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第1讲 勾股定理
知识点1 勾股定理的证明
勾股定理：直角三角形两条直角边a、b的平方和等于斜边c的平方.
a2+b2=c2
勾股定理的证明主要是通过用两种方式表示同一个图形的面积来实现的.常见的用来证明勾股定理的图形有：
【典例】
如图，火柴盒的一个侧面ABCD倒下到AB′C′D′的位置，连接CC′．设AB=a，BC=b，AC=c，这样可以用来说明我们学习过的定理或者公式是（ ）
勾股定理 B. 平方差公式 C. 完全平方公式 D. 以上3个答案都可以
【方法总结】
此题考查了用数形结合来证明勾股定理，需注意：组成的图形S梯形BCC′D′的面积有两种表示方法：①用梯形的面积公式表示；②用组成该梯形的3个小三角的面积和表示．
【随堂练习】
1．如图图中，不能用来证明勾股定理的是（ ）
A． B．
C． D．
2．我国是最早了解勾股定理的国家之一．下面四幅图中，不能证明勾股定理的是（ ）
A． B．
C． D．
知识点2 勾股定理的实际应用
解勾股定理实际问题的一般步骤：
①仔细审题，读懂题意；
②找出或构造出与问题有关的直角三角形；
③在直角三角形中根据勾股定理列算式或列方程；
④求解所列算式或方程，直接或间接得到答案；
⑤作答.
解有关勾股定理的实际问题的关键是将实际问题转化为数学模型.
【典例】
1.如图，一个梯子AB长2.5米，顶端A靠在墙AC上，这时梯子下端B与墙角C距离为1.5米，梯子滑动后停在DE的位置上，测得BD长为0.9米，求梯子顶端A下落了多少米.
【方法总结】
要求下滑的距离，显然需要求得AC和CE的长.由图知AC和CE分别在两个直角三角形中，且两个直角三角形斜边相等，运用勾股定理即可求出AC和CE的长，从而得解．
本题考查了勾股定理的实际应用，找到边所对应的直角三角形是解题的关键.
【随堂练习】
1．如图，有一只小鸟从小树顶飞到大树顶上，它飞行的最短路程是（ ）
A．13米 B．12米 C．5米 D．米
2．一木杆在离地面5m处析断，木杆顶端落在木杆底端12m处，则木杆析断前高为（ ）
A．18m B．13m C．17m D．12m
3．如图，小亮将升旗的绳子拉到旗杆底端，绳子末端刚好接触到地面．然后将绳子末端拉到距离旗杆8m处，发现此时绳子末端距离地面2m．则旗杆高度为（ ）（滑轮上方的部分忽略不计）
A．12m B．13m C．16m D．17m
知识点3 勾股定理的逆定理
勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长分别为a、b、c，且a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形.
【典例】
1.已知三角形的三边分别是9，12，15，则这个三角形的面积为___________．
【方法总结】
先利用勾股定理的逆定理判断出三角形的形状，再利用三角形的面积公式即可求出其面积．
本题考查了勾股定理的逆定理，能够根据具体数据运用勾股定理的逆定理判定该三角形是一个直角三角形是解决此类问题的关键．
【随堂练习】
1．以下列线段的长为三边的三角形中，能构成直角三角形的是（ ）
A．a=2，b=3，c=4 B．a=3，b=3，c=3
C．a=，b=，c=2 D．a=5，b=12，c=13
2．下列各组数中不能作为直角三角形三边长的是（ ）
A．1、、 B．9、40、41 C．7、9、12 D．、、1
知识点4 勾股数
勾股数：满足关系a2+b2=c2的3个正整数a、b、c称为勾股数．
【典例】
1.阅读理解并解答问题
如果a、b、c为正整数，且满足a2+b2=c2，那么，a、b、c叫做一组勾股数．
（1）请你根据勾股数的意思，说明为什么3、4、5是一组勾股数；
（2）写出一组不同于3、4、5的勾股数；
（3）如果m表示大于1的整数，且a=2m，b=m2﹣1，c=m2+1，请你根据勾股数的定义，说明a、b、c为勾股数．
【方法总结】
常见的几组勾股数有：①3、4、5；②、10；③9、12、15；④12，15，20 ；⑤5，12，13；⑥7,24,25.
本题考查了勾股数，熟练掌握勾股数的特点是解本题的关键.特别注意：勾股数是正整数，一组勾股数中决不能出现小数、分数、负数、带根号的无理数等.
【随堂练习】
1．下列各组数中，是勾股数的是（ ）
A．1，2，3 B．1，， C．2，3，4 D．5，12，13
2．如果3，a，5是勾股数，则a的值是（ ）
A．4 B． C．4或 D．4或34
综合运用
1．如图：在Rt△ABC和Rt△BDE中，∠C=90°，∠D=90°，AC=BD=a，BC=DE=b，AB=BE=c，试利用图形证明勾股定理．
2．中国古代数学家们对于勾股定理的发现和证明，在世界数学史上具有独特的贡献和地位，体现了数学研究中的继承和发展．现用4个全等的直角三角形拼成如图所示“弦图”．Rt△ABC中，∠ACB=90°，若AC=b，BC=a，请你利用这个图形解决下列问题：
（1）试说明a2+b2=c2；
（2）如果大正方形的面积是10，小正方形的面积是2，求（a+b）2的值．
3．如图，一架梯子斜靠在墙上，设梯子AB的中点为O，AB=6米，BC=2米，若梯子B端沿地面向右滑行1米，则点O到点C的距离（ ）
A．减小1米 B．增大1米 C．始终是2米 D．始终是3米
4．如果梯子的底端离建筑物5 米，13 米长的梯子可以达到该建筑物的高度是（ ）
A．12 米 B．13 米 C．14 米 D．15 米
5．已知两线段的长分别是5cm、3cm，则第三条线段长是_______时，这三条线段构成直角三角形
6．如图，正方形网格中有△ABC，若小方格边长为1，请你根据所学的知识解答下列问题：
（1）判断△ABC是什么形状？并说明理由．
（2）求△ABC中BC边上的高．
7．下列各组数中，是勾股数的是（ ）
A．6，9，12 B．﹣9，40，41 C．9，12，13 D．7，24，25
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第1讲 勾股定理
知识点1 勾股定理的证明
勾股定理：直角三角形两条直角边a、b的平方和等于斜边c的平方.
a2+b2=c2
勾股定理的证明主要是通过用两种方式表示同一个图形的面积来实现的.常见的用来证明勾股定理的图形有：
【典例】
如图，火柴盒的一个侧面ABCD倒下到AB′C′D′的位置，连接CC′．设AB=a，BC=b，AC=c，这样可以用来说明我们学习过的定理或者公式是（ ）
勾股定理 B. 平方差公式 C. 完全平方公式 D. 以上3个答案都可以
【答案】A
【解析】证明：四边形BCC′D′为直角梯形，
∴S梯形BCC′D′=（BC+C′D′） BD′=，
又∵∠AB′C′=90°，Rt△ABC≌Rt△AB′C′，
∴∠BAC=∠B′AC′．
∴∠CAC′=∠CAB′+∠B′AC′=∠CAB′+∠BAC=90°；
∴S梯形BCC′D′=S△ABC+S△CAC′+S△D′AC′=ab+c2+ab=；
∴=；
∴a2+b2=c2，
【方法总结】
此题考查了用数形结合来证明勾股定理，需注意：组成的图形S梯形BCC′D′的面积有两种表示方法：①用梯形的面积公式表示；②用组成该梯形的3个小三角的面积和表示．
【随堂练习】
1．如图图中，不能用来证明勾股定理的是（ ）
A． B．
C． D．
【解答】解：A，B，C都可以利用图形面积得出a，b，c的关系，即可证明勾股定理；故A，B，C选项不符合题意；
D、不能利用图形面积证明勾股定理，故此选项正确．
故选：D．
2．我国是最早了解勾股定理的国家之一．下面四幅图中，不能证明勾股定理的是（ ）
A． B．
C． D．
【解答】解：A、∵+c2+ab=（a+b）（a+b），
∴整理得：a2+b2=c2，即能证明勾股定理，故本选项不符合题意；
B、∵4×+c2=（a+b）2，
∴整理得：a2+b2=c2，即能证明勾股定理，故本选项不符合题意；
C、∵4×+（b﹣a）2=c2，
∴整理得：a2+b2=c2，即能证明勾股定理，故本选项不符合题意；
D、根据图形不能证明勾股定理，故本选项符合题意；
故选：D．
知识点2 勾股定理的实际应用
解勾股定理实际问题的一般步骤：
①仔细审题，读懂题意；
②找出或构造出与问题有关的直角三角形；
③在直角三角形中根据勾股定理列算式或列方程；
④求解所列算式或方程，直接或间接得到答案；
⑤作答.
解有关勾股定理的实际问题的关键是将实际问题转化为数学模型.
【典例】
1.如图，一个梯子AB长2.5米，顶端A靠在墙AC上，这时梯子下端B与墙角C距离为1.5米，梯子滑动后停在DE的位置上，测得BD长为0.9米，求梯子顶端A下落了多少米.
【答案】
【解析】解：在Rt△ACB中，AC2=AB2﹣BC2=2.52﹣1.52=4，
∴AC=2，
∵BD=0.9，
∴CD=1.5+0.9=2.4．
在Rt△ECD中，EC2=ED2﹣CD2=2.52﹣2.42=0.49，
∴EC=0.7，
∴AE=AC﹣EC=2﹣0.7=1.3．
∴梯子顶端A下落了1.3米
【方法总结】
要求下滑的距离，显然需要求得AC和CE的长.由图知AC和CE分别在两个直角三角形中，且两个直角三角形斜边相等，运用勾股定理即可求出AC和CE的长，从而得解．
本题考查了勾股定理的实际应用，找到边所对应的直角三角形是解题的关键.
【随堂练习】
1．如图，有一只小鸟从小树顶飞到大树顶上，它飞行的最短路程是（ ）
A．13米 B．12米 C．5米 D．米
【解答】解：如图所示，过D点作DE⊥AB，垂足为E，
∵AB=13，CD=8，
又∵BE=CD，DE=BC，
∴AE=AB﹣BE=AB﹣CD=13﹣8=5，
∴在Rt△ADE中，DE=BC=12，
∴AD2=AE2+DE2=122+52=144+25=169，
∴AD=13（负值舍去），
答：小鸟飞行的最短路程为13m．
故选：A．
2.一木杆在离地面5m处析断，木杆顶端落在木杆底端12m处，则木杆析断前高为（ ）
A．18m B．13m C．17m D．12m
【解答】解：∵一木杆在离地面5米处折断，木杆顶端落在木杆底端12m处，
∴折断的部分长为 =13，
∴折断前高度为5+13=18（米）．
故选：A．
3．如图，小亮将升旗的绳子拉到旗杆底端，绳子末端刚好接触到地面．然后将绳子末端拉到距离旗杆8m处，发现此时绳子末端距离地面2m．则旗杆高度为（ ）（滑轮上方的部分忽略不计）
A．12m B．13m C．16m D．17m
【解答】解：设旗杆高度为x，则AC=AD=x，AB=（x﹣2）m，BC=8m，
在Rt△ABC中，AB2+BC2=AC2，即（x﹣2）2+82=x2，
解得：x=17，
即旗杆的高度为17米．
故选：D．
知识点3 勾股定理的逆定理
勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长分别为a、b、c，且a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形.
【典例】
1.已知三角形的三边分别是9，12，15，则这个三角形的面积为___________．
【答案】54
【解析】解：∵92+122=152，
∴此三角形是直角三角形，
∴此直角三角形的面积为：×9×12=54．
故答案为：54．
【方法总结】
先利用勾股定理的逆定理判断出三角形的形状，再利用三角形的面积公式即可求出其面积．
本题考查了勾股定理的逆定理，能够根据具体数据运用勾股定理的逆定理判定该三角形是一个直角三角形是解决此类问题的关键．
【随堂练习】
1．以下列线段的长为三边的三角形中，能构成直角三角形的是（ ）
A．a=2，b=3，c=4 B．a=3，b=3，c=3
C．a=，b=，c=2 D．a=5，b=12，c=13
【解答】解：A、32+22≠42，故不是直角三角形，故错误；
B、32+32≠（3）2，故不是直角三角形，故错误；
C、22+（）2≠（）2，故不是直角三角形，故错误；
D、52+122=169=132，故是直角三角形，故正确．
故选：D．
2．下列各组数中不能作为直角三角形三边长的是（ ）
A．1、、 B．9、40、41 C．7、9、12 D．、、1
【解答】解：A、12+（）2=（）2，符合勾股定理的逆定理，故本选项不符合题意；
B、92+402=412，符合勾股定理的逆定理，故本选项不符合题意；
C、72+92≠122，不符合勾股定理的逆定理，故本选项符合题意；
D、（）2+（）2=12，符合勾股定理的逆定理，故本选项不符合题意．
故选：C．
知识点4 勾股数
勾股数：满足关系a2+b2=c2的3个正整数a、b、c称为勾股数．
【典例】
1.阅读理解并解答问题
如果a、b、c为正整数，且满足a2+b2=c2，那么，a、b、c叫做一组勾股数．
（1）请你根据勾股数的意思，说明为什么3、4、5是一组勾股数；
（2）写出一组不同于3、4、5的勾股数；
（3）如果m表示大于1的整数，且a=2m，b=m2﹣1，c=m2+1，请你根据勾股数的定义，说明a、b、c为勾股数．
【解析】解：（1）∵3、4、5是正整数，且32+42=52，
∴3、4、5是一组勾股数；
（2）∵122+162=202，且12，16，20都是正整数，
∴一组勾股数可以是12，16，20．答案不唯一；
（3）∵m表示大于1的整数，
∴由a=2m，b=m2﹣1，c=m2+1得到a、b、c均为正整数；
又∵a2+b2=（2m）2+（m2﹣1）2=4m2+m4﹣2m2+1=m4+2m2+1，而c2=（m2+1）2=m4+2m2+1，
∴a2+b2=c2，
∴a、b、c为勾股数．
【方法总结】
常见的几组勾股数有：①3、4、5；②、10；③9、12、15；④12，15，20 ；⑤5，12，13；⑥7,24,25.
本题考查了勾股数，熟练掌握勾股数的特点是解本题的关键.特别注意：勾股数是正整数，一组勾股数中决不能出现小数、分数、负数、带根号的无理数等.
【随堂练习】
1．下列各组数中，是勾股数的是（ ）
A．1，2，3 B．1，， C．2，3，4 D．5，12，13
【解答】解：A、∵12+22=5≠32=9，∴不是勾股数；
B、∵12+（）2=3≠（）2=3，但和不是正整数，∴不是勾股数；
C、∵22+32=13≠42=16，∴不是勾股数；
D、∵52+122=169=132=169，∴是勾股数．
故选：D．
2．如果3，a，5是勾股数，则a的值是（ ）
A．4 B． C．4或 D．4或34
【解答】解：∵3，a，5是勾股数，
∴a=4，
故选：A．
综合运用
1．如图：在Rt△ABC和Rt△BDE中，∠C=90°，∠D=90°，AC=BD=a，BC=DE=b，AB=BE=c，试利用图形证明勾股定理．
【解答】证明：∵∠C=90°，∠D=90°，AC=BD=a，BC=DE=b，AB=BE=c，
∵Rt△ACB≌Rt△BDE，
∴∠ABC=∠BED，∠BAC=∠EBD，
∵∠ABC+∠DBE=90°，
∴∠ABE=90°，
三个Rt△其面积分别为ab，ab和c2．
直角梯形的面积为（a+b）（a+b）．
由图形可知：（a+b）（a+b）=ab+ab+c2，
整理得（a+b）2=2ab+c2，a2+b2+2ab=2ab+c2，
∴a2+b2=c2．
2．中国古代数学家们对于勾股定理的发现和证明，在世界数学史上具有独特的贡献和地位，体现了数学研究中的继承和发展．现用4个全等的直角三角形拼成如图所示“弦图”．Rt△ABC中，∠ACB=90°，若AC=b，BC=a，请你利用这个图形解决下列问题：
（1）试说明a2+b2=c2；
（2）如果大正方形的面积是10，小正方形的面积是2，求（a+b）2的值．
【解答】解：（1）∵大正方形面积为c2，直角三角形面积为ab，小正方形面积为（b﹣a）2，
∴c2=4×ab+（a﹣b）2=2ab+a2﹣2ab+b2即c2=a2+b2．；
（2）由图可知，（b﹣a）2=2，4×ab=10﹣2=8，
∴2ab=8，
∴（a+b）2=（b﹣a）2+4ab=2+2×8=18．
3．如图，一架梯子斜靠在墙上，设梯子AB的中点为O，AB=6米，BC=2米，若梯子B端沿地面向右滑行1米，则点O到点C的距离（ ）
A．减小1米 B．增大1米 C．始终是2米 D．始终是3米
【解答】解：∵O为直角三角形ACB斜边上的中点，斜边AB=6米，
∴CO=AB=3米，
故选：D．
4．如果梯子的底端离建筑物5 米，13 米长的梯子可以达到该建筑物的高度是（ ）
A．12 米 B．13 米 C．14 米 D．15 米
【解答】解：如图，∵梯子的底端离建筑物5 米，梯子长为13米，
∴AC==12（米）．
故选：A．
5．已知两线段的长分别是5cm、3cm，则第三条线段长是_______时，这三条线段构成直角三角形
【解答】解：当第三条线段为直角边时，5cm为斜边，根据勾股定理得，第三条线段长为=4cm；
当第三条线段为斜边时，根据勾股定理得，第三条线段长为=cm．
故答案为4或cm．
6．如图，正方形网格中有△ABC，若小方格边长为1，请你根据所学的知识解答下列问题：
（1）判断△ABC是什么形状？并说明理由．
（2）求△ABC中BC边上的高．
【解答】解：（1）△ABC是直角三角形．理由如下：
在Rt△ABC中，AB=；
在Rt△AEC中，AC=；
在Rt△BDC中，BC=；
∴AB2+BC2=AC2，
∴∠B=90°，△ABC是直角三角形；
（2）设AC边上的高为h．
∵S△ABC=AC h=AB BC，
∴h=．
7．下列各组数中，是勾股数的是（ ）
A．6，9，12 B．﹣9，40，41 C．9，12，13 D．7，24，25
【解答】解：A、不是，因62+92≠122；
B、不是，因为﹣9不是正整数；
C、不是，因为92+122≠132；
D、是，因为72+242=252．且7、24、25是正整数．
故选：D．
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