6.2.4 组合数（三） 课件（共18张PPT）

(共18张PPT)
6.2.4 组合数（三）
1、组合定义:
一般地，从n个不同元素中取出m（m≤n）个元素并成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合．
从n个不同元素中取出m（m≤n）个元素的所有组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数，用符号
表示.
2、组合数:
3、组合数公式:
复习引入
等分组与不等分组的分组分配问题
例1、6本不同的书，按下列条件，各有多少种不同的分法；
（1）分给甲、乙、丙三人，每人两本；
（2）分成三份，每份两本；
（3）分成三份,一份1本,一份2本,一份3本;
（4）分给甲,乙,丙3人,一人1本,一人2本,一人3本;
（5）全部分给甲,乙,丙3人,每人至少一本;
例题讲评
例1六本不同的书（1）平均分成三堆，问有多少种分法？
分析：每堆两本，分三步完成，
第一步从六本中任取两本作为第一堆，有 种取法，
第二步从剩下的四本中任取两本作为第二堆，有 种取法，
第三步剩下的两本作为第三堆，有 种取法.
据分步乘法原理，分堆方法数是 种.
思考：这样分堆会有重复吗？
等分组与不等分组的分组分配问题
例题讲评
答：这样分堆会造成重复分堆，例如可以假设这六本书编号为1，2，3，4，5，6号，先取两本，取到3，4作为第一堆，再取5，6两本作为第二堆，剩下1，2作为第三堆，这是一种分堆的方法.
然后第二次分堆时，先取到1，2作为第一堆，再取到5，6作为第二堆，剩下3，4作为第三堆，很显然这种分堆方法跟第一种分堆方法是一样的.而且继续下去，这种分堆方法会重复3次，即 次.
怎么样才能去掉重复的分堆呢？
6次只算1次，可以除以 得到，所以六本不同的书，平均分成三堆，
最后的分堆方法数是 种.
分析：例如，可以假设这六本书编号为1，2，3，4，5，6号，先取四本，取到1，2，3，4作为第一堆，再取到5作为第二堆，剩下6作为第三堆，这是一种分堆的方法。然后第二次分堆时，先取到1，2，3，4作为第一堆，再取到6作为第二堆，剩下5作为第三堆，这两种分堆方法是一样的，所以有重复.会重复几次呢？
分析：同样分三步，先取4本，再取1本，剩1本，所以有 种分法.
思考：这样分堆会有重复吗？
怎么样才能去掉重复的分堆呢？
我们观察发现会重复两次，原因是5与6那两堆.按照先5作为一堆后6作为一堆与先6一堆后5作为一堆是一样的分堆方法.1，2，3，4因为个数跟他们个数不一样，所以不会产生重复，所以按照4，1，1分堆，有种分法 .
例1六本不同的书（2）如果按照4，1，1分成三堆，问有多少种分法？
等分组与不等分组的分组分配问题
例题讲评
元素个数相同的堆之间一般会有重复，比如第一问中的均分，每堆有两个元素，堆之间会有重复问题，还有就是第二问中4，1，1的1，1两堆之间会有重复.
思考：什么样的分堆会有重复呢？
例1六本不同的书
（1）平均分成三堆，问有多少种分法？
（2）如果按照4，1，1分成三堆，问有多少种分法？
等分组与不等分组的分组分配问题
例题讲评
解：有 种分法.
例1六本不同的书（3）如果按照3，2，1分成三堆，问有多少种分法？
例2六本不同的书
（1）平均分给三个同学，问有多少种分法？
不同元素的分组与分配问题
法1：边取边分，有 种分法.
法2：分析，可以考虑先分组， 再分配给三个同学，所以
有 分法.
不同元素的分组与分配问题
例2六本不同的书
（2）如果按照4，1，1分给三个同学，问有多少种分法？
（3）如果按照3，2，1分给三个同学，问有多少种分法？
解：先分组，后分配
解：先分组，后分配
解：可以考虑，先分组，再分配.
分组可以按2，2，2分，4，1，1分，3，2，1分，所以有
（4）分给三个同学，每个同学至少有一本，问有多少种分法？
练习1
1. 当前新冠肺炎疫情形势依然严峻，防控新冠肺炎疫情需常态化为加大宣传力度，提高防控能力，某县疾控中心拟安排某4名医务人员到流动人口较多的某3个乡镇进行疫情防控督查，每个医务人员只去一个乡镇，每个乡镇至少安排一名医务人员，则不同的安排方法共有___种．
2.将5位同学分配到三个班，每班至少一人，共有多少种不同的分配方法？
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不同元素的分组与分配问题
(1)完全平均分组：在分组时，每组元素的个数都相等.
　①只分组无分配时，需要除以这几组的“全排列”，以确保消去重复；
　②分组且分配时，一种方法是先分组再分配；另一种方法是可以用分步乘法
计数原理解题.
(2)部分平均分组：在分组时，每组的个数是不均等的，而是有一部分个数相同．
需要除以相同的组的“全排列”，保证没有重复．
(3)非平均分组：每组所要分的元素个数是不相同的．这种分组不考虑重复现象。
解题思想：先分组、后分配
例2：6本不同的书全部送给5人，
每人至少一本，有几种不同的送书方法？
分析：这是一个常见的排列组合混合题，
对于这样的题目，解题思想：先组后排，
“每人至少一本”的含义是“必然有1人得2本
所以，要分两步
变式： 6本不同的书全部送给5人，
有几种不同的送书方法？
例题讲评
(1)今有10件不同奖品,从中选6件分成三份, 二份各1件,另一份4件, 有多少种分法
(2) 今有10件不同奖品,从中选6件分给甲乙丙三人,每人二件有多少种分法
解: (1)
(2)
巩固练习
混合问题，先“组”后“排”
例4 对某种产品的6件不同的正品和4件不同的次品,一一进行测试，至区分出所有次品为止，若所有次品恰好在第5次测试时全部发现,则这样的测试方法有种可能？
解：由题意知前5次测试恰有4次测到次品，且第5次测试是次品。故有： 种可能。
例题讲评
练习：1、某学习小组有5个男生3个女生，从中选3名男生和1名女生参加三项竞赛活动，每项活动至少有1人参加，则有不同参赛方法______种.
解：采用先分组后排方法:
2、3 名医生和 6 名护士被分配到 3 所学校为学生体检,每校分配 1 名医生和 2 名护士,不同的分配方法共有多少种
解法一：先组队后分校（先分堆后分配）
解法二：依次确定到第一、第二、第三所学校去的医生和护士.
巩固练习
例5、8双互不相同的鞋子混装在一只口袋中，从中任意取出4只，试求满足如下条件各有多少种情况：
（1）4只鞋子恰有两双；
（2） 4只鞋子没有成双的；
（3） 4只鞋子只有一双。
【点评】 本题解决的办法是将“事件”进行等价处理，如第一问“4只鞋子没有成双的”相当于这四只鞋子来自于4双.因此分两步完成，第一步取四双鞋，第二步从每双鞋中各取一只.希同学们好好的体会这种思想方法
例题讲评
2、从6位同学中选出4位参加一个座谈会，要求张、王两人中至多有一个人参加，则有不同的选法种数为 。
3、要从8名男医生和7名女医生中选5人组成一个医疗队，如果其中至少有2名男医生和至少有2名女医生，则不同的选法种数为（ ）
1、把6个学生分到一个工厂的三个车间实习，每个车间2人，若甲必须分到一车间，乙和丙不能分到二车间，则不同的分法有 种 。
9
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C
巩固练习
5、在如图7×4的方格纸上（每小方格均为正方形）
(1)其中有多少个矩形？
(2)其中有多少个正方形？
巩固练习
4、从7人中选出3人分别担任学习委员、宣传委员、体育委员，则甲、乙两人不都入选的不同选法种数共有（ ）
D
3、从6人中选人分别到巴黎、伦敦、悉尼、莫斯科四个城市游览，要求每个城市有一人游览，每人只游览一个城市，且这6人中甲乙不去巴黎游览，则不同的选择方案共有（ ）种
A.300 B.240 C.144 D.96
4、四棱锥的8条棱分别代表8种不同的化工产品，有公共点的两条棱所代表的化工产品放在同一仓库是危险的，没有公共点的两条棱所代表的化工产品放在同一仓库是安全的。现打算用编号为（1）、（2）、（3）、（4）的四个仓库存放这8种化工产品，那么安全存放的不同方法种数为（ ）
A.96 B.48 C.24 D.0
B
B
巩固练习