江西省抚州市七校联考2021-2022学年高二下学期期中考试数学（理）试题（Word版含解析）

抚州市七校联考2021-2022学年高二下学期期中考试
理科数学试卷
本试卷满分150分，考试时间120分钟。
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题纸上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题纸上对应题日的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题纸上。写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题纸一并交回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知复数，则在复平面内z所对应的点在（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
2．用反证法证明命题“若，则a，b中至少有一个不为0”成立时，假设正确的是（ ）
A．a，b中至少有一个为0 B．a，b中至多有一个不为0
C．a，b都不为0 D．a，b都为0
3．在一次降雨过程中，某地降雨量y（单位：）与时间t（单位：）的函数关系可表示为，则当时的瞬时降雨强度为（ ）
A． B． C． D．
4．算盘是中国古代的一项重要发明．现有一种算盘（如图①），共两档，自右向左分别表示个位和十位，档中横以梁，梁上一珠拨下，记作数字5，梁下五珠，上拨一珠记作数字1（如图②中算盘表示整数51）．如果拨动图①算盘中的两枚算珠，可以表示不同整数的个数为（ ）
A．8 B．10 C．15 D．16
5．将4个a和2个b随机排成一行，则2个b不相邻的排法种数为（ ）
A．10 B．15 C．20 D．24
6．利用数学归纳法证明不等式的过程中，由到，左边增加了（ ）
A．1项 B．k项 C．项 D．项
7．某小朋友按如下图规则练习数数，1大拇指，2食指，3中指，4无名指，5小指，6无名指，7中指，8食指，9大拇指，10食指，…，一直数到2022时，对应的指头是（ ）
A．小指 B．中指 C．食指 D．无名指
8．由曲线围成的封闭图形的面积为（ ）
A． B． C． D．
9．2021年4月22日是第52个世界地球日，某学校开展了主题为“珍爱地球，人与自然和谐共生”的活动．该校5名学生到A，B，C三个社区做宣传，每个社区至少分配一人，每人只能去一个社区宣传，则不同的安排方案共有（ ）
A．60种 B．90种 C．150种 D．300种
10．已知函数在区间内有极值点，则实数a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
11．中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，则的面积，其中，因为这个公式最早出现在古希腊数学家海伦的著作《测地术》中，故称之为海伦公式．将海伦公式推广到凸四边形（凸四边形即任取平面四边形一边所在直线，其余各边均在此直线的同侧）中，即设凸四边形的四条边长分别为a，b，c，d．，凸四边形的一对对角和的一半为，凸四边形的面积为，现有凸四边形，，则四边形面积的最大值为（ ）
A．12 B． C．10 D．
12．已知，则（ ）
A． B．4 C． D．6
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．已知函数的导函数满足，则___________．
14．已知复数z满足为z的共轭复数，则的最大值为___________．
15．已知曲线的一条切线为直线，则的最小值为___________．
16．北京冬奥会不仅带动了3亿人参与冰雪运动，更为全民健身的顺利推进以及建设体育强国奠定了坚实基础。某市于2022年10月份举行大学生冰雪运动会，该市M大学派出甲、乙、丙、丁四名大学生运动员参加跳台滑雪、越野滑雪、单板滑雪和北欧两项共4个项目的比赛，其中每个人只参加了一个项目的比赛，且参加项目各不相同，以下是A，B，C三名同学分别猜测这四名运动员参加的项目：
A说：乙参加的是跳台滑雪，丁参加的是单板滑雪；
B说：甲参加的是北欧两项，丙参加的是越野滑雪；
C说：丙参加的是单板滑雪，丁参加的是跳台滑雪．
已知每个人都猜对了一半，则丁参赛的项目是___________．
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（10分）
已知复数．
（1）若的实部与的模相等，求a的值；
（2）若复数在复平面上的对应点在第四象限，求a的取值范围．
18．（12分）
（1）若，求正整数n的值；
（2）已知，求正整数n的值．
19．（12分）
已知a，b都是正数．
（1）若，证明：；
（2）当时，证明：．
20．（12分）
已知A，B两地相距，某船从A地逆水到B地，水速为，船在静水中的速度为．若船每小时的燃料费与其在静水中速度的平方成正比，比例系数为k，当，每小时的燃料费为720元．
（1）求比例系数k；
（2）当时，为了使全程燃料费最省，船的实际前进速度应为多少？
（3）设，当时，为了使全程燃料费最省，船的实际前进速度应为多少？
21．（12分）
已知函数．
（1）当时，求的单调区间；
（2）若不等式恒成立，求实数a的取值范围．
22．（12分）
已知函数．
（1）若在区间内单调递减，求实数a的取值范围；
（2）若是方程的两个不相等的实数根，证明：．
参考答案及解析
一、选择题
1．A 【解析】，在复平面内z对应的点为，在第一象限，故选A项。
2．D 【解析】用反证法证明命题“若，则a，b中至少有一个不为0”成立时，应假设a，b都为0．故选D项．
3．B 【解析】由题得，则，所以当时的瞬时降雨强度为．故选B项．
4．A 【解析】拨动图①算盘中的两枚算珠，有两类办法，由于拨动一枚算珠有梁上、梁下之分，则只在一个档拨动两枚算珠共有4种方法，在每一个档各拨动一枚算珠共有4种方法，由分类加法计数原理得共有8种方法，所以表示不同整数的个数为8．故选A项。
5．A 【解析】先排4个a有1种排法，再从5个空格中选2个位置放b，所以共有．故选A项．
6．D 【解析】由题意知当时，左边为，当时，左边为，增加的部分为，共项．故选D项．
7．D 【解析】由题意得，大拇指对应的数是，其中，因为，所以数到2022时，对应的指头是无名指。故选D项．
8．C 【解析】如图所示，所求面积即为阴影部分的面积．
联立解得或即，．连接．
由对称性知所求面积．故选C项．
9．C 【解析】由题意知不同的安排方案数为．故选C项．
10．D 【解析】由题知，因为在区间内有极值点，所以在区间内有变号实根，则，解得，令，令得，则在单调递增，在单调递减，且，则当时，，当，在上仅有一根，且在其左右两边，此时无极值点，故应舍去，即．故选D项．
11．D 【解析】由，得，又，则，所以当时，凸四边形的面积取得最大值，最大值为．故选D项．
12．A 【解析】由题意得，因为，，所以，当且仅当时取等号，所以，令，则，当，，单调递增；当时，单调递减，所以，当且仅当时取等号，即，所以，所以，所以，所以．故选A项．
二、填空题
13． 【解析】由题得，得，所以，所以．
14．9 【解析】设，则，由，得，即，所以z所对应的点的轨迹是以为圆心，2为半径的圆，因为为z的共轭复数，所以，即，而可看作该圆上的点到原点的距离的平方，所以．
15． 【解析】设切点为，由题得．由切线方程，可得消去得，
所以，所以当，即时，有最小值，最小值为．
16．越野滑雪 【解析】若甲参加的是跳台滑雪，A说对了一半，则丁参加的是单板滑雪，又C说对了一半，则丙参加的是单板滑雪，不符合题意；若乙参加的是跳台滑雪，A说对了一半，则丁参加的不是单板滑雪，又说对了一半，则丙参加的是单板滑雪，又B说对了一半，则甲参加的是北欧两项，丁参加的是越野滑雪；若丙参加的是跳台滑雪，A说对了一半，则丁参加的是单板滑雪，又C说对了一半，丙参加的是单板滑雪，不符合题意；若丁参加的是跳台滑雪，A说对了一半，则乙参加的是跳台滑雪，不符合题意．综上，丁参赛的项目是越野滑雪．
三、解答题
17．解：（1）依题意，，
因为的实部与的模相等，所以，整理得，解得或，所以或．
（2）因为，又在复平面上的对应点在第四象限，
所以解得，
所以a的取值范围是．
18．解：（1）由得，，又，
所以，解得，
所以正整数n为8．
（2）由，得，
整理得，
因为，所以，所以，
整理得，解得或（舍去）．
19．证明：（1）由，得，
，
当且仅当时“=”成立．
所以．
（2）要证，
只需证，
即证，
即证，
因为，所以上式成立，
所以成立．
20．解：（1）设每小时的燃料费为，则，
当，每小时的燃料费为720元，
代入得．
（2）由（1）得．
设全程燃料费为y，则，
所以，
令，解得（舍去）或，
所以当时，，函数单调递减；当时，，函数单调递增．
所以当时，y取得最小值，
故为了使全程燃料费最省，船的实际前进速度应为．
（3）由（2）得当时，则y在区间上单调递减，
所以当时，y取得最小值；
若时，则y在区间内单调递减，在区间上单调递增，
则当时，y取得最小值．
综上，当时，船的实际前进速度为，全程燃料费最省；
当时，船的实际前进速度应为，全程燃料费最省．
21．解：（1）当时，，
所以，
可知在R上单调递增，且，
所以当时，单调递减；
当时，单调递增．
即的单调递减区间为，单调递增区间为．
（2）由题得对任意恒成立，
所以，
当时，则，原不等式成立，则；
当时，则，
令，其中，
则，
当时，单调递减；
当时，单调递增；
当时，单调递减；
当时，单调递增．
所以，
所以，所以只需，解得，
综上，实数a的取值范围是．
22．（1）解：，
所以，
因为在区间内单调递减，
所以在内恒成立，即，
即在内恒成立，
设，
当时，单调递增；当时，单调递减，
所以的最大值是，所以，
即实数a的取值范围为．
（2）证明：若是方程的两个不相等的实数根，
即有两个不同实数根，且，
得即
所以，
不妨设，则，
要证明，
只需证，
即证，
即证，
令，函数，
所以
，
所以在内单调递减，
所以，
所以，即，
即得．