6.3.2二项式系数的性质 课件（共16张PPT）

(共16张PPT)
6.3.2二项式系数的性质
1.二项式定理是什么？二项展开式有哪些基本特征？
(3) 各项的二项式系数依次为 且与a，b无关.
温故而知新
（1）共有n+1项。
（2）各项里a的指数从n起依次减小1，直到0为止；b的指数从0起依次增加1，直到n为止。每一项里a、b的指数和均为n。
2.二项展开式的通项是什么？
3.组合数有哪两个基本性质？
二项展开式有以下特征：
杨辉三角
问题1：(a＋b)1,(a＋b)2,(a＋b)3,(a＋b)4,(a＋b)5,(a＋b)6的展开式中的二项式系数分别是哪些组合数？并将它们的计算结果填入下表：
6
5
4
3
2
1
二项式系数
n
1
1
1
1
2
1
1
3
3
1
1
4
6
4
1
1
5
10
10
5
1
1
6
15
15
20
6
学习新知
问题2：观察上表中每一行的数据，你发现了什么规律吗？
具有对称性
1 4 6 4 1
1 1
1 2 1
1 3 3 1
1 5 10 10 5 1
1 6 15 20 15 6 1
问题3:将上表写成如下形式,你又能发现这些数据有什么新的规律吗
学习新知
(1)每行两端的数都是1；
(2)与两端等距离的项的系数相等；
(3)在相邻的两行中,除1以外的每一个数都等于它“肩上”两个数的和,等等.
学习新知
这个表在我国南宋数学家杨辉在1261年所著的 详解九章算法 一书里就出现了,所不同的只是这里的表用阿拉伯数字表示,在这本书里记载的是用汉字表示的形式,还说明了表里 “一” 以 外的每一个数 都等于它肩上两个数的和,杨辉指出这个方法出于 释锁 算书,且我国北宋数学家贾宪 (约公元11世纪) 已经用过它. 是我国古代数学的一个重要成果，这表明我国发现这个表不晚于11世纪,在欧洲,这个表被认为是法国数学家帕斯卡( ,(1623~1662) 首先发现的 ,他们把这个表叫做帕斯卡三角.这就是说,杨辉三角的发现要比欧洲早五百年左右,由此可见我国古代数学的成就是非常值得中华民族自豪的.我们把这个数表称为杨辉三角，
问题4：杨辉三角的上述基本性质如何用组合数性质解释？
二项式系数的性质
问题1：对给定的正整数n，设函数 ，
r∈{0，1，2，…，n}，
当n＝6时，函数f(r)的图象是什么？
学习新知
因为 展开式的二项式系数依次是：
从函数角度看， 可看成是以k为自变量的函数 ,其定义域是：
对于确定的n，我们还可以画出它的图象，例如，当n=6时，其图象是右图中的7个孤立点．
问题2：一般地，函数 ，r∈{0，1，2，…，n}的图象是什么？ 它具有怎样的对称性？
n＋1个孤立的点，关于直线 对称
问题3：在二项式系数
中，哪些二项式系数是相等的？
与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等.
学习新知
问题4：相邻两个二项式系数的大小关系如何？从理论上如何确定 与 的大小？
问题5：通过上述分析，二项式系数的增减性与最大值分别是什么？
二项式系数的前半部分是递增的，后半部分是递减的，且在中间取得最大值.
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问题6：当n分别为偶数和奇数时，第几项的二项式系数最大？
当n为偶数时，第 项的二项式系数 为最大；
当n为奇数时，第 的二项式系数 和第 项的
二项式系数 相等，且同时为最大.
学习新知
问题7：在二项式定理中，a，b可以任意取值，特别地，当a＝b＝1时，可得什么结论？
例1：求证在(a+b)n的展开式中，奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和．
分析：由(a+b)n的展开式可知，
奇数项的二项式系数的和为
偶数项的二项式系数的和为
由于
性质三：二项式系数之和
因此，我们可以通过对a，b适当赋值来得到上述两个系数和。
典型例题
证明：
即在(a+b)n的展开式中，奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和。
即
问题8：上述结果表明，所有二项式系数之和等于2n，所有奇数项的二项式系数之和与所有偶数项的二项式系数之和相等，且都等于2n－1.那么，如何求(3＋2x)n的展开式中各项的系数之和？
令x＝1，得各项的系数之和为5n.
学习新知
1）已知 ，那么 = ；
2） 的展开式中，二项式系数的最大值是 ；
3）若 的展开式中的第十项和第十一项的二项式系数最大，则n= ；
巩固练习
a+b
126
21
例1 填空：
（1）(x－y)11的展开式中系数最大的项第 项，系数最小的项第 项；
（2） ，
7
6
1023
512
典型例题
例2 已知(1＋2x)n的展开式中第6项与第7项的系数相等，求展开式中二项式系数最大的项.
例3 求集合A＝{a1，a2，…，an}共有多少个子集？
典型例题
例4、已知(1-2x)7=a0+ a1x + a2x2 + …+ a7x7 ,则
(1)a1+a2+a3+…+a7=_______
(2)a1+a3+a5+a7 =_________
(3)a0+a2+a4+a6 =_________
赋值法
练习:
若已知(1+2x)200= a0+ a1(x-1) + a2(x-1)2 + …+ a200(x-1)200　
求a1+a3+a5+a7+…+a199的值。
例题讲评
2
1093
-1094
一般地， 展开式的二项式系 有如下性质：
（1）
（2）
（4）
（3）当n为偶数时， 最大
当n为奇数时， = 且最大
（对称性）
课堂小结
在(a+b)n的展开式中，奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和．
课堂小结
1.杨辉三角反映了二项式系数的变化规律，其理论依据是组合数的两个性质.杨辉三角中还有许多有趣性质，可作为一个研究性课题进行探究.
2.二项式系数的性质实质是组合数的一些性质，常作为解决组合数问题的理论依据，但这些性质不能类推到二项展开式的系数.
3.令x＝1，可求得(a＋bx)n的展开式中各项的系数之和，当x取其它值时，还可以得出一些相关结论，这是一种赋值的方法.