1．对于分类变量A与B的统计量χ2，下列说法正确的是( )
A．χ2越大，说明“A与B有关系”的可信度越小
B．χ2越大，说明“A与B无关”的程度越大
C．χ2越小，说明“A与B有关系”的可信度越小
D．χ2接近于0，说明“A与B无关”的程度越小
解析：选C.由独立性检验的定义及χ2的意义可知C正确．
2．甲、乙二人分别对一目标射击一次．记“甲射击一次，击中目标”为事件A，“乙射击一次，击中目标”为事件B，则在A与B、与B、A与、与中，满足相互独立的有( )
A．1对 B．2对
C．3对 D．4对
解析：选D.易知A与B是相互独立事件，从而A与，与B，与都相互独立．
3．根据下表：
不看电视
看电视
合计
男
37
85
122
女
35
143
178
合计
72
228
300
计算χ2＝________.
解析：χ2＝≈4.514.
答案：4.514
[A级 基础达标]
1．掷一枚硬币，记事件A＝“出现正面”，B＝“出现反面”，则有( )
A．A与B相互独立 B．P(AB)＝P(A)P(B)
C．A与B不相互独立 D．P(AB)＝
解析：选C.事件A对事件B发生的概率有影响，故不相互独立．
2．经过对χ2统计量分布的研究，已经得到了两个临界值：3.841与6.635.下列说法正确的是( )
A．当根据具体的数据算出的χ2＜3.841时，有95%的把握说事件A与B有关
B．当χ2＜6.635时，有99%的把握说事件A与B有关
C．当χ2≥3.841时，认为事件A与B是无关的
D．当χ2≤3.841时，认为事件A与B是无关的
解析：选D.由χ2值与临界值的大小关系来判断两个事件的关系．
3．下面是一个2×2列联表：
y1
y2
合计
x1
a
21
73
x2
2
25
27
合计
b
46
100
则表中a，b的值分别为( )
A．94,96 B．52,50
C．52,54 D．54,52
解析：选C.∵a＋21＝73，∴a＝73－21＝52.
又∵a＋2＝b，∴b＝52＋2＝54.
4．(2012·青岛高二检测)调查者通过随机询问72名男女中学生喜欢文科还是理科，得到如下列联表(单位：名)：
性别与喜欢文科还是理科列联表
喜欢文科
喜欢理科
合计
男生
8
28
36
女生
20
16
36
合计
28
44
72
估计中学生的性别和喜欢文科还是理科________关系．(填“有”或“没有”)
解析：χ2＝≈8.416＞6.635.故我们有99%的把握认为中学生的性别和喜欢文科还是理科有关系．
答案：有
5．如果元件A、B、C正常工作的概率分别为P1、P2、P3，则如图所示的线路，正常工作的概率为________．
解析：A、B、C至少有一个元件正常工作即可．
答案：1－(1－P1)(1－P2)(1－P3)
6．(2012·辽宁开原高二检测)为调查某地区老年人是否需要志愿者提供帮助，用简单随机抽样方法调查该地区老人情况：男老年人需要提供帮助40人，不需要提供帮助160人；女老年人需要提供帮助30人，不需要提供帮助270人．
(1)根据调查数据制作2×2列联表；
(2)能否有99%的把握认为该地区的老年人是否需要志愿者提供帮助与性别有关？
解：(1)
男
女
合计
需要
40
30
70
不需要
160
270
430
合计
200
300
500
(2)χ2＝≈9.967>6.635
所以有99%的把握认为该地区的老年人是否需要帮助与性别有关．
[B级 能力提升]
7．甲、乙两人独立地解同一问题，甲解决这个问题的概率是P1，乙解决这个问题的概率是P2，那么恰好有一人解决这个问题的概率是( )
A．P1P2 B．P1(1－P2)＋P2(1－P1)
C．1－P1P2 D．1－(1－P1)(1－P2)
解析：选B.设甲、乙解决这个问题分别为事件A、B，则P(A＋B)＝P(A)＋P(B)＝P(A)P()＋P()P(B)，即P1(1－P2)＋(1－P1)P2.
8．两个分类变量X和Y，值域分别为{x1，x2}和{y1，y2}，其样本频数分别是n11＝15，n12＝21，n21＋n22＝40，若有99%的把握认为X与Y有关系，则n21等于( )
A．5 B．7
C．9 D．10
解析：选A.若有99%的把握认为X与Y有关系，则计算的卡方统计量χ2＞6.635，可以根据四个选项的值，分别计算出卡方统计量的值，再与6.635比较，当n21＝5时，χ2的值大于6.635，故选A.
9．(2012·哈尔滨高二期末)某医疗机构研究所为了检验某种血清预防感冒的作用，把500名使用血清的人与另外500名未使用血清的人一年中的感冒记录作比较，提出假设H0：“这种血清不能起到预防感冒的作用”，利用2×2列联表计算得χ2≈3.918，经查对临界值表知P(χ2≥3.841)≈0.05.对此，四名同学做出了以下判断：
①有95%的把握认为“这种血清能起到预防感冒的作用”；②若某人使用该血清，那么他在一年中有95%的可能性感冒；③这种血清预防感冒的有效率为95%；④这种血清预防感冒的有效率为5%；
则以上结论中，正确结论的序号是________．(把你认为正确的命题的序号都填上)
解析：由P(χ2≥3.841)≈0.05可知，有95%的把握认为“这种血清能起到预防感冒的作用”，所以①正确，②③④都错误．
答案：①
10．某学生骑自行车上学，从家到学校的途中有两个交通岗，假设他在每个交通岗处遇到红灯的事件是相互独立的，并且概率都是0.6.
(1)求两次都遇到红灯的概率；
(2)求至少遇到一次红灯的概率．
解：(1)第一次遇到红灯的概率为0.6，第二次遇到红灯的概率也为0.6，且两次遇到红灯是相互独立的，所以两次都遇到红灯的概率P1＝0.6×0.6＝0.36.
(2)“至少遇到一次红灯”的对立事件为“两次均没有遇到红灯”，所以至少遇到一次红灯的概率P2＝1－(1－0.6)×(1－0.6)＝1－0.4×0.4＝0.84.
11．(创新题)某企业有两个分厂生产某种零件，按规定内径尺寸(单位：mm)的值落在[29.94,30.06)的零件为优质品．从两个分厂生产的零件中各抽出500件，量其内径尺寸，得结果如下表：
甲厂：
分组
[29.86，
29．90)
[29.90，
29．94)
[29.94，
29．98)
[29.98，
30．02)
[30.02，
30．06)
[30.06，
30．10)
[30.10，
30．14)
频数
12
63
86
182
92
61
4
乙厂：
分组
[29.86，
29．90)
[29.90，
29．94)
[29.94，
29．98)
[29.98，
30．02)
[30.02，
30．06)
[30.06，
30．10)
[30.10，
30．14)
频数
29
71
85
159
76
62
18
(1)试分别估计两个分厂生产的零件的优质品率；
(2)由以上统计数据填下面2×2列联表，并问是否有99%的把握认为“两个分厂生产的零件的质量有差异”？
甲厂
乙厂
合计
优质品
非优质品
合计
附：
P(χ2≥k)
0.05
0.01
k
3.841
6.635
解：(1)甲厂抽查的产品中有360件优质品，从而甲厂生产的零件的优质品率估计为＝72%；
乙厂抽查的产品中有320件优质品，从而乙厂生产的零件的优质品率估计为＝64%.
(2)
甲厂
乙厂
合计
优质品
360
320
680
非优质品
140
180
320
合计
500
500
1000
χ2＝≈7.35>6.635，
所以有99%的把握认为“两个分厂生产的零件的质量有差异”．
1．(2012·哈尔滨高二期末)已知变量x，y呈线性相关关系，回归方程为＝0.5－2x，则变量x，y是( )
A．线性正相关关系
B．由回归方程无法判断其正负相关
C．线性负相关关系
D．不存在线性相关关系
解析：选C.由回归直线方程可以知道，两个变量之间是负相关关系．
2．若施化肥量x与小麦产量Y之间的回归直线方程为＝250＋4x，当施化肥量为50 kg时，预计小麦产量为________．
解析：把x＝50代入＝250＋4x，可求得＝450 (kg)．
答案：450 kg
3．某考察团对全国10大城市进行职工人均工资水平x(千元)与居民人均消费水平Y(千元)统计调查，Y与x具有相关关系，回归方程为＝0.66x＋1.562，若某城市居民人均消费水平为7.675千元，估计该城市人均消费额占人均工资收入的百分比约为________．
解析：将y＝7.675代入回归方程，可计算得x≈9.26，所以该城市人均消费额占人均工资收入的百分比约为7.675÷9.26≈0.83，即约为83%.
答案：83%
[A级 基础达标]
1．下列说法正确的是( )
A．y＝2x2＋1中的x、y是具有相关关系的两个变量
B．正四面体的体积与其棱长具有相关关系
C．电脑的销售量与电脑的价格之间是一种确定性的关系
D．传染病医院感染甲型H1N1流感的医务人员数与医院收治的甲型H1N1流感人数是具有相关关系的两个变量
解析：选D.感染的医务人员不仅受医院收治的病人数的影响，还受防护措施等其他因素的影响．
2．设两个变量x和Y之间具有线性相关关系，它们的相关系数是r，Y关于x的回归直线的斜率是b，纵轴上的截距是a，那么必有( )
A．b与r的符号相同 B．a与r的符号相同
C．b与r的符号相反 D．a与r的符号相反
解析：选A.因为b＞0时，两变量正相关，此时r＞0；b＜0时，两变量负相关，此时r＜0.
3．(2012·广东七区高二期末)已知x与y之间的一组数据：
x
0
1
2
3
y
1
3
5
7
则y与x的线性回归方程为＝x＋必过点( )
A．(2,2) B．(1.5,0)
C．(1,2) D．(1.5,4)
解析：选D.线性回归方程一定过定点(，)，计算可知选D.
4．某服装厂的产品产量x(万件)与单位成本y(元/件)之间的回归直线方程是＝52.15－19.5x，当产量每增加一万件时，单位成本下降________元．
解析：根据回归系数的意义求解．
答案：19.5
5．回归直线方程＝＋x中，若＝0.304，x＝12，＝46.363，则的值为________．
解析：＝－x＝46.363－0.304×12＝42.715.
答案：42.715
6．有5名学生的数学成绩和化学成绩如下表所示：
A
B
C
D
E
数学成绩(x)
88
76
73
66
63
化学成绩(Y)
78
65
71
64
61
(1)判断x与Y是否具有相关关系；
(2)如果x与Y具有相关关系，求Y对x的回归直线方程；
(3)预测如果某学生数学成绩为79分时，他的化学成绩为多少？
解：(1)∵＝×(88＋76＋73＋66＋63)＝73.2，
＝×(78＋65＋71＋64＋61)＝67.8，
＝882＋762＋732＋662＋632＝27174，
＝782＋652＋712＋642＋612＝23167，
iyi＝88×78＋76×65＋73×71＋66×64＋63×61＝25054，
∴－52＝27174－5×73.22＝382.8，
iyi－5 ＝25054－5×73.2×67.8＝239.2，
－52＝23167－5×67.82＝182.8.
∴r＝≈0.904>0.878.
即|r|>r0.05，
∴有95%的把握认为x与Y之间具有线性相关关系．因而求回归直线方程是有意义的．
(2)设Y对x的回归直线方程为
＝＋x，
∴＝＝≈0.625，
＝－ ＝67.8－0.625×73.2＝22.050，
∴Y对x的回归直线方程为
＝22.050＋0.625x.
(3)当x＝79时，＝22.050＋0.625×79＝71.425，
即当某同学的数学成绩为79分时，他的化学成绩约为71分．
[B级 能力提升]
7．为了考察两个变量x和y之间的线性相关性，甲、乙两个同学各自独立地做了10次和15次试验，并且利用线性回归方法，求得回归直线分别为l1和l2.已知在两个人的试验中发现对变量x的观测数据的平均值恰好相等，都为s，对变量y的观测数据的平均值也恰好相等，都为t.那么下列说法正确的是( )
A．直线l1和l2有交点(s，t)
B．直线l1和l2相交，但是交点未必是点(s，t)
C．直线l1和l2由于斜率相等，所以必定平行
D．直线l1和l2必定重合
解析：选A.回归直线方程为＝x＋，而＝－，所以＝t－s，即t＝s＋.所以点(s，t)在回归直线上．所以直线l1和l2一定有公共点(s，t)．故选A.
8．(2011·高考山东卷)某产品的广告费用x与销售额y的统计数据如下表：
广告费用x(万元)
4
2
3
5
销售额y(万元)
49
26
39
54
根据上表可得回归方程＝x＋中的为9.4，据此模型预报广告费用为6万元时销售额为( )
A．63.6万元 B．65.5万元
C．67.7万元 D．72.0万元
解析：选B.∵＝＝，
＝＝42.
又＝x＋必过(，)，∴42＝×9.4＋，∴＝9.1.
∴线性回归方程为＝9.4x＋9.1.
∴当x＝6时，＝9.4×6＋9.1＝65.5(万元)．
9．(2011·高考广东卷)某数学老师身高176 cm，他爷爷、父亲和儿子的身高分别是173 cm、170 cm和182 cm.因儿子的身高与父亲的身高有关，该老师用线性回归分析的方法预测他孙子的身高为________cm.
解析：儿子和父亲的身高可列表如下：
父亲身高
173
170
176
儿子身高
170
176
182
设回归直线方程＝＋x，由表中的三组数据可求得＝1，故＝－＝176－173＝3，故回归直线方程为＝3＋x，将x＝182代入得孙子的身高为185 cm.
答案：185
10．为研究物体质量x(单位：克)对弹簧长度y(单位：厘米)的影响，对挂有不同质量的物体的6根弹簧(弹簧的弹性系数是相同的)的长度进行测量，数据如下表：
x(克)
4
6
8
10
12
14
y(厘米)
6.3
7.1
7.9
8.9
9.9
10.8
(1)画出散点图；
(2)对x，y两个变量进行相关性检验；
(3)求y对x的回归直线方程．
解：(1)散点图如图所示．
(2)样本相关系数r＝≈0.9989.
因为|r|＞r0.05且与1非常接近，
所以说明y与x之间具有很强的线性相关关系．
(3)经计算可得＝9，≈8.483，＝556，
＝466.37，iyi＝490.
＝≈0.456，
＝－≈8.483－0.456×9＝4.379.
所以y与x之间的回归直线方程为＝4.379＋0.456x.
11．某地区不同身高的男性的体重平均值如下表：
身高x/cm
60
70
80
90
100
110
体重Y/kg
6.13
7.90
9.99
12.15
15.02
17.50
身高x/cm
120
130
140
150
160
170
体重Y/kg
20.92
26.86
31.11
38.85
47.25
55.05
(1)试建立Y与x之间的回归方程；
(2)若体重超过相同身高男性体重平均值的1.2倍为偏胖，低于0.8倍为偏瘦，那么这个地区一名身高为175 cm体重为82 kg的在校男生体重是否正常？
解：(1)根据题干表中的数据画出散点图(如图所示)．
由图可看出，样本点分布在某条指数函数曲线y＝c1ec2x的周围，于是令z＝lny，得下表：
x
60
70
80
90
100
110
120
130
140
150
160
170
z
1.81
2.07
2.30
2.50
2.71
2.86
3.04
3.29
3.44
3.66
3.86
4.01
作出散点图如图所示．
由表中数据可得z与x之间的回归直线方程为：
z＝0.693＋0.020x，则有y＝e0.693＋0.020x.
(2)当x＝175时，预测平均体重为
y＝e0.693＋0.020×175≈66.22，
由于66.22×1.2＝79.464<82，
所以这个男生偏胖．
1.下列哪个平面图形与空间的平行六面体作为类比对象较为合适( )
A．三角形 B．梯形
C．平行四边形 D．矩形
解析：选C.只有平行四边形与平行六面体较为接近．
2.由数列1，10，100，1000，…，猜测该数列的第n项可能是( )
A．10n B．10n－1
C．10n＋1 D．10n－2
解析：选B.数列各项依次为100，101，102，103……，由归纳推理可知，选B.
3.在平面上，若两个正三角形的边长比为1∶2，则它们的面积比为1∶4.类似地，在空间中，若两个正四面体的棱长比为1∶2，则它们的体积比为__________．
解析：＝＝·＝×＝.
答案：1∶8
4.已知f(n)＝1＋＋＋…＋(n∈N*)，计算得f(2)＝，f(4)>2，f(8)>，f(16)>3，f(32)>，推测当n≥2时，有__________．
解析：通过观察归纳可得f(2n)>.
答案：f(2n)>
[A级 基础达标]
1.下列说法错误的是( )
A．归纳推理是指由特殊到一般的推理
B．类比推理是指由特殊到特殊的推理
C．合情推理包含归纳推理与类比推理
D．合情推理的结论一定是正确的
解析：选D.合情推理的结论不一定是正确的，因此选D.
2.观察下列数的特点，1，2，2，3，3，3，4，4，4，4，…中，第100项是( )
A．10 B．13
C．14 D．100
解析：选C.由规律可得：数字相同的数个数依次为：1，2，3，4，…，n，由≤100，n∈N*得，n＝14，所以应选C.
3.已知扇形的弧长为l，半径为r，类比三角形的面积公式：S＝，可推知扇形面积公式S扇等于( )
A. B.
C. D．不可类比
解析：选C.可将扇形的弧长与三角形的底边相类比，将扇形的半径与三角形的高相类比知C正确，故选C.
4.(2012·山东潍坊高二检测)观察下列各式：
1＝12，
2＋3＋4＝32，
3＋4＋5＋6＋7＝52，
4＋5＋6＋7＋8＋9＋10＝72，
……
第n个式子是__________________________________________________________．
答案：n＋(n＋1)＋(n＋2)＋…＋(3n－2)＝(2n－1)2
5.下表中空白处应填写________________________________________________.
平面
空间
三角形的两边之和大于第三边
四面体的任意三个面的面积之和大于第四个面的面积
三角形的面积等于任意一边的长度与这边上高的乘积的
三棱锥的体积等于任一底面的面积与这底面上的高的乘积的
三角形的面积等于其内切圆半径与三角形周长的乘积的
解析：运用类比推理法．
答案：三棱锥的体积等于其内切球半径与三棱锥全面积的乘积的
6.已知代数式＋＋＋…＋，写出n＝1，2，3，4时代数式的值，归纳并猜想出结果．
解：当n＝1时，＝；
当n＝2时，＋＝；
当n＝3时，＋＋＝；
当n＝4时，＋＋＋＝.
猜想＋＋…＋＝.
[B级 能力提升]
7.(2011·高考江西卷)观察下列各式：55＝3125，56＝15625，57＝78125，…，则52011的末四位数字为( )
A．3125 B．5625
C．0625 D．8125
解析：选D.55＝3125，56＝15625，57＝78125，58＝390625，59＝1953125，可得59与55的后四位相同，…，由此可归纳出5m＋4k与5m(k∈N*，m＝5，6，7，8)后四位相同．又2011＝4×501＋7，所以52011与57后四位数字相同为8125，故选D.
(2012·哈尔滨高二期末)已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1、F2，点P在双曲线的右支上，直线l为过P且切于双曲线的直线，且平分∠F1PF2，过O作与直线l平行的直线交PF1于M点，则|MP|＝a，利用类比推理：若椭圆＋＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1、F2，点P在椭圆上，直线l为过P且切于椭圆的直线，且平分∠F1PF2的外角，过O作与直线l平行的直线交PF1于M点，则|MP|的值为( )
A．a B．b
C．c D．无法确定
解析：选A.分别画出双曲线和椭圆的图形，由图中类比可知|MP|＝a，选A.
(2011·高考山东卷)设函数f(x)＝(x>0)，观察：f1(x)＝f(x)＝，
f2(x)＝f[f1(x)]＝，
f3(x)＝f[f2(x)]＝，
f4(x)＝f[f3(x)]＝，
……
根据以上事实，由归纳推理可得：
当n∈N*且n≥2时，fn(x)＝f[fn－1(x)]＝__________．
解析：由f(x)＝(x>0)得，
f1(x)＝f(x)＝，
f2(x)＝f[f1(x)]＝＝，
f3(x)＝f[f2(x)]＝＝，
f4(x)＝f[f3(x)]＝＝，
……
∴当n≥2且n∈N*时，
fn(x)＝f[fn－1(x)]＝.
答案：
已知sin230°＋sin290°＋sin2150°＝，sin25°＋sin265°＋sin2125°＝.通过观察上述两等式的规律，请你写出一般性的命题，并加以证明．
解：一般形式：sin2α＋sin2(α＋60°)＋sin2(α＋120°)＝.其证明如下：左边＝＋＋＝－[cos2α＋cos(2α＋120°)＋cos(2α＋240°)]＝－(cos2α＋cos2αcos120°－sin2α·sin120°＋cos2αcos240°－sin2αsin240°)＝－·
＝＝右边．∴原式得证．
(创新题)在公比为4的等比数列{bn}中，若Tn是数列{bn}的前n项积，则有，，也成等比数列，且公比为4100；类比上述结论，相应地在公差为3的等差数列{an}中，若Sn是{an}的前n项和．
(1)写出相应的结论，判断该结论是否正确？并加以证明；
(2)写出该结论一个更为一般的情形(不必证明)．
解：(1)数列S20－S10，S30－S20，S40－S30也是等差数列，且公差为300.
该结论是正确的．
证明如下：
∵等差数列{an}的公差d＝3，
∴(S30－S20)－(S20－S10)＝(a21＋a22＋…＋a30)－(a11＋a12＋…＋a20)
＝10d＋10d＋…＋10d＝100d＝300，
同理可得：(S40－S30)－(S30－S20)＝300，
所以数列S20－S10，S30－S20，S40－S30是等差数列，且公差为300.
(2)对于?k∈N＋，都有数列S2k－Sk，S3k－S2k，S4k－S3k是等差数列，且公差为k2d.
1.推理：“①矩形是平行四边形，②三角形不是平行四边形，③所以三角形不是矩形．”中的小前提是( )
A．① B．②
C．③ D．①②
解析：选B.由三段论推理的结构形式可知选B.
2.“因为对数函数y＝logax是增函数(大前提)，而y＝logx是对数函数(小前提)，所以y＝logx是增函数(结论)．”上面推理的错误是( )
A．大前提错误导致结论错误
B．小前提错误导致结论错误
C．推理形式错误导致结论错误
D．大前提和小前提都错误导致结论错误
解析：选A.对于对数函数y＝logax，当a＞1时为增函数，而当0＜a＜1时为减函数，所以大前提错误．
3.因为当a>0时，|a|>0；a＝0时，|a|＝0；a<0时，|a|>0，所以当a为实数时，|a|≥0.此推理过程运用的是演绎推理中的________．
解析：由演绎推理的推理规则可知，以上是完全归纳推理．
答案：完全归纳推理
4.在求函数y＝的定义域时，第一步推理中大前提是当有意义时，a≥0，小前提是有意义，结论是__________．
解析：由大前提知，log2x－2≥0，解得x≥4.
答案：y＝的定义域是[4，＋∞)
[A级 基础达标]
1.(2012·辽宁开原高二检测)若大前提是：任何实数的平方都大于0，小前提是：a∈R，结论是：a2>0，那么这个演绎推理( )
A．正确 B．大前提出错
C．小前提出错 D．推理形式出错
解析：选B.大前提：“任何实数的平方都大于0”是错误的．
2.已知p＝a＋(a＞2)，q＝2－a2＋4a－2(a＞2)，则( )
A．p＞q B．p＜q
C．p≥q D．p≤q
解析：选A.p＝(a－2)＋＋2
≥2 ＋2＝4.
q＝2－a2＋4a－2＝2－(a－2)2＋2＜4.
∴p≥4＞q，即p＞q.
3.已知a1＝3，a2＝6，且an＋2＝an＋1－an，则a33等于( )
A．3 B．－3
C．6 D．－6
解析：选A.由an＋2＝an＋1－an，得a3＝a2－a1＝6－3＝3，a4＝3－6＝－3，a5＝－3－3＝－6，a6＝－6－(－3)＝－3，a7＝－3－(－6)＝3，a8＝3－(－3)＝6.
显然数列具有周期性，周期为6，所以a33＝a3＝3.
4.如图，在△ABC中，AC>BC，CD是AB边上的高，求证：∠ACD>∠BCD.
证明：在△ABC中，因为CD⊥AB，AC>BC，①
所以AD>BD，②
于是∠ACD>∠BCD.③
则在上面证明的过程中错误的是________．(只填序号)
解析：由AD>BD，得到∠ACD>∠BCD的推理的大前提应是“在同一三角形中，大边对大角”，小前提是“AD>BD”，而AD与BD不在同一三角形中，故③错误．
答案：③
5.设f(x)定义如下数表，{xn}满足x0＝5，且对任意自然数n均有xn＋1＝f(xn)，则x2012的值为________.
x
1
2
3
4
5
f(x)
4
1
3
5
2
解析：由数表可知
x1＝f(x0)＝f(5)＝2，
x2＝f(x1)＝f(2)＝1，
x3＝f(x2)＝f(1)＝4，
x4＝f(x3)＝f(4)＝5，
x5＝f(x4)＝f(5)＝2，
……
∴{xn}周期为4，
x2012＝f(x2011)＝x4＝5.
答案：5
6.(1)求证：a2＋b2＋3≥ab＋(a＋b)；
(2)a，b分别取何值时，上面不等式取等号．
解：(1)证明：a2＋b2＋3＝＋＋≥ab＋＋≥ab＋a＋b＝ab＋(a＋b)．
(2)当且仅当时，以上不等式取等号，即a＝b＝时不等式取等号．
[B级 能力提升]
7.在正方体ABCD-A1B1C1D1中，P、Q、R分别是AB、AD、B1C1的中点，那么，正方体的过P、Q、R的截面图形是( )
A．三角形
B．四边形
C．五边形
D．六边形
解析：选D.如图，PERFMQ为截面的顶点，所以截面为六边形，故选D.
(2012·河南息县高二期末)已知关于x的方程ax2＋2x＋1＝0至少有一个负实根，则实数a的取值范围是( )
A．a<0 B．a<1
C．a≤0 D．a≤1
解析：选D.若a<0，由f(0)＝1>0可知，一定有一个负实根；当a>0，Δ＝0时得a＝1此时有两个相等的负实根；当a>0，Δ>0，－<0时，得0
为了保证信息安全传输，有一种称为秘密密钥密码系统(Private Key Crypto system)，其加密、解密原理如下图：明文加密密钥密码,Ｆ密文,发送Ｆ密文解密密钥密码,Ｆ明文现在加密密钥为y＝loga(x＋a)，如上所示，明文“6”通过加密后得到密文“3”，再发送，接受方通过解密密钥解密得到明文“6”．问：若接受方接到密文为“4”，则解密后得明文为________．
解析：运用映射概念，实质上当x＝6时，y＝3，可得a＝2，从而当y＝4时，x＝24－2＝14.
答案：14
求证：函数y＝是奇函数，且在定义域上是增函数．
证明：y＝＝1－，
所以f(x)的定义域为R.
f(－x)＋f(x)＝＋
＝2－＝2－
＝2－＝2－2＝0，
即f(－x)＝－f(x)，所以f(x)是奇函数．
任取x1，x2∈R，且x1则f(x1)－f(x2)＝－
＝2＝2·.
由于x1(创新题)已知f(x)＝ .
(1)证明：f(0)＋f(1)＝；
(2)分别求f(－1)＋f(2)，f(－2)＋f(3)；
(3)试根据(1)(2)的结果归纳猜想一般性结论，并证明你的结论．
解：(1)证明：∵f(x)＝，
∴f(0)＋f(1)＝＋＝＋＝＝.
(2)f(－1)＋f(2)＝＋＝＋＝，
f(－2)＋f(3)＝＋＝＋＝.
(3)由(1)(2)猜想一般结论是：f(－x)＋f(1＋x)＝.
证明如下：f(－x)＋f(1＋x)＝＋
＝＋＝.
1.直接证明中最基本的两种证明方法是( )
A．类比法与归纳法 B．综合法与分析法
C．反证法和二分法 D．换元法和配方法
解析：选B.直接证明的方法包括综合法与分析法．
2.函数y＝f(x)的图象关于直线x＝1对称，若当x≤1时，f(x)＝(x＋1)2－1，则当x>1时，f(x)的解析式为__________．
解析：∵函数y＝f(x)的图象关于直线x＝1对称，∴有f(x)＝f(2－x)，当x>1时，有2－x<1，则f(2－x)＝[(2－x)＋1]2－1＝(3－x)2－1＝(x－3)2－1＝f(x)．
答案：f(x)＝(x－3)2－1
3.设a＝，b＝－，c＝－，则a，b，c的大小关系是________．
解析：要比较b与c的大小，只需比较＋与＋的大小，只需比较(＋)2与(＋)2的大小，即比较与 的大小，显然<，从而－<－，即bc，∴a>c>b.
答案：a>c>b
[A级 基础达标]
1.已知集合M＝{(x，y)|x＋y＝2}，N＝{(x，y)|x－y＝4}，那么集合M∩N为( )
A．x＝3，y＝－1 B．(3，－1)
C．{3，－1} D．{(3，－1)}
解析：选D.由已知解得x＝3，y＝－1.所以可知M∩N＝{(3，－1)}．
2.(2012·辽宁开原高二检测)命题“对于任意角θ，cos4θ－sin4θ＝cos2θ”的证明：“cos4θ－sin4θ＝(cos2θ－sin2θ)(cos2θ＋sin2θ)＝cos2θ－sin2θ＝cos2θ”过程应用了( )
A．分析法 B．综合法
C．综合法、分析法 D．间接证法
解析：选B.根据综合法的定义可知．
3.平面内有四边形ABCD和点O，＋＝＋，则四边形ABCD为( )
A．菱形 B．梯形
C．矩形 D．平行四边形
解析：选D.∵＋＝＋，
∴－＝－，∴＝，
∴四边形ABCD为平行四边形．
4.已知sinα＋sinβ＋sinγ＝0，cosα＋cosβ＋cosγ＝0，则cos(α－β)的值为________．
解析：由sinα＋sinβ＋sinγ＝0，cosα＋cosβ＋cosγ＝0，
得sinα＋sinβ＝－sinγ，
cosα＋cosβ＝－cosγ，
两式平方相加得2＋2(sinαsinβ＋cosαcosβ)＝1，
∴cos(α－β)＝－.
答案：－
5.函数f(x)＝的最大值为________．
解析：由f(x)＝知，x≥0.
①当x＝0时，f(x)＝0；
②当x≠0时，f(x)＝.
∵＋≥2，当且仅当x＝1时取“＝”．
∴0＜≤，即0＜f(x)≤.
故0≤f(x)≤.
综上，f(x)max＝.
答案：
6.设a，b是相异的正数，求证：关于x的一元二次方程(a2＋b2)x2＋4abx＋2ab＝0没有实数根．
证明：要证明(a2＋b2)x2＋4abx＋2ab＝0没有实数根，只需证Δ<0即可．
∵Δ＝(4ab)2－4(a2＋b2)·2ab
＝16a2b2－8a3b－8b3a
＝8ab(2ab－a2－b2)
＝－8ab(a2－2ab＋b2)＝－8ab(a－b)2.
∵a、b是相异的正数，
∴ab>0，(a－b)2>0，
∴－8ab(a－b)2<0，
∴该一元二次方程没有实数根．
[B级 能力提升]
7.已知a，b为非零实数，则使不等式：＋≤－2成立的一个充分而不必要条件是( )
A．a·b>0 B．a·b<0
C．a>0，b<0 D．a>0，b>0
解析：选C.∵＋≤－2，∴≤－2.∵a2＋b2≥0，
∴ab<0，即a、b异号，故选C.
函数y＝ax3＋bx2＋cx＋d的图象如图所示，则( )
A．a>0，b>0，c>0
B．a>0，b>0，c<0
C．a<0，b<0，c>0
D．a<0，b<0，c<0
解析：选B.f(0)＝0?d＝0，
由f(1)＝0，f(－2)＝0得b＝a，c＝－2a，
∴f(x)＝ax3＋ax2－2ax＝a(x3＋x2－2x)．
由x∈(1，＋∞)时，f(x)>0，得a>0，b>0，c<0.
定义在(－∞，＋∞)上的函数y＝f(x)在(－∞，2)上是增函数，且y＝f(x＋2)为偶函数，则f(－1)，f(4)，f(5)的大小关系是__________．
解析：f(x＋2)为偶函数，∴f(x＋2)＝f(－x＋2)．
故f(x)的图象关于直线x＝2对称，且开口向下，画出图象，显然有f(4)>f(－1)>f(5)．
答案：f(4)>f(－1)>f(5)
已知a>b>0，求证：<－<.
证明：要证原不等式成立，
只需证<<.
由已知得a>b>0，
即证<1<，
也就是证<1<，
即证＋<2且2<＋，
即证<.
因为a>b>0，所以<成立．故原不等式成立．
(创新题)对于定义域为[0，1]的函数f(x)，如果同时满足以下三条：①对任意的x∈[0，1]，总有f(x)≥0；②f(1)＝1；③若x1≥0，x2≥0，x1＋x2≤1，都有f(x1＋x2)≥f(x1)＋f(x2)成立，则称函数f(x)为理想函数．
(1)若函数f(x)为理想函数，求f(0)的值；
(2)判断函数g(x)＝2x－1(x∈[0，1])是否为理想函数，并予以证明．
解：(1)取x1＝x2＝0可得
f(0)≥f(0)＋f(0)?f(0)≤0.
又由条件①f(0)≥0，故f(0)＝0.
(2)显然g(x)＝2x－1在[0，1]上满足条件①g(x)≥0；
也满足条件②g(1)＝1.
若x1≥0，x2≥0，x1＋x2≤1，
则g(x1＋x2)－[g(x1)＋g(x2)]
＝2x1＋x2－1－[(2x1－1)＋(2x2－1)]
＝2x1＋x2－2x1－2x2＋1
＝(2x2－1)(2x1－1)≥0，即满足条件③，故g(x)为理想函数．
1.反证法是( )
A．从结论的反面出发，推出矛盾的证法
B．对其否命题的证明
C．对其逆命题的证明
D．分析法的证明方法
解析：选A.反证法是先否定结论，在此基础上，运用演绎推理，导出矛盾，从而肯定结论的真实性．
2.否定“自然数a，b，c中恰有一个偶数”时正确的反设为( )
A．a，b，c都是奇数
B．a，b，c都是偶数
C．a，b，c中至少有两个偶数
D．a，b，c中或都是奇数或至少有两个偶数
解析：选D.利用綈p命题可得反设是a，b，c中或都是奇数或至少有两个偶数．
3.用反证法证明命题“若a2＋b2＝0，则a，b全为0(a，b为实数)”时，应假设__________．
解析：a，b全为0的否定是a，b不全为0.
答案：a，b不全为0(a，b为实数)
4.“任何三角形的外角都至少有两个钝角”的否定应是__________．
解析：至少有两个的否定是至多有一个．
答案：存在一个三角形，其外角最多有一个钝角
[A级 基础达标]
1.关于反证法的说法正确的有( )
①反证法的应用需要逆向思维；
②反证法是一种间接证明方法，否定结论时，一定要全面否定；
③反证法推出的矛盾不能与已知相矛盾；
④使用反证法必须先否定结论，当结论的反面出现多种可能时，论证一种即可．
A．①② B．①③
C．②③ D．③④
解析：选A.由反证法的定义及证明的思路可知．选A.
2.(2012·河南息县高二检测)用反证法证明命题：“三角形的内角中至少有一个角不大于60度”时，反设正确的是( )
A．假设三内角都不大于60度
B．假设三内角都大于60度
C．假设三内角至多有一个大于60度
D．假设三内角至多有两个大于60度
解析：选B.“至少有一个不大于”的反面是“都大于”．
3.已知函数f(x)＝ax3＋bx2＋cx＋d的图象如图，则( )
A．b＜0 B．0＜b＜1
C．1＜b＜2 D．b＞2
解析：选A.由f(0)＝0，知d＝0，而0，1，2为f(x)＝0的三根，故f(x)＝ax(x－1)(x－2)＝ax3－3ax2＋2ax，易知b＝－3a＜0.
4.和两异面直线AB，CD都相交的直线AC，BD的位置关系是__________．
解析：假设AC与BD共面于α，则点A，C，B，D都在α内，∴AB与CD共面于α，这与AB，CD异面的条件矛盾．
∴AC与BD异面．
答案：异面
5.用反证法证明命题“任意多面体的面至少有一个是三角形或四边形或五边形”时，第一步要假设结论的否定成立，那么结论的否定是：
________________________________________________________________________.
解析：“至少有一个”的否定是“一个也没有”，故结论的否定是“存在多面体的面没有一个是三角形或四边形或五边形”．
答案：存在多面体的面没有一个是三角形或四边形或五边形
6.实数a，b，c，d满足a＋b＝c＋d＝1，ac＋bd>1，求证：a，b，c，d中至少有一个是负数．
证明：法一：假设a，b，c，d都是非负数，由a＋b＝c＋d＝1，得a，b，c，d∈[0，1]．
从而ac≤≤，bd≤≤，∴ac＋bd≤＝1，与已知ac＋bd>1矛盾，
∴a，b，c，d中至少有一个是负数．
法二：假设a，b，c，d都是非负数，则1＝(a＋b)(c＋d)＝(ac＋bd)＋(ad＋bc)≥ac＋bd，这与已知ac＋bd>1矛盾．
∴a，b，c，d中至少有一个是负数．
[B级 能力提升]
7.有下列叙述：
①“a＞b”的反面是“a＜b”；
②“x＝y”的反面是“x＞y或x＜y”；
③“三角形的外心在三角形外”的反面是“三角形的外心在三角形内”；
④“三角形最多有一个钝角”的反面是“三角形没有钝角”．
其中叙述正确的个数有( )
A．1 B．2
C．3 D．4
解析：选A.对于①“a＞b”的反面为“a≤b”，故①不正确；对于②“x＝y”的反面是“x≠y”即“x＞y或x＜y”，故②正确；对于③“三角形的外心在三角形外”的反面是“三角形的外心不在三角形外”即“三角形外心在三角形内或在三边上”，故③不正确；对于④“三角形最多有一个钝角”的反面为“三角形最少有两个钝角”，故④不正确．
对于定义在实数集R上的函数f(x)，如果存在实数x0，使f(x0)＝x0，那么x0叫做函数f(x)的一个好点．已知函数f(x)＝x2＋2ax＋1不存在好点，那么a的取值范围是( )
A．(－，) B．(－，)
C．(－1，1) D．(－∞，1)∪(1，＋∞)
解析：选A.由题意知f(x)＝x，即x2＋2ax＋1＝x，
即x2＋(2a－1)x＋1＝0，无实数解，
∴Δ＝(2a－1)2－4＝4a2－4a－3＜0，
∴－＜a＜.
在用反证法证明“已知p3＋q3＝2，求证p＋q≤2”时的反设为________，得出的矛盾为________．
解析：假设p＋q>2，则p>2－q，
∴p3>(2－q)3＝8－12q＋6q2－q3，
将p3＋q3＝2代入得6q2－12q＋6<0，
∴6(q－1)2<0，这是不可能的．∴p＋q≤2.
答案：p＋q>2 (q－1)2<0
(2012·辽宁开原高二检测)已知a1＋a2＋a3＋a4>100，用反证法证明a1，a2，a3，a4中，至少有一个数大于25.
证明：假设a1，a2，a3，a4均不大于25，那么，a1＋a2＋a3＋a4≤25＋25＋25＋25＝100，这与已知条件矛盾．
所以，a1，a2，a3，a4中，至少有一个数大于25.
(创新题)求证：抛物线上任意四点所构成的四边形不可能是平行四边形．
证明：设抛物线的方程为y2＝2px(p>0)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，D(x4，y4)是抛物线y2＝2px上不同的四点，则有y＝2pxi，xi＝(i＝1，2，3，4)，于是kAB＝＝，同理可以求得kBC＝，kCD＝，kAD＝，假设四边形ABCD是平行四边形，则kAB＝kCD，kBC＝kAD，从而得y1＝y3，y2＝y4，进而得x1＝x3，x2＝x4，于是A，C重合，B，D重合，这与A，B，C，D是抛物线y2＝2px上不同的四点矛盾，所以假设不成立，故抛物线上任意四点所构成的四边形不可能是平行四边形．
1.复数a＋bi(a，b∈R)为纯虚数是a＝0的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分又不必要条件
解析：选A.若a＋bi为纯虚数，则必有a＝0，故为充分条件；但若a＝0，且b＝0时，a＋bi＝0为实数，故不是必要条件．
2.若实数x，y满足(1＋i)x＋(1－i)y＝2，则x、y的值分别为( )
A．1，1 B．－1，－2
C．2，－1 D．－2，－1
解析：选A.由(1＋i)x＋(1－i)y＝2有(x＋y)＋(x－y)i＝2，依复数相等的充要条件有∴x＝y＝1，故选A.
3.以2i－的虚部为实部，以i＋2i2的实部为虚部的新复数是________．
解析：2i－的虚部是2，i＋2i2＝i－2的实部是－2，由题意知新复数是2－2i.
答案：2－2i
4.复数1－i的虚部的平方是__________．
解析：1－i的虚部是－1，故(－1)2＝1.
答案：1
[A级 基础达标]
1.若复数z＝(x2－1)＋(x－1)i为纯虚数，则实数x的值为( )
A．－1 B．0
C．1 D．－1或1
解析：选A.得x＝－1，故选A.
2.复数z＝a2－b2＋(a＋|a|)i(a，b∈R)为实数的充要条件是( )
A．|a|＝|b| B．a＜0且a＝－b
C．a＞0且a≠b D．a≤0
解析：选D.∵z为实数，∴|a|＋a＝0，∴|a|＝－a，
∴a≤0.
3.复数i的虚部为( )
A．2 B．－
C．2－ D．0
解析：选C.由纯虚数定义知选C.
4.已知x，y∈R，若x2＋2x＋(2y＋x)i＝3x＋(y＋1)i，则复数x＋yi＝__________．
解析：由题意知，解得或.
∴x＋yi＝i或1.
答案：i或1
5.复数z＝＋(x2－2x－15)i为纯虚数，则实数x＝__________．
解析：当x满足即x＝－2或x＝3时，
z是纯虚数．
答案：－2或3
6.设z＝lg(m2－2m－2)＋(m2＋3m＋2)i(m∈R)，求m取何值时，
(1)z是纯虚数？
(2)z是实数？
解：(1)即
解得
∴当m＝3时，z是纯虚数．
(2)解得
∴当m＝－1或m＝－2时，z是实数．
[B级 能力提升]
7.已知M＝{1，2，m2－3m－1＋(m2－5m－6)i}，N＝{－1，3}，M∩N＝{3}，则实数m为( )
A．－1或6 B．－1或4
C．－1 D．4
解析：选C.∵M∩N＝{3}，
∴，解得m＝－1.
若方程x2＋(k＋3i)x＋4＋ki＝0有实根，则实数k等于( )
A．－3 B．3
C．－3或3 D．3
解析：选C.设x0∈R为方程的实根，
则x＋(k＋3i)x0＋4＋ki＝0.
∴∴k＝±3.
复数z＝sinθ－1＋i(1－2cosθ)，且θ∈(0，π)，若z是实数，则θ的值为__________，若z为纯虚数，则θ的值为__________．
解析：若z为实数，则1－2cosθ＝0，即cosθ＝.因为θ∈(0，π)，所以θ＝.若z为纯虚数，则所以sinθ＝1且cosθ≠.因为θ∈(0，π)，所以θ＝.
答案：
已知x是实数，y是纯虚数，且满足(2x－1)＋(3－y)i＝y－i，求x，y.
解：∵y是纯虚数，可设y＝bi(b∈R，且b≠0)，
则(2x－1)＋3i＋b＝bi－i＝(b－1)i，
整理得(2x－1＋b)＋3i＝(b－1)i，
由复数相等的充要条件得?
∴x＝－，y＝4i.
(创新题)已知复数x2－1＋(y＋1)i大于2x＋3＋(y2－1)i，试求实数x，y的取值范围．
解：∵x2－1＋(y＋1)i>2x＋3＋(y2－1)i，
∴∴y＝－1，x<1－或x>1＋，
即x，y的取值范围分别是{x|x<1－或x>1＋}，{y|y＝－1}．
1.当0A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
解析：选D.z＝(m＋1)＋(m－1)i对应的点为(m＋1，m－1)，
∵0∴点(m＋1，m－1)位于第四象限．
2.若z1＝(x－2)＋yi与z2＝3x＋i(x，y∈R)互为共轭复数，则z1对应的点在( )
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
解析：选C.∵z1与z2互为共轭复数，∴
∴z1＝－3－i.
3.若复数cosθ＋isinθ和sinθ＋icosθ相等，则θ＝__________．
解析：由题意知sinθ＝cosθ，即tanθ＝1，
∴θ＝kπ＋，k∈Z.
答案：kπ＋(k∈Z)
4.复数z＝3a－6i的模为，则实数a的值为__________．
解析：由|z|＝＝得a＝±.
答案：±
[A级 基础达标]
1.在复平面内，复数z＝sin2＋icos2对应的点位于( )
A．第一象限 B．第二象限
C．第三角限 D．第四象限
解析：选D.∵<2<π，
∴sin2>0，cos2<0.
∴复数z在复平面内对应的点(sin2，cos2)位于第四象限．
2.已知复数z对应的点在第二象限，它的模是3，实部是－，则z是( )
A．－＋2i B．－－2i
C.＋2i D.－2i
解析：选A.设z＝x＋yi(x，y∈R)，则x＝－，
由|z|＝3得(－)2＋y2＝9，即y＝±2，
又因为复数z对应的点在第二象限，所以y＝2.
3.若a，b∈R，复数(a2－3a＋2)＋(b－1)i＝0，则实数对(a，b)表示的点的坐标为( )
A．(1，－1) B．(2，1)
C．(1，1)或(2，1) D．(－1，－1)
解析：选C.由题意知，
解得或，故(a，b)表示点(1，1)或(2，1)．
4.在复平面内，表示复数z＝(m－3)＋2i的点在直线y＝x上，则实数m的值为__________．
解析：由题意得(m－3，2)在直线y＝x上，则有
2＝m－3，解得m＝9.
答案：9
5.已知复数a＋i，2－i在复平面内对应的点分别为A，B，若直线AB的斜率为－1，则a＝__________．
解析：易知A(a，1)，B(2，－1)，故kAB＝＝－1?a＝0.
答案：0
6.实数m取什么值时，复数z＝m(m－1)＋(m－1)i
(1)表示复数z的点位于第一象限；
(2)表示复数z的点位于直线y＝2x上？
解：(1)由表示复数z的点位于第一象限，可得解得m>1，即当m>1时，表示复数z的点位于第一象限，故m的取值范围是(1，＋∞)；
(2)由表示复数z的点位于直线y＝2x上，可得m－1＝2m(m－1)，解得m＝1或m＝.即当m＝1或m＝时，表示复数z的点位于直线y＝2x上．
[B级 能力提升]
7.在复平面内，O为原点，向量对应的复数为－1－2i，点A关于直线y＝－x的对称点为B，则向量对应的复数为( )
A．－2－i B．2＋i
C．1＋2i D．－1＋2i
解析：选B.点A(－1，－2)关于直线y＝－x的对称点为B(2，1)，则向量对应的复数为2＋i.
复数1＋cosα＋isinα(π＜α＜2π)的模为( )
A．2cos B．－2cos
C．2sin D．－2sin
解析：选B.＝＝2|cos|.
∵α∈(π，2π)，
∴∈(，π)，
∴上式＝－2cos.
以非零实数a、纯虚数bi(b∈R)和复数a＋bi对应的点为顶点所构成的三角形必是
__________．
解析：在复平面作出各点如图．故△ABC为直角三角形．
答案：直角三角形
已知复数z＝(m2－3m)＋(m2－m－6)i，求当实数m为何值时，复数z是：①实数；②z＝4＋6i；③对应的点在第三象限．
解：∵z＝(m2－3m)＋(m2－m－6)i，
①令m2－m－6＝0?m＝3或m＝－2，
即m＝3或m＝－2时，z为实数．
②?m＝4；
③若z所对应点在第三象限，则?
0(创新题)已知复数z＝(2x＋a)＋(2－x＋a)i(x，a∈R)，当x在(－∞，＋∞)内变化时，求|z|的最小值g(a)．
解：|z|2＝(2x＋a)2＋(2－x＋a)2
＝22x＋2－2x＋2a(2x＋2－x)＋2a2.
令t＝2x＋2－x，
则t≥2且22x＋2－2x＝t2－2.
从而|z|2＝t2＋2at＋2a2－2
＝(t＋a)2＋a2－2，
当－a≥2，即a≤－2时，
g(a)＝；
当－a<2，即a>－2时，
g(a)＝＝|a＋1|.
1.计算(3＋i)－(2＋i)的结果为( )
A．1 B．－i
C．5＋2i D．1－i
解析：选A.(3＋i)－(2＋i)＝1.
2.向量1对应的复数是5－4i，向量2对应的复数是－5＋4i，则1＋2对应的复数是( )
A．－10＋8i B．10－8i
C．0 D．10＋8i
解析：选C.1＋2＝(5，－4)＋(－5，4)＝(0，0)．
故1＋2对应的复数是0.
3.若z－(1＋i)＝1＋i，则z＝__________．
解析：由z－(1＋i)＝1＋i得z＝(1＋i)＋(1＋i)＝2＋2i.
答案：2＋2i
4.已知z1＝a＋i，z2＝2－ai(a∈R)，且z1－z2在复平面内对应的点在直线y＝2x＋1上，则a＝__________．
解析：将z1－z2＝(a－2)＋(1＋a)i所对应的点(a－2，1＋a)代入直线方程y＝2x＋1即可．
答案：4
[A级 基础达标]
1.(5－i)－(3－i)＋(2＋3i)的计算结果为( )
A．5＋3i B．6＋3i
C．4＋3i D．4＋i
解析：选C.原式＝(5－3＋2)＋[－1－(－1)＋3]i
＝4＋3i.
2.已知z1＝2＋i，z2＝1＋2i，则复数z＝z2－z1对应的点位于( )
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
解析：选B.z＝z2－z1＝1＋2i－(2＋i)＝－1＋i，z对应的点为(－1，1)在第二象限．
3.在复平面内，O是原点，，，表示的复数分别为－2＋i，3＋2i，1＋5i，则表示的复数为( )
A．2＋8i B．－6－6i
C．4－4i D．－4＋2i
解析：选C.＝－＝－(＋)＝(3，2)－(1，5)－(－2，1)＝(4，－4)．
4.设z1＝x＋2i，z2＝3－yi(x，y∈R)，且z1＋z2＝5－6i，则z1－z2＝__________．
解析：由z1＋z2＝(x＋3)＋(2－y)i＝5－6i得
，解得.
∴z1－z2＝(x－3)＋(2＋y)i＝－1＋10i.
答案：－1＋10i
5.已知z是复数，|z|＝3且z＋3i是纯虚数，则z＝__________．
解析：设z＝x＋yi(x，y∈R)，由题意知
，解得.
答案：3i
6.已知z1＝(3x＋y)＋(y－4x)i，z2＝(4y－2x)－(5x＋3y)i(x，y∈R)．设z＝z1－z2，且z＝13＋2i，求复数z1和z2.
解：∵z＝z1－z2
＝(3x＋y)＋(y－4x)i－[(4y－2x)－(5x＋3y)i]
＝[(3x＋y)－(4y－2x)]＋[(y－4x)＋(5x＋3y)]i
＝(5x－3y)＋(x＋4y)i，
∴z＝(5x－3y)－(x＋4y)i.
又∵z＝13＋2i，
∴解得
∴z1＝(3×2－1)＋(－1－4×2)i＝5－9i，
z2＝[4×(－1)－2×2]－[5×2＋3×(－1)]i＝－8－7i.
[B级 能力提升]
7.若|z－1|＝|z＋1|，则复数z对应的点在( )
A．实轴上 B．虚轴上
C．第一象限 D．第二象限
解析：选B.∵|z－1|＝|z＋1|，∴点Z到(1，0)和(－1，0)的距离相等，即点Z在以(1，0)和(－1，0)为端点的线段的中垂线上．
A，B分别是复数z1，z2在复平面内对应的点，O是原点，若|z1＋z2|＝|z1－z2|，则△AOB是( )
A．等腰三角形 B．直角三角形
C．等边三角形 D．等腰直角三角形
解析：选B.根据复数加法、减法的几何意义知，以向量、为邻边的平行四边形是矩形，故△AOB为直角三角形．
复数z＝x＋yi(x，y∈R)满足条件|z－4i|＝|z＋2|，则2x＋4y的最小值为________．
解析：由|z－4i|＝|z＋2|可得复数z所对应的点Z(x，y)在直线x＋2y＝3上，
又2x＋4y＝2x＋22y≥2＝4.
当且仅当2x＝22y，即x＝，y＝时，取等号．
答案：4
在复平面内，A，B，C三点对应的复数分别为1，2＋i，－1＋2i.
(1)求向量，，对应的复数；
(2)判断△ABC的形状．
解：(1)＝－＝(2，1)－(1，0)＝(1，1)，
＝－＝(－1，2)－(1，0)＝(－2，2)，
＝－＝(－1，2)－(2，1)＝(－3，1)，
所以，，对应的复数分别为1＋i，－2＋2i，－3＋i.
(2)因为||2＝10，||2＝8，||2＝2，
所以有||2＝||2＋||2，
所以△ABC为直角三角形．
(创新题)已知z1＝cosθ＋isinθ，z2＝cosα＋isinα(θ，α∈R)，求|z1＋z2|的取值范围．
解：法一：∵z1＋z2＝cosθ＋isinθ＋cosα＋isinα
＝(cosθ＋cosα)＋i(sinθ＋sinα)
∴|z1＋z2|2
＝(cosθ＋cosα)2＋(sinθ＋sinα)2
＝2＋2(cosθcosα＋sinθsinα)
＝2＋2cos(θ－α)∈[0，4]，
∴|z1＋z2|∈[0，2]．
法二：∵|z1|＝|z2|＝1，
又||z1|－|z2||≤|z1＋z2|≤|z1|＋|z2|，
∴0≤|z1＋z2|≤2，
即|z1＋z2|∈[0，2]．
1.(2011·高考江西卷)若z＝，则复数z＝( )
A．－2－i B．－2＋i
C．2－i D．2＋i
解析：选D.z＝＝2＋＝2－i，z＝2＋i.
2.(2012·山东济宁一中高二期末)复数z1＝3＋i，z2＝1－i，则复数在复平面内对应的点位于( )
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
解析：选A.＝＝1＋2i，位于第一象限．
3.(2010·高考上海卷)若复数z＝1－2i(i为虚数单位)，则z·z＋z＝________．
解析：∵z＝1－2i，∴z·z＝|z|2＝5.
∴z·z＋z＝6－2i.
答案：6－2i
4.设复数z满足i(z＋1)＝－3＋2i(i为虚数单位)，则z的实部是__________．
解析：法一：∵i(z＋1)＝－3＋2i，
∴z＝－1＝－(－3i－2)－1＝1＋3i，
故z的实部是1.
法二：令z＝a＋bi(a，b∈R)，
由i(z＋1)＝－3＋2i得i[(a＋1)＋bi]＝－3＋2i，－b＋(a＋1)i＝－3＋2i，∴b＝3，a＝1，故z的实部是1.
答案：1
[A级 基础达标]
1.(2011·高考北京卷)复数＝( )
A．i B．－i
C．－－i D．－＋i
解析：选A.＝＝＝i，故选A.
2.i为虚数单位，则＝( )
A．－i B．－1
C．i D．1
解析：选D.＝i2012＝i503×4＝i4＝1.故选D.
3.(2012·山东微山一中高二月考)复数z＝(i为虚数单位)在复平面内对应的点所在象限为( )
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
解析：选D.z＝＝＝－i.
4.(1＋i)6＋(1－i)6＝____________．
解析：(1＋i)6＋(1－i)6
＝[(1＋i)2]3＋[(1－i)2]3
＝(2i)3＋(－2i)3＝0.
答案：0
5.复数z与(z＋2)2－8i均是纯虚数，则z＝__________．
解析：设z＝ai(a∈R且a≠0)，则(z＋2)2－8i＝z2＋4z＋4－8i＝(－a2＋4)＋(4a－8)i，∴解得a＝－2，
∴z＝－2i
答案：－2i
6.已知复数z1＝2－3i，z2＝.
求：(1)z1·z2；(2).
解：∵z2＝＝＝＝1－3i，
∴(1)z1·z2＝(2－3i)(1－3i)＝－7－9i.
(2)＝＝＝＋i.
[B级 能力提升]
7.(2011·高考辽宁卷)a为正实数，i为虚数单位，＝2，则a＝( )
A．2 B.
C. D．1
解析：选B.∵＝＝＝2，∴a＝±，
又a>0，∴a＝.
设复数z＝－isinθ，其中i为虚数单位，θ∈R，则|z|的取值范围是( )
A．[1， ] B．[，3]
C．[， ] D．[1， ]
解析：选D.z＝－isinθ＝1－i(1＋sinθ)，|z|＝，所以|z|的最大值为，最小值为1.
已知z是纯虚数，是实数，那么z＝________．
解析：设z＝bi(b∈R，b≠0)，
则＝＝＝＋i.
∵为实数，∴＝0，∴b＝－2，∴z＝－2i.
答案：－2i
已知z是复数，z＋z－3z·zi＝1－3i，求z.
解： 设z＝a＋bi(a，b∈R)则z＝a－bi，
∵z＋z－3z·zi＝2a－3(a2＋b2)i＝1－3i，
∴，∴a＝，b＝±.
因此，z＝±i.
(创新题)设△ABC中的两个内角A，B所对的边分别为a，b，复数z1＝a＋bi，z2＝cos A＋icos B．若复数z1z2为纯虚数，试判断△ABC的形状，并说明理由．
解：∵z1＝a＋bi，z2＝cos A＋icos B，
∴z1z2＝(acos A－bcos B)＋i(acos B＋bcos A)．
又∵z1z2为纯虚数，
∴
由正弦定理＝＝＝2R，
得∴A＝B或A＋B＝，
∴△ABC为等腰三角形或直角三角形．
1.下列说法正确的是( )
A．流程图只有1个起点和1个终点
B．程序框图只有1个起点和1个终点
C．工序图只有1个起点和1个终点
D．以上都不对
解析：选B.程序框图只有一个起点“开始”和一个终点“结束”．
2.表示旅客搭乘火车的流程图正确的是( )
A.→→→
B.→→→
C.→→→
D.→→→
解析：选C.按照时间的先后顺序，显然是选C.
3.某一算法流程图如图，输入x＝1得结果是________．
解析：本题是一个分段函数求值问题
y＝
∴当x＝1时，y＝－5＝－.
答案：－
4.已知函数f(x)＝|x－3|，将下面的流程图补充完整．
①处填________，②处填________．
解析：f(x)＝|x－3|＝
答案：x＜3 y＝x－3
[A级 基础达标]
1.下列框图中，是流程图的是( )
A.→→
B.→→
C.→→→→
D.
解析：选C.流程图是一个动态过程，有先后顺序，只有C项符合要求．
2.读下面程序框图，说明输出结果( )
A．6 B．4
C．3 D．1
解析：选B.∵a＝1，b＝a＋3，∴b＝4.
3.(2011·高考天津卷)阅读下边的程序框图，运行相应的程序，则输出i的值为( )
A．3 B．4
C．5 D．6
解析：选B.由a＝1，i＝0→i＝0＋1＝1，a＝1×1＋1＝2→i＝1＋1＝2，a＝2×2＋1＝5→i＝2＋1＝3，a＝3×5＋1＝16→i＝3＋1＝4，a＝4×16＋1＝65>50，∴输出4.
4.(2012·山东济南一中高二期末)如图所示的程序框图输出的值是________．
解析：由题意可得a＝1，b＝1，k＝1时，c＝2；a＝1，b＝2，k＝2时，c＝3；a＝2，b＝3，k＝3时，c＝5；a＝3，b＝5，k＝4时，c＝8；a＝5，b＝8，k＝5时，c＝13；a＝8，b＝13，k＝6时，c＝21；a＝13，b＝21，k＝7时，c＝34；a＝21，b＝34，k＝8时，c＝55；a＝34，b＝55，k＝9时，c＝89；a＝55，b＝89，k＝10时，c＝144.因此输出c＝144.
答案：144
5.某地联通公司推出10010电话服务，其中话费查询业务流程如下：
如果某人用手机查询该机卡上余额，其操作为_______________________________．
解析：因为是查询本机余额，应先按1号键，再按2号键．
答案：拨通10010电话，按1号键，再按2号键
6.儿童乘坐火车时，若身高不超过1.1 m，则无需购票；若身高超过1.1 m但不超过1.4 m，可买半票；若身高超过1.4 m，应买全票，设计一个算法用流程图表示．
解：
[B级 能力提升]
7.(2011·高考辽宁卷)执行下面的程序框图，如果输入的n是4，则输出的p是( )
A．8 B．5
C．3 D．2
解析：选C.n＝4，s＝0，t＝1，k＝1，p＝1，1<4，p＝0＋1＝1，s＝1，t＝1；k＝2，2<4，p＝1＋1＝2，s＝1，t＝2；k＝3，3<4，p＝1＋2＝3，s＝2，t＝3；k＝4，4<4不成立，输出p＝3.
(2012·山东济宁高二月考)某流程如图所示，现输入如下四个函数，则可以输出的函数是( )
A．f(x)＝x2 B．f(x)＝
C．f(x)＝lnx＋2x－6 D．f(x)＝sinx
解析：选D.由题意可知，输出的函数既是奇函数，又有零点，只能选D.
(2012·山东青州高二月考)在一次演讲比赛中，10位评委对一名选手打分的茎叶图如下所示，若去掉一个最高分和一个最低分，得到一组数据xi(1≤i≤8)，在如图所示的程序框图中，x是这8个数据中的平均数，则输出的S2的值为________．
7
8 8
8
0 2 2 6 6 8
9
0 1
解析：由题意可知这8个数据的平均数是x＝84，框图要求输出的是这8个数值的方差，由题中的数据可计算方差为15.
答案：15
公历规定：如果年份数字被4整除而不被100整除，就是闰年；如果年份数字被400整除，也是闰年，其他的年份都不是闰年．将这个规则用程序框图表示．
解：这个规则用程序框图表示如图所示．
(创新题)下图是某单位冷空调的工作流程图．某一时刻，空调没有工作．试分析其可能的原因．(空调无故障)
解：空调不工作的原因可能有
①电源没有开启；
②室温偏低．
1.下列结构图中要素之间表示从属关系的是( )
A.———
D.——
解析：选C.推理包括合情推理和演绎推理，具有从属关系．
2.下列关于流程图和结构图的说法中不正确的是( )
A．流程图用来描述一个动态过程
B．结构图用来刻画系统结构
C．流程图只能用带箭头的流程线表示各单元的先后关系
D．结构图只能用带箭头的连线表示各要素之间的从属关系或逻辑上的先后关系
解析：选D.因为结构图是按其内部的逻辑顺序将它们排列起来并用线段相连．故选D.
3.如图所示：
则“函数的应用”包括的主要内容有：________．
解析：从图中可以看出，函数应用包括函数与方程和函数模型及其应用两部分主要内容．
答案：函数与方程，函数模型及其应用
[A级 基础达标]
1.要表示直线与圆的位置关系，最好用________来表示．( )
A．流程图 B．程序框图
C．结构图 D．统筹图
解析：选C.表示直线与圆的位置关系，是知识结构图的应用．故选C.
2.下列结构图中要素之间含有并列关系的是( )
A.→→
B.
C.———
D.——
解析：选B.A、D属逻辑关系，C属从属关系．只有B属并列关系，因四种曲线都是一平面的不同位置关系截圆锥得到的．
3.(2012·辽宁开原高二检测)下图是集合的知识结构图，如果要加入“补集”，则应该放在( )
A．“集合的概念”的下位
B．“集合的表示”的下位
C．“基本关系”的下位
D．“基本运算”的下位
解析：选D.集合的交、并、补运算都属于集合的运算．因此应放到“基本运算”的下位．
4.由知识框图
可知，硬件系统的下位要素有________．
答案：存储器，CPU
5.如图所示为有关函数的结构图，由图可知基本初等函数(Ⅰ)包括____________________________，函数与映射的关系是______________________．
解析：理解函数的知识结构即可求解．
答案：指数函数、对数函数、幂函数 函数是一类特殊的映射
6.设计《数学必修2》第一章“空间几何体”一节的知识结构图．
解：
[B级 能力提升]
7.如图所示为某公司的组织结构图，后勤部的直接领导是( )
A．总工程师 B．专家办公室
C．总经理 D．开发部
解析：选B.画结构图首先要搞清楚从属关系和并列关系，然后从上至下画出结构图．本题先分析出“总工程师”与“专家办公室”为并列关系，他们与总经理是从属关系，然后分析出其他部门是并列关系，他们与总经理是从属关系．故选B.
下面是三角形的分类结构图，其中不正确的是( )
解析：选B.在B中，等边三角形是等腰三角形的特例，还必须再添加三边都不相等的三角形．因此B是不正确的，A、C、D所示的分类结构图都是正确的，故选B.
在工商管理学中，MRP(Material Requirement Planing)指的是物资需求计划，基本MRP的体系结构如图所示．
从图中可以看出，基本MRP直接受________、________和________的影响．
解析：由图可知MRP直接受主生产计划、库存状态、产品结构的影响，主要考查审图能力．
答案：主生产计划 库存状态 产品结构
试画出“推理与证明”一章的知识结构图．
解：
(创新题)国内某知名网站设有房地产频道，其栏目结构图如图所示．
(1)若某人上网搜索租房信息，应如何操作？
(2)某人在建材装修方面遇到法律咨询需求，应如何办？
解：(1)搜索租房信息：打开该网站房地产首页的“租房搜索”的链接即可．
(2)建材装修方面法律咨询：打开该网站房地产首页的“建材装修”的链接，然后在页面下打开律师楼的链接．
模块综合检测
(时间：120分钟；满分150分)
模块综合检测一、选择题(本大题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1.复数z1＝1＋i和z2＝1－i对应的点在复平面内关于________对称( )
A．实轴
B．虚轴
C．第一、三象限的角平分线
D．第二、四象限的角平分线
解析：选A.z1，z2对应的点分别为(1，)，(1，－)，关于实轴对称．
2.若(x2－1)＋(x＋1)i是纯虚数，则实数x的值是( )
A．1 B．－1
C．±1 D．以上都不对
解析：选A.由题意得，解得x＝1.
3.复数z满足(1－2i)z＝7＋i，则复数z的共轭复数z＝( )
A．1＋3i B．1－3i
C．3＋i D．3－i
解析：选B.由(1－2i)z＝7＋i可得z＝＝1＋3i，复数z的共轭复数为1－3i.
4.有这样一段演绎推理“有些有理数是分数，整数又是有理数，则整数是分数”，结论显然是错误的，因为( )
A．大前提错误 B．小前提错误
C．推理形式错误 D．非以上错误
解析：选C.整数这个整体属于有理数的范围，但不满足大前提中的结论，因为大前提不是对所有的有理数加以概括．
5.以下是解决数学问题的思维过程的流程图：
在此流程图中，①、②两条流程线与“推理与证明”的思维方法匹配正确的是( )
A．①—综合法，②—分析法
B．①—分析法，②—综合法
C．①—综合法，②—反证法
D．①—分析法，②—反证法
解析：选A.综合法是从原因推导到结果的思维方法，而分析法是从结果追溯到产生这一结果的原因的思维方法．故选A.
6.给出下面类比推理命题(其中Q为有理数集，R为实数集，C为复数集)( )
①“若a，b∈R，则a－b＝0?a＝b”类比出“若a，b∈C，则a－b＝0?a＝b”；
②“若a，b，c，d∈R，则复数a＋bi＝c＋di?a＝c，b＝d”类比推出“若a，b，c，d∈Q，则a＋b＝c＋d?a＝c，b＝d”；
③“若a，b∈R，则a－b>0?a>b”类比推出“若a，b∈C，则a－b>0?a>b”．其中类比得到的结论正确的个数是( )
A．0 B．1
C．2 D．3
解析：选C.由题意可知①②是正确的．③错误，虚数不能比较大小．
7.为了解儿子身高与其父亲身高的关系，随机抽取5对父子的身高数据如下：
父亲身高x(cm)
174
176
176
176
178
儿子身高y(cm)
175
175
176
177
177
则y对x的线性回归方程为( )
A．y＝x－1 B．y＝x＋1
C．y＝x＋88 D．y＝176
解析：选C.由回归方程＝bx＋a过点(x，y)可以知道线性回归方程为y＝x＋88.
图(1)是某县参加2012年高考的学生身高的条形统计图，从左到右的各条形表示的学生人数依次记为A1、A2、…、A10(如A2表示身高(单位：cm)在[150，155)内的学生人数)．图(2)是统计图(1)中身高在一定范围内学生人数的一个算法流程图．现要统计身高在160～180 cm(含160 cm，不含180 cm)的学生人数，那么在流程图的判断框内应填写的条件是( )
A．i＜6 B．i＜7
C．i＜8 D．i＜9
解析：选C.身高在160～180 cm(含160 cm，不含180 cm)的学生人数为A4＋A5＋A6＋A7，算法流程图实质是求和，由此得到应填的条件为i＜8.
用反证法证明命题“若a2＋b2≠0，则a，b不全为0(a，b∈R)”时，其假设正确的是( )
A．a，b中至少有一个为0
B．a，b中至少有一个不为0
C．a，b全为0
D．a，b中只有一个不为0
解析：选C.a，b不全为0的否定是全为0.
在600个人身上试验某种血清预防感冒的作用，把一年中的记录与另外600个未用血清的人作比较，结果如下：
未感冒
感冒
合计
试验
292
308
600
未用过
284
316
600
合计
576
624
1200
则该种血清起到预防感冒的作用的把握有( )
A．99% B．90%
C．99.9% D．小于90%
解析：选D.χ2＝＝0.2137<3.841，所以没有理由说这种血清对预防感冒有作用．故选D.
如图所示是计算＋＋＋…＋的值的一个程序框图，其中空白判断框内填入的条件是( )
A．i＞10 B．i≤10
C．i＞20 D．i≤20
解析：选B.i＝10时，已经求出＋＋＋…＋的值，i＝11时停止循环，故选B.
某自来水厂一蓄水池可以用甲、乙两个水泵注水，单开甲泵需15小时注满，单开乙泵需18小时注满，若要求10小时注满水池，并且使两泵同时开放的时间尽可能地少，则甲、乙两水泵同时开放的时间最少需( )
A．4小时 B．7小时
C．6小时 D．14小时
解析：选C.根据题意开放水泵的工序流程图有两个方案：
方案一：→
方案二：→
如果用方案一注水，可设甲、乙两泵同时开放的时间为x个小时，由题意得方程(＋)x＋(10－x)＝1.
解得：x＝6(小时)．
如果用方案二注水，可设甲、乙两泵同时注水的时间为y个小时．
则(＋)y＋(10－y)＝1，
解得：y＝＝6(小时)．
所以选方案一注水，可得甲、乙两水泵同时开放注水的时间最少，需6个小时，故选C.
二、填空题(本大题共4小题．把正确答案填在题中横线上)
下图中还有“哺乳动物”“地龟”“长尾雀”三项未填，请补充完整这一结构图．
则①为________；②为________；③为________．
解析：地龟属于爬行动物，长尾雀属于飞行动物；哺乳动物应是狗、狼的上位元素．
答案：哺乳动物 地龟 长尾雀
给出下列命题：
命题1：点(1，1)是直线y＝x与双曲线y＝的一个交点；
命题2：点(2，4)是直线y＝2x与双曲线y＝的一个交点；
命题3：点(3，9)是直线y＝3x与双曲线y＝的一个交点；
…….
请观察上面命题，猜想出命题n(n是正整数)为：________．
解析：观察以上命题可知直线斜率是点的横坐标，双曲线方程中的数字是点的横坐标的立方．
答案：点(n，n2)是直线y＝nx与双曲线y＝的一个交点．
将石子摆成如图的梯形形状．称数列5，9，14，20，…为“梯形数列”．根据图形的构成，此数列的第2012项与5的差，即a2012－5＝________．
解析：由题意可知a2012－5＝4＋5＋6＋7＋…2014＝1009×2011.
答案：1009×2011
执行如图所示的程序框图，若输入x＝10，则输出y的值为________．
解析：当x＝10时，y＝4，不满足|y－x|＜1，因此由x＝y知x＝4.当x＝4时，y＝1，不满足|y－x|＜1，因此由x＝y知x＝1.当x＝1时，y＝－，不满足|y－x|＜1，因此由x＝y知x＝－.当x＝－时，y＝－，此时，＜1成立，跳出循环，输出y＝－.
答案：－
三、解答题(本大题共6小题，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
已知复数z1满足(z1－2)(1＋i)＝1－i(i为虚数单位)，复数z2的虚部为2，且z1·z2是实数，求z2.
解：(z1－2)(1＋i)＝1－i?z1＝2－i.
设z2＝a＋2i，a∈R，
则z1·z2＝(2－i)(a＋2i)＝(2a＋2)＋(4－a)i.
∵z1·z2∈R，∴a＝4.
∴z2＝4＋2i.
调查某桑场采桑员和辅助工桑毛虫皮炎发病情况结果如下表：
采桑
不采桑
合计
患者人数
18
12
30
健康人数
5
78
83
合计
23
90
113
利用2×2列联表的独立性检验估计，“患桑毛虫皮炎病与采桑”是否有关？认为两者有关系会犯错误的概率是多少？
解：n11＝18，n12＝12，n21＝5，n22＝78，
所以n1＋＝30，n2＋＝83，n＋1＝23，n＋2＝90，n＝113.
所以χ2＝
＝≈39.6＞6.635.
所以有99%的把握认为“患桑毛虫皮炎病与采桑”有关系．认为两者有关系会犯错误的概率是1%.
某市公车票价按下列规则规定：
①5公里以内(包括5公里)票价2元；
②5公里以上，每增加5公里，票价增加1元(不足5公里按5公里计算)．
已知两个相邻的公共汽车站间距约1公里，如果沿途(包括起点站和终点站)共有16个汽车站，请设计一个算法求出某人坐车x公里所用的票价，画出程序框图．
解：据题意，可得某人坐车x公里所用票价
y＝
程序框图：
设M1(0，0)，M2(1，0)，以M1为圆心，|M1M2|为半径作圆交x轴于点M3(不同于M2)，记作圆M1；以M2为圆心，|M2M3|为半径作圆交x轴于点M4(不同于M3)，记作圆M2；……；以Mn为圆心，|MnMn＋1|为半径作圆交x轴于点Mn＋2(不同于Mn＋1)，记作圆Mn；……当n∈N*时，过原点作倾斜角为30°的直线与圆Mn交于An，Bn.
考查下列论断：
当n＝1时，|A1B1|＝2；
当n＝2时，|A2B2|＝；
当n＝3时，|A3B3|＝；
当n＝4时，|A4B4|＝；……
由以上论断推测一个一般的结论．
解：依题意，
|A1B1|＝，
|A2B2|＝，
|A3B3|＝，
由此归纳得知对于n∈N*
|AnBn|＝.
已知△ABC的三边长为a、b、c，且其中任意两边长均不相等．若，，成等差数列．
(1)比较与的大小，并证明你的结论；
(2)求证B不可能是钝角．
解：(1)大小关系为<.
证明如下：
要证<，
只需证<.
∵a、b、c>0，
只需证：b2∵，，成等差数列，
∴＝＋≥2，
∴b2≤ac.
又a、b、c任意两边均不相等，
∴b2故所得大小关系正确．
(2)证明：假设B是钝角，则cosB<0
由余弦定理可得cosB＝>
由(1)知b20，这与cosB<0矛盾，故假设不成立．
∴B不可能是钝角．
某地最近十年粮食需求量逐年上升，下表是部分统计数据：
年份
2002
2004
2006
2008
2010
需求量(万吨)
236
246
257
276
286
(1)利用所给数据求年需求量与年份之间的回归直线方程＝bx＋a；
(2)利用(1)中所求出的直线方程预测该地2012年的粮食需求量．
解：(1)由所给数据看出，年需求量与年份之间是近似直线上升的，下面求回归直线方程．为此对数据预处理如下：
年份－2006
－4
－2
0
2
4
需求量－257
－21
－11
0
19
29
对预处理后的数据，容易算得＝0，＝3.2.
＝
＝＝6.5，
＝－＝3.2.
由上述计算结果，知所求回归直线方程为
－257＝(x－2006)＋＝6.5(x－2006)＋3.2，
即＝6.5(x－2006)＋260.2.①
(2)利用直线方程①，可预测2012年的粮食需求量为
6．5×(2012－2006)＋260.2
＝6.5×6＋260.2＝299.2(万吨)．
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一、选择题(本大题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．下列两个变量之间的关系哪个不是函数关系( )
A．角度和它的余弦值
B．正方形边长和面积
C．正n边形的边数和顶点角度之和
D．人的年龄和身高
解析：选D.函数关系是确定性关系，故选D.
2．下列说法中，正确的是( )
①回归方程适用于一切样本和总体；②回归方程一般都有时间性；③样本取值的范围会影响回归方程的适用范围；④回归方程得到的预报值是预报变量的精确值．
A．①② B．②③
C．③④ D．①③
解析：选B.①回归方程只适用于所研究的样本，故①错；④回归方程得到的预报值是可能取值的平均值，故④错；回归方程一般要受时间和范围的影响，故②③正确．
3．设两个独立事件A和B都不发生的概率为，A发生B不发生的概率与B发生A不发生的概率相同，则事件A发生的概率P(A)是( )
A. B.
C. D.
解析：选D.由已知P(·)＝P()P()＝，①
又P(A·)＝P(·B)，
即[1－P()]·P()＝P()[1－P()]，②
由①②解得P()＝P()＝，所以P(A)＝.
4．对于线性相关系数r，叙述正确的是( )
A．|r|∈(0，＋∞)，|r|越大，相关程度越大，反之相关程度越小
B．r∈(－∞，＋∞)，r越大，相关程度越大，反之相关程度越小
C．|r|≤1，且|r|越接近于1，相关程度越大，|r|越接近于0，相关程度越小
D．以上说法都不对
解析：选C.由r的意义可知C项正确．
5．若回归直线方程中的回归系数b＝0，则相关系数( )
A．r＝1 B．r＝－1
C．r＝0 D．无法确定
解析：选C.b＝，
r＝，
若b＝0，则r＝0.
6．下表提供了某厂节能降耗技术改造后生产A产品过程中记录的产量x(吨)与相应的生产能耗y(吨标准煤)的几组对应数据．根据下表提供的数据，求出y关于x的线性回归方程为＝0.7x＋0.35，那么表中t的值为( )
x
3
4
5
6
y
2.5
t
4
4.5
A.3 B．3.15
C．3.5 D．4.5
解析：选A.根据线性回归方程一定过定点(，)，计算可知选A.
7．下表给出5组数据(x，y)，为选出4组数据使线性相关程度最大，且保留第1组数据(－5，－3)，则应去掉( )
i
1
2
3
4
5
xi
－5
－4
－3
－2
4
yi
－3
－2
4
－1
6
A.第2组 B．第3组
C．第4组 D．第5组
解析：选B.通过散点图选择，画出散点图如图所示：
应除去第三组，对应点是(－3,4)．故选B.
8．设有一个回归方程为＝3－2x，变量x增加一个单位时( )
A．y平均增加2个单位 B．y平均减少3个单位
C．y平均减少2个单位 D．y平均增加3个单位
解析：选C.∵[3－2(x＋1)]－(3－2x)＝－2，
∴y的值平均减少2个单位．
9．某商品销售量y(件)与销售价格x(元/件)负相关，则其回归方程可能是( )
A.＝－10x＋200 B.＝10x＋200
C.＝－10x－200 D.＝10x－200
解析：选A.由于销售量y与销售价格x负相关，故排除B，D.又当x＝10时，A中y＝100，而C中y＝－300，C不符合题意．故选A.
10．由一组样本数据(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)得到的回归直线方程为＝x＋，那么下面说法不正确的是( )
A．直线＝x＋必经过点(，)
B．直线＝x＋至少经过点(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)中的一个点
C．直线＝x＋的斜率为
D．直线＝x＋和各点(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)的误差yi－(xi＋)]2是该坐标平面上所有直线与这些点误差中最小的
解析：选B.回归直线可能不经过任何一个样本点，但必经过样本点的中心．
11．对四对变量Y与x进行线性相关检验，已知n是观测值组数，r是相关系数，且已知：
①n＝7，r＝0.9533；②n＝15，r＝0.3012；③n＝17，r＝0.4991；④n＝3，r＝0.9950.则变量Y和x具有线性相关关系的是( )
A．①和② B．①和③
C．②和④ D．③和④
解析：选B.由于小概率0.05与n－2在附表中分别查得：①r0.05＝0.754；②r0.05＝0.514；③r0.05＝0.482；④r0.05＝0.997.
因此知①、③中相关系数比r0.05大，变量Y和x具有线性相关关系．而②、④中的相关系数小于r0.05，故变量Y与x不具有线性相关关系．
12．冶炼某种金属可以用旧设备和改造后的新设备，为了检验用这两种设备生产的产品中所含杂质的关系，调查结果如下表所示：
杂质高
杂质低
旧设备
37
121
新设备
22
202
根据以上数据，则( )
A．含杂质的高低与设备改造有关
B．含杂质的高低与设备改造无关
C．设备是否改造决定含杂质的高低
D．以上答案都不对
解析：选A.由已知数据得到如下2×2列联表：
杂质高
杂质低
合计
旧设备
37
121
158
新设备
22
202
224
合计
59
323
382
由公式χ2＝≈13.11.
由于13.11＞6.635，所以有99%的把握认为含杂质的高低与设备改造是有关的，但是否改造设备这一行为并不对含杂质高低有决定性作用．
二、填空题(本大题共4小题，请把答案填在题中横线上)
13．若回归直线方程为＝0.5x－0.81，则x＝25时，y的估计值为________．
解析：y的估计值为0.5×25－0.81＝11.69.
答案：11.69
14．调查了某地若干户家庭的年收入x(单位：万元)和年饮食支出y(单位：万元)，调查显示年收入x与年饮食支出y具有线性相关关系，并由调查数据得到y对x的回归直线方程：＝0.254x＋0.321.由回归直线方程可知，家庭年收入每增加1万元，年饮食支出平均增加________万元．
解析：由题意知[0.254(x＋1)＋0.321]－(0.254x＋0.321)＝0.254.
答案：0.254
15．为了判断高中一年级学生选修文科与选修理科是否与性别有关，现随机抽取50名学生，得到2×2列联表如下：
理科
文科
总计
男
13
10
23
女
7
20
27
总计
20
30
50
已知P(χ2≥3.841)≈0.05，P(χ2≥5.024)≈0.025.
根据表中数据，得到χ2＝≈4.844.
则认为选修文科与性别有关出错的可能性是________．
解析：本题考查对假设检验含义的理解，由χ2≈4.844>3.841，得选修文科与性别无关是不成立的，即有关的概率是95%，出错的可能性是1－95%＝5%.
答案：5%
16．已知一个线性回归方程为＝1.5x＋45，xi∈{1,7,5,13,19}，则＝________.
解析：因为＝×(1＋7＋5＋13＋19)＝9，且＝1.5x＋45，所以＝1.5×9＋45＝58.5.
答案：58.5
三、解答题(本大题共6小题，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
17．某地震观测站对地下水位的变化和发生地震的情况共进行了n＝1700次观测，列联表如下：
有震
无震
合计
有变化
98
902
1000
无变化
82
618
700
合计
180
1520
1700
问观测结果是否说明地下水位的变化与地震的发生相关？
解：根据列联表中的数据得到
χ2＝≈1.59≤3.841，
∴没有充分的证据显示地下水位的变化与地震的发生相关．
18．已知对两个变量x、y的观测数据如下表：
x
35
40
42
39
45
46
42
50
58
48
y
5.90
6.20
6.30
6.55
9.53
9.52
6.99
8.72
9.49
7.50
(1)画出x，y的散点图；
(2)求出回归直线方程．
解：(1)散点图如图．
(2)＝44.5，＝20183，
＝7.67，iyi＝3481.32，
则＝≈0.179，
＝7.67－0.179×44.5＝－0.2955.
∴回归直线方程为＝0.179x－0.2955.
19．甲、乙两个篮球运动员互不影响地在同一位置投球，命中率分别为与p，且乙投球2次均未命中的概率为.
(1)求乙投球的命中率p；
(2)求甲投球2次，至少命中1次的概率．
解：(1)法一：设“甲投球一次命中”为事件A，“乙投球一次命中”为事件B.
由题意得(1－P(B))2＝(1－p)2＝，
解得p＝或p＝(舍去)，
所以乙投球的命中率为.
法二：设“甲投球一次命中”为事件A，“乙投球一次命中”为事件B.
由题意得P()P()＝，
于是P()＝或P()＝－(舍去)，
故p＝1－P()＝，所以乙投球的命中率为.
(2)由题设知，P(A)＝，P()＝，
故甲投球2次至少命中1次的概率为1－P( )＝.
20．一台机器由于使用时间较长(但还可以使用)，它按不同的转速生产出来的某机械零件有一些会有缺点，每小时生产有缺点零件的多少随机器运转的速度而变化，下表为抽样试验结果：
转速x(转/秒)
16
14
12
8
每小时生产有缺点
零件数Y(件)
11
9
8
5
(1)对变量Y与x进行相关性检验；
(2)如果Y与x有线性相关关系，求回归直线方程；
(3)若实际生产中，允许每小时的产品中有缺点的零件最多为10个，机器的运转速度应控制在什么范围内？
解：(1)＝12.5, ＝8.25，
iyi＝438, 4 ＝412.5，
＝660, ＝291.
所以r＝
＝
＝≈≈0.995.
查临界值表：4－2＝2的r0.05＝0.950.
因为r>r0.05，所以Y与x有线性相关关系．
(2)由(1)可知Y与x有线性相关关系，
所以，＝≈0.7286，
＝8.25－0.7286×12.5＝－0.8571.
所以Y对x的回归直线方程为＝0.7286x－0.8571.
(3)要使≤10，即0.7286x－0.8571≤10，
所以x≤14.9013.
所以机器的转速应控制在14.9013转/秒以下．
21．下表是一次试验的数据：
编号
xi
yi
1
1
10.15
2
5
2.85
3
10
2.11
4
50
1.30
根据上面数据分析：y与之间是否具有线性相关关系？如果有，求出回归方程．
解：令u＝，得到如下表数据：
编号
ui
yi
1
1
10.15
2
0.2
2.85
3
0.1
2.11
4
0.02
1.30
＝，＝；
＝12＋…＋0.022＝1.0504，
＝10.152＋…＋1.302＝117.2871，
iyi＝10.957，相关系数r≈0.9999.
由于r与1非常接近，所以u与y有很强的线性相关关系．
由题知≈9.01，≈1.13，
∴＝1.13＋9.01u，∴＝1.13＋.
22．针对时下的“韩剧热”，某校团委对“学生性别和是否喜欢韩剧是否有关”作了一次调查，其中女生人数是男生人数的，男生喜欢韩剧的人数占男生人数的，女生喜欢韩剧的人数占女生人数的.
(1)若在推断结论为错误的可能性为5%的前提下认为是否喜欢韩剧和性别有关，则男生至少有多少人；
(2)若没有充分的证据显示是否喜欢韩剧和性别有关，则男生至多有多少人？
解：设男生人数为x，依题意可得2×2列联表如下：
喜欢韩剧
不喜欢韩剧
总计
男生
x
女生
总计
x
x
(1)若在推断结论为错误的可能性为5%的前提下认为回答结果的对错和性别有关，则χ2>3.841，
由χ2＝＝x>3.841，
解得x>10.24，
∵，为整数，
∴若在推断结论为错误的可能性为5%的前提下认为是否喜欢韩剧和性别有关，则男生至少有12人．
(2)没有充分的证据显示是否喜欢韩剧和性别有关，则χ2≤3.841，
由χ2＝＝x≤3.841，
解得x≤10.24，
∵，为整数
∴若没有充分的证据显示回答结果的对错和性别有关，则男生至多有6人．
(时间：120分钟；满分：150分)
一、选择题(本大题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1.复数(i是虚数单位)的虚部是( )
A. B.i
C. D.i
解析：选C.＝＝＝＋，所以虚部是，选C.
2.设a∈R，且(a＋i)2i为正实数，则a等于( )
A．2 B．1
C．0 D．－1
解析：选D.(a＋i)2i＝[(a2－1)＋2ai]i＝(a2－1)i－2a，
因为(a＋i)2i是正实数，所以a2－1＝0且2a＜0，
所以a＝－1.
3.使复数z为实数的充分而不必要条件是( )
A．z＝z B．|z|＝z
C．z2为实数 D．z＋z为实数
解析：选B.z＝z?z∈R；|z|＝z?z∈R，反之不行，例如z＝－2；z2为实数不能推出z∈R，例如z＝i；对于任何z，z＋z都是实数．
4.已知＝1－ni，其中m，n是实数，i是虚数单位，则m＋ni＝( )
A．1＋2i B．1－2i
C．2＋i D．2－i
解析：选C.＝＝－i＝1－ni，可以解得m＝2，n＝1.选C.
5.在复平面内，复数对应的点位于( )
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
解析：选B.∵＝＝＝－＋i，
∴其对应的点位于第二象限．
6.复数z满足|3z＋1|＝|z－i|，则复数z对应点的轨迹是( )
A．直线 B．正方形
C．圆 D．椭圆
解析：选C.设z＝x＋yi(x，y∈R)，
则|3x＋3yi＋1|＝|x＋yi－i|.
∴(3x＋1)2＋9y2＝x2＋(y－1)2，
即4x2＋4y2＋3x＋y＝0，
∴复数z的对应点的轨迹为圆．
7.设z1＝i4＋i5＋i6＋…＋i12，z2＝i4·i5·i6·…·i12，则z1，z2的关系是( )
A．z1＝z2 B．z1＝－z2
C．z1＝1＋z2 D．无法确定
解析：选A.z1＝＝＝i4＝1，
z2＝i4＋5＋6＋7＋…＋12＝i72＝1.
已知x，y∈R，i是虚数单位，且(x－1)i－y＝2＋i，则(1＋i)x－y的值为( )
A．－4 B．4
C．－1 D．1
解析：选A.由(x－1)i－y＝2＋i，得x＝2，y＝－2，
所以(1＋i)x－y＝(1＋i)4＝(2i)2＝－4，故选A.
已知z＝(2－i)3，则z·z＝( )
A．25 B．125
C．10 D．225
解析：选B.z·z＝|z|2＝|(2－i)3|2＝()6＝125.
在复平面内，向量对应的复数是2＋i，向量对应的复数是－1－3i，则向量对应的复数为( )
A．1－2i B．－1＋2i
C．3＋4i D．－3－4i
解析：选D.＝－＝－1－3i－2－i＝－3－4i，故选D.
定义运算＝ad＋bc，则符合条件＝4＋2i的复数z为( )
A．3－i B．1＋3i
C．3＋i D．－1－3i
解析：选D.由已知得zi－z＝4＋2i，
∴z＝＝＝－1－3i.
已知定义在复数集C上的函数f(x)满足f(x)＝则f[f(2)]在复平面内的对应点位于( )
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
解析：选A.由函数的解析式知：f(2)＝2－i，f[f(2)]＝f(2－i)＝＝＝＋i，所以 f[f(2)]在复平面内的对应点位于第一象限．
二、填空题(本大题共4小题，把正确答案填在题中横线上)
计算(2＋i15)－()22＝________．
解析：(2＋i15)－()22＝(2－i)－()11＝2－i－i11＝2－i＋i＝2.
答案：2
若复数z1＝4＋29i，z2＝6＋9i，其中i是虚数单位，则复数(z1－z2)i的实部为__________．
解析：∵(z1－z2)i＝[(4＋29i)－(6＋9i)]i＝(－2＋20i)i＝－20－2i，
∴(z1－z2)i的实部为－20.
答案：－20
若复数z＝(m－1)＋(m＋2)i对应的点在直线2x－y＝0上，则实数m的值是________．
解析：复数z对应点的坐标为(m－1，m＋2)，该点在直线2x－y＝0上，得到m＝4.
答案：4
给出下列命题：①若z∈C，则z2≥0；②若a∈R，则(a＋1)i是纯虚数；③若z＝，则z3＋1对应的点在复平面内的第一象限．其中正确的命题是__________．(写出你认为正确的所有命题的序号)
解析：①错误；②若a＝－1，(a＋1)i＝0，错误；③z＝＝－i，z3＋1＝－i3＋1＝i＋1，正确．
答案：③
三、解答题(本大题共6小题，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
当m为何实数时，复数z＝(2m＋1)(m－2)＋(m－1)(m－2)i是
(1)实数；(2)虚数；(3)纯虚数．
解：z＝(2m＋1)(m－2)＋(m－1)(m－2)i，
(1)当m＝1或m＝2时，z是实数．
(2)当m≠1且m≠2时，z是虚数．
(3)由题知即当m＝－时，z是纯虚数．
已知z＝.
(1)求|z|；(2)z2＋az＋b＝1＋i，求实数a、b的值．
解：z＝
＝＝
＝＝1－i，
∴(1)|z|＝|1－i|＝.
(2)由z2＋az＋b＝1＋i得(1－i)2＋a(1－i)＋b＝1＋i，即a＋b＋(－2－a)i＝1＋i，∴，∴.
已知z是复数，z＋2i、均为实数(i为虚数单位)，且复数(z＋ai)2在复平面上对应的点在第一象限，求实数a的取值范围．
解：设z＝x＋yi(x、y∈R)，
∵z＋2i＝x＋(y＋2)i，由题意得y＝－2.
∵＝＝(x－2i)(2＋i)
＝(2x＋2)＋(x－4)i，由题意得x＝4.
∴z＝4－2i.
∵(z＋ai)2＝(12＋4a－a2)＋8(a－2)i，
根据条件，可知
解得2如图，平行四边形OABC，顶点O、A、C分别表示0，3＋2i，－2＋4i，试求：
(1)表示的复数，表示的复数；
(2)所表示的复数；
(3)设P为复平面上一点且满足||＝||，求P点的轨迹方程．
解：(1)＝－，而对应的复数为3＋2i，
∴表示的复数－3－2i；
∵＝.∴表示的复数为－3－2i.
(2)＝－，∴所表示的复数为(3＋2i)－(－2＋4i)＝5－2i.
(3)设P(x，y)，∵||＝|5－2i|＝＝，||＝，由||＝||，得x2＋y2＝29，即点P的轨迹方程为x2＋y2＝29.
已知复平面内点A、B对应的复数分别是z1＝sin2θ＋i，z2＝－cos2θ＋icos2θ，其中θ∈(0，2π)，设对应的复数为z.
(1)求复数z；
(2)若复数z对应的点P在直线y＝x上，求θ的值．
解：(1)z＝z2－z1＝－cos2θ－sin2θ＋i(cos2θ－1)
＝－1－2sin2θ·i.
(2)点P的坐标为(－1，－2sin2θ)，
由点P在直线y＝x上，得－2sin2θ＝－.
所以sin2θ＝，则sinθ＝±.
由于θ∈(0，2π)，所以θ＝，π，π，π.
已知关于x的方程x2－(6＋i)x＋9＋ai＝0(a∈R)有实数根b.
(1)求实数a，b的值；
(2)若复数z满足|z－a－bi|－2|z|＝0，求z为何值时，|z|有最小值？并求出|z|的最小值．
解：(1)∵b是方程x2－(6＋i)x＋9＋ai＝0(a∈R)的实根，∴(b2－6b＋9)＋(a－b)i＝0，
故解得a＝b＝3.
(2)设z＝x＋yi(x，y∈R)，
由|z－3－3i|＝2|z|，
得(x－3)2＋(y＋3)2＝4(x2＋y2)，
即(x＋1)2＋(y－1)2＝8，
∴Z点的轨迹是以O1(－1，1)为圆心，2为半径的圆．
如图，当Z点在直线OO1上时，
|z|有最大值或最小值．
∵|OO1|＝，半径r＝2，
∴当z＝1－i时，|z|有最小值，且|z|min＝.
(时间：120分钟；满分：150分)
一、选择题(本大题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1.在△ABC中，sinAsinC>cosAcosC，则△ABC一定是( )
A．锐角三角形 B．直角三角形
C．钝角三角形 D．不确定
解析：选D.由sinAsinC>cosAcosC，可得cos(A＋C)<0，即cosB>0，所以B为锐角，但并不能判断A，C，故选D.
2.如果两个数的和为正数，则这两个数( )
A．一个是正数，一个是负数
B．两个都是正数
C．至少有一个是正数
D．两个都是负数
解析：选C.两个数的和为正数，则有三种情况：(1)一个是正数，一个是负数且正数的绝对值大于负数的绝对值；(2)一个是正数，一个是零；(3)两个数都是正数．可综合为“至少有一个是正数”．
3.用反证法证明命题：“a，b∈N，ab可被5整除，那么a，b中至少有一个能被5整除”时，假设的内容应为( )
A．a，b都能被5整除
B．a，b都不能被5整除
C．a，b不都能被5整除
D．a不能被5整除
解析：选B.“至少有一个”的否定是“一个也没有”，即“a，b都不能被5整除”．
4.“所有是9的倍数的数都是3的倍数，某奇数是9的倍数，故该奇数是3的倍数”，上述推理( )
A．完全正确
B．推理形式不正确
C．错误，因为大小前提不一致
D．错误，因为大前提错误
解析：选A.大前提、小前提及推理形式都正确，所以推理也正确．
5.观察式子：1＋<，1＋＋<，1＋＋＋<，…，则可归纳出一般式子为( )
A．1＋＋＋…＋<(n≥2)
B．1＋＋＋…＋<(n≥2)
C．1＋＋＋…＋<(n≥2)
D．1＋＋＋…＋<(n≥2)
解析：选C.由合情推理可归纳出
1＋＋＋…＋<(n≥2)．故选C.
6.有以下结论：
①设a，b为实数，且|a|＋|b|<1，求证方程x2＋ax＋b＝0的两根的绝对值都小于1.用反证法证明时，可假设方程的两根为x1，x2且|x1|>1或|x2|>1.
②已知a，b∈R，|a|＋|b|<1，求证方程x2＋ax＋b＝0的两根的绝对值都小于1，用反证法证明时可假设方程有一根x1的绝对值大于或等于1，即假设|x1|≥1.下列说法中正确的是( )
A．①与②的假设都错误
B．①与②的假设都正确
C．①的假设正确；②的假设错误
D．①的假设错误；②的假设正确
解析：选D.用反证法证题时一定要将对立面找全．在①中假设不全面，故①的假设是错误的，而②的假设是正确的，故选D.
7.若a，b，c∈R，且ab＋bc＋ca＝1，则下列不等式成立的是( )
A．a2＋b2＋c2≥2 B．(a＋b＋c)2≥3
C.＋＋≥2 D．a＋b＋c≤
解析：选B.∵ab＋bc＋ca＝1，
∴a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca＝1，
∴(a＋b＋c)2＝a2＋b2＋c2＋2ab＋2bc＋2ca≥1＋2(ab＋bc＋ca)＝3.
设x，y，z∈(0，＋∞)，a＝x＋，b＝y＋，c＝z＋，则a，b，c三数( )
A．至少有一个不大于2
B．都小于2
C．至少有一个不小于2
D．都大于2
解析：选C.∵x、y、z>0，∴x＋≥2，y＋≥2，z＋≥2，∴a＋b＋c＝x＋＋y＋＋z＋≥6，
因此a，b，c至少有一个不小于2.
下列四个图形中，着色三角形的个数依次构成一个数列的前4项，则这个数列的一个通项公式为( )
A．an＝3n－1 B．an＝3n
C．an＝3n－2n D．an＝33n－1＋2n－3
解析：选A.a1＝1，a2＝3，a3＝9，a4＝27，归纳an＝3n－1，故选A.
已知：f(x)＝，设f1(x)＝f(x)，fn(x)＝fn－1[fn－1(x)](n>1，n∈N)猜想fn(x)(n∈N＋)的表达式为( )
A．fn(x)＝ B．fn(x)＝
C．fn(x)＝ D．fn(x)＝
解析：选A.由f1(x)＝f(x)，得
f2(x)＝f1[f1(x)]＝＝，
f3(x)＝f2[f2(x)]＝＝，
……，由此猜想fn(x)＝(n∈N＋)．
若不等式x2＋2x＋a≥－y2－2y对任意实数x、y都成立，则实数a的取值范围是( )
A．a≥0 B．a≥1
C．a≥2 D．a≥3
解析：选C.由题意知a≥－x2－2x－y2－2y，而－x2－2x－y2－2y＝2－(x＋1)2－(y＋1)2，故其最大值为2(当x＝y＝－1时)，从而a≥2.
如图，圆周上按顺时针方向标有1，2，3，4，5五个点．一只青蛙按顺时针方向绕圆从一个点跳到另一点．若它停在奇数点上，则下一次只能跳一个点；若停在偶数点上，则跳两个点．该青蛙从5这点跳起，经2012次跳后它将停在的点是( )
A．1 B．2
C．3 D．4
解析：选B.从5开始第一次跳到1，顺次为1—2—4—1—2—4—1—2—4……可见周期为3，2012＝3×670＋2，因此停在2点．选B.
二、填空题(本大题共4小题，请把答案填在题中横线上)
在△ABC中，D为BC的中点，则＝(＋)，将命题类比到四面体中去，得到一个类比命题：______________________________________________________________
________________________________________________________________________.
解析：△ABC中BC边上的中点类比为四面体中一个面的重心．
答案：在四面体A?BCD中，G为△BCD的重心，则＝(＋＋)
已知△ABC中，A＝30°，B＝60°，求证a证明：∵A＝30°，B＝60°，∴A解析：在三角形中大角对大边是大前提；题目中横线部分为小前提．
答案：小前提
已知x，y∈R，且x＋y>2，则x，y中至少有一个大于1，在用反证法证明时，假设应为________．
解析：由反证法的特点可知，“至少有一个”的否定为“一个也没有”．
答案：x，y均不大于1(或者x≤1且y≤1)
某小朋友用手指按如图所示的规则练习数数，数到2012时对应的指头是________．(填出指头名称：各指头对应依次为大拇指、食指、中指、无名指、小拇指)
解析：仔细观察会发现规律，大拇指所对应的数是以1为首项，公差为8的一个等差数列，故2009对应大拇指，由此可推断2012对应的指头是无名指．
答案：无名指
三、解答题(本大题共6小题，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
已知a是整数，a2是偶数，求证：a是偶数．
证明：(反证法)假设a不是偶数，即a是奇数，
则设a＝2n＋1(n∈Z)．
∴a2＝4n2＋4n＋1.
∵4(n2＋n)是偶数，
∴4n2＋4n＋1是奇数，
这与已知a2是偶数矛盾，所以假设错误，
即a一定是偶数．
用三段论证明：直角三角形两锐角之和是90°.
证明：任意三角形的内角和为180°.大前提
直角三角形是三角形．小前提
直角三角形的三内角之和为180°.结论
设直角三角形的两个内角分别为∠A，∠B，则有∠A＋∠B＋90°＝180°.
等量减等量差相等．大前提
(∠A＋∠B＋90°)－90°＝180°－90°.小前提
∠A＋∠B＝90°.结论
观察下表
1，
2，3，
4，5，6，7，
8，9，10，11，12，13，14，15，
…
问：(1)此表第n行的最后一个数是多少？
(2)此表第n行的各个数之和是多少？
(3)2011是第几行的第几个数？
解：(1)由表知，每行的第一个数为偶数，所以第n＋1行的第一个数为2n，所以第n行的最后一个数为2n－1.
(2)由(1)知第n－1行的最后一个数为2n－1－1，第n行的第一个数为2n－1，第n行的最后一个数为2n－1.又由观察知，每行数字的个数与这一行的第一个数相同，所以由等差数列求和公式得，
Sn＝＝22n－3＋22n－2－2n－2.
(3)因为210＝1024，211＝2048，又第11行最后一个数为211－1＝2047，所以2011是在第11行中，由等差数列的通项公式得，2011＝1024＋(n－1)·1，所以n＝988，所以2011是第11行的第988个数．
如图所示，在四棱锥P-ABCD中，四边形ABCD为正方形，P点在平面ABCD内的射影为A，且PA＝AB＝2，E为PD的中点．求证：
(1)PB∥平面AEC；
(2)平面PCD⊥平面PAD.
证明：
(1)如图所示，连结BD交AC于点O，连结EO.∵O为BD中点，E为PD中点，∴EO∥PB.∵EO?平面AEC，PB?平面AEC，∴PB∥平面AEC.
(2)∵P点在平面ABCD内的射影为A，∴PA⊥平面ABCD.
∵CD?平面ABCD，∴PA⊥CD.
∵在正方形ABCD中CD⊥AD且PA∩AD＝A，
∴CD⊥平面PAD.又CD?平面PCD，
∴平面PCD⊥平面PAD.
已知数列{an}的前n项和Sn＝－an－＋2(n为正整数)．令bn＝2nan，
(1)求证：数列{bn}是等差数列；
(2)求数列{an}的通项公式．
解：(1)证明：在Sn＝－an－＋2中，
令n＝1，可得S1＝－a1－1＋2＝a1，
∴a1＝.
当n≥2时，Sn－1＝－an－1－＋2，
∴an＝Sn－Sn－1＝－an＋an－1＋.
∴2an＝an－1＋，
即2nan＝2n－1an－1＋1.
∵bn＝2nan，
∴bn＝bn－1＋1.
即当n≥2时，bn－bn－1＝1，
又b1＝2a1＝1，
∴数列{bn}是首项和公差均为1的等差数列．
(2)由(1)可知，bn＝1＋(n－1)·1＝n＝2nan，
∴an＝.即数列{an}的通项公式为.
已知函数y＝f(x)＝x3－x＋a(x∈[－1，1]，a∈R)．
(1)求函数f(x)的值域；
(2)设函数y＝f(x)的定义域为D，若对任意x1，x2∈D，都有|f(x1)－f(x2)|<1成立，则称函数y＝f(x)为“标准函数”，否则称为“非标准函数”，试判断函数y＝f(x)＝x3－x＋a(x∈[－1，1]，a∈R)是否为“标准函数”，如果是，请给出证明；如果不是，请说明理由．
解：(1)由题意得f′(x)＝3x2－1，令3x2－1＝0，得x＝±∈[－1，1]．
当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：
x
(－1，－)
－
(－，)
(，1)
f′(x)
＋
0
－
0
＋
f(x)
↗
极大值
?↘
极小值
↗
由上表知f(x)极大＝f(－)＝＋a，
f(x)极小＝f()＝a－，
又f(－1)＝a，f(1)＝a，
∴当x∈[－1，1]时，
f(x)max＝a＋，f(x)min＝a－，
∴f(x)的值域为[a－，a＋]．
(2)由(1)知，当x1，x2∈[－1，1]时，
|f(x1)－f(x2)|≤|f(x)max－f(x)min|＝<1.
结合“标准函数”的定义知，
当x∈[－1，1]时，f(x)是“标准函数”．
(时间：120分钟；满分：150分)
一、选择题(本大题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1.下面是图书印刷成书的流程图，表示正确的是( )
A.→→→
B.→→→
C.→→→
D.→→→
解析：选B.出版一本图书，应首先编审，然后制版，制版后方能印刷，印刷后才能装订，故选B.
2.如图所示，复数引入后，数系的结构图为( )
解析：选A.由数与数之间的从属关系可知选A.
3.执行如图所示的程序框图，输出的s值为( )
A．－3 B．－
C. D．2
解析：选D.由框图可知i＝0，s＝2→i＝1，s＝→i＝2，s＝－→i＝3，s＝－3→i＝4，s＝2，循环终止，输出s，故最终输出的s值为2.
4.如图，程序框图的输出值x＝( )
A．10 B．11
C．12 D．13
解析：选C.按照题目中的顺序，输入x＝1后x的值依次是x＝2，x＝4，x＝5，x＝6，x＝8，x＝9，x＝10，x＝12，最后输出x＝12.
5.某市质量技术监督局计量认证审查流程图如图．
从图中可得在审查过程中可能不被审查通过的环节的个数是( )
A．1 B．2
C．3 D．4
解析：选C.该题是一个实际问题，由审查流程图可知有三处判断框，即3处可能不被审查通过，故选C.
6.如图是一商场某一个时间段制订销售计划时的局部结构图，则“计划”受影响的主要要素有( )
A．1个 B．2个
C．3个 D．4个
解析：选C.影响“计划”的要素是“政府行为”“策划部”“社会需求”．
7.读下面的流程图，若输入的值为－5时，输出的结果是( )
A．1 B．2
C．3 D．4
解析：选B.①A＝－5<0，②A＝－5＋2＝－3<0，③A＝－3＋2＝－1<0，④A＝－1＋2＝1>0，⑤A＝2×1＝2.
有一程序框图如图所示，该框图解决的是( )
A．输出不大于990且能被15整除的所有正整数
B．输出不大于66且能被15整除的所有正整数
C．输出67
D．输出能被15整除的大于66的正整数
解析：选A.当变量n的值从1递增至66时，输出15×1，15×2，…，15×66，即15，30，45，…，990，而当n＝67时退出循环．
下面框图表示的程序所输出的结果是( )
A．11 B．12
C．132 D．1320
解析：选D.i＝12时，S＝1×12＝12；
i＝11时，S＝12×11＝132；
i＝10时，S＝132×10＝1320；
i＝9时，i＜10，故输出S＝1320.
某程序框图如图所示，若输出的S＝57，则判断框内为( )
A．k＞4 B．k＞5
C．k＞6 D．k＞7
解析：选A.当k＝1时，k＝k＋1＝2，S＝2×1＋2＝4；
当k＝2时，k＝k＋1＝3，
S＝2×4＋3＝11；
当k＝3时，k＝k＋1＝4，
S＝2×11＋4＝26；
当k＝4时，k＝k＋1＝5，
S＝2×26＋5＝57.
此时S＝57，循环结束，k＝5，所以判断框中应为“k＞4”．
如图是判断“美数”的流程图，在[30，40]内的所有整数中，“美数”的个数是( )
A．1 B．2
C．3 D．4
解析：选C.依题意可知，题中的“美数”包括12的倍数与能被3整除但不能被6整除的数．由此不难得知，在[30，40]内的“美数”有3×11、12×3、3×13这三个数，选C.
如图是某产品加工为成品的流程图，从图中可以看出，即使是一件不合格产品，也必须经过工序的道数为( )
A．6 B．5
C．4 D．3
解析：选C.从工序流程图中，即使是不合格产品也要经过①粗加工，②检验，③返修加工，④返修检验，共4道工序．
二、填空题(本大题共4小题，请把正确答案填在题中横线上)
执行如图所示的程序框图，输入l＝2，m＝3，n＝5，则输出的y的值是________．
解析：当输入l＝2，m＝3，n＝5时，不满足l2＋m2＋n2＝0，因此执行：y＝70l＋21m＋15n＝70×2＋21×3＋15×5＝278.由于278>105，故执行y＝y－105，执行后y＝278－105＝173，再执行一次y＝y－105后y的值为173－105＝68，此时68>105不成立，故输出68.
答案：68
对任意非零实数a、b，若a?b的运算原理如图所示，则lg1000?＝________．
解析：∵a＝lg1000＝3，b＝＝4且3<4，
∴输出＝＝1.
答案：1
在平面几何中，四边形的分类关系可用以下框图描述：
则在①中应填入________，在②中应填入________．
解析：一组邻边相等的平行四边形是菱形，一条腰和底边垂直的梯形是直角梯形．
答案：菱形 直角梯形
如图是一个算法流程图，则输出的S的值是________．
解析：当n＝1时，S＝1＋21＝3；当n＝2时，S＝3＋22＝7；
当n＝3时，S＝7＋23＝15；当n＝4时，S＝15＋24＝31；
当n＝5时，S＝31＋25＝63>33.故S＝63.
答案：63
三、解答题(本大题共6小题，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
某中学行政机构关系如下：校长下设两名副校长和校长办公室，两名副校长又各自管理教务处、教科室和保卫科、政教处、总务处．各科室共同管理和服务各班级．试画出该校的行政组织结构图．
解：该校行政组织结构图如图：
汽车保养流程是：顶起车辆、润滑部件、调换轮胎、更换机油、放下车辆、清洁打蜡，试画出汽车保养的流程图．
解：流程图如图所示：
阅读下面的结构图：
试根据此结构图阐述“圆锥曲线与方程”章节知识的逻辑关系．
解：先由椭圆的实际背景引出椭圆的定义，用坐标法由定义推导出椭圆的标准方程和简单几何性质，然后是椭圆的简单应用．
再由双曲线的实际背景引出双曲线的定义，用坐标法由定义推导出双曲线的标准方程和简单几何性质，然后是双曲线的简单应用．
最后由抛物线的实际背景引出抛物线的定义，用坐标法由定义推导出抛物线的标准方程和简单几何性质，然后是抛物线的简单应用．
已知函数y＝设计一个输入x值，输出y值的流程图．
解：流程图如图所示．
某药厂生产某产品工艺过程：
(1)备料、前处理、提取、制粒、压片、包衣、颗粒分装、包装；
(2)提取环节经检验合格，进入下一工序，否则返回前处理；
(3)包衣、颗粒分装两环节检验，合格进入下一工序，否则为废品．画出生产该产品的工序流程图．
解：该产品工序流程图如图：
网上购物系统是一种具有交互动能的商业信息系统，它在网络上建立一个虚拟的购物商场，使购物过程变得轻松、快捷、方便．网上购物系统分为前台管理和后台管理，前台管理包括浏览商品、查询商品、订购商品、用户注册等功能．后台管理包括公告管理、商品管理、订单管理、投诉管理和用户管理等模块．
根据这些要求画出该系统的结构图．
解：结构图如下：
