(时间：120分钟；满分：150分)
一、选择题(本大题共12小题．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
下列各命题中为真命题的是( )
A．?x∈R，x≥0 B．如果x<5，则x<2
C．?x∈R，x2≤－1 D．?x∈R，x2＋1≠0
解析：选D.A中，若x取负数，x≥0不成立，故A错；B中，若取x＝4<5，x<2不成立，故B错；C中，?x∈R，x2≥0，故C错；D中，?x∈R，x2≥0，故x2＋1≠0成立．
“a＝1”是“函数f(x)＝x2－2ax＋3在区间[1，＋∞)上递增”的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
解析：选A.函数f(x)＝x2－2ax＋3的对称轴为直线x＝a，若函数在区间[1，＋∞)上递增，则a≤1，所以“a＝1”是“函数f(x)＝x2－2ax＋3在区间[1，＋∞)上递增”的充分不必要条件．
已知命题p：?x∈(－∞，0)，2x<3x；命题q：?x∈，tanx>sinx，则下列命题为真命题的是( )
A．p∧q B．p∨(?q)
C．p∧(?q) D．(?p)∧q
解析：选D.因为当x∈(－∞，0)时，2x>3x，所以命题p为假命题，命题q为真命题，所以?p为真命题，所以(?p)∧q为真命题．
以－＝－1的焦点为顶点，顶点为焦点的椭圆方程为( )
A.＋＝1 B.＋＝1
C.＋＝1 D.＋＝1
解析：选D.双曲线－＝－1即－＝1的焦点为(0，±4)，顶点为(0，±2)．所以对椭圆＋＝1(a>b>0)而言，a2＝16，c2＝12.∴b2＝4，因此方程为＋＝1.
中心在原点，焦点在x轴上的双曲线的一条渐近线经过点(4，－2)，则它的离心率为( )
A. B.
C. D.
解析：选D.渐近线方程为：y＝±x，∴＝，又∵a2＋b2＝c2，∴e＝.故选D.
已知椭圆＋＝1(a>b>0)，M为椭圆上一动点，F1为椭圆的左焦点，则线段MF1的中点P的轨迹是( )
A．椭圆 B．圆
C．双曲线的一支 D．线段
解析：选A.∵P为MF1的中点，O为F1F2的中点，
∴|OP|＝|MF2|，又|MF1|＋|MF2|＝2a，
∴|PF1|＋|PO|＝|MF1|＋|MF2|＝a.
∴P的轨迹是以F1，O为焦点的椭圆．
下列四个命题：
①“若x2＋y2＝0，则实数x，y均为0”的逆命题；
②“相似三角形的面积相等”的否命题；
③“A∩B＝A，则A?B”的逆否命题；
④“末位数不是0的数能被3整除”的逆否命题．
其中真命题为( )
A．①② B．②③
C．①③ D．③④
解析：选C.①的逆命题为“若实数x、y均为0，则x2＋y2＝0”，是正确的；∵“A∩B＝A，则A?B”是正确的，∴它的逆否命题也正确．
抛物线y2＝4x的焦点为F，点M是准线l上的点，且|MF|＝4(如图)，则线段MF与抛物线的交点的横坐标为( )
A．3 B.
C. D.
解析：选B.易得∠MFO＝60°，那么直线MF的方程为y＝－(x－1)，代入y2＝4x得3x2－10x＋3＝0，
则x＝，或x＝3(由题图舍去)．
正方体ABCD-A1B1C1D1中，E、F分别是BB1、CC1的中点，则AE、BF所成角的余弦值是( )
A．－ B.
C. D.
解析：选B.取DD1的中点H，连接AH，设正方体的棱长为2，则在△AEH中，AH＝AE＝，HE＝2，
所以cos∠EAH＝＝.
已知点M是抛物线y＝x2上一点，F为抛物线的焦点，A在圆C：(x－1)2＋(y－4)2＝1上，则|MA|＋|MF|的最小值为( )
A．2 B．3
C．4 D．5
解析：选C.由题意可知，焦点坐标为F(0，1)，
准线方程为l：y＝－1.
过点M作MH⊥l于点H，由抛物线的定义，
得|MF|＝|MH|.
∴|MA|＋|MF|＝|MH|＋|MA|，当C、M、H、A四点共线时，|MA|＝|MC|－1，|MH|＋|MC|有最小值，
于是，|MA|＋|MF|的最小值为4－(－1)－1＝4.故选C.
在三棱锥P-ABC中，AB⊥BC，AB＝BC＝PA，点O、D分别是AC、PC的中点，OP⊥底面ABC，则直线OD与平面PBC所成角的正弦值为( )
A. B.
C. D.
解析：选D.∵OP⊥平面ABC，OA＝OC，AB＝BC，
∴OA⊥OB，OA⊥OP，OB⊥OP.
以O为原点，建立如图所示的空间直角坐标系Oxyz.
设AB＝a，则A，
B，C.
设OP＝h，则P(0，0，h)，
∵PA＝2a，∴h＝a＝a.
∴＝.
可以求得平面PBC的法向量n＝，
∴cos〈，n〉＝＝.
设OD与平面PBC所成的角为θ，
则sinθ＝|cos〈，n〉|＝.
设F1，F2是双曲线x2－4y2＝4a(a>0)的两个焦点，点P在双曲线上，且满足：·＝0，||·||＝2，则a的值为( )
A．2 B.
C．1 D.
解析：选C.双曲线方程化为－＝1(a>0)，
∵·＝0，∴PF1⊥PF2.
∴||2＋||2＝4c2＝20a，①
由双曲线定义||－||＝±4，②
又∵||·||＝2，③
由①②③得：20a－2×2＝16a，∴a＝1.
二、填空题(本大题共4小题．把答案填在题中横线上)
条件甲：“k<－或k>”；条件乙：“kx2－2x＋6k<0对x∈R恒成立”，则要使甲是乙的充要条件，命题甲的条件中需删除的一部分是________．
解析：当k＝0时，kx2－2x＋6k＝－2x，不满足题意，当k≠0时，若kx2－2x＋6k<0对x∈R恒成立，则需满足解得k<－.
所以命题甲的条件中需删除的一部分是k>.
答案：k>
已知F1、F2是双曲线－＝1(a>0，b>0)的两个焦点，PQ是经过F1且垂直于x轴的双曲线的弦．如果∠PF2Q＝90°，则双曲线的离心率是________．
解析：由|PF2|＝|QF2|，∠PF2Q＝90°，
知|PF1|＝|F1F2|，即＝2c，＝2·，
即－－1＝0.∴e2－2e－1＝0，解得e＝1＋或e＝1－(舍去)．
答案：1＋
设O是坐标原点，F是抛物线y2＝2px(p>0)的焦点，A是抛物线上的一点，与x轴正向的夹角为60°，则||为________．
解析：根据题意知A点为直线y＝与抛物线y2＝2px的两个交点中横坐标较大的那个，联立方程组求出x1＝p，x2＝p，故点A坐标为，则||＝＝p.
答案：p
在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，M和N分别是A1B1和BB1的中点，那么直线AM与CN所成角的余弦值为________．
解析：建系如图，则M(1，，1)，N(1，1，)，A(1，0，0)，C(0，1，0)，
∴＝(0，，1)，＝(1，0，)．
∴cos〈，〉＝＝＝.
即直线AM与CN所成角的余弦值为.
答案：
三、解答题(本大题共6小题．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
已知p：方程＋＝1表示双曲线，q：过点M(2，1)的直线与椭圆＋＝1恒有公共点，若p∧q为真命题，求k的取值范围．
解：由p得：(k－4)·(k－6)<0，∴4
由q得：∴k>5.
又p∧q为真命题，则5已知p：x2－6x－27≤0，q：|x－1|≤m(m>0)，若q是p的必要而不充分条件，求实数m的取值范围．
解：由p得－3≤x≤9，
由q得－m＋1≤x≤m＋1，
∵q是p的必要而不充分条件，
∴得m≥8.
又因为m＝8时命题成立．
∴实数m的取值范围是m≥8.
在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E、F、G分别为DD1、BD、BB1的中点．
(1)求证：EF⊥平面AB1C；
(2)求EF与CG所成的角的余弦值．
解：如图，建立空间直角坐标系Dxyz，设正方体棱长为2，
则A(2，0，0)，C(0，2，0)，B1(2，2，2)，E(0，0，1)，F(1，1，0)，G(2，2，1)．
(1)证明：＝(1，1，－1)，＝(－2，2，0)，＝(0，2，2)，
∵·＝0，∴EF⊥AC，
∵·＝0，∴EF⊥AB1，
又AC∩AB1＝A，∴EF⊥平面AB1C.
(2)∵＝(2，0，1)，
∴cos〈，〉＝＝，
所以EF与CG所成的角的余弦值为.
已知抛物线C：y2＝ax的焦点与双曲线－＝1的右焦点重合．
(1)求抛物线C的方程；
(2)过点A(2，0)作倾斜角为的直线，与抛物线C交于M、N两点，判断∠MON是否为直角．若∠MON为直角，请给出证明；若不是直角，请说明理由．
解：(1)∵双曲线－＝1的右焦点为(2，0)，可知抛物线的焦点为(2，0)，故＝2，∴a＝8.
∴抛物线C的方程为y2＝8x.
(2)依题意，直线的斜率为tan＝1，
∴直线方程为y＝x－2，
联立方程，消去y得x2－12x＋4＝0，
设M(x1，y1)，N(x2，y2)，则可知x1＋x2＝12，x1x2＝4.
又·＝x1x2＋y1y2＝x1x2＋(x1－2)(x2－2)＝2x1x2－2(x1＋x2)＋4＝－12，
∴·≠0，
∴OM⊥ON不成立，即∠MON不是直角．
如图，正方形ACDE所在平面与平面ABC垂直，M是CE和AD的交点，且AC⊥BC，AC＝BC.
(1)求证：AM⊥平面EBC；
(2)求直线AB与平面EBC所成角的大小；
(3)求锐二面角A-BE-C的大小．
解：依题可知，CA，CB，CD两两垂直，故可建立如图空间直角坐标系Cxyz，设正方形边长为1，则AC＝BC＝1.
C(0，0，0)，A(1，0，0)，B(0，1，0)，D(0，0，1)，E(1，0，1)，
M.
(1)证明：＝，
＝(0，1，0)，＝(1，0，1)，
∴·＝0，·＝0，∴⊥，⊥，
∴AM⊥CB，AM⊥CE且CB∩CE＝C，
∴AM⊥平面EBC.
(2)由(1)知为平面EBC的一个法向量，＝(－1，1，0)，
设所求角大小为θ，则sinθ＝|cos〈，〉|＝，
∴直线AB与平面EBC所成的角的大小为30°.
(3)设m＝(x，y，z)为平面AEB的一个法向量，则?
取m＝(1，1，0)，则|cos〈，m〉|＝，
所以锐二面角A-BE-C的大小为60°.
已知椭圆＋＝1(a>b>0)的离心率为，短轴的一个端点到右焦点的距离为，直线l：y＝kx＋m交椭圆于不同的两点A，B.
(1)求椭圆的方程；
(2)若坐标原点O到直线l的距离为，求△AOB面积的最大值．
解：(1)设椭圆的半焦距为c，依题意得
解得c＝.
由a2＝b2＋c2，得b＝1.
∴所求椭圆方程为＋y2＝1.
(2)由已知＝，可得m2＝(k2＋1)．
将y＝kx＋m代入椭圆方程，
整理得(1＋3k2)x2＋6kmx＋3m2－3＝0.
Δ＝(6km)2－4(1＋3k2)(3m2－3)>0，(*)
∴x1＋x2＝，x1·x2＝.
∴|AB|2＝(1＋k2)(x2－x1)2
＝(1＋k2)·
＝＝
＝3＋＝3＋≤3＋
＝4(k≠0)．
当且仅当9k2＝，即k＝±时等号成立，此时|AB|＝2.
经检验，k＝±满足(*)式．
当k＝0时，|AB|＝.
综上可知|AB|max＝2，
∴当|AB|最大时，△AOB的面积取最大值S＝×2×＝.
(时间：120分钟；满分：150分)
一、选择题(本大题共12小题．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
下列四个命题是假命题的为( )
A．?x∈R，x2＋2>0 B．?x∈N，x4≥1
C．?x∈Z，x3<1 D．?x∈Q，x2≠3
解析：选B.?x∈N，x4≥0，∴B错误．
如果命题“?(p∨q)”为假命题，则( )
A．p，q均为真命题 B．p，q中至少有一个为真命题
C．p，q均为假命题 D．p，q中至多有一个为真命题
解析：选B.?(p∨q)为假命题，则p∨q为真命题．∴p，q中至少有一个为真命题．
命题“若x>y，则x3>y3－1”的否命题是( )
A．若x>y，则x3≤y3－1 B．若x≤y，则x3>y3－1
C．若x≤y，则x3≤y3－1 D．若x解析：选C.将原命题的条件和结论分别否定作为条件和结论得到的新命题就是原命题的否命题，即“若x≤y，则x3≤y3－1”．
下面四个条件中，使a>b成立的充分而不必要条件是( )
A．a>b＋1 B．a>b－1
C．a2>b2 D．a3>b3
解析：选A.A选项中a>b＋1>b，所以充分性成立，但必要性不成立，所以“a>b＋1”为“a>b”成立的充分而不必要条件．
设a，b是向量，命题“若a＝－b，则|a|＝|b|”的逆命题是( )
A．若a≠－b，则|a|≠|b| B．若a＝－b，则|a|≠|b|
C．若|a|≠|b|，则a≠－b D．若|a|＝|b|，则a＝－b
解析：选D.∵逆命题是以原命题的结论为条件，条件为结论的命题，∴这个命题的逆命题为：若|a|＝|b|，则a＝－b.
设集合M＝{1，2}，N＝{a2}，则“a＝1”是“N?M”的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
解析：选A.a＝1时，N＝{1}，∴N?M，∴a＝1是N?M的充分条件．若N?M，∴a2＝1或a2＝2，∴a＝±1或a＝±，∴a＝1不是N?M的必要条件．
下列命题中的假命题是( )
A．?x∈R，2x－1>0 B．?x∈N*，(x－1)2>0
C．?x∈R，lgx<1 D．?x∈R，tanx＝2
解析：选B.对于A，正确；对于B，当x＝1时，(x－1)2＝0，错误；对于C，当x∈(0，1)时，lgx<0<1，正确；对于D，正确．
已知命题p：(x＋1)2>4，命题q：x>a，且?p是?q的充分而不必要条件，则a的取值范围是( )
A．a≥1 B．a≤1
C．a≥－3 D．a≤－3
解析：选A.由题意知：q是p的充分不必要条件，
∴{x|q}{x|p}，
p：x＋1>2或x＋1<－2，即x>1或x<－3；q：x>a.
∴a≥1.
命题“所有能被2整除的整数都是偶数”的否定是( )
A．所有不能被2整除的整数都是偶数
B．所有能被2整除的整数都不是偶数
C．存在一个不能被2整除的整数是偶数
D．存在一个能被2整除的整数不是偶数
解析：选D.全称命题的否定：“所有”变为“存在”，且否定结论．所以原命题的否定是：存在一个能被2整除的整数不是偶数．
已知p(x)＝x2＋2x－m>0，如果p(1)是假命题，p(2)是真命题，则实数m的取值范围是( )
A．m≥3 B．m<8
C．R D．3≤m<8
解析：选D.∵p(1)为假命题，∴1＋2－m≤0，即m≥3.
又p(2)为真命题，∴4＋4－m>0，即m<8.∴3≤m<8.
“a＝－1”是“直线ax＋(2a－1)y＋1＝0和直线3x＋ay＋3＝0垂直”的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
解析：选A.当两直线垂直时，a＝－1或a＝0.∴a＝－1是两直线垂直的充分不必要条件．
已知命题p：存在x∈R，使tanx＝，命题q：x2－3x＋2<0的解集是{x|1A．②③ B．①②④
C．①③④ D．①②③④
解析：选D.∵p、q都是真命题，∴①②③④均正确．
二、填空题(本大题共4小题．把答案填在题中横线上)
命题p：?x∈R，f(x)≥m，则命题p的否定?p是________．
答案：?x∈R，f(x)用量词符号“?”或“?”表示下列命题：
(1)凸n边形的外角和等于2π：________；
(2)存在一个有理数x0，使得x＝8：________．
答案：(1)?x∈{凸n边形}，x的外角和等于2π
(2)?x0∈Q，x＝8
a＝3是“直线l1：ax＋2y＋3a＝0和直线l2：3x＋(a－1)y＝a－7平行且不重合”的________条件．
解析：当a＝3时，l1：3x＋2y＋9＝0，
l2：3x＋2y＋4＝0，∴l1∥l2.
反之，若l1∥l2，则a(a－1)＝6，即a＝3或a＝－2，
但a＝－2时，l1与l2重合．
答案：充要
命题p：若a，b∈R，则ab＝0是a＝0的充分条件，命题q：函数y＝的定义域是[3，＋∞)，则“p∨q”“p∧q”“?p”中是真命题的为________．
解析：p为假命题，q为真命题，则p∨q为真命题，p∧q为假命题，?p为真命题．
答案：p∨q，?p
三、解答题(本大题共6小题．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
已知命题p：?非零向量a、b、c，若a·(b－c)＝0，则b＝c.写出其否定和否命题，并说明真假．
解：?p：?非零向量a、b、c，若a·(b－c)＝0，则b≠c.?p为真命题．
否命题：?非零向量a、b、c，若a·(b－c)≠0，则b≠c.否命题为真命题．
指出下列命题中，p是q的什么条件：
(1)p：{x|x>－2或x<3}；q：{x|x2－x－6<0}；
(2)p：a与b都是奇数；q：a＋b是偶数．
解：(1)∵{x|x>－2或x<3}＝R，
{x|x2－x－6<0}＝{x|－2∴{x|x>－2或x<3}{x|－2而{x|－2－2或x<3}．
∴p是q的必要不充分条件．
(2)∵a、b都是奇数?a＋b为偶数，而a＋b为偶数a、b都是奇数，∴p是q的充分不必要条件．
写出下列命题的逆命题、否命题、逆否命题，并指出它们的真假．
(1)两个全等梯形的周长相等；
(2)若m<0或n<0，则m＋n<0.
解：(1)原命题为真.
逆命题：若两个梯形周长相等，则它们全等，逆命题为假；
否命题：若两个梯形不全等，则它们的周长不相等，否命题为假；
逆否命题：若两个梯形的周长不相等，则它们不全等，逆否命题为真．
(2)原命题为假．
逆命题：若m＋n<0，则m<0或n<0，逆命题为真．
否命题：若m≥0且n≥0，则m＋n≥0，否命题为真．
逆否命题：若m＋n≥0，则m≥0且n≥0，逆否命题为假．
命题p：“对任意实数x，有x－a>0或x－b≤0”，其中a、b为常数．
(1)写出命题p的否定；
(2)a，b满足什么条件时，命题p的否定为真？
解：(1)?p：?x∈R，x－a≤0且x－b>0.
(2)?p为真，即集合{x|b即a>b时，?p为真命题．
证明：方程mx2－2x＋3＝0有两个同号不相等实根的充要条件是0证明：充分性：当00，方程有两个不相等的实根，不妨设两根分别为x1，x2，则x1＋x2＝>0，x1x2＝>0，故方程有两个同号且不相等的实根．充分性得证．
必要性：若方程mx2－2x＋3＝0有两个同号不相等实根，则有∴0∴方程mx2－2x＋3＝0有两个同号不相等实根的充要条件是0已知命题p：“函数f(x)＝ax2－4x(a>0)在(－∞，2]上单调递减”；命题q：“?x∈R，16x2－16(a－1)x＋1≠0”，若命题“p且q”为真命题，求实数a的取值范围．
解：p为真．当a>0时，只需对称轴x＝－＝在区间(－∞，2]的右侧，即≥2，∴0q为真．命题等价于：方程16x2－16(a－1)x＋1＝0无实根．
Δ＝[16(a－1)]2－4×16<0，∴∵命题“p且q”为真命题，
∴，∴
(时间：120分钟；满分：150分)
一、选择题(本大题共12小题．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
若a＝(2x，1，3)，b＝(1，－2y，9)，如果a与b为共线向量，则( )
A．x＝1，y＝1 B．x＝，y＝－
C．x＝，y＝－ D．x＝－，y＝
答案：C
向量a，b与任何向量都不能构成空间的一个基底，则( )
A．a与b共线 B．a与b同向
C．a与b反向 D．a与b共面
解析：选A.∵a，b不能与任何向量构成空间基底，故a与b一定共线．
已知向量a＝(0，2，1)，b＝(－1，1，－2)，则a与b的夹角为( )
A．0° B．45°
C．90° D．180°
解析：选C.已知a＝(0，2，1)，b＝(－1，1，－2)，
则cos〈a，b〉＝0，从而得出a与b的夹角为90°.
已知A(1，2，1)，B(－1，3，4)，C(1，1，1)，＝2，则||为( )
A. B.
C. D.
解析：选A.设P(x，y，z)，由＝2得：
(x－1，y－2，z－1)＝2(－1－x，3－y，4－z)，
∴x＝－，y＝，z＝3，即P，∴＝，
∴||＝.故选A.
如图，已知空间四边形OABC中，M、N分别是对边OA、BC的中点，点G在MN上，且MG＝2GN，设＝a，＝b，＝c，现用基底{a，b，c}表示向量，＝x a＋y b＋z c，则x，y，z的值分别为( )
A．x＝，y＝，z＝
B．x＝，y＝，z＝
C．x＝，y＝，z＝
D．x＝，y＝，z＝
解析：选D.由线段中点的向量表达式，得＝＋＝＋＝＋(＋＋)
＝a＋
＝a－a＋c＋b－c
＝a＋b＋c，∴x＝，y＝，z＝.
在以下命题中，不正确的个数为( )
①|a|－|b|＝|a＋b|是a，b共线的充要条件；
②若a∥b，则存在唯一的实数λ，使a＝λb；
③对空间任意一点O和不共线的三点A，B，C，若＝2－2－，则P，A，B，C四点共面；
④若{a，b，c}为空间的一个基底，则{a＋b，b＋c，c＋a}构成空间的另一个基底；
⑤|(a·b)·c|＝|a|·|b|·|c|.
A．2 B．3
C．4 D．5
解析：选C.①|a|－|b|＝|a＋b|?a与b的夹角为π，故是充分不必要条件，故不正确；②b需为非零向量，故不正确；③因为2－2－1≠1，由共面向量定理知，不正确；④由基底的定义知正确；⑤由向量的数量积的性质知，不正确，故选C.
如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AB＝BC＝AA1，∠ABC＝90°，点E、F分别是棱AB、BB1的中点，则直线EF与BC1所成的角是( )
A．45° B．60°
C．90° D．120°
解析：选B.以点B为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，设各棱长为2，则E(0，1，0)，F(0，0，1)，C1(2，0，2)，B(0，0，0)
则＝(0，－1，1)，＝(2，0，2)，
∴cos〈，〉＝＝，
∴〈，〉＝60°，
所以直线EF与BC1所成的角为60°.
已知ABCD是一个四面体，O为△BCD内一点，则“＝(＋＋)”是“O为△BCD的重心”的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
解析：选C.设BC中点为E，若O为△BCD的重心，则＝＋，＝(＋)，又∵＝－，
∴＝＋(－)＝＋＝(＋＋)．故选C.
已知A(－4，6，－1)、B(4，3，2)，则下列各向量中是平面AOB的一个法向量的是( )
A．(0，1，6)
B．(－1，2，－1)
C．(－15，4，36)
D．(15，4，－36)
解析：选D.设法向量为(x，y，z)，则
解得令y＝4，则得法向量(15，4，－36)．
四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是平行四边形，＝(2，－1，－4)，＝(4，2，0)，＝(－1，2，－1)，则PA与底面ABCD的关系是( )
A．相交 B．垂直
C．不垂直 D．成60°角
解析：选B.∵·＝0，·＝0，∴PA⊥AB，PA⊥AD，又AB∩AD＝A.∴PA⊥平面ABCD.
已知正四棱锥S-ABCD的侧棱长与底面边长都相等，E是SB的中点，则AE与平面SBC所成的角的余弦值为( )
A. B.
C. D.
解析：选B.设AE与平面SBC所成的角为θ，以底面中心O为原点，以射线OA为x轴，以射线OB为y轴，以射线OS为z轴，建立空间直角坐标系，设底面边长为，则A(1，0，0)，B(0，1，0)，C(－1，0，0)，S(0，0，1)，E，所以＝(－1，－1，0)，＝(0，1，－1)，＝，设平面SBC的法向量为n＝(x，y，z)，则即令x＝1，所以n＝(1，－1，－1)，因为cos＝＝，所以cosθ＝.故选B.
如图所示，在四面体PABC中，PC⊥平面ABC，AB＝BC＝CA＝PC，那么二面角B-AP-C的余弦值为( )
A. B.
C. D.
解析：选C.如图所示，作BD⊥AP于D，作CE⊥AP于E.
设AB＝1，
则易得CE＝，EP＝，
PA＝PB＝，可以求得BD＝，
ED＝，因为＝＋＋，
所以BC2＝BD2＋DE2＋EC2＋2·＋2·＋2·，
所以·＝－，
所以cos〈，〉＝－，由图知，二面角B－AP－C的余弦值为.故选C.
二、填空题(本大题共4小题．把答案填在题中横线上)
若a＝(2，－3，5)，b＝(－3，1，－4)，则|a－2b|＝________．
解析：∵a－2b＝(8，－5，13)，
∴|a－2b|＝ ＝.
答案：
已知a＝(1，2，－2)，若|b|＝2|a|，且a∥b，则b＝________．
解析：∵a∥b，∴b＝λa＝(λ，2λ，－2λ)(λ∈R)，
又|b|＝2|a|，
∴λ＝±2，∴b＝(2，4，－4)或b＝(－2，－4，4)．
答案：(2，4，－4)或(－2，－4，4)
如图，在空间四边形ABCD中，AC和BD为对角线，G为△ABC的重心，E是BD上一点，BE＝3ED，以{，，}为基底，则＝________．
解析：＝－
＝＋－
＝＋－(＋)
＝＋－－－
＝－－＋.
答案：－－＋
如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，B1C和C1D与底面所成的角分别为60°和45°，则异面直线B1C和C1D所成角的余弦值为________．
解析：利用空间直角坐标系转化为求向量与的夹角．建立如图所示的空间直角坐标系，
可知∠CB1C1＝60°，∠DC1D1＝45°.
设B1C1＝1，则CC1＝＝DD1，
∴C1D1＝，
可知B1(，0，0)，C(，1，)，C1(，1，0)，D(0，1，)，
∴＝(0，1，)，＝(－，0，)，
∴cos〈，〉＝＝＝.
答案：
三、解答题(本大题共6小题．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
设a＝(1，5，－1)，b＝(－2，3，5)．
(1)当(λa＋b)∥(a－3b)时，求λ的值；
(2)当(a－3b)⊥(λa＋b)时，求λ的值．
解：(1)∵a＝(1，5，－1)，b＝(－2，3，5)，
∴a－3b＝(1，5，－1)－3(－2，3，5)
＝(1，5，－1)－(－6，9，15)＝(7，－4，－16)．
λa＋b＝λ(1，5，－1)＋(－2，3，5)＝(λ，5λ，－λ)＋(－2，3，5)＝(λ－2，5λ＋3，－λ＋5)．
∵(λa＋b)∥(a－3b)，
∴＝＝，解得λ＝－.
(2)由(a－3b)⊥(λa＋b)
?(7，－4，－16)·(λ－2，5λ＋3，－λ＋5)＝0
?7(λ－2)－4(5λ＋3)－16(－λ＋5)＝0，解得λ＝.
已知矩形ABCD，P为平面ABCD外一点，M、N分别为PC、PD上的点，且M分PC成定比2，N为PD的中点，求满足＝x＋y＋z的实数x，y，z的值．
解：法一：如图所示，
取PC的中点E，连接NE，
则＝＝＝－.
＝－＝－
＝.
连接AC，则＝－＝＋－，
∴＝－＝－－(＋－)
＝－－＋.
∵、、不共面，
∴x＝－，y＝－，z＝.
法二：＝－＝－
＝(＋)－(＋)
＝－＋－(－＋＋)
＝－－＋，
∵、、不共面，
∴x＝－，y＝－，z＝.
在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，以A为端点的三条棱长均为1，且两两夹角为.
(1)求AC1的长；
(2)求AC1与面ABCD所成角的余弦值．
解：(1)＝＋＋，
2＝(＋＋)2，
∵〈，〉＝〈，〉＝〈，〉＝，
∴()2＝6，∴||＝.
(2)∵∠A1AD＝∠A1AB，∴AC1在底面的射影为AC，
则∠C1AC即为AC1与面ABCD所成的角．
cos∠C1AC＝cos〈，〉＝
＝，
＝(＋)2＝3，
∴cos∠C1AC＝.
如图，四面体ABCD中，O是BD的中点，CA＝CB＝CD＝BD＝2，AB＝AD＝.
(1)求证：AO⊥平面BCD；
(2)求异面直线AB与CD所成角的余弦值．
解：(1)证明：连接OC，
∵BO＝DO，AB＝AD，∴AO⊥BD.
∵BO＝DO，BC＝CD，∴CO⊥BD.
在△AOC中，由已知可得AO＝1，CO＝.而AC＝2，
∴AO2＋CO2＝AC2，
∴∠AOC＝90°，即AO⊥OC.∵BD∩OC＝O，∴AO⊥平面BCD.
(2)以O为原点，如图建立空间直角坐标系，
则B(1，0，0)，D(－1，0，0)，C(0，，0)，A(0，0，1)，＝(－1，0，1)，＝(－1，－，0)，
∴cos〈，〉＝＝，
∴异面直线AB与CD所成角的余弦值为.
如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，H是正方形AA1B1B的中心，AA1＝2，C1H⊥平面AA1B1B，且C1H＝.
(1)求异面直线AC与A1B1所成角的余弦值；
(2)求二面角A-A1C1-B1的正弦值．
解：
如图所示，建立空间直角坐标系，点B为坐标原点．
依题意得A(2，0，0)，B(0，0，0)，C(，－，)，A1(2，2，0)，B1(0，2，0)，C1(，，)．
(1)易得＝(－，－，)，＝(－2，0，0)，于是cos〈，〉＝＝＝，
所以异面直线AC与A1B1所成角的余弦值为.
(2)易知＝(0，2，0)，＝(－，－，)．
设平面AA1C1的法向量m＝(x，y，z)，则即不妨令x＝，可得m＝(，0，)．同样地，设平面A1B1C1的法向量n＝(x1，y1，z1)，则
即不妨令y1＝，可得n＝(0，，)，于是cos〈m，n〉＝＝＝，从而sin〈m，n〉＝.
所以二面角A-A1C1-B1的正弦值为.
如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥底面ABCD，PA＝AB＝，点E是棱PB的中点．
(1)求直线AD与平面PBC的距离；
(2)若AD＝，求二面角A-EC-D的平面角的余弦值．
解：
(1)如图，以A为坐标原点，射线AB、AD，AP分别为x轴、y轴，z轴正半轴，建立空间直角坐标系Axyz.
设D(0，a，0)，则B(，0，0)，C(，a，0)，P(0，0，)，E.
因此，＝，＝(0，a，0)，
＝(，a，－)．
则·＝0，·＝0，所以AE⊥平面PBC.
又由AD∥BC知AD∥平面PBC，故直线AD与平面PBC的距离为点A到平面PBC的距离，即为||＝.
(2)设平面AEC的法向量为n1＝(x1，y1，z1)，
∵＝，＝(，，0)，
∴
令x1＝－1，得y1＝，z1＝1，
∴n1＝(－1，，1)．
设平面EDC的法向量为n2＝(x2，y2，z2)，
∵＝，＝(－，0，0)，
∴
令z2＝，得y2＝1.
∴n2＝(0，1，)．
故cos〈n1，n2〉＝＝.
所以二面角A-EC-D的平面角的余弦值为.
(时间：120分钟；满分：150分)
一、选择题(本大题共12小题．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
已知椭圆＋＝1上一点P到椭圆一个焦点的距离为3，则点P到另一焦点的距离为( )
A．2 B．3
C．5 D．7
解析：选D.点P到椭圆的两个焦点的距离之和为2a＝10，10－3＝7.选D.
已知抛物线的方程为y＝2ax2，且过点(1，4)，则焦点坐标为( )
A．(0，) B．(，0)
C．(1，0) D．(0，1)
解析：选A.∵抛物线过点(1，4)，∴4＝2a，∴a＝2，∴抛物线方程为x2＝y，焦点坐标为(0，)．
若椭圆＋＝1过点(－2，)，则其焦距为( )
A．2 B．2
C．4 D．4
解析：选C.把点(－2，)代入＋＝1得＋＝1，∴b＝2，∴c＝＝2，
∴其焦距2c＝4.
椭圆的一个顶点与两个焦点构成等边三角形，则椭圆的离心率是( )
A. B.
C. D.
解析：选B.由椭圆的定义并结合图形得2c＝a，∴e＝＝.
已知双曲线9y2－m2x2＝1(m>0)的一个顶点到它的一条渐近线的距离为，则m＝( )
A．2 B．4
C．6 D．8
解析：选B.双曲线9y2－m2x2＝1(m>0)可化为－＝1，∴a＝，b＝.
不妨取顶点，一条渐近线为mx－3y＝0，
∵＝，∴m2＋9＝25.∴m＝4.
两个正数a、b的等差中项是，一个等比中项是2，且a>b，则抛物线y2＝(b－a)x的焦点坐标为( )
A. B.
C. D.
解析：选D.由题意知a＝5，b＝4，b－a＝－1，所以抛物线为y2＝－x，焦点坐标为.
已知椭圆的中心在原点，离心率e＝，且它的一个焦点与抛物线y2＝－4x的焦点重合，则此椭圆方程为( )
A.＋＝1 B.＋＝1
C.＋y2＝1 D.＋y2＝1
解析：选A.由抛物线方程y2＝－4x，
得焦点坐标为(－1，0)，所以c＝1.
又离心率e＝＝，所以a＝2.所以b＝.
故所求椭圆的方程为＋＝1，即＋＝1.
过双曲线的一个焦点F2作垂直于实轴的弦PQ，F1是另一焦点，若∠PF1Q＝，则双曲线的离心率e等于( )
A.－1 B.
C.＋1 D.＋2
解析：选C.由题意知△PF1F2是等腰直角三角形，
|PF2|＝|F1F2|＝2c，|PF1|＝2c，
|PF1|－|PF2|＝2a，2c－2c＝2a，
即e＝＝＝＋1.
直线y＝kx－2与抛物线y2＝8x交于A、B两点，且线段AB的中点的纵坐标为2，则k的值是( )
A．－1 B．2
C．－1或2 D．以上都不是
解析：选B.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则y＝8x1，y＝8x2，
∴(y1＋y2)(y1－y2)＝8(x1－x2)，
由已知y1＋y2＝4，
∴＝＝2.故选B.
设k>1，则关于x、y的方程(1－k)x2＋y2＝k2－1表示的曲线是( )
A．长轴在y轴上的椭圆
B．长轴在x轴上的椭圆
C．实轴在y轴上的双曲线
D．实轴在x轴上的双曲线
解析：选C.原方程可化为－＝1，∵k>1，∴k2－1>0，k＋1>2，则为实轴在y轴上的双曲线，故选C.
已知P为椭圆＋＝1上的一点，M，N分别为圆(x＋3)2＋y2＝1和圆(x－3)2＋y2＝4上的点，|PM|＋|PN|的最小值为( )
A．5 B．7
C．13 D．15
解析：选B.两圆心C、D恰为椭圆的焦点，∴|PC|＋|PD|＝10，|PM|＋|PN|的最小值为10－1－2＝7.
已知F1、F2为双曲线C：x2－y2＝1的左、右焦点，点P在C上，∠F1PF2＝60°，则|PF1|·|PF2|＝( )
A．2 B．4
C．6 D．8
解析：选B.如图，
设|PF1|＝m，|PF2|＝n.
则
∴
∴mn＝4.∴|PF1|·|PF2|＝4.
二、填空题(本大题共4小题．把答案填在题中横线上)
已知抛物线经过点P(4，－2)，则其标准方程是________．
解析：可设标准方程为y2＝2px(p＞0)或x2＝－2py(p>0)，将P点坐标代入求出p的值，即得抛物线方程．
答案：y2＝x或x2＝－8y
在平面直角坐标系中，有三角形ABC，且A(－3，0)，B(3，0)，顶点C到点A与点B的距离之差为4，则顶点C的轨迹方程为________．
解析：依题意顶点C的轨迹方程是以A、B为焦点，实轴长为4的双曲线的右支，不包括与x轴交点，易求方程为－＝1(x>2)．
答案：－＝1(x>2)
过原点的直线与椭圆＋＝1交于A、B两点，F1、F2为椭圆的焦点，则四边形AF1BF2面积的最大值是________．
解析：如图四边形AF1BF2的面积等于两全等三角形△AF1F2和△BF1F2的面积之和，当A、B分别与短轴端点重合时，它们的面积最大(F1F2为底)，则四边形面积的最大值为2××2c×b＝2bc＝8.
答案：8
已知双曲线C：－＝1，给出以下4个命题，真命题的序号是________．
①直线y＝x＋1与双曲线有两个交点；
②双曲线C与－＝1有相同的渐近线；
③双曲线C的焦点到一条渐近线的距离为3；
④双曲线右支上任一点到左焦点的距离与它到直线x＝－的距离之比为常数．
解析：①错误，因为直线y＝x＋1与渐近线y＝x平行，与双曲线只有一个交点；②正确，渐近线方程为y＝±x；③正确，右焦点为(，0)到渐近线y＝x的距离为3；④正确，这一常数为双曲线的离心率．
答案：②③④
三、解答题(本大题共6小题．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
已知B为线段MN上一点，|MN|＝6，|BN|＝2.动圆C与MN相切于点B.分别过M，N作圆C的切线，两切线交于点P.求点P的轨迹方程．
解：
以MN所在的直线为x轴，MN的垂直平分线为y轴，O为坐标原点，建立坐标系，如图所示．
设MP，NP分别与⊙C相切于D，E两点，则
|PM|－|PN|＝|MD|－|NE|＝|MB|－|BN|＝6－2－2＝2，且|MN|>2.
∴点P的轨迹是以M，N为焦点，2a＝2，2c＝6的双曲线的右支(顶点除外)．
由a＝1，c＝3，知b2＝8.
∴点P的轨迹方程为x2－＝1(x>1)．
椭圆的中心为坐标原点，长、短轴长之比为，一个焦点是(0，－2)．
(1)求椭圆的离心率；
(2)求椭圆的标准方程．
解：(1)设椭圆的方程为＋＝1(a>b>0)，
c2＝a2－b2(c>0)．
由已知得＝，故e2＝1－＝，e＝.
(2)∵c＝2，则a＝＝，得b2＝a2－c2＝.
故椭圆的标准方程为＋＝1.
已知抛物线的焦点F在x轴上，直线l过F且垂直于x轴，l与抛物线交于A、B两点，O为坐标原点，若△OAB的面积等于4，求此抛物线的标准方程．
解：由题意，抛物线方程为y2＝2mx(m≠0)，
焦点F，直线l：x＝，
∴A、B两点坐标为，，
∴|AB|＝2|m|.
∵△OAB的面积为4，
∴·||·2|m|＝4，∴m＝±2.
∴抛物线方程为y2＝±4x.
抛物线的顶点在原点，它的准线过椭圆C：＋＝1(a>b>0)的一个焦点，并与椭圆的长轴垂直，已知抛物线与椭圆的一个交点为P.
(1)求抛物线的方程和椭圆C的方程；
(2)若双曲线与椭圆C共焦点，且以y＝±x为渐近线，求双曲线方程．
解：(1)设抛物线方程为y2＝2mx(m≠0)．
∵P在抛物线上，
∴＝2m×，
∴m＝－2，
∴y2＝－4x.
对于椭圆C：a2－b2＝1，＋＝1，
解得a2＝4，b2＝3.
∴椭圆C的方程为＋＝1.
(2)设双曲线的方程为－＝1，
则＝，又a2＋b2＝1，
∴a2＝，b2＝.
∴双曲线方程为－＝1.
在直角坐标系xOy中，点P到两点(0，－)，(0，)的距离之和为4，设点P的轨迹为C，直线y＝kx＋1与C交于A，B两点．
(1)写出C的方程；
(2)若⊥，求k的值．
解：(1)设P(x，y)，由椭圆定义可知，点P的轨迹C是以(0，－)，(0，)为焦点，长半轴长为2的椭圆．它的短半轴b＝＝1，故曲线C的方程为x2＋＝1.
(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，其坐标满足消去y并整理得(k2＋4)x2＋2kx－3＝0，
故x1＋x2＝－，x1x2＝－.
若⊥，则x1x2＋y1y2＝0.
而y1y2＝k2x1x2＋k(x1＋x2)＋1，
于是x1x2＋y1y2＝－－－＋1＝0，化简得－4k2＋1＝0，所以k＝±.
已知椭圆＋＝1(a>b>0)的一个顶点为A(0，1)，且它的离心率与双曲线－y2＝1的离心率互为倒数．
(1)求椭圆的方程；
(2)过点A且斜率为k的直线l与椭圆相交于A，B两点，点M在椭圆上，且满足＝＋，求k的值．
解：(1)∵双曲线－y2＝1的离心率为，
∴椭圆的离心率为.
又∵b＝1，∴a＝2.
∴椭圆的方程为＋y2＝1.
(2)设直线l的方程为y＝kx＋1，A(x1，y1)，B(x2，y2)，
M(m，n)．
由得(1＋4k2)x2＋8kx＝0，
∴x1＋x2＝－，x1·x2＝0.
∵＝＋，
∴m＝(x1＋x2)，n＝(y1＋y2)．
∵点M在椭圆上，∴m2＋4n2＝4，
∴(x1＋x2)2＋(y1＋y2)2＝[(x＋4y)＋3(x＋4y)＋2x1x2＋8y1y2]＝(4＋12＋8y1y2)＝4.
∴y1y2＝0，
∴(kx1＋1)(kx2＋1)＝k2x1x2＋k(x1＋x2)＋1
＝k·＋1＝0，
即k2＝，∴k＝±.
此时Δ＝(8k)2－4(1＋4k2)×0＝64k2＝16>0，
∴k的值为±.
