第6讲 二元一次方程组
知识点1 二元一次方程（组）的概念
1．二元一次方程的定义
（1）二元一次方程的定义
含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1，像这样的方程叫做二元一次方程．
（2）一般形式：ax+by+c=0(a、b、c为常数，且a≠0，b≠0)．
（3）二元一次方程需满足三个条件：
①方程是整式方程．②方程中共含有两个未知数．③所有未知项的次数都是一次．不符合上述任何一个条件的都不叫二元一次方程．
2．二元一次方程的解
（1）定义：一般地，使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程的解．
（2）在二元一次方程中，任意给出一个未知数的值，总能求出另一个未知数的一个唯一确定的值，所以二元一次方程有无数解．
（3）在求一个二元一次方程的整数解时，往往采用“给一个，求一个”的方法，即先给出其中一个未知数（一般是系数绝对值较大的）的值，再依次求出另一个的对应值．
3．二元一次方程组的定义
（1）二元一次方程组的定义：
由两个一次方程组成，并含有两个未知数的方程组叫做二元一次方程组．
（2）一般形式：
（其中不同时为零）
（3）二元一次方程组也满足三个条件：
①方程组中的两个方程都是整式方程．②方程组中共含有两个未知数．③每个方程都是一次方程．
【典例】
1.若方程（a+3）x|a|﹣2+3y=1是关于x，y的二元一次方程，则a= ．
2.已知二元一次方程x+3y=10
（1）直接写出它所有的正整数解；
（2）请你写出一个二元一次方程，使它与已知方程组成的方程组的解为．
3.下列方程组中，不是二元一次方程组的是（ ）
A. B. C. D.
【方法总结】
1．二元一次方程的判定方法
①方程是整式方程；②方程中共含有两个未知数；③所有未知项的次数都是一次．方程同时符合①②③，才是二元一次方程；否则，不是二元一次方程．
2．二元一次方程整数解的求法
在求一个二元一次方程的整数解时，往往采用“给一个，求一个”的方法，即先给出其中一个未知数（一般是系数绝对值较大的）的值，再依次求出另一个的对应值．
3．二元一次方程组的判定方法
①方程组中的两个方程都是整式方程；②方程组中共含有两个未知数；③每个方程都是一次方程．方程组同时符合①②③，才是二元一次方程组；否则，不是二元一次方程组．
【随堂练习】
1．已知当x＝3，y＝5与x＝﹣4，y＝﹣9都是方程y＝kx+b的解，求当x时，y的值是多少？
2．已知a的两个平方根x、y为4x﹣3y﹣28＝0的一组解，求4a的算术平方根．
3．已知方程mx+ny＝10，有两个解分别是和，求2m﹣n的值．
知识点2 解二元一次方程组
1．二元一次方程组的解
（1）定义：一般地，二元一次方程组的两个方程的公共解，叫做二元一次方程组的解．
（2）一般情况下二元一次方程组的解是唯一的．当遇到有关二元一次方程组的解的问题时，要回到定义中去，通常采用代入法，即将解代入原方程组，这种方法主要用在求方程中的字母系数．
2．解二元一次方程组
（1）用代入法解二元一次方程组的一般步骤：
①从方程组中选一个系数比较简单的方程，将这个方程组中的一个未知数用含另一个未知数的代数式表示出来．
②将变形后的关系式代入另一个方程，消去一个未知数，得到一个一元一次方程．
③解这个一元一次方程，求出x（或y）的值．
④将求得的未知数的值代入变形后的关系式中，求出另一个未知数的值．
⑤把所求得的两个未知数的值写在一起，就得到原方程组的解，用的形式表示．
（2）用加减法解二元一次方程组的一般步骤：
①方程组的两个方程中，如果同一个未知数的系数既不相等又不互为相反数，就用适当的数去乘方程的两边，使某一个未知数的系数相等或互为相反数．
②把两个方程的两边分别相减或相加，消去一个未知数，得到一个一元一次方程．
③解这个一元一次方程，求得未知数的值．
④将求出的未知数的值代入原方程组的任意一个方程中，求出另一个未知数的值．
⑤把所求得的两个未知数的值写在一起，就得到原方程组的解，用的形式表示．
【典例】
1.已知是方程组的解，则（m+n）2018的值为________________．
2.用代入法解下列方程组
（1）；
（2）．
3.解下列二元一次方程组
（1）
（2）
4. 若单项式﹣2xa﹣1y3与3x﹣by2a+b是同类项，则ba的值为 ．
【方法总结】
1．消元法
①消元思想：二元一次方程组中有两个未知数，如果消去其中一个未知数，那么就把二元一次方程组转化为我们熟悉的一元一次方程，我们就可以先求出一个未知数，然后再求出另一个未知数，这种将未知数由多化少，逐一解决的思想，叫做消元思想．
②消元的基本思想：未知数由多变少．
③消元的基本方法：把二元一次方程组转化为一元一次方程．
2．二元一次方程组的解法
二元一次方程组的解法有两种：代入法和加减法．
（1）代入法解题思路
①用代入法解二元一次方程组时，应先观察各项系数的特点，尽可能选择变形后比较简单或代入后化简比较容易的方程变形；
②变形后的方程不能再代入原方程，只能代入原方程组中的另一个方程．
（2）加减消元法的选择方法
①选择系数绝对值较小的未知数消元；
②某一未知数绝对值相等，如果符号不同，用加法消元，如果符号相同，用减法消元；
③某一未知数系数成倍数关系时，直接对其中一个方程变形，使其系数绝对值相等，再运用加减法消 元；
④当相同的未知数的系数都不相等时，找出某一个未知数的最小公倍数，同时对两个方程进行变形，转化为绝对值相同的系数，再用加减法来解．
【随堂练习】
1．阅读下列解方程组的方法，然后解答问题：
解方程组时，由于x、y的系数及常数项的数值较大，如果用常规的代入消元法、加减消元法来解，那将是计算量大，且易出现运算错误，而采用下面的解法则比较简单：
②﹣①得：3x+3y＝3，所以x+y＝1③
③×14得：14x+14y＝14④
①﹣④得：y＝2，从而得x＝﹣1
所以原方程组的解是
（1）请你运用上述方法解方程组
（2）请你直接写出方程组的解是__；
（3）猜测关于x、y的方程组（m≠n）的解是什么？并用方程组的解加以验证．
2．阅读材料：善于思考的小军在解方程组时，采用了一种“整体代换”的解法：
解：将方程②变形：4x+10y+y＝5即2（2x+5y）+y＝5③
把方程①代入③得：2×3+y＝5，∴y＝﹣1
把y＝﹣1代入①得x＝4，
∴方程组的解为．
请你解决以下问题：
（1）模仿小军的“整体代换”法解方程组；
（2）已知x，y满足方程组，求x2+4y2与xy的值．
3．阅读材料：善于思考的小军在解方程组时，采用了一种“整体代换”的解法：
解：将方程②变形：4x+10y+y＝5，即2（2x+5y）+y③，把方程①代入③得：2×3+y＝5，y＝﹣1
把y＝﹣1代入方程①得：X＝4，所以，方程组的解为
请你解决以下问题：
（可直接写出答案）
（1）模仿小军的“整体代换”法解方程组
（2）已知x，y满足方程组模仿小军的“整体代换”法
（i）求x2+4y2的值．
（ii）求3xy的值．
知识点3 解三元一次方程组
1．解三元一次方程组
（1）三元一次方程组的定义：方程组含有三个未知数，每个方程中含未知数的项的次数都是1，并且一共有三个方程，像这样的方程组叫做三元一次方程组．
（2）解三元一次方程组的一般步骤：
①首先利用代入法或加减法，把方程组中一个方程与另两个方程分别组成两组，消去两组中的同一个未知数，得到关于另外两个未知数的二元一次方程组．
②然后解这个二元一次方程组，求出这两个未知数的值．
③再把求得的两个未知数的值代入原方程组中的一个系数比较简单的方程，得到一个关于第三个未知数的一元一次方程．
④解这个一元一次方程，求出第三个未知数的值．
⑤把所求得的三个未知数的值写在一起，就得到原方程组的解，用的形式表示．
【典例】
1.解方程组：．
2. 有甲乙丙三种商品，若购甲3件，乙2件，丙1件共需315元，购甲1件，乙2件，丙3件共需285元，那么购甲乙丙三种商品各一件共需 元．
【方法总结】
1．三元一次方程组的解法
解三元一次方程组的基本思路是：通过“代入”或“加减”进行消元，将“三元”化为“二元”，使解三元一次方程组转化为解二元一次方程组，进而再转化为解一元一次方程．
主要的解法就是加减消元法和代入消元法，通常采用加减消元法，若方程难解就用代入消元法，因题而异，其思路都是利用消元法逐步消元．
2．三元一次方程组的实际问题
在解决实际问题时，若未知量较多，要考虑设三个未知数，但同时应注意，设几个未知数，就要找到几个等量关系列几个方程．
【随堂练习】
1．如果，且x+y+z＝18，求x，y，z的值．
知识点4 同解问题和错解问题
【典例】
1.已知方程组和有相同的解，求（2a+3b）2018的值．
2.在解方程组时，由于粗心，甲看错了方程组中的a，得到的解为，乙看错了方程组中的b，得到的解为．
（1）求正确的a，b的值；
（2）求原方程组的解．
【方法总结】
1．同解问题解题思路
如：已知方程组（1）和（2）有相同的解，求a、b的值．
解题思路如下：
①将方程组（1）中系数不是参数的二元一次方程和方程组（2）中系数不是参数的二元一次方程组成新的二元一次方程组，方程组与方程组（1）和方程（2）同解．
②解二元一次方程组，得，
③将的值代入方程组（1）中含有参数的二元一次方程和方程组（2）中含有参数的二元一次方程，即可得到关系x、y的二元一次方程组，解得，即求出参数a、b的值．
2．错解问题解题思路
如：在解方程组时，由于粗心，甲看错了方程组中的a，得到的解为，乙看错了方程组中的b，得到的解为，求正确的a，b的值．
解题思路如下：
①甲看错了方程组中的a，但没看错b，说明b的值是正确的，是二元一次方程的一组解，即12-b=4；
②乙看错了方程组中的b，但没看错a，说明a的值是错误的，是二元一次方程的一组解，即5a+20=10；
③解方程12-b=4和5a+20=10，即可求出正确的a，b的值．
【随堂练习】
1．在解关于x，y的方程组时，老师告诉同学们正确的解是，小明由于看错了系数c，因而得到的解为，试求a+b+c的值．
2．已知方程组甲由于看错了方程（1）中的a，得到方程组的解为，乙由于看错了方程（2）中的b，得到方程组的解为，若按正确的计算，求x+6y的值．
知识点5 含参二元一次方程组
【典例】
1.已知关于x、y的方程组
（1）求这个方程组的解（用含m的代数式表示）；
（2）当m取何值时，这个方程组的解中，x+y=2．
【方法总结】
含参二元一次方程组解题思路
将参数（比如m）看着常数，然后解关于x、y的二元一次方程组，再结合题目中所给条件，解答相应的问题．
【随堂练习】
1．已知方程组的解x、y的值的符号相反．求a的取值范围．
2．已知关于x、y的二元一次方程组的解都大于1，试求m的取值范围．
综合运用
1.若方程xm﹣1﹣3yn+1=5是关于x、y的二元一次方程，则m+n=____________．
2.已知方程5x﹣y=7，用含x的代数式表示y，y= ．
3. 方程x+2y=7有 个解，正整数解是_______________________．
4. 写出一个解为的二元一次方程组是 ．
5. 方程组的解是 ．
6. 已知﹣2xm﹣1y3与xnym+n是同类项，那么（n﹣m）2018= ．
7.在等式y=kx+b中，当x=1时，y=﹣2；当x=﹣1时，y=﹣4．则k= ，b= ．
8.已知2a+b+3c=15，3a+b+5c=25，则a+b+c= ．
9.若关于x，y的方程组和有相同的解，则a= ，b= ．
10.已知方程组和方程组有相同的解，则a2﹣2ab+b2的值为 ．
11.甲、乙两人同解方程组，甲正确解得，乙因抄错了c，解得，则a= ，b= ，c= ．
12.已知关于x，y的方程组的解满足x+y=2，则a的值是 ．
13.解下列方程组：
（1）用代入消元法解；
（2）用加减消元法解．
14.已知方程组与方程组的解相同，求a、b的值．
15.已知方程组，由于甲看错了方程（1）中的a得到方程组的解为，乙看错了方程（2）中的b得到方程组的解为．若按正确的a，b计算，求原方程组的解．
16.甲、乙两人共同解方程组由于甲看错了方程①中的a，得到方程组的解为；乙看错了方程②中的b，得到方程组的，试计算的值．
17.m为何值时，方程组的解互为相反数？求这个方程组的解．
13第6讲 二元一次方程组
知识点1 二元一次方程（组）的概念
1．二元一次方程的定义
（1）二元一次方程的定义
含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1，像这样的方程叫做二元一次方程．
（2）一般形式：ax+by+c=0(a、b、c为常数，且a≠0，b≠0)．
（3）二元一次方程需满足三个条件：
①方程是整式方程．②方程中共含有两个未知数．③所有未知项的次数都是一次．不符合上述任何一个条件的都不叫二元一次方程．
2．二元一次方程的解
（1）定义：一般地，使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程的解．
（2）在二元一次方程中，任意给出一个未知数的值，总能求出另一个未知数的一个唯一确定的值，所以二元一次方程有无数解．
（3）在求一个二元一次方程的整数解时，往往采用“给一个，求一个”的方法，即先给出其中一个未知数（一般是系数绝对值较大的）的值，再依次求出另一个的对应值．
3．二元一次方程组的定义
（1）二元一次方程组的定义：
由两个一次方程组成，并含有两个未知数的方程组叫做二元一次方程组．
（2）一般形式：
（其中不同时为零）
（3）二元一次方程组也满足三个条件：
①方程组中的两个方程都是整式方程．②方程组中共含有两个未知数．③每个方程都是一次方程．
【典例】
1.若方程（a+3）x|a|﹣2+3y=1是关于x，y的二元一次方程，则a= ．
【答案】3．
【解析】解： ∵若方程（a+3）x|a|﹣2+3y=1是关于x，y的二元一次方程，
∴|a|﹣2=1，且a+3≠0，解得a=3，
故答案为：3．
2.已知二元一次方程x+3y=10
（1）直接写出它所有的正整数解；
（2）请你写出一个二元一次方程，使它与已知方程组成的方程组的解为．
【解析】解：（1）方程x+3y=10，
解得：x=﹣3y+10，
当y=1时，x=7；当y=2时，x=4；当y=3时，x=1，
则方程的正整数解为；；；
（2）2x+y=0．
3.下列方程组中，不是二元一次方程组的是（ ）
【选项A】
【选项B】
【选项C】
【选项D】
【答案】【选项C】
【解析】解：A、符合二元一次方程组的定义，是二元一次方程组，故本选项错误；
B、符合二元一次方程组的定义，是二元一次方程组，故本选项错误；
C、因为是二元二次方程，所以是二元二次方程组，不是二元一次方程组，故本选项正确；
D、符合二元一次方程组的定义，是二元一次方程组，故本选项错误；
故选：C
【方法总结】
1．二元一次方程的判定方法
①方程是整式方程；②方程中共含有两个未知数；③所有未知项的次数都是一次．方程同时符合①②③，才是二元一次方程；否则，不是二元一次方程．
2．二元一次方程整数解的求法
在求一个二元一次方程的整数解时，往往采用“给一个，求一个”的方法，即先给出其中一个未知数（一般是系数绝对值较大的）的值，再依次求出另一个的对应值．
3．二元一次方程组的判定方法
①方程组中的两个方程都是整式方程；②方程组中共含有两个未知数；③每个方程都是一次方程．方程组同时符合①②③，才是二元一次方程组；否则，不是二元一次方程组．
【随堂练习】
1．已知当x＝3，y＝5与x＝﹣4，y＝﹣9都是方程y＝kx+b的解，求当x时，y的值是多少？
【解答】解：根据题意，得：，
解得：，
则y＝2x﹣1，
当x时，y＝21＝7﹣1＝6．
2．已知a的两个平方根x、y为4x﹣3y﹣28＝0的一组解，求4a的算术平方根．
【解答】解：由题意得：，
解得：，
则a＝16，
所以8．
3．已知方程mx+ny＝10，有两个解分别是和，求2m﹣n的值．
【解答】解：根据题意，将x＝2、y＝﹣1代入mx+ny＝10，可得2m﹣n＝10．
知识点2 解二元一次方程组
1．二元一次方程组的解
（1）定义：一般地，二元一次方程组的两个方程的公共解，叫做二元一次方程组的解．
（2）一般情况下二元一次方程组的解是唯一的．当遇到有关二元一次方程组的解的问题时，要回到定义中去，通常采用代入法，即将解代入原方程组，这种方法主要用在求方程中的字母系数．
2．解二元一次方程组
（1）用代入法解二元一次方程组的一般步骤：
①从方程组中选一个系数比较简单的方程，将这个方程组中的一个未知数用含另一个未知数的代数式表示出来．
②将变形后的关系式代入另一个方程，消去一个未知数，得到一个一元一次方程．
③解这个一元一次方程，求出x（或y）的值．
④将求得的未知数的值代入变形后的关系式中，求出另一个未知数的值．
⑤把所求得的两个未知数的值写在一起，就得到原方程组的解，用的形式表示．
（2）用加减法解二元一次方程组的一般步骤：
①方程组的两个方程中，如果同一个未知数的系数既不相等又不互为相反数，就用适当的数去乘方程的两边，使某一个未知数的系数相等或互为相反数．
②把两个方程的两边分别相减或相加，消去一个未知数，得到一个一元一次方程．
③解这个一元一次方程，求得未知数的值．
④将求出的未知数的值代入原方程组的任意一个方程中，求出另一个未知数的值．
⑤把所求得的两个未知数的值写在一起，就得到原方程组的解，用的形式表示．
【典例】
1.已知是方程组的解，则（m+n）2018的值为________________．
【答案】1．
【解析】解：∵是方程组的解，
∴把代入方程组，得，解得，
∴（m+n）2018=12018=1，
故答案为：1．
2.用代入法解下列方程组
（1）；
（2）．
【解析】解：（1），
由①得：a=b+1 ③，
把③代入②，得3（b+1）+2b=8，解得b=1，
将b=1代入③得，a=b+1=2，
∴方程组的解为；
（2），
由②得x=﹣4y+13③，
把③代入①得2（﹣4y+13）+3y=16，解得：y=2，
把y=2代入③得x=5．
∴方程组的解为．
3.解下列二元一次方程组
（1）
（2）
【解析】解：（1），
①+②得：5x=10，解得：x=2，
把x=2代入①得：y=3，
则方程组的解为；
（2），
①×3+②得：10a=5，
解得：a=，
把a=代入①得：b=，
则方程组的解为．
4. 若单项式﹣2xa﹣1y3与3x﹣by2a+b是同类项，则ba的值为 ．
【答案】1．
【解析】解：∵﹣2xa﹣1y3与3x﹣by2a+b是同类项，
∴，解得，
∴ba=（﹣1）2=1，
故答案为：1．
【方法总结】
1．消元法
①消元思想：二元一次方程组中有两个未知数，如果消去其中一个未知数，那么就把二元一次方程组转化为我们熟悉的一元一次方程，我们就可以先求出一个未知数，然后再求出另一个未知数，这种将未知数由多化少，逐一解决的思想，叫做消元思想．
②消元的基本思想：未知数由多变少．
③消元的基本方法：把二元一次方程组转化为一元一次方程．
2．二元一次方程组的解法
二元一次方程组的解法有两种：代入法和加减法．
（1）代入法解题思路
①用代入法解二元一次方程组时，应先观察各项系数的特点，尽可能选择变形后比较简单或代入后化简比较容易的方程变形；
②变形后的方程不能再代入原方程，只能代入原方程组中的另一个方程．
（2）加减消元法的选择方法
①选择系数绝对值较小的未知数消元；
②某一未知数绝对值相等，如果符号不同，用加法消元，如果符号相同，用减法消元；
③某一未知数系数成倍数关系时，直接对其中一个方程变形，使其系数绝对值相等，再运用加减法消 元；
④当相同的未知数的系数都不相等时，找出某一个未知数的最小公倍数，同时对两个方程进行变形，转化为绝对值相同的系数，再用加减法来解．
【随堂练习】
1．阅读下列解方程组的方法，然后解答问题：
解方程组时，由于x、y的系数及常数项的数值较大，如果用常规的代入消元法、加减消元法来解，那将是计算量大，且易出现运算错误，而采用下面的解法则比较简单：
②﹣①得：3x+3y＝3，所以x+y＝1③
③×14得：14x+14y＝14④
①﹣④得：y＝2，从而得x＝﹣1
所以原方程组的解是
（1）请你运用上述方法解方程组
（2）请你直接写出方程组的解是__；
（3）猜测关于x、y的方程组（m≠n）的解是什么？并用方程组的解加以验证．
【解答】解：（1）②﹣①得：3x+3y＝3，所以x+y＝1③
③×2005得：2005x+2005y＝2005④
①﹣④得：y＝2，
把y＝2代入③得：x+2＝1，
解得：x＝﹣1
所以原方程组的解是：
（2）
（3）
当x＝﹣1，y＝2时，第一个方程：左边＝﹣m+（m+1）×2＝﹣m+2m+2＝m+2＝右边
第二个方程：左边＝﹣n+（n+1）×2＝﹣n+2n+2＝n+2＝右边
∴是原方程组的解．
2．阅读材料：善于思考的小军在解方程组时，采用了一种“整体代换”的解法：
解：将方程②变形：4x+10y+y＝5即2（2x+5y）+y＝5③
把方程①代入③得：2×3+y＝5，∴y＝﹣1
把y＝﹣1代入①得x＝4，
∴方程组的解为．
请你解决以下问题：
（1）模仿小军的“整体代换”法解方程组；
（2）已知x，y满足方程组，求x2+4y2与xy的值．
【解答】解：（1）将方程②变形：3x+6x﹣4y＝19即3x+2（3x﹣2y）＝19③
把方程①代入③得：3x+10＝19，∴x＝3
把x＝3代入①得y＝2，
∴方程组的解为．
（2）①+2×②得到，7x2+28y2＝119，
∴x2+4y2＝17，
由①得到3（x2+4y2）﹣2xy＝47，
∴51﹣2xy＝47
∴xy＝2．
3．阅读材料：善于思考的小军在解方程组时，采用了一种“整体代换”的解法：
解：将方程②变形：4x+10y+y＝5，即2（2x+5y）+y③，把方程①代入③得：2×3+y＝5，y＝﹣1
把y＝﹣1代入方程①得：X＝4，所以，方程组的解为
请你解决以下问题：
（可直接写出答案）
（1）模仿小军的“整体代换”法解方程组
（2）已知x，y满足方程组模仿小军的“整体代换”法
（i）求x2+4y2的值．
（ii）求3xy的值．
【解答】解：（1）把方程②变形：3（3x﹣2y）+2y＝19③，
把①代入③得：15+2y＝19，即y＝2，
把y＝2代入①得：x＝3，
则方程组的解为；
（2）（i）由①得：3（x2+4y2）＝47+2xy，即x2+4y2③，
把③代入②得：236﹣xy，
解得：xy＝2，
将xy＝2代入2x2+xy+8y2＝36得：2x2+2+8y2＝36，
解得：x2+4y2＝17；
（ii）由（i）知xy＝2，则3xy＝6．
知识点3 解三元一次方程组
1．解三元一次方程组
（1）三元一次方程组的定义：方程组含有三个未知数，每个方程中含未知数的项的次数都是1，并且一共有三个方程，像这样的方程组叫做三元一次方程组．
（2）解三元一次方程组的一般步骤：
①首先利用代入法或加减法，把方程组中一个方程与另两个方程分别组成两组，消去两组中的同一个未知数，得到关于另外两个未知数的二元一次方程组．
②然后解这个二元一次方程组，求出这两个未知数的值．
③再把求得的两个未知数的值代入原方程组中的一个系数比较简单的方程，得到一个关于第三个未知数的一元一次方程．
④解这个一元一次方程，求出第三个未知数的值．
⑤把所求得的三个未知数的值写在一起，就得到原方程组的解，用的形式表示．
【典例】
1.解方程组：．
【答案】．
【解析】解：．
把③代入①得，5y+z=12④，
把③代入②得，6y+5z=22⑤，
④×5﹣⑤，得19y=38，解得y=2，
把y=2代入④得5×2+z=12，解得z=2，
把y=2，z=2代入①，得x+2+2=12，解得x=8，
故原方程组的解为：
2. 有甲乙丙三种商品，若购甲3件，乙2件，丙1件共需315元，购甲1件，乙2件，丙3件共需285元，那么购甲乙丙三种商品各一件共需 元．
【答案】150．
【解析】解：设一件甲商品x元，乙y元，丙z元．
∵若购甲3件，乙2件，丙1件共需315元，
∴
∵购甲1件，乙2件，丙3件共需285元，
∴
∴
①+②得：4x+4y+4z=600，即x+y+z=150，
∴购甲乙丙三种商品各一件共需150元．
故答案为：150．
【方法总结】
1．三元一次方程组的解法
解三元一次方程组的基本思路是：通过“代入”或“加减”进行消元，将“三元”化为“二元”，使解三元一次方程组转化为解二元一次方程组，进而再转化为解一元一次方程．
主要的解法就是加减消元法和代入消元法，通常采用加减消元法，若方程难解就用代入消元法，因题而异，其思路都是利用消元法逐步消元．
2．三元一次方程组的实际问题
在解决实际问题时，若未知量较多，要考虑设三个未知数，但同时应注意，设几个未知数，就要找到几个等量关系列几个方程．
【随堂练习】
1．如果，且x+y+z＝18，求x，y，z的值．
【解答】解：根据题意，设x+3＝2k，y﹣1＝3k，z﹣2＝4k，
则x＝2k﹣3，y＝3k+1，z＝4k+2．
∵x+y+z＝18，
∴2k﹣3+3k+1+4k+2＝18，
解得k＝2，
∴x＝2×2﹣3＝1，
y＝3×2+1＝7，
z＝4×2+2＝10．
知识点4 同解问题和错解问题
【典例】
1.已知方程组和有相同的解，求（2a+3b）2018的值．
【解析】解：∵已知方程组和有相同的解，
∴方程组的解与方程组和的解，
∴解方程组，得．
将x=2，y=3代入方程ax+by=﹣1得2a+3b=﹣1，
∴（2a+3b）2018=（-1）2018
=1．
故（2a+3b）2018的值为1．
2.在解方程组时，由于粗心，甲看错了方程组中的a，得到的解为，乙看错了方程组中的b，得到的解为．
（1）求正确的a，b的值；
（2）求原方程组的解．
【解析】解：（1）∵在解方程组时，由于粗心，甲看错了方程组中的a，得到的解为，乙看错了方程组中的b，得到的解为．
∴是的一组解，是的一组解，
∴， ，
∴，解得：；
（2）把代入方程组得：，解得：．
【方法总结】
1．同解问题解题思路
如：已知方程组（1）和（2）有相同的解，求a、b的值．
解题思路如下：
①将方程组（1）中系数不是参数的二元一次方程和方程组（2）中系数不是参数的二元一次方程组成新的二元一次方程组，方程组与方程组（1）和方程（2）同解．
②解二元一次方程组，得，
③将的值代入方程组（1）中含有参数的二元一次方程和方程组（2）中含有参数的二元一次方程，即可得到关系x、y的二元一次方程组，解得，即求出参数a、b的值．
2．错解问题解题思路
如：在解方程组时，由于粗心，甲看错了方程组中的a，得到的解为，乙看错了方程组中的b，得到的解为，求正确的a，b的值．
解题思路如下：
①甲看错了方程组中的a，但没看错b，说明b的值是正确的，是二元一次方程的一组解，即12-b=4；
②乙看错了方程组中的b，但没看错a，说明a的值是错误的，是二元一次方程的一组解，即5a+20=10；
③解方程12-b=4和5a+20=10，即可求出正确的a，b的值．
【随堂练习】
1．在解关于x，y的方程组时，老师告诉同学们正确的解是，小明由于看错了系数c，因而得到的解为，试求a+b+c的值．
【解答】解：将x＝3，y＝﹣2；x＝﹣2，y＝2分别代入方程组第一个方程得：，
①+②×2得：a＝4，
将a＝4代入②得：b＝5，
将x＝3，y＝﹣2代入方程组第二个方程得：3c+14＝8，即c＝﹣2，
则a+b+c＝7．
2．已知方程组甲由于看错了方程（1）中的a，得到方程组的解为，乙由于看错了方程（2）中的b，得到方程组的解为，若按正确的计算，求x+6y的值．
【解答】解：将x＝﹣3，y＝﹣1代入（2）得：﹣12+b＝﹣2，即b＝10；
将x＝4，y＝3代入（1）得：4a+3＝15，即a＝3，
方程组为，
（1）×10+（2）得：34x＝148，即x，
将x代入（1）得：y，
则x+6y16．
知识点5 含参二元一次方程组
【典例】
1.已知关于x、y的方程组
（1）求这个方程组的解（用含m的代数式表示）；
（2）当m取何值时，这个方程组的解中，x+y=2．
【解析】解：（1）
①+②得：2x=2+m，
解得：x=1+m，
①﹣②得：4y=2﹣m，
解得：y=﹣m，
所以原方程组的解为：；
（2）∵这个方程组的解中，x+y=2，
∴ ，解得m=2,
即当m=2时，这个方程组的解中，x+y=2．
【方法总结】
含参二元一次方程组解题思路
将参数（比如m）看着常数，然后解关于x、y的二元一次方程组，再结合题目中所给条件，解答相应的问题．
【随堂练习】
1．已知方程组的解x、y的值的符号相反．求a的取值范围．
【解答】解：解方程组，得
，
∵x、y的值的符号相反，
∴，，
解得a或a＞2．
2．已知关于x、y的二元一次方程组的解都大于1，试求m的取值范围．
【解答】解：，
①+②×2，得
5x＝5m+6，
解得，x＝m+1.2，
把x＝m+1.2代入②，得
ym+0.9，
∵关于x、y的二元一次方程组的解都大于1，
∴，
解得，m＞0.2，
即m的取值范围是m＞0.2．
综合运用
1.若方程xm﹣1﹣3yn+1=5是关于x、y的二元一次方程，则m+n=____________．
【答案】2．
【解析】解：∵方程xm﹣1﹣3yn+1=5是关于x、y的二元一次方程，
∴m﹣1=1，n+1=1，解得m=2，n=0，
m+n=2．
故答案为：2．
2.已知方程5x﹣y=7，用含x的代数式表示y，y= ．
【答案】5x﹣7．
【解析】解：5x﹣y=7，
解得：y=5x﹣7．
故答案为：5x﹣7．
3. 方程x+2y=7有 个解，正整数解是_______________________．
【答案】无数个， 、、．
【解析】解：没有条件限制时，方程的解有无数个，
∴方程x+2y=7有无数个解
移项得：x=2y﹣7，
∵x、y都为正整数，
∴2y﹣7＞0，且y是正整数．
∴0＜y＜，且是整数．
∴y=1，2，3．
∴当y=1是，x=5；
当y=2是，x=3；
当y=3是，x=1；
故答案，，．
4. 写出一个解为的二元一次方程组是 ．
【答案】．
【解析】解：先围绕列一组算式如﹣1﹣1=﹣2，﹣1+1=0，
然后用x，y代换得如等．
答案不唯一，符合题意即可．
故答案为：．
5. 方程组的解是 ．
【答案】．
【解析】解：，
①﹣②得：2x=﹣6，即x=﹣3，
把x=﹣3代入②得：y=﹣2.5，
则方程组的解为．
故答案为：．
6. 已知﹣2xm﹣1y3与xnym+n是同类项，那么（n﹣m）2018= ．
【答案】1．
【解析】解：∵﹣2xm﹣1y3与xnym+n是同类项，
∴，解得m=2，n=1，
∴（n﹣m）2018 =（1﹣2）2018
=1，
故答案为：1．
7.在等式y=kx+b中，当x=1时，y=﹣2；当x=﹣1时，y=﹣4．则k= ，b= ．
【答案】1，﹣3．
【解析】解：∵在等式y=kx+b中，当x=1时，y=﹣2；当x=﹣1时，y=﹣4，
∴，解得k=1，b=﹣3，
故答案为：1，﹣3．
8.已知2a+b+3c=15，3a+b+5c=25，则a+b+c= ．
【答案】5．
【解析】解：，
方程②﹣①，得：a+2c=10，
∴a=10﹣2c③，
将③代入①中，得：20+b﹣c=15，
∴c=5+b，
∴a+2c= a+c +c=a+c+（5+b）=10，即a+c+5+b=10，
∴a+b+c=5．
故答案为：5．
9.若关于x，y的方程组和有相同的解，则a= ，b= ．
【答案】1, 2．
【解析】解：∵关于x，y的方程组和有相同的解，
∴方程组的解是方程组和的解，
∴，解得，
∴是二元一次方程的一组解；是二元一次方程的一组解，
∴，解得，
故答案为：a=2，b=1．
10.已知方程组和方程组有相同的解，则a2﹣2ab+b2的值为 ．
【答案】1．
【解析】解：解方程组得，
∵方程组和方程组有相同的解，
∴是方程组的一组解，
∴把代入方程组中，可得，解得，
把a=2，b=1代入a2﹣2ab+b2= 22﹣2×2×1+12
=1，
故答案为：1．
11.甲、乙两人同解方程组，甲正确解得，乙因抄错了c，解得，则a= ，b= ，c= ．
【答案】2.5， 0.5， 5．
【解析】∵甲、乙两人同解方程组，甲正确解得，乙因抄错了c，解得，
∴是方程组的一组解，是二元一次方程的一组解，
∴，，
∴解得，
∴a=2.5，b=0.5，c=﹣5．
故答案为： 2.5， 0.5， 5．
12.已知关于x，y的方程组的解满足x+y=2，则a的值是 ．
【答案】1．
【解析】解：，
①+②得：3x=6a+3，即x=2a+1，
把x=2a+1代入①得：，解得y=a﹣2，
将x=2a+1，y=a﹣2，代入x+y=2得：2a+1+a﹣2=2，解得a=1，
故答案为：1．
13.解下列方程组：
（1）用代入消元法解；
（2）用加减消元法解．
【答案】略．
【解析】解：（1），
把①代入②得：5x+4x﹣10=8，解得x=2，
把x=2代入①得y=﹣1，
则方程组的解为；
（2），
②×2﹣①得：7y=21，解得y=3，
把y=3代入②得 ，解得x=﹣14，
则方程组的解为．
14.已知方程组与方程组的解相同，求a、b的值．
【答案】略．
【解析】解：∵方程组与方程组的解相同
∴方程组的解是方程组和的解，
∴，
由①+②得：8x=8，即x=1，
把x=1代入②得：3-y=1，解得y=2，
∴x=1，y=2，是二元一次方程和的解，
∴把x=1，y=2代入和得，
解得：a=﹣6，b=﹣2．
15.已知方程组，由于甲看错了方程（1）中的a得到方程组的解为，乙看错了方程（2）中的b得到方程组的解为．若按正确的a，b计算，求原方程组的解．
【答案】略．
【解析】解： ∵方程组，由于甲看错了方程（1）中的a得到方程组的解为，乙看错了方程（2）中的b得到方程组的解为．
∴是二元一次方程的一组解，是二元一次方程的一组解，
∴﹣12﹣b=﹣2，a+20=15，
∴b=﹣10，a=﹣5，
∴原方程组为，即，
由①×2+②得：7y=5，解得：y=，
把y=代入①得：-x+=3, 解得 x=﹣，
则方程组的解为．
16.甲、乙两人共同解方程组由于甲看错了方程①中的a，得到方程组的解为；乙看错了方程②中的b，得到方程组的，试计算的值．
【答案】0．
【解析】解：∵甲、乙两人共同解方程组由于甲看错了方程①中的a，得到方程组的解为；乙看错了方程②中的b，得到方程组的，
∴是二元一次方程的一组解，是二元一次方程的一组解，
∴，解得，
∴=（﹣1）2013+（﹣×10）2014
=﹣1+1
=0．
故的值为0．
17.m为何值时，方程组的解互为相反数？求这个方程组的解．
【答案】略．
【解析】解：，
①+②得：6x=3m﹣18，即x=；
①﹣②得：﹣10y=m+18，即y=﹣，
∵方程组的解互为相反数
∴x+y=0，即=，
去分母得：30m﹣180=6m+108，
移项合并得：24m=288，
解得：m=12，
方程组为，解得：x=3，y=﹣3．
∴方程组的解为，
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