解三角形
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解三角形单元测试题
一、选择题：
1. △ABC中，sin2A=sin2B+sin2C，则△ABC为( )?
A直角三角形? B等腰直角三角形?C等边三角形 D等腰三角形
2. 在△ABC中，b=，c=3，B=300，则a等于（ ）
A． B．12 C．或2 D．2
3. 已知△ABC的周长为9，且，则cosC的值为 （ ）
A． B． C． D．
4. 在△ABC中，A＝60°，b＝1，其面积为，则等于( )
A．3 B． C． D．
5. 在△ABC中，AB＝5，BC＝7，AC＝8，则的值为( )
A．79 B．69 C．5 D．-5
6.关于x的方程有一个根为1，则△ABC一定是（ ）
A．等腰三角形 B．直角三角形 C．锐角三角形 D．钝角三角形
7. 设m、m+1、m+2是钝角三角形的三边长，则实数m的取值范围是( )
A.0＜m＜3 B.1＜m＜3 C.3＜m＜4 D.4＜m＜6
8. △ABC中，若c=，则角C的度数是( )
A.60° B.120° C.60°或120° D.45°
9.在△ABC中，，那么△ABC一定是 （ ）
A．锐角三角形 B．直角三角形 C．等腰三角形 D．等腰三角形或直角三角形
10. 如果把直角三角形的三边都增加同样的长度，则这个新的三角形的形状为（ ）
(A) 锐角三角形 (B) 直角三角形 (C) 钝角三角形 (D) 由增加的长度决定
二、填空题
13.在△ABC中，有等式：①asinA=bsinB；②asinB=bsinA；③acosB=bcosA；④. 其中恒成立的等式序号为______________
14. 在等腰三角形 ABC中，已知sinA∶sinB=1∶2，底边BC=10，则△ABC的周长是 。
15. 在△ABC中，已知sinA∶sinB∶sinC=3∶5∶7,则此三角形的最大内角的度数等于________.
16. 已知△ABC的三边分别是a、b、c，且面积，则角C=____________．
三、解答题
17. 已知在△ABC中，A=450，AB=，BC=2，求解此三角形.
18. 在△ABC中，已知a-b=4,a+c=2b，且最大角为120°，求△ABC的三边长.
19. 在锐角三角形中，边a、b是方程x2－2x+2=0的两根，角A、B满足2sin(A+B)－=0，求角C的度数，边c的长度及△ABC的面积.
20. 在△ABC中，已知边c=10, 又知==，求a、b。
21.在△ABC中，已知角A、B、C所对的边分别是a、b、c，边c=，且tanA+tanB=tanA·tanB－，又△ABC的面积为S△ABC=，求a+b的值。
22．如图，测量河对岸的塔高时，可以选与塔底在
同一水平面内的两个测点与，测得，
，米，并在点测得塔顶的
仰角为，求塔高
23. 一缉私艇发现在北偏东方向,距离12 nmile的海面上有一走私船正以10 nmile/h的速度沿东偏南方向逃窜.缉私艇的速度为14 nmile/h,
若要在最短的时间内追上该走私船,缉私艇
应沿北偏东的方向去追,.求追及所需
的时间和角的正弦值.
24.在△ABC中，a, b, c分别为内角A, B, C的对边，且
（Ⅰ）求A的大小；
（Ⅱ）求的最大值.
25.在某海滨城市附近海面有一台风，据监测，当前台风中心位于城市O（如图）的东偏南方向300km的海面P处，并以20km/h的速度向西偏北方向移动，台风侵袭的范围为圆形区域，当前半径为60km，并以10km/h的速度不断增大，问几小时后该城市开始受到台风的侵袭？
正余弦定理单元测试参考答案
A 2.C 3. A 4. B 5. D 6. A 7. B 8.B 9.D 10.A
13. ②④ 14.50, 15.1200,16. 450
17. 解答：C=120 B=15 AC=或C=60 B=75
18. 解答：a=14,b=10,c=6
19. 解答：解：由2sin(A+B)－=0，得sin(A+B)=, ∵△ABC为锐角三角形
∴A+B=120°, C=60°, 又∵a、b是方程x2－2x+2=0的两根，∴a+b=2,
a·b=2, ∴c2=a2+b2－2a·bcosC=(a+b)2－3ab=12－6=6,
∴c=, S△ABC=absinC=×2×= .
20.解答：由=，=,可得 =，变形为sinAcosA=sinBcosB
∴sin2A=sin2B, 又∵a≠b, ∴2A=π－2B, ∴A+B=. ∴△ABC为直角三角形.
由a2+b2=102和=，解得a=6, b=8,
21. 解答：由tanA+tanB=tanA·tanB－可得＝－，即tan(A+B)=－
∴tan(π－C)= －, ∴－tanC=－, ∴tanC=∵C∈(0, π), ∴C=又△ABC的面积为S△ABC=，∴absinC=即ab×=, ∴ab=6又由余弦定理可得c2=a2+b2－2abcosC
∴()2= a2+b2－2abcos∴()2= a2+b2－ab=(a+b)2－3ab∴(a+b)2=, ∵a+b>0, ∴a+b=
23.解: 设A,C分别表示缉私艇,走私船的位置,设经过 小时后在B处追上, 则有
,
所以所需时间2小时,
24.解：（Ⅰ）由已知，根据正弦定理得
即 由余弦定理得
故 ，A=120°
（Ⅱ）由（Ⅰ）得：
故当B=30°时，sinB+sinC取得最大值1。
25.解：设在t时刻台风中心位于点Q，此时|OP|=300，|PQ|=20t，
台风侵袭范围的圆形区域半径为r(t)=10t+60，
由，可知，
cos∠OPQ=cos(θ-45o)= cosθcos45o+ sinθsin45o
=
在 △OPQ中，由余弦定理，得
=
=
若城市O受到台风的侵袭，则有|OQ|≤r(t)，即
，
整理，得，解得12≤t≤24,
答：12小时后该城市开始受到台风的侵袭.
一、选择题：
1. △ABC中，sin2A=sin2B+sin2C，则△ABC为( )?
A直角三角形? B等腰直角三角形?C等边三角形 D等腰三角形
2. 在△ABC中，b=，c=3，B=300，则a等于（ ）
A． B．12 C．或2 D．2
3. 已知△ABC的周长为9，且，则cosC的值为 （ ）
A． B． C． D．
4. 在△ABC中，A＝60°，b＝1，其面积为，则等于( )
A．3 B． C． D．
5. 在△ABC中，AB＝5，BC＝7，AC＝8，则的值为( )
A．79 B．69 C．5 D．-5
6.关于x的方程有一个根为1，则△ABC一定是（ ）
A．等腰三角形 B．直角三角形 C．锐角三角形 D．钝角三角形
7. 设m、m+1、m+2是钝角三角形的三边长，则实数m的取值范围是( )
A.0＜m＜3 B.1＜m＜3 C.3＜m＜4 D.4＜m＜6
8. △ABC中，若c=，则角C的度数是( )
A.60° B.120° C.60°或120° D.45°
9.在△ABC中，，那么△ABC一定是 （ ）
A．锐角三角形 B．直角三角形 C．等腰三角形 D．等腰三角形或直角三角形
10. 如果把直角三角形的三边都增加同样的长度，则这个新的三角形的形状为（ ）
(A) 锐角三角形 (B) 直角三角形 (C) 钝角三角形 (D) 由增加的长度决定
二、填空题
13.在△ABC中，有等式：①asinA=bsinB；②asinB=bsinA；③acosB=bcosA；④. 其中恒成立的等式序号为______________
14. 在等腰三角形 ABC中，已知sinA∶sinB=1∶2，底边BC=10，则△ABC的周长是 。
15. 在△ABC中，已知sinA∶sinB∶sinC=3∶5∶7,则此三角形的最大内角的度数等于________.
16. 已知△ABC的三边分别是a、b、c，且面积，则角C=____________．
三、解答题
17. 已知在△ABC中，A=450，AB=，BC=2，求解此三角形.
18. 在△ABC中，已知a-b=4,a+c=2b，且最大角为120°，求△ABC的三边长.
19. 在锐角三角形中，边a、b是方程x2－2x+2=0的两根，角A、B满足2sin(A+B)－=0，求角C的度数，边c的长度及△ABC的面积.
20. 在△ABC中，已知边c=10, 又知==，求a、b。
21.在△ABC中，已知角A、B、C所对的边分别是a、b、c，边c=，且tanA+tanB=tanA·tanB－，又△ABC的面积为S△ABC=，求a+b的值。
22．如图，测量河对岸的塔高时，可以选与塔底在
同一水平面内的两个测点与，测得，
，米，并在点测得塔顶的
仰角为，求塔高
23. 一缉私艇发现在北偏东方向,距离12 nmile的海面上有一走私船正以10 nmile/h的速度沿东偏南方向逃窜.缉私艇的速度为14 nmile/h,
若要在最短的时间内追上该走私船,缉私艇
应沿北偏东的方向去追,.求追及所需
的时间和角的正弦值.
24.在△ABC中，a, b, c分别为内角A, B, C的对边，且
（Ⅰ）求A的大小；
（Ⅱ）求的最大值.
25.在某海滨城市附近海面有一台风，据监测，当前台风中心位于城市O（如图）的东偏南方向300km的海面P处，并以20km/h的速度向西偏北方向移动，台风侵袭的范围为圆形区域，当前半径为60km，并以10km/h的速度不断增大，问几小时后该城市开始受到台风的侵袭？
正余弦定理单元测试参考答案
A 2.C 3. A 4. B 5. D 6. A 7. B 8.B 9.D 10.A
13. ②④ 14.50, 15.1200,16. 450
17. 解答：C=120 B=15 AC=或C=60 B=75
18. 解答：a=14,b=10,c=6
19. 解答：解：由2sin(A+B)－=0，得sin(A+B)=, ∵△ABC为锐角三角形
∴A+B=120°, C=60°, 又∵a、b是方程x2－2x+2=0的两根，∴a+b=2,
a·b=2, ∴c2=a2+b2－2a·bcosC=(a+b)2－3ab=12－6=6,
∴c=, S△ABC=absinC=×2×= .
20.解答：由=，=,可得 =，变形为sinAcosA=sinBcosB
∴sin2A=sin2B, 又∵a≠b, ∴2A=π－2B, ∴A+B=. ∴△ABC为直角三角形.
由a2+b2=102和=，解得a=6, b=8,
21. 解答：由tanA+tanB=tanA·tanB－可得＝－，即tan(A+B)=－
∴tan(π－C)= －, ∴－tanC=－, ∴tanC=∵C∈(0, π), ∴C=又△ABC的面积为S△ABC=，∴absinC=即ab×=, ∴ab=6又由余弦定理可得c2=a2+b2－2abcosC
∴()2= a2+b2－2abcos∴()2= a2+b2－ab=(a+b)2－3ab∴(a+b)2=, ∵a+b>0, ∴a+b=
23.解: 设A,C分别表示缉私艇,走私船的位置,设经过 小时后在B处追上, 则有
,
所以所需时间2小时,
24.解：（Ⅰ）由已知，根据正弦定理得
即 由余弦定理得
故 ，A=120°
（Ⅱ）由（Ⅰ）得：
故当B=30°时，sinB+sinC取得最大值1。
25.解：设在t时刻台风中心位于点Q，此时|OP|=300，|PQ|=20t，
台风侵袭范围的圆形区域半径为r(t)=10t+60，
由，可知，
cos∠OPQ=cos(θ-45o)= cosθcos45o+ sinθsin45o
=
在 △OPQ中，由余弦定理，得
=
=
若城市O受到台风的侵袭，则有|OQ|≤r(t)，即
，
整理，得，解得12≤t≤24,
答：12小时后该城市开始受到台风的侵袭.