，则有多少种不同的选法？
解：第一种情形，4名主力队员不含外援，则从其余的6名内援和另1名外援中任选1人的方法有C种；
第二种情形，4名主力队员中有1名外援，则有C·C种；
第三种情形，5名队员全是主力队员，只有1种方法．
由分类加法计数原理，不同的选法总数共有C＋C·C＋1＝32(种)．
19.已知(a2＋1)n的展开式中各项的系数之和等于的展开式的常数项，而(a2＋1)n的展开式中系数最大的项等于54，求a的值．
解：令a＝1，则(a2＋1)n的展开式中各项的系数之和为2n，的展开式中，Tr＋1＝C·x10－2r·x－＝C··x10－r，令10－r＝0，则r＝4，所以常数项为T5＝C·＝16，则2n＝16，所以n＝4.由于(a2＋1)4的展开式中各项的系数等于其对应的二项式系数，故系数最大的项为T3＝C·(a2)2＝6a4＝54，所以a4＝9，所以a＝±.
从7名男生、5名女生中选出5人担任班委，分别求符合下列条件的选法种数有多少种？
(1)A、B必须当选；
(2)A、B都不当选；
(3)A、B不全当选；
(4)至少有2名女生当选；
(5)选出5名同学，让他们分别担任体育委员、文娱委员等5种不同工作，但体育委员由男生担任，文娱委员由女生担任．
解：(1)除A、B选出外，从其他10个人中再选3人，共有的选法种数为C＝120(种)．
(2)去掉A、B，从其他10人中任选5人，共有的选法种数有：C＝252(种)．
(3)法一：按A、B的选取情况进行分类：A、B全不选的方法数为C，A、B中选1人的方法数为CC，共有选法C＋C·C＝672(种)．
法二：从12人中选5人的选法中去掉A、B全选的情况，所有选法共有C－C＝672(种)．
(4)法一：按女生的选取情况分类：选2名女生3名男生；选3名女生2名男生；选4名女生1名男生；选5名女生．所有选法总数有：
CC＋CC＋CC＋C＝596(种)．
法二：从反面考虑，用间接方法，去掉女生不选或选1人的情况，所有选法总数为：C－C－CC＝596(种)．
(5)选出1名男生担任体育委员，再选出1名女生担任文娱委员，剩下的10人中任取3人担任其他3个班委，用分步乘法计数原理可得到所有选法总数为：
C·C·A＝25200(种)．
(1)若(1－2x)2012＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a2012x2012(x∈R)，求(a0＋a1)＋(a0＋a2)＋…＋(a0＋a2012)的值；
(2)如果(1－2x)8＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a8x8，求|a0|＋|a1|＋|a2|＋…＋|a8|的值．
解：(1)令x＝0，得a0＝1.
再令x＝1，得a0＋a1＋a2＋…＋a2012＝1，
那么a1＋a2＋…＋a2012＝0，
则(a0＋a1)＋(a0＋a2)＋…＋(a0＋a2012)＝2012＋0＝2012.
(2)因为展开式的通项为Tr＋1＝(－2)rCxr，r∈{0，1，2，3，…，8}，所以当r为偶数时，系数为正；当r为奇数时，系数为负，故有|a0|＋|a1|＋|a2|＋…＋|a8|＝a0－a1＋a2－a3＋a4－…＋a8.令展开式中的x＝－1即可得到(1＋2)8＝a0－a1＋a2－a3＋a4－…＋a8＝38，
即|a0|＋|a1|＋|a2|＋…＋|a8|＝38.
在二项式(axm＋bxn)12(a＞0，b＞0，m，n≠0)中有2m＋n＝0，如果它的展开式中系数最大的项恰是常数项．
(1)求常数项是第几项；
(2)求的取值范围．
解：(1)设Tr＋1＝C·(axm)12－r·(bxn)r＝C·a12－r·brxm(12－r)＋nr为常数项，则有m(12－r)＋nr＝0，因为2m＋n＝0，所以m(12－r)－2mr＝0，解得r＝4，故可知常数项是第5项．
(2)因为第5项又是系数最大的项，所以有
因为a＞0，b＞0，则由①②可得≤≤.
(时间：120分钟；满分：150分)
一、选择题(本大题共12小题，在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1.甲、乙两人相互独立地练习投篮，甲一次命中的概率为0.8，乙一次命中的概率为0.6，甲、乙两人各投篮一次都命中的概率为( )
A．1.4 B．0.8
C．0.6 D．0.48
解析：选D.P＝0.6×0.8＝0.48.
2.下列说法中，正确的是( )
①回归方程适用于一切样本和总体；②回归方程一般都有时间性；③样本取值的范围会影响回归方程的适用范围；
④回归方程得到的预报值是预报变量的精确值．
A．①② B．②③
C．③④ D．①③
解析：选B.①回归方程只适用于所研究的样本，故①错；④回归方程得到的预报值是可能取值的平均值，故④错；回归方程一般要受时间和范围的影响，故②③正确．
3.下列有关回归直线方程＝x＋叙述正确的是( )
①反映与x之间的函数关系；
②反映y与x之间的函数关系；
③表示与x之间不确定关系；
④表示最接近y与x之间真实关系的一条直线．
A．①② B．②③
C．③④ D．①④
解析：选D.＝x＋表示与x之间的函数关系，而不是y与x之间的函数关系；但它反映的关系最接近y与x之间的真实关系，故选D.
4.下表给出5组数据(x，y)，为选出4组数据使线性相关程度最大，且保留第1组数据(－5，－3)，则应去掉( )
i
1
2
3
4
5
xi
－5
－4
－3
－2
4
yi
－3
－2
4
－1
6
A.第2组 B．第3组
C．第4组 D．第5组
解析：选B.通过散点图选择，画出散点图如图所示：
应除去第三组，对应点是(－3，4)．故选B.
5.已知回归直线方程＝x＋，其中＝3且样本点中心为(1，2)，则回归直线方程为( )
A．y＝x＋3 B．y＝－2x＋3
C．y＝－x＋3 D．y＝x－3
解析：选C.回归直线方程一定经过样本点的中心，因此，只需将样本点中心的坐标代入方程，用待定系数法求出即可．
6.
设(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)是变量x和y的n个样本点，直线l是由这些样本点通过最小二乘法得到的线性回归直线(如图)，以下结论中正确的是( )
A．x和y的相关系数为直线l的斜率
B．x和y的相关系数在0到1之间
C．当n为偶数时，分布在l两侧的样本点的个数一定相同
7.某医疗研究所为了检验某种血清预防感冒的作用，把500名使用该血清的人与另外500名未使用该血清的人一年中的感冒记录作比较，提出假设H0：这种血清不能起到预防感冒的作用．利用2×2列联表计算得χ2≈3.918，则下列结论中，正确的是( )
A．有95%的把握认为“这种血清能起到预防感冒的作用”
B．若某人未使用该血清，那么他在一年中有95%的可能性得感冒
C．这种血清预防感冒的有效率为95%
D．这种血清预防感冒的有效率为5%
解析：选A.χ2＝3.918＞3.841，而P(χ2＞3.841)≈0.05，
所以有95%的把握认为“这种血清能起到预防感冒的作用”．
8.冶炼某种金属可以用旧设备和改造后的新设备，为了检验用这两种设备生产的产品中所含杂质的关系，调查结果如下表所示：
杂质高
杂质低
旧设备
37
121
新设备
22
202
根据以上数据，则( )
A．含杂质的高低与设备改造有关
B．含杂质的高低与设备改造无关
C．设备是否改造决定含杂质的高低
D．以上答案都不对
解析：选A.由已知数据得到如下2×2列联表：
杂质高
杂质低
合计
旧设备
37
121
158
新设备
22
202
224
合计
59
323
382
由公式χ2＝≈13.11.
由于13.11＞6.635，所以有99%的把握认为含杂质的高低与设备改造是有关的，但是否改造设备这一行为并不对含杂质高低有决定性作用．
9.通过随机询问110名性别不同的大学生是否爱好某项运动，得到如下的列联表：
男
女
总计
爱好
40
20
60
不爱好
20
30
50
总计
60
50
110
由χ2＝得，
χ2＝≈7.8.
附表：
P(χ2≥k)
0.050
0.010
0.001
k
3.841
6.635
10.828
参照附表，下列结论正确的是( )
A．在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“爱好该项运动与性别有关”
B．在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“爱好该项运动与性别无关”
C．有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关”
D．有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别无关”
解析：选C.∵χ2≈7.8＞6.635，∴有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关”，即犯错误的概率不超过1%.
10.一位母亲记录了她儿子3到9岁的身高，建立了她儿子身高与年龄的回归模型＝73.93＋7.19x(单位：cm)，她用这个模型预测儿子10岁时的身高，则下面的叙述正确的是( )
A．她儿子10岁时的身高一定是145.83 cm
B．她儿子10岁时的身高一定是145.83 cm以上
C．她儿子10岁时的身高在145.83 cm左右
D．她儿子10岁时的身高一定是145.83 cm以下
解析：选C.用线性回归方程预测的值不是精确值而是估计值．
11.硕士学位与博士学位的一个随机样本给出了关于所获取学位类别与学生性别的分类数据如下表所示：
性别
硕士学位
博士学位
合计
男
162
27
189
女
143
8
151
合计
305
35
340
根据以上数据，则( )
A．性别与获取学位类别有关
B．性别与获取学位类别无关
C．性别决定获取学位的类别
D．以上说法都是错误的
解析：选A.由列联表可得：χ2＝≈7.343＞6.635，所以有99%的把握说性别与获取学位的类别有关，故选A.
12.为了考察两个变量x和y之间的线性相关性，甲、乙两个同学各自独立地做了10次和15次试验，并且利用线性回归方法，求得回归直线分别为l1和l2.已知在两个人的试验中发现对变量x的观测数据的平均值恰好相等，都为s，对变量y的观测数据的平均值也恰好相等，都为t.那么下列说法正确的是( )
A．直线l1和l2有交点(s，t)
B．直线l1和l2相交，但是交点未必是点(s，t)
C．直线l1和l2由于斜率相等，所以必定平行
D．直线l1和l2必定重合
二、填空题(本大题共4小题，请把正确的答案填在题中横线上)
13.调查了某地若干户家庭的年收入x(单位：万元)和年饮食支出y(单位：万元)，调查显示年收入x与年饮食支出y具有线性相关关系，并由调查数据得到y对x的回归直线方程：＝0.254x＋0.321.由回归直线方程可知，家庭年收入每增加1万元，年饮食支出平均增加________万元．
解析：由题意知[0.254(x＋1)＋0.321]－(0.254x＋0.321)＝0.254.
答案：0.254
14.若两个分类变量X与Y的列联表为：
y1
y2
合计
x1
10
15
25
x2
40
16
56
合计
50
31
81
则“X与Y之间有关系”这个结论出错的可能性为________．
解析：由列联表数据，可求得随机变量
χ2＝≈7.227＞6.635.
因为P(χ2≥6.635)≈0.01，
所以“X与Y之间有关系”出错的可能性仅为1%.
答案：1%
15.已知回归方程＝4.4x＋838.19，则可估计x与Y的增长速度之比约为________．
解析：当x增加一个单位时，Y平均增加4.4个单位，即增长速度之比为＝.
答案：
16.已知一个线性回归方程为＝1.5x＋45，xi∈{1，7，5，13，19}，则y＝________．
答案：58.5
三、解答题(本大题共6小题，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
17.为了调查大学生对吸烟是否影响学习的看法，询问了一、二年级的200个大学生，询问的结果记录如下：
一年级
二年级
合计
不会
57
43
100
会
34
66
100
合计
91
109
200
由这些回答能否断定大学生因年级不同对吸烟问题所持态度也不同？
解：由χ2统计量的数学公式得
χ2＝≈10.666.
∵10.666＞6.635，
∴有99%的把握认为大学生因年级不同对吸烟问题所持态度也不同．
18.已知对两个变量x、y的观测数据如下表：
x
35
40
42
39
45
46
42
50
58
48
y
5.90
6.20
6.30
6.55
9.53
9.52
6.99
8.72
9.49
7.50
(1)画出x，y的散点图；
(2)求出回归直线方程．
解：(1)散点图如图．
则＝≈0.179，
＝7.67－0.179×44.5＝－0.30.
∴回归直线方程为＝0.179x－0.30.
19.某商店经营一批进价为每件4元的商品，在市场调查时发现，此商品的销售单价x与日销售量Y之间有如下关系：
x
5
6
7
8
Y
10
8
7
3
据此估计销售单价为多少元时，日利润最大？
某市统计2002～2012年在校中学生每年高考考入大学的百分比，把农村、县镇、城市分开统计，为了便于计算，把2002年编号为0，2003年编号为1，…，2012年编号为10，如果把每年考入大学的百分比作为统计变量，把年份从0到10作为自变量进行回归分析，可得到下面三条回归直线：
城市：＝9.50＋2.54x；县镇：＝6.76＋2.32x；农村：＝1.80＋0.42x.
(1)在同一坐标系中作出三条回归直线；
(2)对于农村学生来讲，系数等于0.42意味着什么？
(3)在这一阶段，哪里的大学入学率增长最快？
解：(1)如图：
(2)对于农村学生来讲，系数等于0.42意味着2002～2012年在校中学生每年高考考入大学的百分比逐年增加0.42.
(3)在这一阶段，城市的大学入学率增长最快．
某校对50名学生进行了调查，其中20名女生中15名喜欢吃零食，30名男生中10名喜欢吃零食．
(1)根据以上数据建立一个2×2列联表．
(2)判断喜欢吃零食是否与性别有关？
解：(1)列出2×2列联表
喜欢吃零食
不喜欢吃零食
总计
女生
15
5
20
男生
10
20
30
总计
25
25
50
(2)假设H0“喜欢吃零食与性别无关”，则随机变量χ2的观测值χ2＝≈8.333，
因为8.333＞6.635，
所以有99%的把握认为“喜欢吃零食与性别有关”．
某一化妆品公司有6名推销员，其工作年限与推销金额数据如下表：
工作年限(x/年)
7
6
5
3
2
1
推销金额(Y/万元)
13
11
9
6
4
2
对上述数据分别用＝x＋与＝x2＋来拟合Y与x之间的关系．
此时可得＝1.786x＋0.356.
再用＝x2＋来拟合Y与x之间的关系，令t＝x2，则工作年限与推销金额数据表为
t
49
36
25
9
4
1
Y
13
11
9
6
4
2
(时间：120分钟；满分：150分)
一、选择题(本大题共12小题．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1.将一颗均匀骰子掷两次，不能作为随机变量的是( )
A．两次掷得的点数
B．两次掷得的点数之和
C．两次掷得的最大点数
D．第一次掷得的点数与第二次掷得的点数差
解析：选A.两次掷得的点数的取值是一个数对，不是一个数．
2.若随机变量ξ的分布列为
ξ,0,1
P,m,n，其中m∈(0，1)，则下列结果中正确的是( )
A．E(ξ)＝m，D(ξ)＝n3
B．E(ξ)＝n，D(ξ)＝n2
C．E(ξ)＝1－m，D(ξ)＝m－m2
D．E(ξ)＝1－m，D(ξ)＝m2
解析：选C.∵m＋n＝1，∴E(ξ)＝n＝1－m，D(ξ)＝m(0－n)2＋n(1－n)2＝m－m2.
3.盒中有2个白球，3个黑球，从中任取3个，以ξ表示取到的白球个数，η表示取到的黑球个数，则( )
A．E(ξ)＝E(η)且D(ξ)＝D(η)
B．E(ξ)＝3－E(η)且D(ξ)＝3－D(η)
C．E(ξ)＝E(η)且D(ξ)＝3－D(η)
D．E(ξ)＝3－E(η)且D(ξ)＝D(η)
解析：选D.∵ξ＋η＝3，∴η＝3－ξ，∴E(η)＝3－E(ξ)，且D(η)＝(－1)2D(ξ)，故选D.
4.某同学通过计算机测试的概率为，他连续测试3次，其中恰有1次通过的概率为( )
A. B.
C. D.
解析：选A.连续测试3次，其中恰有1次通过的概率为P＝C×＝.
5.某船队若出海后天气好，可获得5000元；若出海后天气坏，将损失2000元；若不出海也要损失1000元．根据预测知天气好的概率为0.6，则出海的期望效益是( )
A．2000元 B．2200元
C．2400元 D．2600元
解析：选B.出海效益的期望E(ξ)＝5000×0.6＋(1－0.6)×(－2000)＝3000－800＝2200(元)．
6.一射手对靶射击，直到命中为止，每次命中的概率为0.6，现有4发子弹，则命中后剩余子弹数目的期望为( )
A．2.44 B．3.376
C．2.376 D．2.4
解析：选C.ξ＝k表示第(4－k)次命中目标，其分布列为P(ξ＝3)＝0.6，P(ξ＝2)＝0.4×0.6，P(ξ＝1)＝0.42×0.6，P(ξ＝0)＝0.43×0.6，∴E(ξ)＝3×0.6＋2×0.4×0.6＋1×0.42×0.6＝2.376.故选C.
7.抛掷甲、乙两枚骰子，若事件A＝“甲骰子的点数小于3”，事件B＝“甲、乙两枚骰子的点数之和等于6”，则P(B|A)的值为( )
A. B.
C. D.
解析：选C.P(A∩B)＝＝，P(A)＝＝，
∴P(B|A)＝＝＝.
8.若随机变量X～N(μ，σ2)，且P(X≤c)＝P(X＞c)，则c的值为( )
A．0 B．σ
C．－μ D．μ
解析：选D.因为随机变量X～N(μ，σ2)，即X服从正态分布，其图象关于x＝μ对称，又P(X≤c)＝P(X＞c)，所以c＝μ.故选D.
9.已知随机变量ξ服从二项分布B，则P(ξ＝2)等于( )
A. B.
C. D.
解析：选D.因为ξ～B，所以P(ξ＝2)＝C××＝.
10.已知离散型随机变量X等可能取值1，2，3，…，n，若P(1≤X≤3)＝，则n的值为( )
A．3 B．5
C．10 D．15
解析：选D.由已知X的分布列为P(X＝k)＝，k＝1，2，3，…，n，∴P(1≤X≤3)＝P(X＝1)＋P(X＝2)＋P(X＝3)＝＝，∴n＝15.
11.某市组织一次高三调研考试，考试后统计的数学成绩服从正态分布，其密度函数为f(x)＝e－，则下列命题中不正确的是( )
A．该市这次考试的数学平均成绩为80分
B．分数在120分以上的人数与分数在60分以下的人数相同
C．分数在110分以上的人数与分数在50分以下的人数相同
D．该市这次考试的数学成绩的标准差为10
解析：选B.利用正态密度函数的表达式知μ＝80，σ＝10.故A、D正确，利用正态曲线关于直线x＝μ＝80对称，知P(ξ＞110)＝P(ξ＜50)，分数在110分以上的人数与分数在50分以下的人数相等，故C正确．故选B.
12.任意确定四个日期，设X表示取到四个日期中星期天的个数，则D(X)等于( )
A. B.
C. D.
解析：选B.由题意可知X～B，所以D(X)＝.
二、填空题(本大题共4小题，请把正确的答案填在题中横线上)
13.已知随机变量ξ～B(5，)，随机变量η＝2ξ－1，则E(η)＝________．
解析：E(ξ)＝，E(η)＝2E(ξ)－1＝.
答案：
14.从甲袋中摸出一个红球的概率是，从乙袋中摸出一个红球的概率是，从两袋中各摸出1个球，则至少有1个红球的概率为________．
解析：P＝1－×＝.
答案：
15.利用下列盈利表中的数据进行决策，应选择的方案是________.
解析：计算A1、A2、A3、A4的数学期望：
E(ξ1)＝0.25×50＋0.3×65＋0.45×26＝43.7；
E(ξ2)＝0.25×70＋0.3×26＋0.45×16＝32.5；
E(ξ3)＝0.25×(－20)＋0.3×52＋0.45×78＝45.7；
E(ξ4)＝0.25×98＋0.3×82＋0.45×(－10)＝44.6.
比较后选A3.
答案：A3
16.设l为平面上过点(0，1)的直线，l的斜率等可能地取－2，－，－，0，，，2.用X表示坐标原点到l的距离，则随机变量X的数学期望E(X)＝________．
解析：当l的斜率k为±2时，直线方程为±2x－y＋1＝0，此时d1＝；k＝±时，d2＝；k＝±时，d3＝；k＝0时，d4＝1.由等可能性事件的概率可得分布列如下：
X
1
P
∴E(X)＝×＋×＋×＋1×＝.
答案：
三、解答题(本大题共6小题，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
17.节日期间，某种鲜花进货价是每束2.5元，销售价是每束5元；节后卖不完的鲜花以每束1.6元处理，根据前五年销售情况预测，节日期间这种鲜花的需求量ξ(单位：束)的分布列是
ξ
200
300
400
500
P
0.20
0.35
0.30
0.15
若节前进这种鲜花500束，求将鲜花全部售出后所获利润η(单位：元)的期望．
解：由题意得E(ξ)＝200×0.20＋300×0.35＋400×0.30＋500×0.15＝340(束)．
而利润η＝5ξ＋1.6(500－ξ)－500×2.5＝3.4ξ－450，
则E(η)＝3.4E(ξ)－450＝3.4×340－450＝706(元)．
故所求利润的期望为706元．
18.某同学参加科普知识竞赛，需回答3个问题．竞赛规则规定：答对第一、二、三个问题分别得100分、100分、200分，答错得零分．假设这名同学答对第一、二、三个问题的概率分别为0.8，0.7，0.6，且各题答对与否相互之间没有影响．
(1)求这名同学得300分的概率；
(2)求这名同学至少得300分的概率．
解：记“这名同学答对第i个问题”为事件Ai(i＝1，2，3)，则P(A1)＝0.8，P(A2)＝0.7，P(A3)＝0.6.
(1)这名同学得300分的概率P1＝P(A12A3)＋P(1A2A3)＝P(A1)P(2)P(A3)＋P(1)P(A2)P(A3)＝0.8×0.3×0.6＋0.2×0.7×0.6＝0.228.
(2)这名同学至少得300分的概率P2＝P1＋P(A1A2A2)＝0.228＋0.8×0.7×0.6＝0.564.
19.甲、乙两人独立解出某一道题的概率相同，已知该题被甲或乙解出的概率为0.36.求：
(1)甲独立解出该题的概率；
(2)解出该题的人数ξ的数学期望．
解：(1)设甲、乙独立解出该题的概率均为p，
则该题不能被甲且不能被乙解出的概率为(1－p)2，由题意知1－(1－p)2＝0.36，解得p＝0.2.
(2)解出该题的人数ξ的可能取值为0，1，2，故分布列为
ξ
0
1
2
P
0.64
0.32
0.04
∴E(ξ)＝0×0.64＋1×0.32＋2×0.04＝0.4.
某商店试销某种商品20天，获得如下数据：
日销售量(件)
0
1
2
3
频数
1
5
9
5
试销结束后(假设该商品的日销售量的分布规律不变)，设某天开始营业时有该商品3件，当天营业结束后检查存货，若发现存量少于2件，则当天进货补充至3件，否则不进货．将频率视为概率．
(1)求当天商店不进货的概率；
(2)记X为第二天开始营业时该商品的件数，求X的分布列和数学期望．
解：(1)P(“当天商店不进货”)＝P(“当天商品销售量为0件”)＋P(“当天商品销售量为1件”)＝＋＝.
(2)由题意知，X的可能取值为2，3.
P(X＝2)＝P(“当天商品销售量为1件”)＝＝；
P(X＝3)＝P(“当天商品销售量为0件”)＋P(“当天商品销售量为2件”)＋P(“当天商品销售量为3件”)＝＋＋＝.
故X的分布列为
X
2
3
P
则X的数学期望为E(X)＝2×＋3×＝.
某校从高二年级4个班中选出18名学生参加全国数学联赛，学生来源人数如下表：
班级
高二(1)班
高二(2)班
高二(3)班
高二(4)班
人数
4
6
3
5
(1)从这18名学生中随机选出两名，求两人来自同一个班的概率；
(2)若要求从18位同学中选出两位同学介绍学习经验，设其中来自高二(1)班的人数为ξ，求随机变量ξ的分布列及数学期望E(ξ)．
解：(1)“从这18名同学中随机选出两名，两人来自于同一个班”记作事件A，
则P(A)＝＝.
(2)ξ的所有可能取值为0，1，2.
∵P(ξ＝0)＝＝，P(ξ＝1)＝＝，
P(ξ＝2)＝＝，∴ξ的分布列为：
ξ
0
1
2
P
∴E(ξ)＝0×＋1×＋2×＝.
甲、乙两运动员进行射击训练，已知他们击中目标的环数都稳定在7、8、9、10环，且每次射击成绩互不影响，射击环数的频率分布表如下：
甲运动员
射击环数
频数
频率
7
10
0.1
8
10
0.1
9
x
0.45
10
35
y
合计
100
1
乙运动员
射击环数
频数
频率
7
8
0.1
8
12
0.15
9
z
10
0.35
合计
80
1
若将频率视为概率，回答下列问题：
(1)求表中x，y，z的值及甲运动员击中10环的概率；
(2)求甲运动员在3次射击中至少有一次击中9环以上(含9环)的概率；
(3)若甲运动员射击2次，乙运动员射击1次，ξ表示这3次射击中击中9环以上(含9环)的次数，求ξ的分布列及E(ξ)．
解：(1)由题意可得x＝100－(10＋10＋35)＝45，y＝1－(0.1＋0.1＋0.45)＝0.35，
因为乙运动员的射击环数为9时的频率为1－(0.1＋0.15＋0.35)＝0.4，所以z＝0.4×80＝32，
由上可得表中x处填45，y处填0.35，z处填32.
设“甲运动员击中10环”为事件A，则P(A)＝0.35，即甲运动员击中10环的概率为0.35.
(2)设甲运动员击中9环为事件A1，击中10环为事件A2，则甲运动员在一次射击中击中9环以上(含9环)的概率为P(A1＋A2)＝P(A1)＋P(A2)＝0.45＋0.35＝0.8，
故甲运动员在3次射击中至少有一次击中9环以上(含9环)的概率
P＝1－[1－P(A1＋A2)]3＝1－0.23＝0.992.
(3)ξ的可能取值是0，1，2，3，
则P(ξ＝0)＝0.22×0.25＝0.01，
P(ξ＝1)＝C×0.2×0.8×0.25＋0.22×0.75＝0.11，
P(ξ＝2)＝0.82×0.25＋C×0.8×0.2×0.75＝0.4，
P(ξ＝3)＝0.82×0.75＝0.48.
所以ξ的分布列是
ξ
0
1
2
3
P
0.01
0.11
0.4
0.48
E(ξ)＝0×0.01＋1×0.11＋2×0.4＋3×0.48＝2.35.
