黄陵县中学2021-2022学年高二下学期期中考试
数学试题
考试时间：120分钟 分值：150分
选择题（共12个题，每小题5分，共60分）
1.若复数z满足(3＋4i)z＝|4－3i|，则z的虚部为( )
A．－ B．4 C． D．－4
2.计算C+C+…+C得到结果为（ ）
A．210 B．165 C．126 D．120
3.对两个变量x，y进行线性相关检验，得线性相关系数r1＝0.7859，对两个变量u，v进行线性相关检验，得线性相关系数r2＝﹣0.9568，则下列判断正确的是（ ）
A．变量x与y正相关，变量u与v负相关，变量x与y的线性相关性较强
B．变量x与y负相关，变量u与v正相关，变量x与y的线性相关性较强
C．变量x与y正相关，变量u与v负相关，变量u与v的线性相关性较强
D．变量x与y负相关，变量u与v正相关，变量u与v的线性相关性较强
4. 六个人从左至右排成一行,最左端只能排甲或乙,最右端不能排甲,则不同的排法共有( )
A.192种 B.216种 C.240种 D.288种
5.已知某一随机变量X的概率分布列如表所示，且随机变量的均值
EX＝3，则随机变量的方差DX是（ ） Xa34P0.10.7b
A.0.6 B．0.3 C．0.5 D．0.4 6.某市拟从4个重点项目和6个一般项目中各选2个项目作为本年度要启动的项目,则重点项目A和一般项目B至少有一个被选中的不同选法的种数是( ) A.15 B.60 C.45 D.75
7.甲、乙两人进行乒乓球比赛，比赛规则为“3局2胜”，即以先赢
2局者为胜，根据经验，每局比赛中甲获胜的概率为0.6，则本次比赛甲获胜的概率是( )
A．0.648 B．0.36 C．0.432 D．0.216
8.已知随机变量X服从二项分布，其期望，随机变量Y服从正态分布，若，则( )
A. B. C. D.
9.对于指数曲线y＝aebx，令u＝lny，c＝lna，经过非线性化回归分析之后，可以转化成的形式为( )
A．u＝b＋cx B．u＝c＋bx C．y＝b＋cx D．y＝c＋bx
10.有10件产品,其中3件是次品,从中任取2件,若离散型随机变量X表示取得次品的件数,则P(X<2)等于( )
A. B. C.1 D.
11.已知随机变量X服从正态分布N(2，σ2)，且P(X<1)·P(X>3)＝，则P(1A. B． C． D．
12.已知5道试题中有3道代数题和2道几何题，每次从中抽取一道题，抽出的题不再放回，在第1次抽到代数题的条件下，第2次抽到几何题的概率为( )
A. B． C． D．
填空题（共4个题，每小题5分，共20分）
13.给出下列命题：
①纯虚数z的共轭复数是；
②若，则；
③若，则与互为共轭复数；
④若，则与互为共轭复数.
其中正确命题的序号是_________.
14.在（1+x）5+(1-2x)4的展开式中，所有项的系数和等于_______，
15.曲线f(x)＝ln x与直线y＝x及x轴围成的封闭图形的面积为____________.
16.设随机变量的概率分布列为（）,则_______.
解答题（共6个题，其中第17题10分，其余每题12分，共70分）
17.（10分）计算下列定积分值
（1）若，则
（2），
18.（12分）在二项式（﹣）12的展开式中．
（1）展开式中含x3项的系数；
（2）如果第3k项和第k+2项的二项式系数相等，试求k的值．
19.（12分）在复平面内，复数 （其中）.
（1）若复数为实数，求的值；
（2）若复数为纯虚数，求的值；
（3）对应的点在第四象限，求实数的取值范围．
20.（12分）随着互联网行业、传统行业和实体经济的融合不断加深，互联网对社会经济发展的推动效果日益显著，某大型超市计划在不同的线上销售平台开设网店，为确定开设网店的数量，该超市在对网络上相关店铺做了充分的调查后，得到下列信息，如图所示(其中x表示开设网店数量，y表示这x个分店的年销售额总和)，现已知＝8850，＝2000，求解下列问题：
经判断，可利用线性回归模型拟合y与x的关系，求解y关于 x的回归方程；
(2)按照经验，超市每年在网上销售获得的总利润w(单位：万元)满足w＝y－5x2－140，请根据(1)中的线性回归方程，估算该超市在网上开设多少分店时，才能使得总利润最大．
参考公式：线性回归方程
21.（12分）已知小张每投篮一次，投进的概率均为．
（1）求小张投篮4次，恰有3次投进的概率；
（2）小张玩一个投篮游戏，其规则如下：最多投篮6次，连续2
次不中则游戏终止. 设小张在一次游戏中投篮的次数为，求的分布列.
时间（分钟） （0，30] （30，60] （60，90] （90，120] （120，150] （150，180]
频数 12 38 72 46 22 10
22.（12分）青少年近视问题已经成为我国面临的重要社会问题．对于这一问题，习近平总书记连续作出重要指示，要求“全社会都要行动起来，共同呵护好孩子的眼睛，让他们拥有一个光明的未来”．某机构为了解使用电子产品对青少年视力的影响，随机抽取了200名青少年，调查他们每天使用电子产品的时间（单位：分钟），根据调查数据按（0，30]，（30，60]，（60，90]，（90，120]，（120，150]，（150，180]分成6组，得到如下频数分布表：
记每天使用电子产品的时间超过60分钟为长时间使用电子产品．
（1）完成下面的列联表；
非长时间使用电子产品 长时间使用电子产品 合计
患近视人数 100
未患近视人数 80
合计 200
（2）判断是否有99.9%的把握认为患近视与每天长时间使用电子产品有关．
附：，其中n＝a+b+c+d．
P（K2≥k0） 0.10 0.05 0.010 0.001
k0 2.706 3.841 6.635 10.828黄陵县中学2021-2022学年高二下学期期中考试
数学(理)试题答案
考试时间：120分钟 分值：150分
选择题（共12个题，每小题5分，共60分）
1.若复数z满足(3＋4i)z＝|4－3i|，则z的虚部为( A )
A．－ B．-i C． D．4i
解析:由(3＋4i)z＝|4－3i|，得z＝＝＝－i，所以z的虚部为－.故选A．
2.计算C+C+…+C得到结果为（ A ）
A．210 B．165 C．126 D．120
解析：C+C+…+C
＝C+C+…+C
＝C+C+…+C
＝C+C+…+C
＝
＝C+C
＝C
＝．
故选：A．
3.对两个变量x，y进行线性相关检验，得线性相关系数r1＝0.7859，对两个变量u，v进行线性相关检验，得线性相关系数r2＝﹣0.9568，则下列判断正确的是（ C ）
A．变量x与y正相关，变量u与v负相关，变量x与y的线性相关性较强
B．变量x与y负相关，变量u与v正相关，变量x与y的线性相关性较强
C．变量x与y正相关，变量u与v负相关，变量u与v的线性相关性较强
D．变量x与y负相关，变量u与v正相关，变量u与v的线性相关性较强
解析：由线性相关系数r1＝0.7859＞0知x与y正相关，
由线性相关系数r2＝﹣0.9568＜0知u，v负相关，
又|r1|＜|r2|，
∴变量u与v的线性相关性比x与y的线性相关性强．故选：C．
4. 六个人从左至右排成一行,最左端只能排甲或乙,最右端不能排甲,则不同的排法共有( B ) A.192种 B.216种 C.240种 D.288种 解析:(1)当最左端排甲的时候,排法的种数为; (2)当最左端排乙的时候,排法种数为. 因此不同的排法的种数为=120+96=216. 答案:B 5.已知某一随机变量X的概率分布列如表所示，且随机变量的均值EX＝3，则随机变量的方差DX是（ A ） Xa34P0.10.7b
A.0.6 B．0.3 C．0.5 D．0.4 解析:由题意可得：0.1+0.7+b＝1，解得b＝0.2， EX＝3，可得3＝0.1a+3×0.7+4×0.2，解得a＝1， DX＝0.1×（1﹣3）2+0.7×（3﹣3）2+0.2×（4﹣3）2＝0.6，故选A 6.某市拟从4个重点项目和6个一般项目中各选2个项目作为本年度要启动的项目,则重点项目A和一般项目B至少有一个被选中的不同选法的种数是(B ) A.15 B.60 C.45 D.75 解析:从4个重点项目和6个一般项目各选2个项目共有·=90种不同选法,重点项目A和一般项目B都不被选中的不同选法有·=30种.所以重点项目A和一般项目B至少有一个被选中的选法有90-30=60种. 答案:B
7.甲、乙两人进行乒乓球比赛，比赛规则为“3局2胜”，即以先赢2局者为胜，根据经验，每局比赛中甲获胜的概率为0.6，则本次比赛甲获胜的概率是( A )
A．0.648 B．0.36 C．0.432 D．0.216
解析：甲获胜有两种情况，一是甲以2∶0获胜，此时p1＝0.62＝0.36；二是甲以2∶1获胜，此时p2＝C21×0.6×0.4×0.6＝0.288，故甲获胜的概率p＝p1＋p2＝0.648.故选A
8.已知随机变量X服从二项分布，其期望，随机变量Y服从正态分布，若，则( C )
A. B. C. D.
解析：由随机变量 服从二项分布
且其期望 ，
得 ，即 ，则 ，
,则.故选 C
9.对于指数曲线y＝aebx，令u＝lny，c＝lna，经过非线性化回归分析之后，可以转化成的形式为( B )
A．u＝b＋cx B．u＝c＋bx C．y＝b＋cx D．y＝c＋bx
解析:对方程y＝aebx两边同时取对数，然后将u＝lny，c＝lna代入，不难得出u＝c＋bx.故选B
10.有10件产品,其中3件是次品,从中任取2件,若离散型随机变量X表示取得次品的件数,则P(X<2)等于 ( D )
A. B. C.1 D.
解析:P(X=0)=,P(X=1)=,
∴P(X<2)=.故选D
11.已知随机变量X服从正态分布N(2，σ2)，且P(X<1)·P(X>3)＝，则P(1A. B． C． D．
解析:因为随机变量X服从正态分布N(2，σ2)，由对称性可知，P(X<1)＝P(X>3)，又P(X<1)·P(X>3)＝，所以P(X<1)＝P(X>3)＝，则P(112.已知5道试题中有3道代数题和2道几何题，每次从中抽取一道题，抽出的题不再放回，在第1次抽到代数题的条件下，第2次抽到几何题的概率为( C )
A. B． C． D．
解析：设事件A为“第1次抽到代数题”，事件B为“第2次抽到几何题”，则P(A)＝，P(AB)＝×＝，则P(B|A)＝＝＝，所以在第1次抽到代数题的条件下，第2次抽到几何题的概率为.故选C
填空题（共4个题，每小题5分，共20分）
13.给出下列命题：
①纯虚数z的共轭复数是；
②若，则；
③若，则与互为共轭复数；
④若，则与互为共轭复数.
其中正确命题的序号是__①④_______.
解析:根据纯虚数和共轭复数的定义，可知命题①显然正确；
对于②，若，只能得到，不一定有，所以命题②不正确；
对于③，若，则可能均为实数，但不一定相等，
或与的虚部互为相反数，但实部不一定相等，
则与不一定互为共轭复数，所以命题③不正确；
由得出，则与互为共轭复数，可知命题④正确；
所以正确命题的序号是①④.
14.在（1+x）5+(1-2x)4的展开式中，所有项的系数和等于__33_____，
解析:
所以各项的系数和为33
15.曲线f(x)＝ln x与直线y＝x及x轴围成的封闭图形的面积为_____－1_______.
解析:要求的面积为图中阴影部分面积，经计算结果为－1
16.设随机变量的概率分布列为（）,则_______.
解析：随机变量的概率分布列为（）,
,,,,
且.
,
即.
解答题（共6个题，其中第17题10分，其余每题12分，共70分）
17（10分）计算下列定积分值
(1)，则
（2）
解析： (1)
18（12分）在二项式（﹣）12的展开式中．
（1）展开式中含x3项的系数；
（2）如果第3k项和第k+2项的二项式系数相等，试求k的值．
解析：（1）展开式中第r+1项是
，
令，解得r＝2；
∴展开式中含x3项的系数为；
（2）∵第3k项的二项式系数为，
第k+2项的二项式系数为；
∴，…
∴3k﹣1＝k+1或3k﹣1+k+1＝12；
解得k＝1或 k＝3．
19.（12分）在复平面内，复数 （其中）.
（1）若复数为实数，求的值；
（2）若复数为纯虚数，求的值；
（3）对应的点在第四象限，求实数的取值范围．
解析：（1）因为复数为实数，所以，所以或4；
因为复数为纯虚数，所以，所以
（3）因为对应的点在第四象限，所以
解不等式组得，，即的取值范围是.
20.（12）随着互联网行业、传统行业和实体经济的融合不断加深，互联网对社会经济发展的推动效果日益显著，某大型超市计划在不同的线上销售平台开设网店，为确定开设网店的数量，该超市在对网络上相关店铺做了充分的调查后，得到下列信息，如图所示(其中x表示开设网店数量，y表示这x个分店的年销售额总和)，现已知＝8850，＝2000，求解下列问题：
（1）经判断，可利用线性回归模型拟合y与x的关系，求解y关于x的回归方程；
(2)按照经验，超市每年在网上销售获得的总利润w(单位：万元)满足w＝y－5x2－140，请根据(1)中的线性回归方程，估算该超市在网上开设多少分店时，才能使得总利润最大．
参考公式：线性回归方程
21.（12分）已知小张每投篮一次，投进的概率均为．
（1）求小张投篮4次，恰有3次投进的概率；
（2）小张玩一个投篮游戏，其规则如下：最多投篮6次，连续2次不中则游戏终止. 设小张在一次游戏中投篮的次数为，求的分布列.
解析：（1）设“小张投篮4次，恰有3次投进”为事件A，
则．
（2）依题意，的可能取值为.
；
；
；
“”表示投篮5次后终止投篮，即“最后两次投篮未进，第三次投中，第一次与第二次至少有一次投中”.
所以；
.
所以，所求的分布列为：
时间（分钟） （0，30] （30，60] （60，90] （90，120] （120，150] （150，180]
频数 12 38 72 46 22 10
22.（12分）青少年近视问题已经成为我国面临的重要社会问题．对于这一问题，习近平总书记连续作出重要指示，要求“全社会都要行动起来，共同呵护好孩子的眼睛，让他们拥有一个光明的未来”．某机构为了解使用电子产品对青少年视力的影响，随机抽取了200名青少年，调查他们每天使用电子产品的时间（单位：分钟），根据调查数据按（0，30]，（30，60]，（60，90]，（90，120]，（120，150]，（150，180]分成6组，得到如下频数分布表：
记每天使用电子产品的时间超过60分钟为长时间使用电子产品．
（Ⅰ）完成下面的列联表；
非长时间使用电子产品 长时间使用电子产品 合计
患近视人数 100
未患近视人数 80
合计 200
（Ⅱ）判断是否有99.9%的把握认为患近视与每天长时间使用电子产品有关．
附：，其中n＝a+b+c+d．
P（K2≥k0） 0.10 0.05 0.010 0.001
k0 2.706 3.841 6.635 10.828
解析：（Ⅰ）由题意，求出所需数据，列出列联表即可；
（Ⅱ）由列联表中的数据，计算K2的值，对照临界表中的数据，比较即可得到答案．
解：（Ⅰ）由表中数据完成的列联表如下：
非长时间使用电子产品 长时间使用电子产品 合计
患近视人数 20 100 120
未患近视人数 30 50 80
合计 50 150 200
（Ⅱ）由列联表中的数据可得，，
所以有99.9%的把握认为患近视与每天长时间使用电子产品有关．
