3.4.1 力的合成和分解
考点精讲
考点1：合力与分力的关系
1．合力与分力的性质
2．合力与分力的大小关系
(1)大小范围：|F2－F1|≤F≤F1＋F2。
(2)合力的大小与两分力夹角的关系：
两分力大小一定时，随着两分力夹角的增大，合力减小。
(3)合力与分力的大小关系：
①合力可能比分力都大。
②合力可能比分力都小。
③合力可能等于分力。
【例1】 (多选)关于F1、F2及它们的合力F，下列说法中正确的是( )
A．合力F一定与F1、F2共同作用产生的效果相同
B．两力F1、F2一定是同种性质的力
C．两力F1、F2一定是同一个物体受到的力
D．两力F1、F2与F是物体同时受到的三个力
【解析】AC 只有同一研究对象受到的力才能合成，分别作用在不同研究对象上的力不能合成，合力是对原来几个分力的等效替代，两分力F1、F2可以是不同性质的力，但合力与分力不能同时存在。如图所示，静止在斜面上的物体受到垂直斜面向上的弹力FN和沿斜面向上的静摩擦力Ff作用，这两个力的合力为图中的F，很明显，两个分力的性质不同，而且合力F为斜面对物体的作用力，实际上F的效果与FN和Ff的共同效果相同，因此在受力分析中画了FN和Ff，就不能再画合力F，所以A、C正确，B、D错误。
【针对训练】
1．(合力与与分力的性质)如图所示，将光滑斜面上的物体的重力mg分解为F1、F2两个力，下列结论正确的是( )
A．F2就是物体对斜面的压力
B．物体受N、F1、F2三个力作用
C．物体受mg、N、F1、F2四个力作用
D．F1、F2两个分力共同作用的效果跟重力mg的作用效果相同
【解析】D F2是重力的一个分力，不是物体对斜面的压力，故A错误；F1与F2是重力的分力，不是物体实际受到的力，所以物体受重力和支持力两个力作用，B、C错误；F1、F2是重力的两个分力，它们共同作用的效果与重力的作用效果相同，故D正确。
2．(合力与分力的大小)两个力F1和F2间的夹角为θ，两个力的合力为F。下列说法正确的是( )
A．若F1和F2大小不变，θ角越小，合力F就越小
B．合力F可能比任何一个分力都小
C．合力F总比任何一个分力都大
D．如果夹角θ不变，F1大小不变，只要F2增大，合力F就必然增大
【解析】B 若F1和F2大小不变，θ角越小，合力F越大，故A错误；由力的合成方法可知，两个力合力的范围|F1－F2|≤F≤F1＋F2，所以合力有可能大于任一分力，也可能小于任一分力，还可能与两个分力都相等，故B正确，C错误；如果夹角θ不变，F1大小不变，F2增大，合力可能增大，可能减小，如图所示，故D错误。
考点2：力的合成和分解
1.力的合成和分解都遵循平行四边形定则。
2．合力的求解
（1）作图法(如图所示)
根据平行四边形定则用作图工具作出平行四边形，后用测量工具测量出合力的大小、方向，具体操作流程如下：
（2）计算法
两分力共线时：
①若F1与F2方向相同，则合力大小F＝F1＋F2，方向与F1和F2的方向相同。
②若F1与F2方向相反，则合力大小F＝|F1－F2|，方向与F1和F2中较大的方向相同。
两分力不共线时：可以先根据平行四边形定则作出分力及合力的示意图，然后由几何知识求解对角线，即为合力。
以下为求合力的两种常见特殊情况：
类型 作图 合力的计算
两分力相互垂直 大小：F＝ 方向：tan θ＝
两分力等大，夹角为θ 大小：F＝2F1cos 方向：F与F1夹角为
【例2】 如图所示，水平横梁一端A插在墙壁内，另一端装有一小滑轮B。一轻绳的一端C固定于墙壁上，另一端跨过滑轮后悬挂一质量为m＝10 kg的重物，∠CBA＝30°，则滑轮受到绳子的作用力大小为(g取10 N/kg)( )
A．50 N B．60 N
C．120 N D．100 N
【分析】 ①轻绳跨过定滑轮，BC段绳和BD段绳的拉力大小相等。
②重物静止，BD段绳的拉力为mg＝100 N。
③BC段和BD段绳的拉力间夹角为120°。
【解析】D 轻绳跨过滑轮，BC段、BD段拉力F1＝F2＝mg＝100 N，夹角为120°，根据平行四边形定则，二力合成如图所示。由于F1＝F2，所以平行四边形为菱形，故F1、F2的合力F＝F1＝F2＝100 N，即绳子对滑轮的作用力大小为100 N，选项D正确。
【变式训练】
上例中，若将横梁一端A处改为铰链，绳子系于横梁另一端B处，此时横梁恰好水平，如图所示。则AB杆和BC绳所受弹力分别为多大？
【解析】 AB杆和BC绳合力与BD绳的拉力大小相等，方向相反，即
FBC＝＝200 N，
FAB＝FBDtan 60°＝100 N。
【技巧与方法】
解决分力与合力问题的注意点
1 作图法求合力
①作图时要先确定力的标度，同一图上的各个力必须采用同一标度。
②严格采用作图工具作图，并用测量工具测出对应力的大小及方向。
③作图时表示分力和合力的有向线段共点且要画成实线，与分力平行的对边要画成虚线，表示力的线段上要画上刻度和箭头。
2 计算法求合力时常用到的几何知识
①应用直角三角形中的边角关系求解，适用于平行四边形的两边垂直、平行四边形的对角线与一条边垂直及菱形的情况。
②应用等边三角形的特点求解。
③应用相似三角形的知识求解，适用于力的矢量三角形与实际三角形相似的情况。
【针对训练】
3. 如图所示，两个人共同用力将一个牌匾拉上墙头。其中一人用了450 N的拉力，另一人用了600 N的拉力，如果这两个人所用拉力的夹角是90°，求合力。
【解析】 解法一：作图法
用图示中的线段表示150 N的力。用一个点O代表牌匾，依题意作出力的平行四边形，如图所示。用刻度尺量出平行四边形的对角线长为图示线段的5倍，故合力大小为F＝150×5 N＝750 N，用量角器量出合力F与F1的夹角θ＝53°。
解法二：计算法
设F1＝450 N，F2＝600 N，合力为F。
由于F1与F2间的夹角为90°，根据勾股定理得
F＝ N＝750 N，
合力F与F1的夹角θ的正切值
tan θ＝＝＝，
所以θ＝53°。
考点3：力的分解的讨论
1．一个力在不受条件限制下可分解为无数组分力
将某个力进行分解，如果没有条件约束，从理论上讲有无数组解，因为同一条对角线可以构成的平行四边形有无穷多个(如图所示)，这样分解是没有实际意义的。实际分解时，一个力按力的作用效果可分解为一组确定的分力。
2．一个合力分解为一组分力的情况分析
(1)已知合力和两个分力的方向时，有唯一解。
甲 乙
(2)已知合力和一个分力的大小和方向时，有唯一解。
甲 乙
(3)已知合力F以及一个分力F1的方向和另一个分力F2的大小时，若F与F1的夹角为α，有下面几种可能：
①当Fsin α＜F2＜F时，有两解，如图甲所示。
②当F2＝Fsin α时，有唯一解，如图乙所示。
③当F2＜Fsin α时，无解，如图丙所示。
④当F2＞F时，有唯一解，如图丁所示。
3．力的正交分解法
定义 把力沿着两个选定的相互垂直的方向分解的方法
坐标轴的选取原则 坐标轴的选取是任意的，为使问题简化，建立坐标系时坐标轴的选取一般有以下两个原则： (1)使尽量多的力处在坐标轴上 (2)尽量使某一轴上各分力的合力为零
适用情况 比较适用于计算物体受三个或三个以上共点力的合力情况
优点 (1)可借助数学中的直角坐标系对力进行描述 (2)分解时只需熟知三角函数关系、几何关系，简单且容易求解 (3)分解多力时，可将矢量运算化为代数运算
一般步骤 (1)建坐标系：选取合适的方向建立直角坐标系 (2)正交分解各力：将每一个不在坐标轴上的力分解到x轴和y轴上，并求出各分力的大小，如图所示 (3)分别求出x轴和y轴方向上所受的合力，合力等于在该方向上所有力的代数和。(沿坐标轴正方向的力取为正，反之取为负)即： Fx＝F1x＋F2x…；Fy＝F1y＋F2y… (4)求共点力的合力：合力大小F＝，设合力的方向与x轴的夹角为φ，则tan φ＝。
【点拨】 正交分解法不一定按力的实际效果来分解，而是根据需要为了简化问题在两个相互垂直的方向上分解，它是处理力的合成和分解的复杂问题的一种简便方法。
【例3】 在同一平面内共点的四个力F1、F2、F3、F4的大小依次为19 N、40 N、30 N和15 N，方向如图所示，求它们的合力。
【解析】 如图甲所示，建立直角坐标系，把各个力分解到两个坐标轴上，并求出x轴和y轴上的合力Fx和Fy，有Fx＝F1＋F2cos 37°－F3cos 37°＝27 N，Fy＝F2sin 37°＋F3sin 37°－F4＝27 N。因此，如图乙所示，合力为F＝≈38.2 N，tan φ＝＝1。即合力的大小约为38.2 N，方向与F1的夹角为45°斜向上。
甲 乙
【答案】 38.2 N，方向与F1的夹角为45°斜向上
【技巧与方法】
① 正交分解法适用于三个或三个以上力的合成。
② 分解的目的是为了更方便地合成，将力的矢量运算转化为代数运算。
③ 若F＝0，则可推出Fx＝0，Fy＝0。这是处理多个力作用下物体平衡问题的好办法，以后常常用到。
【针对训练】
4．(力的分解中定解的条件)把一个已知力分解，要求其中一个分力F1跟F成30°，而大小未知；另一个分力F2＝F，但方向未知，则F1的大小可能是( )
A.F B．F
C.F D．F
【解析】C [如图所示，由于5．(力的正交分解)如图所示，质量为m的物体用轻绳AB悬挂于天花板上，用水平向左的力F拉着绳上的点O，使AO与竖直方向的夹角为θ，物体处于平衡状态，则拉力F的大小为( )
A．F＝mgsin θ B．F＝mgtan θ
C．F＝ D．F＝
【解析】B 以结点O为研究对象，受力分析如图所示。
由题可知，竖直绳的张力等于mg，保持不变；根据平衡条件可知FTcos θ－mg＝0，FTsin θ－F＝0，
由此两式可得F＝mgtan θ，选项B正确。
考点达标
考点一 合力与分力的关系
1．(多选)已知两个分力的大小为F1、F2，它们的合力大小为F，下列说法中不正确的是( )
A．不可能出现FB．不可能出现F>F1同时F>F2的情况
C．不可能出现FD．不可能出现F>F1＋F2的情况
【解析】ABC 如果F1与F2大小相等，方向相反，则其合力为零，既小于F1又小于F2，故A错误；如果F1、F2同向，则合力F＝F1＋F2，既大于F1又大于F2，故B错误；合力F的范围为|F1－F2|≤F≤F1＋F2，因此，C错误，D正确。
2．(多选)两个共点力F1、F2大小不同，它们的合力大小为F，则( )
A．F1、F2同时增大一倍，F也增大一倍
B．F1、F2同时增加10 N，F也增加10 N
C．F1增加10 N，F2减少10 N，F一定不变
D．若F1、F2中的一个增大，F不一定增大
【解析】AD 根据平行四边形定则，F1、F2同时增大一倍，F也增大一倍，故A正确；F1、F2同时增加10 N，根据平行四边形定则求得的合力的大小不一定也增加10 N，故B错误；F1增加10 N，F2减少10 N，F可能变化，故C错误；若F1、F2方向相反，F1、F2中的一个增大，F不一定增大，故D正确。
考点二 力的合成
3．某物体同时受到同一平面内的三个共点力作用，在如图所示的四种情况中(坐标纸中每格边长表示1 N大小的力)，对物体所受的合外力说法正确的是( )
【解析】D 图A中，先将F1与F3合成为F13，然后再将F13与F2合成，由几何关系求得合力等于5 N，同理，可求得图B中合力等于5 N，图C中合力等于6 N，图D中合力等于0，故D正确。
4．两个大小相等的共点力F1和F2，当它们之间的夹角为90°时，合力大小为10 N，则当它们之间的夹角为120°时，合力的大小为( )
A．10 N B．10 N
C．15 N D．20 N
【解析】A 当两个力之间的夹角为90°时，如图甲所示，合力大小为F合＝10 N，根据平行四边形定则，知F1＝F2＝10 N。当两个力夹角为120°时，如图乙所示，根据平行四边形定则，知F合′＝10 N，故A正确。
甲 乙
5．设有5个力同时作用于质点O，它们的大小和方向相当于正六边形的两条边和三条对角线，如图所示，则这5个力的合力等于其中最小力的( )
A．3倍 B．4倍
C．5倍 D．6倍
【解析】D 确定角的大小。
因为图形是正六边形，所以∠1＝120°，各个顶点是其外接圆上的点，所以∠2＝90°，∠3＝30°
即：三角形OCB为直角三角形，且∠CBO＝30°
选F2与F5合成，合成后的合力大小为F3＝2F5
选F1与F4合成，合成后的合力大小为F3＝2F1
又F5与F1都是正六边形的一条边，所以F5＝F1
所以总的合力为3F3＝6F1，故合力为最小力的6倍。
考点三 力的分解
6．为了行车的方便与安全，上山的公路都是很长的“之”字形盘山公路，这样做的主要目的是( )
A．减小上山车辆受到的摩擦力
B．减小上山车辆的重力
C．减小上山车辆对路面的压力
D．减小上山车辆的重力平行于路面向下的分力
【解析】D[如图所示，重力G产生的效果是使物体下滑的分力F1和使物体压紧斜面的分力F2，则F1＝Gsin θ，F2＝Gcos θ，倾角θ减小，F1减小，F2增大，同一座山，高度一定，把公路修成盘山公路时，使长度增加，则路面的倾角减小，即减小上山车辆的重力平行于路面向下的分力，可使行车安全，故D正确，A、B、C错误。
7．将如图所示的力F分解为F1和F2两个分力，已知F、F1的大小和F2、F之间的夹角α(α<90°)。则下列说法正确的是( )
A．若F1>Fsin α，则F2一定有两解
B．若F1＝Fsin α，则F2有唯一解
C．若F1D．若F1>F，则F2一定无解
【解析】B 画出力的平行四边形如答图所示，可知当F1>Fsin α时，F2可以有两解，又分析可知，当F1>F时，F2只有一解，故A、D错误；当F1＝Fsin α时，两分力和合力恰好构成矢量直角三角形，F2有唯一解，B正确；F18．(多选)如图所示，重20 N的物体放在粗糙水平面上，用F＝8 N的力斜向下推物体。F与水平面成30°角，物体与平面间的动摩擦因数μ＝0.5，最大静摩擦力等于滑动摩擦力则物体( )
A．对地面的压力为28 N
B．所受的摩擦力为4 N
C．所受的合力为5 N
D．所受的合力为0
【解析】BD 对物体受力分析如图所示：
FN＝Fsin 30°＋G＝24N，
Fcos30°＝4 N<μFN＝12 N
故物体静止，受到的静摩擦力Ff＝Fcos 30°＝4 N，
物体受到的合力为零，所以B、D项正确。
考点四 矢量和标量
9．如图所示，大小分别为F1、F2、F3的三个力恰好围成一个闭合的三角形，且三个力的大小关系是F1＜F2＜F3，则下列四个选项中，这三个力的合力最大的是( )
A B C D
【解析】C 根据平行四边形定则可知，A项中三个力的合力为2F1，B项中三个力的合力为0，C项中三个力的合力为2F3，D项中三个力的合力为2F2，由于三个力的大小关系是F1＜F2＜F3，所以C项合力最大，故C正确。
巩固提升
10．射箭时，若刚释放的瞬间弓弦的拉力为100 N，对箭产生的作用力为120 N，其弓弦的拉力如图乙中F1和F2所示，对箭产生的作用力如图乙中F所示。弓弦的夹角应为(cos 53°＝0.6)( )
甲 乙
A．53° B．127°
C．143° D．106°
【解析】D 由图可知F1＝F2，F1cos＋F2cos＝F，可得α＝106°，选项D正确。
11．明朝谢肇淛的《五杂组》中记载：“明姑苏虎丘寺塔倾侧，议欲正之，非万缗不可。一游僧见之曰：无烦也，我能正之。”游僧每天将木楔从塔身倾斜一侧的砖缝间敲进去，经月余扶正了塔身。假设所用的木楔为等腰三角形，木楔的顶角为θ，现在木楔背上加一力F，方向如图所示，木楔两侧产生推力FN，则( )
A．若F一定，θ大时FN大
B．若F一定，θ小时FN大
C．若θ一定，F大时FN大
D．若θ一定，F小时FN大
【解析】BC 力的分解如图所示，FN＝＝，故F一定，θ越小，FN越大，选项A错误，B正确；θ一定，F越大，FN越大，选项D错误，C正确。
12．如图甲所示，轻绳AD跨过固定在水平横梁BC右端的定滑轮挂住一个质量为m1的物体，∠ACB＝30°；图乙所示的轻杆HG一端用铰链固定在竖直墙上，另一端G通过细绳EG拉住，EG与水平方向成30°角，轻杆的G点用细绳GF拉住一个质量为m2的物体，重力加速度为g，则下列说法正确的是( )
甲 乙
A．图甲中滑轮受到绳子的作用力大小为
B．图乙中HG杆受到绳的作用力为m2g
C．细绳AC段的拉力FAC与细绳EG段的拉力FEG之比为1∶1
D．细绳AC段的拉力FAC与细绳EG段的拉力FEG之比为m1∶2m2
【解析】D 如图甲中，两段绳的拉力都是m1g，互成120°角，因此合力的大小是m1g[如图(a)]，A选项错误；图乙中HG杆受到绳的作用力为m2g[如图(b)]，B选项错误；图(b)中FEGsin 30°＝m2g，得FEG＝2m2g，解得＝，C选项错误，D选项正确。
(a) (b)
13．如图所示，质量为0.8 kg的小球在轻弹簧和水平轻绳的拉力作用下处于静止状态，弹簧与竖直方向的夹角θ＝37°，弹簧的拉力F＝10 N，伸长量为x＝0.01 m，sin 37°＝0.6。
(1)画出小球的受力示意图；
(2)求出弹簧的劲度系数；
(3)已知弹簧的拉力与小球重力的合力方向水平向右，求该合力的大小。
【解析】 (1)小球受到重力、细绳的拉力和弹簧的拉力，作出小球的受力示意图如图甲所示。
甲 乙
(2)由胡克定律F＝kx得弹簧的劲度系数为
k＝＝＝1 000 N/m。
(3)由于弹簧拉力F与小球重力G的合力水平向右，其矢量关系如图乙所示。
由几何关系可知F合＝＝ N＝6 N。3.4.1 力的合成和分解
考点精讲
考点1：合力与分力的关系
1．合力与分力的性质
2．合力与分力的大小关系
(1)大小范围：|F2－F1|≤F≤F1＋F2。
(2)合力的大小与两分力夹角的关系：
两分力大小一定时，随着两分力夹角的增大，合力减小。
(3)合力与分力的大小关系：
①合力可能比分力都大。
②合力可能比分力都小。
③合力可能等于分力。
【例1】 (多选)关于F1、F2及它们的合力F，下列说法中正确的是( )
A．合力F一定与F1、F2共同作用产生的效果相同
B．两力F1、F2一定是同种性质的力
C．两力F1、F2一定是同一个物体受到的力
D．两力F1、F2与F是物体同时受到的三个力
【针对训练】
1．(合力与与分力的性质)如图所示，将光滑斜面上的物体的重力mg分解为F1、F2两个力，下列结论正确的是( )
A．F2就是物体对斜面的压力
B．物体受N、F1、F2三个力作用
C．物体受mg、N、F1、F2四个力作用
D．F1、F2两个分力共同作用的效果跟重力mg的作用效果相同
2．(合力与分力的大小)两个力F1和F2间的夹角为θ，两个力的合力为F。下列说法正确的是( )
A．若F1和F2大小不变，θ角越小，合力F就越小
B．合力F可能比任何一个分力都小
C．合力F总比任何一个分力都大
D．如果夹角θ不变，F1大小不变，只要F2增大，合力F就必然增大
考点2：力的合成和分解
1.力的合成和分解都遵循平行四边形定则。
2．合力的求解
（1）作图法(如图所示)
根据平行四边形定则用作图工具作出平行四边形，后用测量工具测量出合力的大小、方向，具体操作流程如下：
（2）计算法
两分力共线时：
①若F1与F2方向相同，则合力大小F＝F1＋F2，方向与F1和F2的方向相同。
②若F1与F2方向相反，则合力大小F＝|F1－F2|，方向与F1和F2中较大的方向相同。
两分力不共线时：可以先根据平行四边形定则作出分力及合力的示意图，然后由几何知识求解对角线，即为合力。
以下为求合力的两种常见特殊情况：
类型 作图 合力的计算
两分力相互垂直 大小：F＝ 方向：tan θ＝
两分力等大，夹角为θ 大小：F＝2F1cos 方向：F与F1夹角为
【例2】 如图所示，水平横梁一端A插在墙壁内，另一端装有一小滑轮B。一轻绳的一端C固定于墙壁上，另一端跨过滑轮后悬挂一质量为m＝10 kg的重物，∠CBA＝30°，则滑轮受到绳子的作用力大小为(g取10 N/kg)( )
A．50 N B．60 N
C．120 N D．100 N
【变式训练】
上例中，若将横梁一端A处改为铰链，绳子系于横梁另一端B处，此时横梁恰好水平，如图所示。则AB杆和BC绳所受弹力分别为多大？
【技巧与方法】
解决分力与合力问题的注意点
1 作图法求合力
①作图时要先确定力的标度，同一图上的各个力必须采用同一标度。
②严格采用作图工具作图，并用测量工具测出对应力的大小及方向。
③作图时表示分力和合力的有向线段共点且要画成实线，与分力平行的对边要画成虚线，表示力的线段上要画上刻度和箭头。
2 计算法求合力时常用到的几何知识
①应用直角三角形中的边角关系求解，适用于平行四边形的两边垂直、平行四边形的对角线与一条边垂直及菱形的情况。
②应用等边三角形的特点求解。
③应用相似三角形的知识求解，适用于力的矢量三角形与实际三角形相似的情况。
【针对训练】
3. 如图所示，两个人共同用力将一个牌匾拉上墙头。其中一人用了450 N的拉力，另一人用了600 N的拉力，如果这两个人所用拉力的夹角是90°，求合力。
考点3：力的分解的讨论
1．一个力在不受条件限制下可分解为无数组分力
将某个力进行分解，如果没有条件约束，从理论上讲有无数组解，因为同一条对角线可以构成的平行四边形有无穷多个(如图所示)，这样分解是没有实际意义的。实际分解时，一个力按力的作用效果可分解为一组确定的分力。
2．一个合力分解为一组分力的情况分析
(1)已知合力和两个分力的方向时，有唯一解。
甲 乙
(2)已知合力和一个分力的大小和方向时，有唯一解。
甲 乙
(3)已知合力F以及一个分力F1的方向和另一个分力F2的大小时，若F与F1的夹角为α，有下面几种可能：
①当Fsin α＜F2＜F时，有两解，如图甲所示。
②当F2＝Fsin α时，有唯一解，如图乙所示。
③当F2＜Fsin α时，无解，如图丙所示。
④当F2＞F时，有唯一解，如图丁所示。
3．力的正交分解法
定义 把力沿着两个选定的相互垂直的方向分解的方法
坐标轴的选取原则 坐标轴的选取是任意的，为使问题简化，建立坐标系时坐标轴的选取一般有以下两个原则： (1)使尽量多的力处在坐标轴上 (2)尽量使某一轴上各分力的合力为零
适用情况 比较适用于计算物体受三个或三个以上共点力的合力情况
优点 (1)可借助数学中的直角坐标系对力进行描述 (2)分解时只需熟知三角函数关系、几何关系，简单且容易求解 (3)分解多力时，可将矢量运算化为代数运算
一般步骤 (1)建坐标系：选取合适的方向建立直角坐标系 (2)正交分解各力：将每一个不在坐标轴上的力分解到x轴和y轴上，并求出各分力的大小，如图所示 (3)分别求出x轴和y轴方向上所受的合力，合力等于在该方向上所有力的代数和。(沿坐标轴正方向的力取为正，反之取为负)即： Fx＝F1x＋F2x…；Fy＝F1y＋F2y… (4)求共点力的合力：合力大小F＝，设合力的方向与x轴的夹角为φ，则tan φ＝。
【点拨】 正交分解法不一定按力的实际效果来分解，而是根据需要为了简化问题在两个相互垂直的方向上分解，它是处理力的合成和分解的复杂问题的一种简便方法。
【例3】 在同一平面内共点的四个力F1、F2、F3、F4的大小依次为19 N、40 N、30 N和15 N，方向如图所示，求它们的合力。
【技巧与方法】
① 正交分解法适用于三个或三个以上力的合成。
② 分解的目的是为了更方便地合成，将力的矢量运算转化为代数运算。
③ 若F＝0，则可推出Fx＝0，Fy＝0。这是处理多个力作用下物体平衡问题的好办法，以后常常用到。
【针对训练】
4．(力的分解中定解的条件)把一个已知力分解，要求其中一个分力F1跟F成30°，而大小未知；另一个分力F2＝F，但方向未知，则F1的大小可能是( )
A.F B．F
C.F D．F
【解析】C [如图所示，由于5．(力的正交分解)如图所示，质量为m的物体用轻绳AB悬挂于天花板上，用水平向左的力F拉着绳上的点O，使AO与竖直方向的夹角为θ，物体处于平衡状态，则拉力F的大小为( )
A．F＝mgsin θ B．F＝mgtan θ
C．F＝ D．F＝
考点达标
考点一 合力与分力的关系
1．(多选)已知两个分力的大小为F1、F2，它们的合力大小为F，下列说法中不正确的是( )
A．不可能出现FF1同时F>F2的情况
C．不可能出现FF1＋F2的情况
2．(多选)两个共点力F1、F2大小不同，它们的合力大小为F，则( )
A．F1、F2同时增大一倍，F也增大一倍 B．F1、F2同时增加10 N，F也增加10 N
C．F1增加10 N，F2减少10 N，F一定不变 D．若F1、F2中的一个增大，F不一定增大
考点二 力的合成
3．某物体同时受到同一平面内的三个共点力作用，在如图所示的四种情况中(坐标纸中每格边长表示1 N大小的力)，对物体所受的合外力说法正确的是( )
4．两个大小相等的共点力F1和F2，当它们之间的夹角为90°时，合力大小为10 N，则当它们之间的夹角为120°时，合力的大小为( )
A．10 N B．10 N
C．15 N D．20 N
5．设有5个力同时作用于质点O，它们的大小和方向相当于正六边形的两条边和三条对角线，如图所示，则这5个力的合力等于其中最小力的( )
A．3倍 B．4倍
C．5倍 D．6倍
考点三 力的分解
6．为了行车的方便与安全，上山的公路都是很长的“之”字形盘山公路，这样做的主要目的是( )
A．减小上山车辆受到的摩擦力 B．减小上山车辆的重力
C．减小上山车辆对路面的压力 D．减小上山车辆的重力平行于路面向下的分力
7．将如图所示的力F分解为F1和F2两个分力，已知F、F1的大小和F2、F之间的夹角α(α<90°)。则下列说法正确的是( )
A．若F1>Fsin α，则F2一定有两解 B．若F1＝Fsin α，则F2有唯一解
C．若F1F，则F2一定无解
8．(多选)如图所示，重20 N的物体放在粗糙水平面上，用F＝8 N的力斜向下推物体。F与水平面成30°角，物体与平面间的动摩擦因数μ＝0.5，最大静摩擦力等于滑动摩擦力则物体( )
A．对地面的压力为28 N
B．所受的摩擦力为4 N
C．所受的合力为5 N
D．所受的合力为0
考点四 矢量和标量
9．如图所示，大小分别为F1、F2、F3的三个力恰好围成一个闭合的三角形，且三个力的大小关系是F1＜F2＜F3，则下列四个选项中，这三个力的合力最大的是( )
A B C D
巩固提升
10．射箭时，若刚释放的瞬间弓弦的拉力为100 N，对箭产生的作用力为120 N，其弓弦的拉力如图乙中F1和F2所示，对箭产生的作用力如图乙中F所示。弓弦的夹角应为(cos 53°＝0.6)( )
甲 乙
A．53° B．127°
C．143° D．106°
11．明朝谢肇淛的《五杂组》中记载：“明姑苏虎丘寺塔倾侧，议欲正之，非万缗不可。一游僧见之曰：无烦也，我能正之。”游僧每天将木楔从塔身倾斜一侧的砖缝间敲进去，经月余扶正了塔身。假设所用的木楔为等腰三角形，木楔的顶角为θ，现在木楔背上加一力F，方向如图所示，木楔两侧产生推力FN，则( )
A．若F一定，θ大时FN大 B．若F一定，θ小时FN大
C．若θ一定，F大时FN大 D．若θ一定，F小时FN大
12．如图甲所示，轻绳AD跨过固定在水平横梁BC右端的定滑轮挂住一个质量为m1的物体，∠ACB＝30°；图乙所示的轻杆HG一端用铰链固定在竖直墙上，另一端G通过细绳EG拉住，EG与水平方向成30°角，轻杆的G点用细绳GF拉住一个质量为m2的物体，重力加速度为g，则下列说法正确的是( )
甲 乙
A．图甲中滑轮受到绳子的作用力大小为
B．图乙中HG杆受到绳的作用力为m2g
C．细绳AC段的拉力FAC与细绳EG段的拉力FEG之比为1∶1
D．细绳AC段的拉力FAC与细绳EG段的拉力FEG之比为m1∶2m2
13．如图所示，质量为0.8 kg的小球在轻弹簧和水平轻绳的拉力作用下处于静止状态，弹簧与竖直方向的夹角θ＝37°，弹簧的拉力F＝10 N，伸长量为x＝0.01 m，sin 37°＝0.6。
(1)画出小球的受力示意图；
(2)求出弹簧的劲度系数；
(3)已知弹簧的拉力与小球重力的合力方向水平向右，求该合力的大小。
