7.1.2全概率公式 课件（共18张PPT）

(共18张PPT)
7.1.2 全概率公式
问题1：从有a个红球和b个蓝球的袋子中,每次随机摸出1个球,摸出的球不再放回.显然,第1次摸到红球的概率为 .那么第2次摸到红球的概率是多大？如何计算这个概率呢？
用 Ri表示事件“第i次摸到红球”,Bi表示事件“第i次摸到蓝球”,i=1,2.事件R2可按第1次可能的摸球结果(红球或蓝球)表示为两个互斥事件的并,即R2=R1R2UB1R2.利用概率的加法公式和乘法公式,得
P(R2|R1)
P(B2|R1)
P(R2|B1)
P(B2|B1)
新课引入
按照某种标准,将一个复杂事件表示为两个互斥事件的并,
再由概率的加法公式和乘法公式求得这个复杂事件的概率。
全概率公式
学习新知
分析：第2天去哪家餐厅用餐的概率受第1天在哪家餐厅用餐的影响,可根据第1天可能去的餐厅,将样本空间表示为“第1天去A餐厅”和“第1天去B餐厅”两个互斥事件的并,利用全概率公式求解。
例1:某学校有A,B两家餐厅,王同学第1天午餐时随机地选择一家餐厅用餐.如果第1天去A餐厅,那么第2天去A餐厅的概率为0.6；如果第1天去B餐厅,那么第2天去A餐厅的概率为0.8.计算王同学第2天去A餐厅用餐的概率.
解：设A1=“第1天去A餐厅用餐”, B1=“第1天去B餐厅用餐”, A2=“第2天去A餐厅用餐”,则Ω=,根据题意得
P(A1)=P(B1)=0.5, P(A2|A1)=0.6, P(A2|B1)=0.8,
由全概率公式,得
P(A2)= P(A1) P(A2|A1)+ P(B1) P(A2|B1)=0.5×0.6+0.5×0.8=0.7
因此,王同学第2天去A餐厅用餐得概率为0.7.
例题讲评
A1
A2
A3
A3B
A1B
A2B
例2:有3台车床加工同一型号的零件,第1台加工的次品率为6%,第2,3台加工的次品率均为5%,加工出来的零件混放在一起.已知第1,2,3台车床加工的零件数分别占总数的25%,30%,45%.
(1)任取一个零件,计算它是次品的概率；
(2)如果取到的零件是次品,计算它是第i(i=1,2,3)台车床加工的概率.
例题讲评
分析:取到的零件可能来自第1台车床,也可能来自第2台或第3台车床,有3种可能.设B=“任取一零件为次品”,Ai=“零件为第i台车床加工”(i=1,2,3),如图所示,可将事件B表示为3个两两互斥事件的并,利用全概率公式可以计算出事件B的概率,
A1
A2
A3
A3B
A1B
A2B
例2:有3台车床加工同一型号的零件,第1台加工的次品率为6%,第2,3台加工的次品率均为5%,加工出来的零件混放在一起.已知第1,2,3台车床加工的零件数分别占总数的25%,30%,45%.
(1)任取一个零件,计算它是次品的概率；
(2)如果取到的零件是次品,计算它是第i(i=1,2,3)台车床加工的概率.
例题讲评
解：B=“任取一个零件为次品”,
Ai=“零件为第i台车床加工”(i=1,2,3),
则,且互斥,根据题意得
P(A1)=0.25, P(A2)=0.3, P(A3)=0.45,
P(B|A1)=0.06, P(B|A2)= P(B|A3)=0.05.
(1)由全概率公式,得
P(B)=P(A1)P(B|A1)+P(A2)P(B|A2)+ P(A3)P(B|A3)
=0.25×0.06+0.3×0.05+0.45×0.05=0.0525
A1
A2
A3
A3B
A1B
A2B
例2:有3台车床加工同一型号的零件,第1台加工的次品率为6%,第2,3台加工的次品率均为5%,加工出来的零件混放在一起.已知第1,2,3台车床加工的零件数分别占总数的25%,30%,45%.
(1)任取一个零件,计算它是次品的概率；
(2)如果取到的零件是次品,计算它是第i(i=1,2,3)台车床加工的概率.
例题讲评
解：B=“任取一个零件为次品”,
Ai=“零件为第i台车床加工”(i=1,2,3),
则,且互斥,根据题意得
P(A1)=0.25, P(A2)=0.3, P(A3)=0.45,
P(B|A1)=0.06, P(B|A2)= P(B|A3)=0.05.
(2)“如果取到得零件是次品,计算它是第i(i =1,2,3)台车床加工的概率”,
就是计算在B发生的条件下,事件Ai发生的概率.
同理可得；
问题2：例5中P(Ai), P(Ai|B)得实际意义是什么？
*贝叶斯公式：
学习新知
( )是试验之前就已知的概率,它是第 台车床加工的零件所占的比例,称为先验概率。当已知抽到的零件是次品( 发生), ( | )是这件次品来自第 台车床加工的可能性大小,通常称为后验概率。
如果对加工的次品,要求操作员承担相应的责任,
那么 就分别是第 , , 台车床操作员应承担的份额。
例6:在数字通信中,信号是由数字0和1组成的序列。由于随机因素的干扰,发送的信号0或1有可能被错误地接收为1或0.已知发送信号0时,接收为0和1的概率分别为0.9和0.1；发送信号1时,接收为1和0的概率分别为0.95和0.05.假设发送信号0和1是等可能的.
(1)分别求接收的信号为0和1的概率；
*(2)已知接收的信号为0,求发送的信号是1的概率.
发送0(A)
发送1()
接收0(B)
接收1()
例题讲评
分析:设A=“发送的信号为0”,
B=“接收到的信号为0”.
为便于求解,我们可将目中所包含的各种信息用图直观表示。
巩固练习
CD
2．车险中考虑两类投保人的问题.如果假设易出事故的人在一年内出事故的概率为0.4，不易出事故的人则为0.2,且第一类人占总人口的比例是30%，
(1)那么随机选取一名投保人，他会在一年内出事故的概率是多少？
(2)假设他在一年内出了事故，则他属于易出事故的人的概率为多少？
巩固练习
3.现有编号为Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ的三个口袋，其中Ⅰ号袋内装有两个1号球，一个2号球与一个3号球；Ⅱ号袋内装有两个1号球与一个3号球；Ⅲ号袋内装有三个1号球与两个2号球．现在先从Ⅰ号袋内随机地取一个球，放入与球上号数相同的口袋中，第二次从该口袋中任取一个球，计算第二次取到几号球的概率最大，为什么？
巩固练习
[分析]　先记事件，求出相关事件的概率，再代入全概率公式求解．
(1)求仪器的不合格率；
(2)如果已发现一台仪器不合格，问它有几个部件不是优质品的概率最大．
巩固练习
[解答]　
记事件B＝“仪器不合格”，Ai＝“仪器上有i个部件不是优质品”，i＝0,1,2,3，显然A0，A1，A2，A3构成一个完备事件组，且
P(B|A0)＝0，P(B|A1)＝0.2，P(B|A2)＝0.6，P(B|A3)＝0.9，
P(A0)＝0.8×0.7×0.9＝0.504，
P(A1)＝0.2×0.7×0.9＋0.8×0.3×0.9＋0.8×0.7×0.1＝0.398，
P(A3)＝0.2×0.3×0.1＝0.006，
P(A2)＝1－P(A0)－P(A1)－P(A3)＝0.092.
课堂小结
1.全概率公式
2*贝叶斯公式：
应用全概率公式的关键是寻找与该事件相关的完备事件组．当事件的发生与相继两个试验有关，第一次试验的各种结果直接对第二次试验产生影响，因此从第一次试验入手，找出完备事件组．当事件的发生是由诸多两两互不相容的原因A1，A2，…，An，…引起的，且只能在原因A1，A2，…，An，…下发生，那么这些原因就是一个完备事件组．在选择完备事件组的时候，一定要把产生结果的原因全找出来，不能遗漏，并且保证A1，A2，…，An，…为两两互不相容事件．
课堂小结
全概率公式为复杂事件的概率计算提供了一条有效途径，是概率论中一个有效的分析工具，其重要意义在于：对于一个复杂的事件B，若无法直接求出它的概率P(B)，则可以“化整为零”，通过选择样本空间的划分将复杂事件B分解为若干个简单事件来进行处理，从而使分析问题的思路变得清晰条理，计算化繁为简，化难为易．