6.2.3组合6.2.4 组合数 课件（共19张PPT）

(共19张PPT)
6.2.3　组合
6.2.4 组合数
从01—30共30个号码中选择7个号码组合为一注投注号码。每注金额人民币2元
一等奖：投注号码与当期开奖号码中7个基本号码完全相同（顺序不限，下同）；
二等奖：投注号码与当期开奖号码中任意6个基本号码及特别号码相同；
三等奖：投注号码与当期开奖号码中任意6个基本号码相同；
四等奖：投注号码与当期开奖号码中任意5个基本号码及特别号码相同；
五等奖：投注号码与当期开奖号码中任意5个基本号码相同；
六等奖：投注号码与当期开奖号码中任意4个基本号码及特别号码相同；
七等奖：投注号码与开奖号码中任意4个基本号码相同。
中一等奖的概率是多少呢？
高二一部共20个班级，共需组织多少场比赛？
追问1：问题1中要完成的“一件事情”是什么？
比较6.2.1节问题1与本节问题1中要完成的“一件事情”，它们有什么异同？
6.2.1问题1：从甲、乙、丙3名同学中选出2名参加一项活动，其中1名同学参加上午的活动，另1名同学参加下午的活动，有多少种不同的选法？
问题1：从甲、乙、丙3名同学中选出2名参加一项活动，有多少种不同的选法？
这一问题与6.2.1节的问题1有什么联系与区别？
追问2：列出问题1的各种不同选法，与6.2.1节问题1的选法相比，它们有什么不同？是否与顺序有关？
本节问题1：“选出2名参加一项活动”
6.2.1节问题1：“选出2名参加一项活动，其中1名同学参加上午的活动，另1名同学参加下午的活动”
本节问题1：
6.2.1节问题1：
甲乙， 甲丙， 乙丙
甲乙，乙甲，甲丙，丙甲，乙丙，丙乙
与顺序无关
与顺序有关
问题2：如果将问题1的背景去掉，把被选出的同学叫做元素，那么还可怎样表述问题1？你能将它推广到一般情形吗？
问题1：从甲、乙、丙3名同学中选出2名参加一项活动，有多少种不同的选法？
将具体背景舍去，问题1可以概括为：
从3个不同元素中取出2个元素作为一组，一共有多少个不同的组？
一般地，从n个不同元素中取出m（m≤n）个元素作为一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合（combination）.
注意：
(1)组合的特点：组合要求n个元素是不同的，取出的m个元素也是不同的，
即从n个不同的元素中进行m次不放回地取出.
(2)组合的特性：元素的无序性。取出的m个元素不讲究顺序，即元素没有位置的要求。
一般地，从n个不同中取出m (m≤n)个元素合成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合。
组合的概念：
排列与组合的概念有什么共同点与不同点？
学习新知
两个相同的排列与两个相同的组合
两个
排列相同
两个
组合相同
元素
位置
相同
相同
无限制
排列
组合
相同的点
不同点
完成这件事情
共分几步
排列与组合的概念的异同
从n个不同
元素中任取
m个元素
元素的顺序
有关
元素的顺序
无关
第一步、取
第二步、排
仅一步、取
学习新知
思考：如何区分排列问题还是组合问题？
若交换某两个元素的位置对结果有影响，则是排列问题，即排列问题与选取的顺序有关.
若交换任意两个元素的位置对结果没有影响，则是组合问题，即组合问题与选取的顺序无关.
练习：校门口停放着9辆共享自行车，其中黄色、红色和绿色的各有3辆。下面的问题：（1）从中选3辆，有多少种不同的方法？
（2）从中选3辆给3位同学，有多少种不同的方法？
在（1）中，选出3辆车即可，没有顺序，是一个组合问题；
在（2）中，不仅要选出3辆车，还要分配给3位同学，有顺序，是一个排列问题 .
例1、下列问题中哪些是排列那些是组合？
（1）10名学生中抽2名学生开会
（2）10名学生中选2名做正、副组长
（3）有10个车站，共需要多少种不同的票价？
组合
排列
组合
组合
组合
排列
例题讲评
（4）设集合A={a,b,c,d,e}，则集合A的子集中含有3个元素的有多少个？
（5）3人去干5种不同的工作，每人干1种，有多少种分工方法？
（6）把3本相同的书分给5个学生，每人最多得1本，有几种分配方法？
从n个不同元素中取出m（m≤n）个元素的所有组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数，用符号 表示.
组合数
组合数与一个组合相同吗？
如：问题1中从4个不同的元素a,b,c,d中任取2个元素的组合有ab、ac、ad、bc、bd、cd共6个，每一个都叫做一个组合；共6个，6叫做从4个不同元素任取2个元素的组合数。
学习新知
思考：利用排列和组合之间的关系，以“元素相同”为标准分类，
你能建立起例2（1）中排列和（2）中组合之间的对应关系吗？
进一步地，能否从这种对应关系出发，由排列数求出组合的个数？
1.写出从a,b,c,d 四个元素中任取三个元素的所有组合。
abc， abd， acd， bcd.
b
c
d
d
c
b
a
c
d
练习巩固
写出从a,b,c,d 四个元素中任取三个元素的所有排列。
思考：排列数与组合数有什么关系？
组合
排列
abc
abd
acd
bcd
abc bac cab acb bca cba
abd bad dab adb bda dba
acd cad dac adc cda dca
bcd cbd dbc bdc cdb dcb
（三个元素的）1个组合，对应着6个排列
你发现了什么
不写出所有组合，怎样才能知道组合的种数？
学习新知
如何计算:
学习新知
组合数公式
排列与组合是有区别的，但它们又有联系．
一般地，求从n个不同元素中取出m个元素的排列数，可以分为以下2步：
第1步，先求出从这n个不同元素中取出m个元素的组合数 ．
第2步，求每一个组合中m个元素的全排列数 ．
根据分步计数原理，得到：
因此：
这里m,n是自然数,且 m n ,这个公式叫做组合数公式.
学习新知
例3.
计算：（1） ；（2） ；（3） ；（4）
解：
追问(2): 分别观察例中（1）与（2），（3）与（4）的结果，你有什么发现和猜想？
例题讲评
例4.一个口袋内装有大小相同的7个白球和1个黑球．
⑴ 从口袋内取出3个球，共有多少种取法？
⑵ 从口袋内取出3个球，使其中含有1个黑球，有多少种取法？
⑶ 从口袋内取出3个球，使其中不含黑球，有多少种取法？
⑵
⑶
解：（1）
例题讲评
我们可以这样解释：从口袋内的8个球中所取出的3个球，可以分为两类：一类含有1个黑球，一类不含有黑球．因此根据分类计数原理，上述等式成立．
我们发现：
为什么呢
学习新知
注:1 公式特征：下标相同而上标差1的两个组合数之和，等于下标比原下标多1而上标与原组合数上标较大的相同的一个组合数．
2 此性质的作用：恒等变形，简化运算．在今后学习“二项式定理”时，我们会看到它的主要应用．
性质
学习新知
排列问题
组合问题
若交换某两个元素的位置对结果有影响，则是排列问题，即排列问题与选取的顺序有关.
若交换任意两个元素的位置对结果没有影响，则是组合问题，即组合问题与选取的顺序无关.
一般地，从n个不同元素中取出m（m≤n）个元素作为一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合（combination）.
（1）组合的定义？
课堂小结
（2）如何判断一个计数问题是排列问题还是组合问题？
(1)判断是否为组合问题;(2)是否分类或分步;(3)根据组合的相关知识进行求解.
（3）.求一个组合问题的所有组合个数的基本方法：