6.3.1二项式定理 课件（共15张PPT）

(共15张PPT)
二项式定理
艾萨克·牛顿 Isaac Newton (1643—1727) 英国科学家．他被誉为人类历史上最伟大的科学家之一．他不仅是一位物理学家、天文学家，还是一位伟大的数学家．
牛顿二项式定理
某人投资10万元，有两种获利的可能供选择。一种是年利率11％，按单利计算，10年后收回本金和利息。另一种是年利率9％，按复利计算，10年后收回本金和利息。
　试问，哪一种投资更有利？这种投资比另一种投资10年后大约可多得利息多少元？
分析：本金10万元，年利率11％，按单利计算，10年后的本利和是10×(1＋11％×10)＝21(万元);
　　本金10万元，年利率9％，按复利计算，10年后的本利和是10×(1＋9％)10;
那么如何计算 (1＋9％)10 的值呢？能否在不借助计算器的情况下，快速、准确地求出其近似值呢？
今天是星期一，从明天起的第　　天是星期几？
1
2
5
8
82
820
新课引入
( + )2＝( + )( + )
＝
＋
＋
＋
多项式乘法法则：先把一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加
＝( + )( + )
( + )3
( + )
＝
＋
＋
＋
新课引入
你能类比
的展开式的推导得到
的展开式吗？
探究猜想：
＋
＋
＋
＋
新课引入
二项式定理：公式
右边的多项式叫做(a+b)n的二项展开式，其中系数
叫做二项式系数,式中的第r+1项
叫做二项展开式的通项，记作
二项展开式有以下特征：
（1）共有n+1项。
（2）各项里a的指数从n起依次减小1，直到0为止；b的指数从0起依次增加1，直到n为止。每一项里a、b的指数和均为n。
学习新知
问题1：根据二项式定理，(1＋x)n (n∈N*)等于什么？
问题2：(a－b)n(n∈N*)的展开式是什么？
学习新知
问题3：(2x＋3y)20的二项展开式的通项是什么？
问题4：(1＋2x)7的展开式中第4项的二项式系数和系数分别是什么？
二项式系数： ，
系数： .
学习新知
例1.
例题讲评
求　　　的展开式．
　　解：根据二项式定理，
变式1：
求　　　的展开式．
　　解：根据二项式定理，
练习：求
的展开式.
解：先将原式化简，再展开，得
巩固练习
例题讲评
解:
求 的展开式中 的系数。
的展开式的通项：
根据题意，得
因此， 的系数是
例2：
例3、求
的展开式中的第4项的系数.
解：展开式的第4项为
∴第4项的系数是280。
例题讲评
例4、求
的展开式中
的系数。
解：设展开式的第r+1项为含
的项，则
即展开式中的第4项含
，其系数为
例题讲评
（1）二项式定理是代数公式
和
它是以多项式的乘法公式为基础，以组合知识为工具，用不完全归纳法得到的，其证明可用数学归纳法．
（2）对二项式定理的理解和掌握，要从项数、系数、指数、通项等方面的特征去熟悉他的展开式．通项公式
在解题时应用较多，因而显得尤其重要，但必须注意，它是
的二项式展开式的第
项，而不是第　 项．
的概括和推广，
课堂小结