第2讲 实数
知识点1 无理数的概念
1、无限不循环小数叫做无理数．例如等都是无理数
类型：（1）所有开方开不尽的数都是无理数．
（2）化简后含的数是无理数．
（3）无限不循环小数是无理数．
【典例】
下列实数：，，，3.14，，0，10.12112111211112…，π﹣2，中，属于无理数的有_____个
【答案】4
【解析】解：，，开方开不尽，是无理数，
10.12112111211112…，无限不循环小数，是无理数，
π﹣2化简后含，是无理数，
所以无理数共有4个
【方法总结】
判断一个数是否为无理数，不能只看形式，要看化简后的结果．例如：=4，是有理数；是无限循环小数，是有理数.
一个无理数加上或减去一个有理数，也是无理数，例如：π﹣2.
【随堂练习】
1．（1）写出两个负数，使它们的差为﹣4，并写出具体算式．
（2）说说“一个无理数与一个有理数的积一定是无理数”是否正确，请举例说明．
【解答】解：（1）﹣5﹣（﹣1）＝﹣5+1＝﹣4；
（2）说法错误，如
0＝0，
∴一个无理数与一个有理数的积一定是无理数的说法错误．
2．已知实数：﹣3，2，4．请用学过的运算对其进行计算，使其结果分别是（1）负有理数；（2）无理数．（要求：1．每种结果都只要写出一个；2．每个数和每种运算都只出现一次；3．先写出式子后计算结果）
【解答】解：（1）﹣3×4＝﹣12；
（2）．
知识点2 实数的概念
1、实数的概念：有理数和无理数统称为实数．
2、实数的分类：
1）按定义分：
2）按正负分：
3、小数与无理数，有理数的关系：
（1）有限小数（如：3.14,0.8）→可化为分数→是有理数；
（2）无限循环小数（如：）→可化为分数→是有理数；
（3）无限不循环小数（如：4.23598…）→不可化为分数→是无理数.
【典例】
1.把下列各数填在相应的大括号里：
，，﹣0.101001，﹣|﹣2|，，，
正数集合：{_____________ }；
负整数集合：{___________ }；
负分数集合：{______________ }；
无理数集合：{_______________ }．
【解析】解：先化简：=8，﹣|﹣2|=-2，
正数集合：{ ， }；
负整数集合：{﹣|﹣2| }；
负分数集合：{﹣0.101001，， }；
无理数集合：{ }．
【方法总结】
实数分类，需要先把实数化简，看化简后的形式.
上题中﹣0.101001后面没有省略号，所以是个有限小数，因为所有有限小数和无限循环小数都可以化成分数的形式，所以﹣0.101001也是负分式，同理也负分数；是无理数，不是分数.
【随堂练习】
1．把几个数用大括号囤起来，中间用逗号断开，若：{1，2，8}、{﹣0.2，，，20%}，我们称之为集合，其中的数称其为集合的元素．如果一个集合满足：当有理数a是集合的元素时，有理数8﹣a也必是这个集合的元素，这样的集合我们称为“好的集合”．例如集合{8，0}就是一个友好集合．
（1）请你判断集合{2，3}，{﹣2，1，4，7，10} 是不是友好的集合；
（2）请你再写出满足条件的两个友好集合的例子（不要写题目中已经出现的）；
（3）写出所有的友好集合中，元素个数最少的集合．
【解答】解：（1）∵8﹣2＝6，6不是集合中的元素，
∴集合{2，3}不是友好的集合；
∵8﹣（﹣2）＝10，10是集合中的元素，
8﹣1＝7，7是集合中的元素，
8﹣4＝4，4是集合中的元素，
8﹣7＝1，1是集合中的元素，
8﹣10＝﹣2，﹣2是集合中的元素，
∴{﹣2，1，4，7，10} 是友好的集合；
（2）例如{2，6，8，0}、{5，3}；
（3）元素个数的集合就是只有一个元素的集合，设其元素为x；
则有8﹣x＝x，可得x＝4；
故元素个数最少的集合是{4}．
2．分有四个实数分别为32，，，
①请你计算其中有理数的和．
②若x﹣2是①中的和的平方，求x的值．
【解答】解：①∵四个实数32，，，中，
32，2是有理数，
∴其中有理数的和＝9+（﹣2）＝7；
②有①可知x﹣2＝72，
则x＝49+2＝51．
知识点3 实数与数轴
实数与数轴上的点是一一对应的，即每一个实数都可以用数轴上的点来表示；反过来，数轴上的每一个点都表示一个实数.与规定有理数的大小一样，对于数轴上的任意两个点，右边的点表示的实数总比左边的点表示的实数大.
【典例】
如图，数轴上A，B两点表示的数分别为﹣1和，点B关于点A的对称点为C，则点C所表示的数为______
【答案】﹣2﹣
【解析】解：∵对称的两点到对称中心的距离相等，
∴CA=AB，
∵AB=AO+OB=|﹣1|+||=1+，
∴AC=1+
∵OC=OA+AC=|﹣1|+1+=2+
∴OC=2+，而C点在原点左侧，
∴C表示的数为：﹣2﹣．
【方法总结】
1、由“点B关于点A的对称点为C”可知“CA=AB”；
2、求“点C所表示的数”可以先求点C所表示的数的绝对值，即OC的长，利用OC=OA+AC求解.
3、由于C点在原点左侧，所以表示C点的数为负数.
【随堂练习】
1．如图，已知数轴上点A表示的数为8，B是数轴上一点（B在A点左边），且AB＝10，动点P从点A出发，以每秒6个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为t（t＞0）秒．
（1）写出数轴上点B所表示的数____；
（2）点P所表示的数______；（用含t的代数式表示）；
（3）C是AP的中点，D是PB的中点，点P在运动的过程中，线段CD的长度是否发生变化？若变化，说明理由，若不变，请你画出图形，并求出线段CD的长．
【解答】解：（1）点B表示的数＝8﹣10＝﹣2．
故答案为：﹣2．
（2）点P表示的数是＝8﹣6t．
故答案为：8﹣6t．
（3）如图，当P点在线段AB上运动时，
CDBPAP（BP+AP）AB＝5；
如图，当P点运动到点B左侧时，
CD＝CP﹣PDAPPB 6t（6t﹣10）＝5
综上所述，线段CD的长度不会发生变化，始终是5．
2．如图，已知点A、B、C是数轴上三点，点C表示的数为9，BC＝6，AB＝18．
（1）数轴上点A表示的数为_____；点B表示的数为___．
（2）若动点P从A出发沿数轴匀速向右运动，速度为每秒6个单位，M为AP中点，设运动时间为t（t＞0）秒，则数轴上点M表示的数为________；（用含t的式子表示）
（3）若动点P、Q同时从A、C出发，分别以6个单位长度每秒和3个单位长度每秒的速度，沿数轴匀速向右运动．N在线段PQ上，且PNPQ，设运动时间为t（t＞0）秒，则数轴上点N表示的数为______（用含t的式子表示）．
【解答】解：（1）∵BC＝6，AB＝18，
∴AC＝6+18＝24，
∴点A表示的数为：9﹣24＝﹣15，
点B表示的数为：OB＝9﹣6＝3，
故答案为：﹣15，3；
（2）如图1，∵AP＝6t，M是AP的中点，
∴PM＝3t，
∵OA＝15，
∴OM＝15﹣3t，
∵M在x轴的负半轴上，
∴数轴上点M表示的数为：﹣15+3t；
故答案为：﹣15+3t；
（3）∵AP＝6t，CQ＝3t，
∴PQ＝OP+OQ＝15﹣6t+9+3t＝24﹣3t，
∵PNPQ，
∴PN（24﹣3t）＝8﹣t，
分两种情况：
①当N在O的左边时，如图2，ON＝OP﹣PN＝15﹣6t﹣（8﹣t）＝7﹣5t，则点N表示的数为：5t﹣7；
②当N在O的右边时，同理得：ON＝PN﹣OP＝（8﹣t）﹣（15﹣6t）＝5t﹣7，则点N表示的数为：5t﹣7；
综上所述，点N表示的数为：5t﹣7；
故答案为：5t﹣7．
3．如图，已知A、B是数轴上的两个点，点A表示的数为13，点B表示的数为﹣5，动点P从点B出发，以每秒4个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，设运动时间为t（t＞0）秒．
（1）BP＝____，点P表示的数_______（分别用含t的代数式表示）；
（2）点P运动多少秒时，PB＝2PA？
（3）若M为BP的中点，N为PA的中点，点P在运动的过程中，线段MN的长度是否发生变化？若变化，请说明理由；若不变，请求出线段MN的长．
【解答】解：（1）由题意：BP＝4t，点P表示的数﹣5+4t
故答案为4t，﹣5+4t．
（2）由题意：4t＝2（18﹣4t）或4t＝2（4t﹣18）
解得t＝3或9
（3）线段MN的长度不变，
理由：①当点P在线段AB上时，MNPBPAAB＝9．
②当点P在线段BA的延长线上时，MNPBPA（PB﹣PA）AB＝9；
故MN的长度不变．
知识点4 无理数大小的比较方法
常用方法：
（1）实数的性质：正实数大于0，负实数小于0；两个正实数比较大小，绝对值大的数大，两个负实数比较大小，绝对值大的反而小
（2）数轴法：数轴右边的点表示的实数总比左边的点表示的实数大.
（3）比较被开方数的大小：a＞0，b＞0，
若a＞b，则；
若a＜b， 则；
若a＝b，则．
（4）作差法：
若a-b＞0，则a＞b；
若a-b＝0，则a＝b；
若a-b＜0，则a＜b;
（5）作商法：a＞0，b＞0，
若＞1，则a＞b；
若＝1，则a＝b；
若＜1，则a＜b
（6）特殊值法：对于较复杂问题，可以代入一个符合条件的数，求出具体数值后再比较.
备注：，
【典例】
1.（1）求出下列个数：①2的平方根；②﹣27的立方根；③的算术平方根．
（2）将（1）中求出的每个数表示在下图中的数轴上；
（3）将（1）中求出的每个数按从小到大的顺序排列，并用“＜”连接．
【解析】解：（1）①2的平方根是±；
②﹣27的立方根是﹣3；
③=4，4的算术平方根是2；
（2）数轴表示，如图所示：
（3）﹣3＜﹣＜＜2．
2. 比较大小：______，_____．（填“＞”或“＜”），
【答案】“>”, “>”
【解析】解：（1）∵1﹣（﹣1）=2﹣＞0，
∴1＞﹣1，
∴．
（2）∵9<10<16
∴3＜＜4，
∴，
则，
∵，
∴．
所以（1）填“>”,（2）填“>”
【方法总结】
第一题，判断一列数的大小，可以把所有数在数轴上表示出来，按照“右边的数大于左边的数”，可直观的判断这列数的大小关系.
第二题，实数比较大小可以用做差法，例如：和，分母一样，分子做差，得，所以>；当两个实数不能用开平方法和做差法判断大小时，可以先判断实数的范围，例如：，因为，所以，分子，可得，又因为，所以可得，即.
【随堂练习】
1．课堂上老师讲解了比较和的方法，观察发现11﹣10＝15﹣14＝1，于是比较这两个数的倒数：
因为，所以，则有．
请你设计一种方法比较与的大小．
【解答】解：∵（）2＝8+23＝11+2，
（）2＝6+25＝11+2，
∴11+211+2，
∴（）2＜（）2，
∵0，0，
∴．
2．（1）填表：
a … 0.000001 0.0001 0.01 1 100 10000 …
… 0.001 ______ 0.1 ___ ____ 100 …
（2）利用上表中的规律，解决下列问题：
已知1800，18，则a的值为_________；
（3）当a≥0时，比较和a的大小．
【解答】解：（1）填表如下：
a … 0.000001 0.0001 0.01 1 100 10000 …
… 0.001 0.01 0.1 1 10 100 …
故答案为0.01，1，10；
（2）根据题意得a＝3240000．
故答案为3240000；
（3）当0＜a＜1时，a；
当a＞1时，a；
当a＝0或a＝1时，a．
知识点5 估计无理数的大小
1、熟记常用的完全平方数和立方数
2、一个实数的小数部分=这个实数-这个实数的整数部分.
【典例】
已知a，b分别是6﹣的整数部分和小数部分，那么2a﹣b的值是____
【答案】
【解析】解：∵3＜＜4，
∴﹣4＜﹣3，
∴6﹣4，
∴
∵a，b分别是6﹣的整数部分和小数部分
∴a=2，b=（6﹣）﹣2=4﹣，
∴2a﹣b=2×2﹣（4﹣）=，
【方法总结】
本题难点是求的整数部分和小数部分，首先判断的范围，因为9<13<16，所以，根据相反数的几何意义，在数轴上和关于原点对称，可得，则，所以是一个大于2小于3的实数，其整数部分为2，小数部分为，所以a=2，b=.
【随堂练习】
1．阅读下面的文字，解答问题：
大家知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部地写出来，于是小明用1来表示的小数部分，你同意小明的表示方法吗？
事实上，小明的表示方法是有道理，因为的整数部分是1，将这个数减去其整数部分，差就是小数部分．
又例如：
∵，即23，
∴的整数部分为2，小数部分为（2）．
请解答：（1）的整数部分是___，小数部分是___．
（2）如果的小数部分为a，的整数部分为b，求a+b的值；
（3）已知：10x+y，其中x是整数，且0＜y＜1，求x﹣y的相反数．
【解答】解：（1）∵45，
∴的整数部分是4，小数部分是 ，
故答案为：4，4；
（2）∵23，
∴a2，
∵34，
∴b＝3，
∴a+b2+31；
（3）∵1＜3＜4，
∴12，
∴11＜1012，
∵10x+y，其中x是整数，且0＜y＜1，
∴x＝11，y＝10111，
∴x﹣y＝11﹣（1）＝12，
∴x﹣y的相反数是﹣12；
2．阅读下面的文字，解答问题：大家知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部写出来，于是小明用来表示的小数部分，你同意小明的表示方法吗？事实上，小明的表示方法是有道理的，因为的整数部分是1，将这个数减去其整数部分，差就是小数部分．又例如：∵22＜7＜32，即23，∴的整数部分为2，小数部分为2．
请解答：
（1）的整数部分是___，小数部分是___．
（2）如果的小数部分为a，的整数部分为b，求a+b的值；
（3）已知：x是3的整数部分，y是其小数部分，请直接写出x﹣y的值的相反数．
【解答】解：（1）的整数部分是3，小数部分是3；
故答案为：3；3；
（2）∵4＜5＜9，
∴23，即a2，
∵36＜37＜49，
∴67，即b＝6，
则a+b4；
（3）根据题意得：x＝5，y＝352，
∴x﹣y＝7，其相反数是7．
3．阅读理解．
∵，即23．
∴11＜2
∴1的整数部分为1，
∴1的小数部分为2．
解决问题：已知a是3的整数部分，b是3的小数部分．
（1）求a，b的值；
（2）求（﹣a）3+（b+4）2的平方根，提示：（）2＝17．
【解答】解：（1）∴，
∴45，
∴13＜2，
∴a＝1，b4；
（2）（﹣a）3+（b+4）2＝（﹣1）3+（4+4）2＝﹣1+17＝16，
∴（﹣a）3+（b+4）2的平方根是±±4．
知识点6 实数的运算
实数之间不仅可以进行加、减、乘、除（除数不为0）、乘方运算，而且正数及0可以进行开平方运算，任意一个实数可以进行开立方运算.
在进行实数的运算时，有理数的运算法则及运算性质等同样适用.
实数的运算顺序：先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，同级运算从左到右依次计算，有括号的要先算括号里面的.
【典例】
1.计算：+|3﹣|+﹣+|4﹣|．
【解析】解：+|3﹣|+﹣+|4﹣|
=（﹣2）++﹣
=
=
=0．
【方法总结】
1、运算顺序：先开平方、开立方、去绝对值；
2、化简后，有理数和无理数可以分别计算.
【随堂练习】
1．定义：如果一个数的平方等于﹣1，记为i2＝﹣1，这个数i叫做虚数单位．那么和我们所学的实数对应起来就叫做复数，表示为a+bi（a，b为实数），a叫这个复数的实部，b叫做这个复数的虚部，它的加，减，乘法运算与整式的加，减，乘法运算类似．
例如计算：（2+i）+（3﹣4i）＝（2+3）+（i﹣4i）＝5﹣3i
（1）填空：i3＝____，i4＝___．
（2）填空：①（2+i）（2﹣i）＝___； ②（2+i）2＝______．
（3）若两个复数相等，则它们的实部和虚部必须分别相等，完成下列问题：已知，（x+y）+3i＝1﹣（x﹣y）i，（x，y为实数），求x，y的值．
（4）试一试：请利用以前学习的有关知识将化简成a+bi的形式．
（5）解方程：x2﹣2x+4＝0．
【解答】解：（1）i3＝i2 i＝﹣1 i＝﹣i，i4＝i2 i2＝﹣1×（﹣1）＝1，
故答案为：﹣i，1；
（2）①（2+i）（2﹣i）＝4﹣i2＝4+1＝5，
②（2+i）2＝4+4i+i2＝4+4i﹣1＝3+4i，
故答案为：5、3+4i；
（3）由题意知，
解得：；
（4）i；
（5）∵x2﹣2x＝﹣4，
∴x2﹣2x+1＝﹣4+1，即（x﹣1）2＝﹣3，
则（x﹣1）2＝3i2，
∴x﹣1i或x﹣1i，
∴x＝1i或x＝1i．
2．已知x，y，求下列各式的值：
（1）x2﹣xy+y2；
（2）．
【解答】解：（1）∵x，y；
∴x+y；xy＝1．
原式＝（x+y）2﹣3xy＝（）2﹣3×1＝5﹣3＝2；
（2）原式5．
综合运用
在实数、﹣3、0、、3.1415、π、、、2.123122312233…（不循环）中，无理数的个数为_________个.
【答案】4
【解析】解：先化简：=﹣1，=12，
，，开方开不尽，是无理数，
2.123122312233…（不循环），无限不循环小数，是无理数，
π，是无理数，
所以无理数共有4个
数轴上与表示1的点距离为的点表示的数是_______．
【答案】1﹣或1+
【解析】解：根据数轴的特点，数轴上与表示1的距离为的点有两个：
该点可能在1的左侧，则为1﹣；
也可能在1的右侧，即为1+．
故答案为：1﹣或1+．
比较大小：+1_______4；3﹣1_______1+2（填“＞”“＜”或“=”）．
【答案】＞，＜
【解析】解：（1）∵9<11<16
∴3＜＜4，
∴4＜+1＜5，
所以+1＞4．
故答案为：＞．
（2）∵3﹣1﹣（1+2）=﹣2，
1＜＜2，
∴﹣2＜0，
∴3﹣1﹣（1+2）＜0，
∴3﹣1＜1+2，
故答案为：＞，＜
4.在下列各数﹣3.21，，5，，，﹣π，，0，，0.121121112中：
整数有{______________________}
有理数有{_________________________}
无理数有{}
负实数有{______________________}．
【解析】解：在﹣3.21，，5，，，﹣π，，0，，0.121121112中，
整数有{ 5，0 }
有理数有{﹣3.21，5，，，0，，0.121121112 }
无理数有{，﹣π， }
负实数有{﹣3.12，﹣π，}．
5.画出数轴，在数轴上表示下列各数，并用“＜”连接：
﹣，，0，．
【解析】解：
在数轴上表示﹣，，0，，如下
，
﹣＜0＜＜．
6.若的整数部分为a，小数部分为b，求a2+b﹣的值．
【解析】解：∵9＜13＜16，
∴3＜＜4，
∵的整数部分为a，小数部分为b
∴a=3，b=﹣3，
∴a2+b﹣=9+﹣3﹣=6．
7.介于两个相邻的整数a、b（a＜b）之间，求a+b的值.
【解析】解：∵64<99<125
∴
∴4＜＜5，
∴a=4，b=5，
∴a+b=4+5=9，
8.计算：
（1）|﹣3|+﹣．
（2）|﹣5|+（﹣2）2+﹣﹣1．
（3）×﹣23×
【解析】解：（1）|﹣3|+﹣
=3﹣+﹣3
=﹣．
（2）|﹣5|+（﹣2）2+﹣﹣1
=5+4+（﹣3）﹣﹣1
=5+4+（-3-2-1）
=9+（﹣6）
=3．
（3）×﹣23×
=×﹣23×
=2×﹣8×
=3﹣2
=1
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知识点1 无理数的概念
1、无限不循环小数叫做无理数．例如等都是无理数
类型：（1）所有开方开不尽的数都是无理数．
（2）化简后含的数是无理数．
（3）无限不循环小数是无理数．
【典例】
下列实数：，，，3.14，，0，10.12112111211112…，π﹣2，中，属于无理数的有_____个
【方法总结】
判断一个数是否为无理数，不能只看形式，要看化简后的结果．例如：=4，是有理数；是无限循环小数，是有理数.
一个无理数加上或减去一个有理数，也是无理数，例如：π﹣2.
【随堂练习】
1．（1）写出两个负数，使它们的差为﹣4，并写出具体算式．
（2）说说“一个无理数与一个有理数的积一定是无理数”是否正确，请举例说明．
2．已知实数：﹣3，2，4．请用学过的运算对其进行计算，使其结果分别是（1）负有理数；（2）无理数．（要求：1．每种结果都只要写出一个；2．每个数和每种运算都只出现一次；3．先写出式子后计算结果）
知识点2 实数的概念
1、实数的概念：有理数和无理数统称为实数．
2、实数的分类：
1）按定义分：
2）按正负分：
3、小数与无理数，有理数的关系：
（1）有限小数（如：3.14,0.8）→可化为分数→是有理数；
（2）无限循环小数（如：）→可化为分数→是有理数；
（3）无限不循环小数（如：4.23598…）→不可化为分数→是无理数.
【典例】
1.把下列各数填在相应的大括号里：
，，﹣0.101001，﹣|﹣2|，，，
正数集合：{_____________ }；
负整数集合：{___________ }；
负分数集合：{______________ }；
无理数集合：{_______________ }．
【方法总结】
实数分类，需要先把实数化简，看化简后的形式.
上题中﹣0.101001后面没有省略号，所以是个有限小数，因为所有有限小数和无限循环小数都可以化成分数的形式，所以﹣0.101001也是负分式，同理也负分数；是无理数，不是分数.
【随堂练习】
1．把几个数用大括号囤起来，中间用逗号断开，若：{1，2，8}、{﹣0.2，，，20%}，我们称之为集合，其中的数称其为集合的元素．如果一个集合满足：当有理数a是集合的元素时，有理数8﹣a也必是这个集合的元素，这样的集合我们称为“好的集合”．例如集合{8，0}就是一个友好集合．
（1）请你判断集合{2，3}，{﹣2，1，4，7，10} 是不是友好的集合；
（2）请你再写出满足条件的两个友好集合的例子（不要写题目中已经出现的）；
（3）写出所有的友好集合中，元素个数最少的集合．
2．分有四个实数分别为32，，，
①请你计算其中有理数的和．
②若x﹣2是①中的和的平方，求x的值．
知识点3 实数与数轴
实数与数轴上的点是一一对应的，即每一个实数都可以用数轴上的点来表示；反过来，数轴上的每一个点都表示一个实数.与规定有理数的大小一样，对于数轴上的任意两个点，右边的点表示的实数总比左边的点表示的实数大.
【典例】
如图，数轴上A，B两点表示的数分别为﹣1和，点B关于点A的对称点为C，则点C所表示的数为______
【方法总结】
1、由“点B关于点A的对称点为C”可知“CA=AB”；
2、求“点C所表示的数”可以先求点C所表示的数的绝对值，即OC的长，利用OC=OA+AC求解.
3、由于C点在原点左侧，所以表示C点的数为负数.
【随堂练习】
1．如图，已知数轴上点A表示的数为8，B是数轴上一点（B在A点左边），且AB＝10，动点P从点A出发，以每秒6个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为t（t＞0）秒．
（1）写出数轴上点B所表示的数____；
（2）点P所表示的数______；（用含t的代数式表示）；
（3）C是AP的中点，D是PB的中点，点P在运动的过程中，线段CD的长度是否发生变化？若变化，说明理由，若不变，请你画出图形，并求出线段CD的长．
2．如图，已知点A、B、C是数轴上三点，点C表示的数为9，BC＝6，AB＝18．
（1）数轴上点A表示的数为_____；点B表示的数为___．
（2）若动点P从A出发沿数轴匀速向右运动，速度为每秒6个单位，M为AP中点，设运动时间为t（t＞0）秒，则数轴上点M表示的数为________；（用含t的式子表示）
（3）若动点P、Q同时从A、C出发，分别以6个单位长度每秒和3个单位长度每秒的速度，沿数轴匀速向右运动．N在线段PQ上，且PNPQ，设运动时间为t（t＞0）秒，则数轴上点N表示的数为______（用含t的式子表示）．
3．如图，已知A、B是数轴上的两个点，点A表示的数为13，点B表示的数为﹣5，动点P从点B出发，以每秒4个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，设运动时间为t（t＞0）秒．
（1）BP＝____，点P表示的数_______（分别用含t的代数式表示）；
（2）点P运动多少秒时，PB＝2PA？
（3）若M为BP的中点，N为PA的中点，点P在运动的过程中，线段MN的长度是否发生变化？若变化，请说明理由；若不变，请求出线段MN的长．
知识点4 无理数大小的比较方法
常用方法：
（1）实数的性质：正实数大于0，负实数小于0；两个正实数比较大小，绝对值大的数大，两个负实数比较大小，绝对值大的反而小
（2）数轴法：数轴右边的点表示的实数总比左边的点表示的实数大.
（3）比较被开方数的大小：a＞0，b＞0，
若a＞b，则；
若a＜b， 则；
若a＝b，则．
（4）作差法：
若a-b＞0，则a＞b；
若a-b＝0，则a＝b；
若a-b＜0，则a＜b;
（5）作商法：a＞0，b＞0，
若＞1，则a＞b；
若＝1，则a＝b；
若＜1，则a＜b
（6）特殊值法：对于较复杂问题，可以代入一个符合条件的数，求出具体数值后再比较.
备注：，
【典例】
1.（1）求出下列个数：①2的平方根；②﹣27的立方根；③的算术平方根．
（2）将（1）中求出的每个数表示在下图中的数轴上；
（3）将（1）中求出的每个数按从小到大的顺序排列，并用“＜”连接．
2. 比较大小：______，_____．（填“＞”或“＜”），
【方法总结】
第一题，判断一列数的大小，可以把所有数在数轴上表示出来，按照“右边的数大于左边的数”，可直观的判断这列数的大小关系.
第二题，实数比较大小可以用做差法，例如：和，分母一样，分子做差，得，所以>；当两个实数不能用开平方法和做差法判断大小时，可以先判断实数的范围，例如：，因为，所以，分子，可得，又因为，所以可得，即.
【随堂练习】
1．课堂上老师讲解了比较和的方法，观察发现11﹣10＝15﹣14＝1，于是比较这两个数的倒数：
因为，所以，则有．
请你设计一种方法比较与的大小．
2．（1）填表：
a … 0.000001 0.0001 0.01 1 100 10000 …
… 0.001 ______ 0.1 ___ ____ 100 …
（2）利用上表中的规律，解决下列问题：
已知1800，18，则a的值为_________；
（3）当a≥0时，比较和a的大小．
知识点5 估计无理数的大小
1、熟记常用的完全平方数和立方数
2、一个实数的小数部分=这个实数-这个实数的整数部分.
【典例】
已知a，b分别是6﹣的整数部分和小数部分，那么2a﹣b的值是____
【方法总结】
本题难点是求的整数部分和小数部分，首先判断的范围，因为9<13<16，所以，根据相反数的几何意义，在数轴上和关于原点对称，可得，则，所以是一个大于2小于3的实数，其整数部分为2，小数部分为，所以a=2，b=.
【随堂练习】
1．阅读下面的文字，解答问题：
大家知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部地写出来，于是小明用1来表示的小数部分，你同意小明的表示方法吗？
事实上，小明的表示方法是有道理，因为的整数部分是1，将这个数减去其整数部分，差就是小数部分．
又例如：
∵，即23，
∴的整数部分为2，小数部分为（2）．
请解答：（1）的整数部分是___，小数部分是___．
（2）如果的小数部分为a，的整数部分为b，求a+b的值；
（3）已知：10x+y，其中x是整数，且0＜y＜1，求x﹣y的相反数．
2．阅读下面的文字，解答问题：大家知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部写出来，于是小明用来表示的小数部分，你同意小明的表示方法吗？事实上，小明的表示方法是有道理的，因为的整数部分是1，将这个数减去其整数部分，差就是小数部分．又例如：∵22＜7＜32，即23，∴的整数部分为2，小数部分为2．
请解答：
（1）的整数部分是___，小数部分是___．
（2）如果的小数部分为a，的整数部分为b，求a+b的值；
（3）已知：x是3的整数部分，y是其小数部分，请直接写出x﹣y的值的相反数．
3．阅读理解．
∵，即23．
∴11＜2
∴1的整数部分为1，
∴1的小数部分为2．
解决问题：已知a是3的整数部分，b是3的小数部分．
（1）求a，b的值；
（2）求（﹣a）3+（b+4）2的平方根，提示：（）2＝17．
知识点6 实数的运算
实数之间不仅可以进行加、减、乘、除（除数不为0）、乘方运算，而且正数及0可以进行开平方运算，任意一个实数可以进行开立方运算.
在进行实数的运算时，有理数的运算法则及运算性质等同样适用.
实数的运算顺序：先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，同级运算从左到右依次计算，有括号的要先算括号里面的.
【典例】
1.计算：+|3﹣|+﹣+|4﹣|．
【方法总结】
1、运算顺序：先开平方、开立方、去绝对值；
2、化简后，有理数和无理数可以分别计算.
【随堂练习】
1．定义：如果一个数的平方等于﹣1，记为i2＝﹣1，这个数i叫做虚数单位．那么和我们所学的实数对应起来就叫做复数，表示为a+bi（a，b为实数），a叫这个复数的实部，b叫做这个复数的虚部，它的加，减，乘法运算与整式的加，减，乘法运算类似．
例如计算：（2+i）+（3﹣4i）＝（2+3）+（i﹣4i）＝5﹣3i
（1）填空：i3＝____，i4＝___．
（2）填空：①（2+i）（2﹣i）＝___； ②（2+i）2＝______．
（3）若两个复数相等，则它们的实部和虚部必须分别相等，完成下列问题：已知，（x+y）+3i＝1﹣（x﹣y）i，（x，y为实数），求x，y的值．
（4）试一试：请利用以前学习的有关知识将化简成a+bi的形式．
（5）解方程：x2﹣2x+4＝0．
2．已知x，y，求下列各式的值：
（1）x2﹣xy+y2；
（2）．
综合运用
在实数、﹣3、0、、3.1415、π、、、2.123122312233…（不循环）中，无理数的个数为_________个.
数轴上与表示1的点距离为的点表示的数是_______．
比较大小：+1_______4；3﹣1_______1+2（填“＞”“＜”或“=”）．
4.在下列各数﹣3.21，，5，，，﹣π，，0，，0.121121112中：
整数有{______________________}
有理数有{_________________________}
无理数有{}
负实数有{______________________}．
5.画出数轴，在数轴上表示下列各数，并用“＜”连接：
﹣，，0，．
6.若的整数部分为a，小数部分为b，求a2+b﹣的值．
7.介于两个相邻的整数a、b（a＜b）之间，求a+b的值.
8.计算：
（1）|﹣3|+﹣．
（2）|﹣5|+（﹣2）2+﹣﹣1．
（3）×﹣23×
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