白银市第九中学2021-2022学年高二下学期期中考试
数学（理）
参考答案：
1．D 2．C 3．C 4．A 5．B 6．C 7．C 8．D 9．D 10．C 11．B 12．B
13． 14． 15． 16．1和3.
17．（1）；（2）.
【详解】
（1）由为纯虚数得，解得；
（2）复数，
因为复数位于第四象限，所以，解得或．
故的取值范围为.
18．①；②③；④=－.
【详解】
解：①.
②因为，
所以
．
③因为，
所以.
④
＝－.
19．（1）；（2）.
【解析】
（1），函数在处取得极值，所以有；
（2）由（1）可知：，
当时，，函数单调递增，当时，，函数单调递减，故函数在处取得极大值，因此，
，，故函数的最小值为.
20．（1）256（2）（3）
【详解】
解：（1）每个球都有4种方法，故有4×4×4×4＝256种，
（2）每个盒子不空，共有不同的方法，
（3）四个不同的小球放入编号为1，2，3，4的四个盒子中，恰有一个空盒，说明恰有一个盒子中有2个小球，
从4个小球中选两个作为一个元素，同另外两个元素在三个位置全排列，故共有种不同的放法．
21．（1）证明见解析；（2）证明见解析.
【详解】
证明：（1）要证：
只需证：
只需证：
只需证：
只需证：
只需证：，而显然成立，
∴原不等式得证．
（2）假设结论不成立，即与都小于2，则①
而由基本不等式，知：，，当且仅当时等号成立，
∴与①式矛盾，
∴假设不成立，原命题成立．
22．（Ⅰ）答案见解析；（Ⅱ）；（Ⅲ）证明见解析.
【详解】
（Ⅰ）的定义域为，
，
（1）当时，恒有，故在上单调递增；
（2）当时，由，得，
故在上单调递增，在上单调递减，
综上（1）（2）可知：当时，的单调递增区间为；
当时，的单调递增区间为，单调递减区间为；
（Ⅱ）的定义域为，所以，且，而，；
设，
，且当且仅当时取等号，
所以在上单调递增，又因为时，，
所以当时，，当时，，
故的解集为；
（Ⅲ）由（Ⅰ）知时，在上单调递增，若，
则不合题意；
故，而在上单调递增，在上单调递减，
若存在两个不相等的正数，满足，
则，必有一个在上，另一个在，
不妨设，则，
又由（Ⅱ）知时，，即，
所以，
因为，所以，
又因为在上单调递减，所以，
即.白银市第九中学2021-2022学年高二下学期期中考试
数学（理）
注意事项：
1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息
2．请将答案正确填写在答题卡上
第I卷（选择题）
一、单选题(本大题共12小题，共60分)
1．设z=i(2+i)，则=
A．1+2i B．–1+2i
C．1–2i D．–1–2i
2．在用反证法证明“已知,，且，则,中至多有一个大于0”时，假设应为（ ）
A．，都小于0 B．，至少有一个大于0
C．，都大于0 D．，至少有一个小于0
3．已知函数的导函数为，若，则（ ）
A． B． C．2 D．3
4．设函数f（x）在定义域内可导，y=f（x）的图象如图所示，则导函数y=f ′（x）的图象可能是（ ）
A． B． C． D．
5．为响应国家“节约粮食”的号召，某同学决定在某食堂提供的2种主食、3种素菜、2种大荤、4种小荤中选取一种主食、一种素菜、一种荤菜作为今日伙食，并在用餐时积极践行“光盘行动”，则不同的选取方法有（ ）
A．48种 B．36种 C．24种 D．12种
6．函数在上的定积分为（ ）
A．e+2 B．e+1 C．e D．e-1
7．观察下列式子:，，，…，则可归纳出小于（ ）
A． B． C． D．
8．已知函数的导函数为，且，则( )
A． B．3 C． D．1
9．已知是虚数单位，则复数对应的点所在的象限是（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
10．如图所示，在边长为1的正方形OABC中任取一点P，则点P恰好取自阴影部分的概率为
A． B． C． D．
11．若函数在区间上单调递增，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
12．已知，，若成立，则实数的取值范围是
A． B． C． D．
第II卷（非选择题）
二、填空题(本大题共4小题，共20分)
13．曲线在点处的切线方程为__________．
14．已知函数，则的单调递增区间为______．
15．某储蓄卡密码共有6位数字，每位数字都可从0-9中任选一个，则可设置的银行卡密码共有______种.
16．有三张卡片，分别写有1和2,1和3,2和3.甲，乙，丙三人各取走一张卡片，甲看了乙的卡片后说：“我与乙的卡片上相同的数字不是2”，乙看了丙的卡片后说：“我与丙的卡片上相同的数字不是1”，丙说：“我的卡片上的数字之和不是5”，则甲的卡片上的数字是________．
三、解答题（本大题共6小题，共70分）
17．（10分），为虚数单位，为实数．
（1）当为纯虚数时，求的值；
（2）当复数在复平面内对应的点位于第四象限时，求的取值范围．
18．（12分）求下列函数的导数．
①；
②；
③；
④；
19．（12分）已知函数在处取得极值.
（1）求实数的值；
（2）当时，求函数的最小值.
20．（12分）（请写出式子再写计算结果）有4个不同的小球，4个不同的盒子，现在要把球全部放入盒内：
（1）共有多少种方法？
（2）若每个盒子不空，共有多少种不同的方法？
（3）恰有一个盒子不放球，共有多少种放法？
（12分）
（1）请用分析法证明：；
（2）请用反证法证明：设，，则与中至少有一个不小于2．
22．（12分）已知函数（a为常数）.
（Ⅰ）求函数的单调区间；
（Ⅱ）若，求不等式的解集；
（Ⅲ）若存在两个不相等的整数，满足，求证：.试卷第1页，共3页
答案第1页，共1页
