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第4讲 函数
知识点1 常量与变量
在一个变化过程中，我们称数值发生变化的量为变量，数值始终不变的量为常量.
注意：字母可以表示数，但不一定是变量.
【典例】
1.我国是一个严重缺水的国家，我们都应该倍加珍惜水资源，节约用水．据测试，拧不紧的水龙头每秒会滴下2滴水，每滴水约0.5毫升．小燕子同学在洗手时，没有拧紧水龙头，当小燕子离开x（时）后水龙头滴了y（毫升）水．在这段文字中涉及的量中，哪些是常量，哪些是变量？
【解析】解：在一个变化的过程中，数值发生变化的量称为变量；数值始终不变的量称为常量．由题意得，
常量有：2，0.5；
变量有：x，y．
【方法总结】
方法：关系式中出现π时，则π一定是常量.
【随堂练习】
1．在一次实验中，小强把一根弹簧的上端固定，在其下端悬挂物体．下面是他测得的弹簧的长度y与所挂物体的质量x的一组对应值：
所挂物体的质量x/kg 0 1 2 3 4 5
弹簧的长度y/cm 20 22 24 26 28 30
（1）上表反映了哪两个变量之间的关系？哪个是自变量？哪个是因变量？
（2）填空：
①当所挂的物体为3kg时，弹簧长是___．不挂重物时，弹簧长是____．
②当所挂物体的质量为8kg（在弹簧的弹性限度范围内）时，弹簧长度是 _____．
【解答】解：（1）反映了弹簧长度y与所挂物体质量x之间的关系，所挂物体的质量是自变量，弹簧的长度是因变量；
（2）①根据表格可知：当所挂物体重量为3千克时，弹簧长度为26cm；不挂重物时，弹簧长度为10cm；
故答案为：26cm 20cm．
②根据表格可知：所挂重物每增加1千克，弹簧增长2cm，根据弹簧的长度=弹簧原来的长度+弹簧伸长的长度可知当所挂物体的重量为x千克时，弹簧长度y=2x+20，将x=8代入得y=2×8+20=36．
故答案为：36cm．
2．指出下列问题中的变量和常量：
某市的自来水价为4元/t，现要抽取若干户居民调查水费支出情况，记某户月用水量为x t，月应交水费为y元．
【解答】解：依题意得：y=4x（x≥0）．
该函数式中，变量是x、y，常量是4．
知识点2 函数的相关概念
1. 函数：在一个变化过程中，如果有两个变量x与y，并且对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与其对应，那么我们就说x是自变量，y是因变量，y是x的函数.
2. 函数值：在一个函数中，如果当x=a时y=b，那么b叫做自变量的值为a时的函数值.
3. 解析式：用关于自变量的数学式子表示函数与自变量之间的关系，这种式子叫做函数解析式.
4. 函数自变量的取值范围
确定自变量的取值范围时，不仅要考虑使函数关系式有意义，而且还要注意问题的实际意义.
【典例】
1.某公司销售部门发现，该公司的销售收入随销售量的变化而变化，其中__________是自变量，_______________是因变量．
【答案】销售量 销售收入
【解析】解：根据题意知，公司的销售收入随销售量的变化而变化，
所以销售量是自变量，收入数为因变量．
故答案为：销售量，销售收入．
2.下列四个图象中， y是关于x的函数的是____________.
【答案】①②③
【解析】解：对于①②③中x的每一个值，y都有唯一确定的值和它对应，都是y关于x的函数.
④中当x（与x轴的交点除外）每取一个值，y都有2个值与之对应，所以y不是x的函数．
故答案为①②③.
3.判断下列选项中的变量y是否为x的函数？
①y=2x；
②y=2x2；
③y2=2x；
④y=2|x|；
⑤|y|=2x．
【解析】解：对于①②④中x的每一个值，y都有唯一确定的值和它对应，都是y关于x的函数.
③当x=2时，y=2或﹣2，故y不是x的函数；
⑤当x=1时，y=2或﹣2，故y不是x的函数．
【方法总结】
1. 确定自变量和因变量的方法：
①自变量是先发生变化的量，因变量是后发生变化的量；
②自变量是一个主动发生变化的量，因变量是一个被动变化的量；
③自变量是因，因变量是果.
2. 确定关系式或图象为函数的方法：
对于所有自变量x的取值，y都有唯一确定的值和它对应.
【随堂练习】
4.求下列函数自变量x的取值范围．
（1）y=﹣x2﹣5x+6；
（2）y=；
（3）y=．
【解析】解：（1）y=﹣x2﹣5x+6自变量x的取值范围是全体实数；
（2）y=自变量x的取值范围是4x﹣3≥0，解得：x≥；
（3）y=自变量x的取值范围是7﹣x≥0且4+5x≠0，解得x≤7且x≠﹣．
5.著名的狄利克雷（DcicHer）函数是这样定义的：y=.
（1）这个函数的自变量与因变量分别是什么？
（2）这个函数的自变量的取值范围和函数值的取值范围分别是什么？
（3）请分别写出当x═1，，6.4，3.1415时的函数值．
【解析】解：（1）这个函数的自变量是x，因变量是y；
（2）这个函数自变量的取值范围是全体实数，函数值的取值范围是0和1；
（3）当x=1、6.4、3.1415时，y=1；
当x=时，y=0．
【方法总结】
求函数关系式自变量的取值范围一般从三个方面考虑：
①当函数解析式是整式时，自变量可取全体实数；
②当函数解析式是分式时，考虑分式的分母不能为0；
③当函数解析式是二次根式时，被开方数为非负数；
④当函数解析式是上面各式的综合时，先分别求自变量的取值范围，再取公共部分.
【随堂练习】
1．甲、乙两人以相同路线前往离学校12km的地方参加植树活动．图中l甲、l乙分别表示甲、乙两人前往目的地所行驶的路程s（km）随时间t（min）变化的函数图象，求每分钟乙比甲多行驶多少千米．
【解答】解：由图可知甲的行驶速度为：12÷24=0.5（km/min），
乙的行驶速度为：12÷（18﹣6）=1（km/min），
故每分钟乙比甲多行驶的路程为：1﹣0.5=0.5（km）．
2．某旅游景点每张普通门票的票价与买票的数量之间的函数关系如图所示．
（1）从图中可以看出：买票的数量a____时，票价打____折．
（2）某校八年级（1）（2）班的学生都不超过50人，两个班合起来买票，结果比每人独自去买票共节省了2400元，问该校八年级（1）（2）班的人数各为多少？
【解答】解：（1）从图中可以看出：买票的数量a＞50时，票价打八折；
故答案为＞50，八；
（2）设初三（1）、（2）各x、y人，则
120（x+y）﹣96（x+y）=2400
解得：x+y=100
∵每班人数不超过50人，
∴x=y=50
∴该校初三（1）、（2）的人数各为50人．
3．司机小王开车从A地出发去B地送信，其行驶路程与时间函数关系图象如图所示，当汽车行驶若干小时到达C地时，汽车发生了故障，需停车检修，修理了一段时间后，为了按时赶到B地，汽车加快了速度，结果正好按时赶到，根据题意及图回答下列问题：
（1）汽车从A地到C地用了几小时？平均每小时行驶多少千米？
（3）汽车停车检修用了多长时间？
（3）汽车从C地到B地行驶了多长时间？平均每小时行驶多少千米？原规定多长时间到达B地？
【解答】解：（1）汽车从A地到C地用了3小时，平均每小时行驶150参观3=50（千米/小时）；
（2）4﹣3=1，即汽车检修了1小时；
（3）6﹣4=2，即汽车从C地到B地行驶了2小时；
平均每小时行驶300÷2=150（千米/小时）；
原规定6小时到达B地．
知识点3 函数的表示方法
①函数的表示方法——图象法
1. 函数图象
对于一个函数，如果把自变量x与函数的每对对应值y分别作为点的横坐标、纵坐标，那么坐标平面内由这些点组成的图形，就是这个函数的图象.
注：①以满足函数解析式的有序实数对为坐标的点一定在函数图象上；
②函数图象上点的坐标满足函数解析式.
2. 画函数图象的步骤：
①列表（表中随机取出一些自变量的值及其对应的函数值）；
②描点（在直角坐标系中，以自变量的值为横坐标，相应的函数值为纵坐标，描出表中数值对应的各点）；
③连线（按横坐标由小到大的顺序把描出的各点用平滑的曲线连接起来）.
3. 用图象法表示函数的优缺点
优点：直观的反应两个变量之间的关系，形象的反应函数的一些性质及变化趋势.
缺点：由图象所得到的有关数据和数量关系不准确.
【典例】
1.小红帮弟弟荡秋千（如图1），秋千离地面的高度h（m）与摆动时间t（s）之间的关系如图2所示．
（1）根据函数的定义，请判断变量h是否为关于t的函数？
（2）结合图象回答：
①当t=0.7s时，h的值是多少？并说明它的实际意义．
②秋千摆动第一个来回需多少时间？
【解析】解：（1）由图象可知，对于每一个摆动时间t，h都有唯一确定的值与其对应，
∴变量h是关于t的函数；
（2）①由函数图象可知，当t=0.7s时，h=0.5m，
它的实际意义是秋千摆动0.7s时，离地面的高度是0.5m；
②由图象可知，秋千摆动第一个来回需2.8s．
2.一天，王亮同学从家里跑步到体育馆，在那里锻炼了一阵后又走到某书店去买书，然后散步走回家如图反映的是在这一过程中，王亮同学离家的距离s（千米）与离家的时间t（分）之间的关系，请根据图象解答下列问题：
（1）体育馆离家的距离为________千米，书店离家的距离为________千米；王亮同学在书店待了________分钟．
（2）分别求王亮同学从体育馆走到书店的平均速度和从书店出来散步回家的平均速度．
【解析】解：（1）体育馆离家的距离为2.5千米，书店离家的距离为1.5千米；王亮同学在书店待了80﹣50=30（分）.
故答案为：2.5，1.5，30．
（2）从体育馆到书店的平均速度v=（千米/分），
从书店散步到家的平均速度v=（千米/分）．
【方法总结】
在图象中确定变量之间关系时需要注意：
①关键点.注意图象的最高点、最低点、转折点等，并弄清这些点所表示的意义；
②变量.看图象时分清自变量和因变量，不要弄混.
②函数的表示方法——列表法
列表法的优缺点：
优点：可以直接找到函数值.
缺点：只能列出部分自变量与函数的对应值，总结出的规律不一定可靠.
【典例】
1.父亲告诉小明：“距离地面越远，温度越低，”并给小明出示了下面的表格．
根据上表，父亲还给小明出了下面几个问题，你和小明一起回答．
（1）上表反映了哪两个变量之间的关系？哪个是自变量？哪个是因变量？
（2）如果用h表示距离地面的高度，用t表示温度，那么随着h的变化，t是怎么变化的？
（3）你知道距离地面5千米的高空温度是多少吗？
（4）你能猜出距离地面6千米的高空温度是多少吗？
【解析】解：（1）上表反映了温度和距地面高度之间的关系，高度是自变量，温度是因变量．
（2）由表可知，高度每上升一千米，温度降低6摄氏度；
（3）由表可知，距地面5千米时，温度为零下10摄氏度；
（4）t=-10-6=﹣16（℃）．
【方法总结】
方法：
当题目所给表格中没有问题所给自变量对应的函数值时，就需要自己总结规律，按规律求出自变量对应的函数值.常见的规律有：①等幅度增长（减小）；②成倍数增长（减小）.
③ 函数的表示方法——解析式法
解析式法表示函数的优缺点
优点：简单准确的反应两个变量之间的关系.
缺点：不能形象直观的反应函数关系的变化趋势.有些函数关系不能用解析式表示.
【典例】
1.将长为40cm，宽为15cm的长方形白纸，按图所示的方法粘合起来，粘合部分宽为5cm．
（1）根据图，将表格补充完整．
（2）设x张白纸粘合后的总长度为y cm，求y与x之间的函数解析式.
（3）你认为粘合起来白纸的总长度可能为2017cm吗？为什么？
【解析】解：（1）白纸张数为2时，纸条长度=40+35=75；白纸张数为5时，纸条长度=40+4×35=180；
故答案为：75；180．
（2）y=40+35（x﹣1）=35x+5.
（3）不能．
理由：根据题意得：
2017=35x+5，解得：x≈57.5．
∵x为整数，
∴所以粘合起来白纸的总长度不可能为2017cm．
【方法总结】
常见的求函数解析式的3种方式：
①根据表格中所列的数据，归纳总结两个变量的函数解析式；
②利用公式写出两个变量之间的函数解析式，比如各类几何图形的周长、面积、体积公式等；
③结合实际问题写出两个变量之间的函数解析式，比如销量×（售价-进价）=利润等.
【随堂练习】
1．研究发现，学生对概念的接受能力y与提出概念所用的时间x（分钟）之间有如下关系：
提出概念所用的时间x（分钟） 2 5 7 10 12 13 14 17 20
对概念的接受能力y 47.8 53.5 56.3 59 59.8 59.9 59.8 58.3 55
根据以上信息，回答下列问题：
（1）当提出概念所用的时间为10分钟时，学生的接受能力约是多少？
（2）当提出概念所用的时间为多少分钟时，学生的接受能力最强？
（3）在什么时间范围内，学生的接受能力在逐渐增强？什么时间范围内，学生的接受能力在逐渐增强减弱？
【解答】解：（1）当x=10时，y=59，所以时间是10分钟时，学生的接受能力是59．
（2）当x=13时，y的值最大是59.9，所以提出概念13分钟时，学生的接受能力最强．
（3）由表中数据可知：当0＜x＜13时，y值逐渐增大，学生的接受能力逐步增强；
当13＜x＜20时，y值逐渐减小，学生的接受能力逐步减弱．
2．声速y（米/秒）与气温x（℃）之间的关系如下表所示：
气温x（℃） 0 5 10 15 20
音速y（米/秒） 331 334 337 340 343
从表中可知音速y随温度x的升高而升高，在气温为20℃的一天召开运动会，某人看到发令枪的烟0.2秒后，听到了枪声，请问此人距发令地点约有多少米？
【解答】解：根据题意知气温为20℃时音速为343米/秒，
则此人距发令地点约有343×0.2=68.6米．
3．研究发现，地表以下岩层的温度与它所处的深度有表中的关系：
岩层的深度h/km 1 2 3 4 5 6 …
岩层的温度t/℃ 55 90 125 160 195 230 …
根据以上信息，回答下列问题：
（1）上表反映了哪两个变量之间的关系？哪个是自变量？哪个是因变量？
（2）岩层的深度h每增加1km，温度t是怎样变化的？
（3）估计岩层10km深处的温度是多少？
【解答】解：（1）上表反映了岩层的深度h（km）与岩层的温度t（℃）之间的关系；
其中岩层深度h（km）是自变量，岩层的温度t（℃）是因变量；
（2）岩层的深度h每增加1km，温度t上升35℃，
关系式：t=55+35（h﹣1）=35h+20；
（3）当h=10km时，t=35×10+20=370（℃）．
综合运用
1．在利用太阳能热水器来加热水的过程中，热水器里的水温随所晒时间的长短而变化，这个问题中因变量是（ ）
A．太阳光强弱 B．水的温度 C．所晒时间 D．热水器
【解答】解：根据函数的定义可知，水温是随着所晒时间的长短而变化，可知水温是因变量，所晒时间为自变量．
故选：B．
2．生活中太阳能热水器已进入千家万户，你知道吗，在利用太阳能热水器来加热水的过程中，热水器里的水温所晒时间的长短而变化，这个问题中因变量是（ ）
A．水的温度 B．太阳光强弱 C．所晒时间 D．热水器
【解答】解：根据函数的定义可知，水温是随着所晒时间的长短而变化，可知水温是因变量，所晒时间为自变量．
故选：A．
3．李明准备租用一辆出租车搞个体营运，现有甲乙两家出租车公司可以和他签订合同，设汽车每月行驶x千米，应付给甲公司的月租费y1元，应付给乙公司的月租费是y2元，y1、y2与x之间的函数关系的图象如图所示，请根据图象回答下列问题：
（1）每月行驶的路程在多少时，租甲，乙两家公司的费用相同？
（2）每月行驶的路程在什么范围内时，租甲公司的车合算？
（3）若李明估计每月行驶的路程为2300千米时，租哪家合算？
【解答】解：（1）设y1=k1x，将（1500，2000）代入求出函数解析式为将y1=x；
同理，设y2=k2x+b，将（0，1250），（1500，2000）代入，
可得函数解析式为y2=x+1250．
当x=1500时选甲、乙公司都可以
（2）当x＜1500时选甲公司．
（3）选乙公司
4．如图表示一人骑自行车离家的距离与时间的关系，骑车者9时离开家，15时到家，根据图象回答问题：
（1）到达离家最远的地方是什么时间？离家多远？
（2）第一次休息时离家多远？
（3）返回时的平均速度是多少？
【解答】解：（1）李老师到达距离家最远的地方是上午12：00，此时他离家有30千米；
（2）第一次休息时离家17千米
答：李老师第一次休息时离家17千米；
（3）15：00﹣13：00=2（小时），
30÷2=15千米/小时．
答：李老师返回时的平均速度为15千米/小时．
5．哥哥与弟弟两个人跑步，哥哥让弟弟先跑，如图所示的是两个人之间的距离y与时间x之间的函数图象，根据图中信息回答下列问题．
（1）哥哥让弟弟先跑多少秒？哥哥出发几秒后追上了弟弟？
（2）哥哥与弟弟的速度分别是多少？
【解答】解：（1）由图可得，当时间为4秒时，两人之间的距离达到最大值，故哥哥让弟弟先跑4秒；
由图可得，当时间为9秒时，两人之间的距离为0，即哥哥追上弟弟，而9﹣4=5，
因此哥哥出发5秒后追上了弟弟；
（2）由图可得，弟弟先跑4秒的路程为16米，
故弟弟的速度为16÷4=4米/秒；
设哥哥的速度为x米/秒，根据哥哥出发后5秒追上弟弟，可得
5x﹣4×5=16，
解得x=7.2，
故哥哥的速度为7.2米/秒．
6．根据科学研究表明，在弹簧的承受范围内，弹簧挂上物体后会伸长，测得一弹簧的长度y（cm）与所挂的物体的重量x（kg）间有下表的关系：下列说法不正确的是（ ）
x/kg 0 1 2 3 4 5
y/cm 20 20.5 21 21.5 22 22.5
A．x与y都是变量，且x是自变量，y是因变量
B．弹簧不挂重物时的长度为0cm
C．随着所挂物体的重量增加，弹簧长度逐渐变长
D．所挂物体的重量每增加1kg，弹簧长度增加0.5cm
【解答】解：A、x与y都是变量，且x是自变量，y是因变量，正确；
B、观察第一组数据，当x=0时，即弹簧不挂重物时的长度为20cm．此说法错误；
C、随着所挂物体的重量增加，弹簧长度逐渐变长，正确；
D、所挂物体的重量每增加1kg，弹簧长度增加0.5cm，正确；
故选：B．
7．变量x与y之间的关系式y=x2﹣2，当自变量x=2时，因变量y的值是（ ）
A．﹣2 B．﹣1 C．0 D．1
【解答】解：当x=2时，y=×22﹣2=0，
故选：C．
8．校园里栽下一棵小树高1.8米，以后每年长0.3米，则n年后的树高L与年数n之间的函数关系式_____．其中变量是____、 ____，常量是____．
【解答】解：树高L与年数n之间的函数关系式：L=0.3n+1.8，
变量L，n；常量0.3，1.8；
故答案为L=0.3n+1.8；L，n；0.3和1.8．
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第4讲 函数
知识点1 常量与变量
在一个变化过程中，我们称数值发生变化的量为变量，数值始终不变的量为常量.
注意：字母可以表示数，但不一定是变量.
【典例】
1.我国是一个严重缺水的国家，我们都应该倍加珍惜水资源，节约用水．据测试，拧不紧的水龙头每秒会滴下2滴水，每滴水约0.5毫升．小燕子同学在洗手时，没有拧紧水龙头，当小燕子离开x（时）后水龙头滴了y（毫升）水．在这段文字中涉及的量中，哪些是常量，哪些是变量？
【方法总结】
方法：关系式中出现π时，则π一定是常量.
【随堂练习】
1．在一次实验中，小强把一根弹簧的上端固定，在其下端悬挂物体．下面是他测得的弹簧的长度y与所挂物体的质量x的一组对应值：
所挂物体的质量x/kg 0 1 2 3 4 5
弹簧的长度y/cm 20 22 24 26 28 30
（1）上表反映了哪两个变量之间的关系？哪个是自变量？哪个是因变量？
（2）填空：
①当所挂的物体为3kg时，弹簧长是___．不挂重物时，弹簧长是____．
②当所挂物体的质量为8kg（在弹簧的弹性限度范围内）时，弹簧长度是 _____．
2．指出下列问题中的变量和常量：
某市的自来水价为4元/t，现要抽取若干户居民调查水费支出情况，记某户月用水量为x t，月应交水费为y元．
知识点2 函数的相关概念
1. 函数：在一个变化过程中，如果有两个变量x与y，并且对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与其对应，那么我们就说x是自变量，y是因变量，y是x的函数.
2. 函数值：在一个函数中，如果当x=a时y=b，那么b叫做自变量的值为a时的函数值.
3. 解析式：用关于自变量的数学式子表示函数与自变量之间的关系，这种式子叫做函数解析式.
4. 函数自变量的取值范围
确定自变量的取值范围时，不仅要考虑使函数关系式有意义，而且还要注意问题的实际意义.
【典例】
1.某公司销售部门发现，该公司的销售收入随销售量的变化而变化，其中__________是自变量，_______________是因变量．
2.下列四个图象中， y是关于x的函数的是____________.
3.判断下列选项中的变量y是否为x的函数？
①y=2x；
②y=2x2；
③y2=2x；
④y=2|x|；
⑤|y|=2x．
【方法总结】
1. 确定自变量和因变量的方法：
①自变量是先发生变化的量，因变量是后发生变化的量；
②自变量是一个主动发生变化的量，因变量是一个被动变化的量；
③自变量是因，因变量是果.
2. 确定关系式或图象为函数的方法：
对于所有自变量x的取值，y都有唯一确定的值和它对应.
【随堂练习】
4.求下列函数自变量x的取值范围．
（1）y=﹣x2﹣5x+6；
（2）y=；
（3）y=．
5.著名的狄利克雷（DcicHer）函数是这样定义的：y=.
（1）这个函数的自变量与因变量分别是什么？
（2）这个函数的自变量的取值范围和函数值的取值范围分别是什么？
（3）请分别写出当x═1，，6.4，3.1415时的函数值．
【方法总结】
求函数关系式自变量的取值范围一般从三个方面考虑：
①当函数解析式是整式时，自变量可取全体实数；
②当函数解析式是分式时，考虑分式的分母不能为0；
③当函数解析式是二次根式时，被开方数为非负数；
④当函数解析式是上面各式的综合时，先分别求自变量的取值范围，再取公共部分.
【随堂练习】
1．甲、乙两人以相同路线前往离学校12km的地方参加植树活动．图中l甲、l乙分别表示甲、乙两人前往目的地所行驶的路程s（km）随时间t（min）变化的函数图象，求每分钟乙比甲多行驶多少千米．
2．某旅游景点每张普通门票的票价与买票的数量之间的函数关系如图所示．
（1）从图中可以看出：买票的数量a____时，票价打____折．
（2）某校八年级（1）（2）班的学生都不超过50人，两个班合起来买票，结果比每人独自去买票共节省了2400元，问该校八年级（1）（2）班的人数各为多少？
3．司机小王开车从A地出发去B地送信，其行驶路程与时间函数关系图象如图所示，当汽车行驶若干小时到达C地时，汽车发生了故障，需停车检修，修理了一段时间后，为了按时赶到B地，汽车加快了速度，结果正好按时赶到，根据题意及图回答下列问题：
（1）汽车从A地到C地用了几小时？平均每小时行驶多少千米？
（3）汽车停车检修用了多长时间？
（3）汽车从C地到B地行驶了多长时间？平均每小时行驶多少千米？原规定多长时间到达B地？
知识点3 函数的表示方法
①函数的表示方法——图象法
1. 函数图象
对于一个函数，如果把自变量x与函数的每对对应值y分别作为点的横坐标、纵坐标，那么坐标平面内由这些点组成的图形，就是这个函数的图象.
注：①以满足函数解析式的有序实数对为坐标的点一定在函数图象上；
②函数图象上点的坐标满足函数解析式.
2. 画函数图象的步骤：
①列表（表中随机取出一些自变量的值及其对应的函数值）；
②描点（在直角坐标系中，以自变量的值为横坐标，相应的函数值为纵坐标，描出表中数值对应的各点）；
③连线（按横坐标由小到大的顺序把描出的各点用平滑的曲线连接起来）.
3. 用图象法表示函数的优缺点
优点：直观的反应两个变量之间的关系，形象的反应函数的一些性质及变化趋势.
缺点：由图象所得到的有关数据和数量关系不准确.
【典例】
1.小红帮弟弟荡秋千（如图1），秋千离地面的高度h（m）与摆动时间t（s）之间的关系如图2所示．
（1）根据函数的定义，请判断变量h是否为关于t的函数？
（2）结合图象回答：
①当t=0.7s时，h的值是多少？并说明它的实际意义．
②秋千摆动第一个来回需多少时间？
2.一天，王亮同学从家里跑步到体育馆，在那里锻炼了一阵后又走到某书店去买书，然后散步走回家如图反映的是在这一过程中，王亮同学离家的距离s（千米）与离家的时间t（分）之间的关系，请根据图象解答下列问题：
（1）体育馆离家的距离为________千米，书店离家的距离为________千米；王亮同学在书店待了________分钟．
（2）分别求王亮同学从体育馆走到书店的平均速度和从书店出来散步回家的平均速度．
【方法总结】
在图象中确定变量之间关系时需要注意：
①关键点.注意图象的最高点、最低点、转折点等，并弄清这些点所表示的意义；
②变量.看图象时分清自变量和因变量，不要弄混.
②函数的表示方法——列表法
列表法的优缺点：
优点：可以直接找到函数值.
缺点：只能列出部分自变量与函数的对应值，总结出的规律不一定可靠.
【典例】
1.父亲告诉小明：“距离地面越远，温度越低，”并给小明出示了下面的表格．
根据上表，父亲还给小明出了下面几个问题，你和小明一起回答．
（1）上表反映了哪两个变量之间的关系？哪个是自变量？哪个是因变量？
（2）如果用h表示距离地面的高度，用t表示温度，那么随着h的变化，t是怎么变化的？
（3）你知道距离地面5千米的高空温度是多少吗？
（4）你能猜出距离地面6千米的高空温度是多少吗？
【方法总结】
方法：
当题目所给表格中没有问题所给自变量对应的函数值时，就需要自己总结规律，按规律求出自变量对应的函数值.常见的规律有：①等幅度增长（减小）；②成倍数增长（减小）.
③ 函数的表示方法——解析式法
解析式法表示函数的优缺点
优点：简单准确的反应两个变量之间的关系.
缺点：不能形象直观的反应函数关系的变化趋势.有些函数关系不能用解析式表示.
【典例】
1.将长为40cm，宽为15cm的长方形白纸，按图所示的方法粘合起来，粘合部分宽为5cm．
（1）根据图，将表格补充完整．
（2）设x张白纸粘合后的总长度为y cm，求y与x之间的函数解析式.
（3）你认为粘合起来白纸的总长度可能为2017cm吗？为什么？
【方法总结】
常见的求函数解析式的3种方式：
①根据表格中所列的数据，归纳总结两个变量的函数解析式；
②利用公式写出两个变量之间的函数解析式，比如各类几何图形的周长、面积、体积公式等；
③结合实际问题写出两个变量之间的函数解析式，比如销量×（售价-进价）=利润等.
【随堂练习】
1．研究发现，学生对概念的接受能力y与提出概念所用的时间x（分钟）之间有如下关系：
提出概念所用的时间x（分钟） 2 5 7 10 12 13 14 17 20
对概念的接受能力y 47.8 53.5 56.3 59 59.8 59.9 59.8 58.3 55
根据以上信息，回答下列问题：
（1）当提出概念所用的时间为10分钟时，学生的接受能力约是多少？
（2）当提出概念所用的时间为多少分钟时，学生的接受能力最强？
（3）在什么时间范围内，学生的接受能力在逐渐增强？什么时间范围内，学生的接受能力在逐渐增强减弱？
2．声速y（米/秒）与气温x（℃）之间的关系如下表所示：
气温x（℃） 0 5 10 15 20
音速y（米/秒） 331 334 337 340 343
从表中可知音速y随温度x的升高而升高，在气温为20℃的一天召开运动会，某人看到发令枪的烟0.2秒后，听到了枪声，请问此人距发令地点约有多少米？
3．研究发现，地表以下岩层的温度与它所处的深度有表中的关系：
岩层的深度h/km 1 2 3 4 5 6 …
岩层的温度t/℃ 55 90 125 160 195 230 …
根据以上信息，回答下列问题：
（1）上表反映了哪两个变量之间的关系？哪个是自变量？哪个是因变量？
（2）岩层的深度h每增加1km，温度t是怎样变化的？
（3）估计岩层10km深处的温度是多少？
综合运用
1．在利用太阳能热水器来加热水的过程中，热水器里的水温随所晒时间的长短而变化，这个问题中因变量是（ ）
A．太阳光强弱 B．水的温度 C．所晒时间 D．热水器
2．生活中太阳能热水器已进入千家万户，你知道吗，在利用太阳能热水器来加热水的过程中，热水器里的水温所晒时间的长短而变化，这个问题中因变量是（ ）
A．水的温度 B．太阳光强弱 C．所晒时间 D．热水器
3．李明准备租用一辆出租车搞个体营运，现有甲乙两家出租车公司可以和他签订合同，设汽车每月行驶x千米，应付给甲公司的月租费y1元，应付给乙公司的月租费是y2元，y1、y2与x之间的函数关系的图象如图所示，请根据图象回答下列问题：
（1）每月行驶的路程在多少时，租甲，乙两家公司的费用相同？
（2）每月行驶的路程在什么范围内时，租甲公司的车合算？
（3）若李明估计每月行驶的路程为2300千米时，租哪家合算？
4．如图表示一人骑自行车离家的距离与时间的关系，骑车者9时离开家，15时到家，根据图象回答问题：
（1）到达离家最远的地方是什么时间？离家多远？
（2）第一次休息时离家多远？
（3）返回时的平均速度是多少？
5．哥哥与弟弟两个人跑步，哥哥让弟弟先跑，如图所示的是两个人之间的距离y与时间x之间的函数图象，根据图中信息回答下列问题．
（1）哥哥让弟弟先跑多少秒？哥哥出发几秒后追上了弟弟？
（2）哥哥与弟弟的速度分别是多少？
6．根据科学研究表明，在弹簧的承受范围内，弹簧挂上物体后会伸长，测得一弹簧的长度y（cm）与所挂的物体的重量x（kg）间有下表的关系：下列说法不正确的是（ ）
x/kg 0 1 2 3 4 5
y/cm 20 20.5 21 21.5 22 22.5
A．x与y都是变量，且x是自变量，y是因变量
B．弹簧不挂重物时的长度为0cm
C．随着所挂物体的重量增加，弹簧长度逐渐变长
D．所挂物体的重量每增加1kg，弹簧长度增加0.5cm
7．变量x与y之间的关系式y=x2﹣2，当自变量x=2时，因变量y的值是（ ）
A．﹣2 B．﹣1 C．0 D．1
8．校园里栽下一棵小树高1.8米，以后每年长0.3米，则n年后的树高L与年数n之间的函数关系式_____．其中变量是____、 ____，常量是____．
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