24.1.2 垂直于弦的直径 学案
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24.1.2 垂直于弦的直径 学案
课题 24.1.2 垂直于弦的直径 单元 第23单元 学科 数学 年级 九年级上册
学习目标 1.进一步认识圆，了解圆是轴对称图形.2.理解垂直于弦的直径的性质和推论，并能应用它解决一些简单的计算、证明和作图问题.3.灵活运用垂径定理解决有关圆的问题.
重点 1．理解垂直于弦的直径的性质和推论，并能应用它解决一些简单的计算、证明和作图问题.2.灵活运用垂径定理解决有关圆的问题.
难点 灵活运用垂径定理解决有关圆的问题．
教学过程
导入新课 【引入思考】 环节一：探究圆的轴对称性剪一张圆形纸片，沿着它的任意一条直径对折，重复几次，你发现了什么？由此你能得到什么结论？你能证明你的结论吗？猜想：圆是轴对称图形，任意一条直径所在的直线都是圆的对称轴.求证：圆是轴对称图形. 分析：要证明圆是轴对称图形，只需证明圆上任意一点关于直径所在直线（对称轴）的对称点也在圆上.环节二：探究垂径定理及推论如图， 把圆沿着直径CD折叠时，除了点A与点A'重合之外，还有哪些相等的线段和弧？试一试证明你的发现！你能用文字语言、符号语言归纳出上述结论吗？（1）垂径定理： （2）符号语言：∵是⊙的 又∵ ∴ = ； =_________ 我们把这个定理分成几个结论分别有：①CD是直径、AB是弦，②CD⊥AB③AE＝BE④=⑤我们知道①②可以推出结论③④⑤，那么如果交换符号结论是否有更多的结论成立？试一试：例如：① 直径过圆心 ③ 平分弦推出② 垂直于弦④ 平分弦所对优弧 ⑤ 平分弦所对的劣弧证明这个结论。形成推论1：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧．已知：AB不是直径，CD过圆心 ，AM=BM结论：CD⊥AB，AD=BD，AC=BC类比推论1你可以写出相应的命题吗 相信自己是最棒的!小组之间讨论思考：为什么平分的弦不是直径？如果弦AB是过圆心的弦呢 平分弦AB的直径CD一定会垂直弦AB吗？垂径定理中出现的常见三角形，用于计算：在a，d，r，h中，已知其中任意两个量，可以求出其它两个量．
新知讲解 提炼概念根据垂径定理与推论可知对于一个圆和一条直线来说，如果具备：（1）过圆心（2）垂直于弦（3）平分弦（非直径）（4）平分弦所对的优弧（5）平分弦所对的劣弧上述五个条件中的任意两个条件，都可以推出其他三个结论.(知二推三)典例精讲 例2 赵州桥是我国隋代建造的石拱桥，距今约有1400年的历史，是我国古代人民勤劳与智慧的结晶.它的主桥拱是圆弧形，它的跨度（弧所对的弦的长）为37m，拱高(弧的中点到弦的距离)为7.23m. 求赵州桥主桥拱的半径(结果保留小数点后一位). 垂径定理中辅助线的添加方法：在圆中有关弦长a，半径r，弦心距d（圆心到弦的距离），弓形高h的计算题时，常常通过连半径或作弦心距构造直角三角形，利用垂径定理和勾股定理求解.弓形中的数量关系：弦a，弦心距d，弓形高h，半径r之间有以下关系：d+h=r
课堂练习 巩固训练 1.如图，AB是圆O的弦，半径OC⊥AB于点D，若圆O的半径为5，AB=8，则CD的长是( )A.2 B.3 C.4 D.52. AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为M，则下列结论不一定正确的是( ) A.CM=DM B.BC=BD C.∠ACD=∠ADC D.OM=MB3.如图，⊙O的弦AB＝8cm ，直径CE⊥AB于D，DC＝ 2cm，求半径OC的长.4.如图，有一个拱桥是圆弧形，它的跨度为60 m，拱高为18 m，求拱桥的半径.5.已知圆O的半径为10 cm，AB，CD是圆O的两条弦，AB//CD，AB=16 cm，CD=12 cm，则弦AB和CD之间的距离是多少？分析：弦AB、CD可能在圆心的同侧，也可能在圆心的异侧. 分类讨论 答案引入思考环节一证明：如图，CD是⊙O的任意一条直径，AA ′是弦，使AA′⊥CD，垂足为M连接OA，OA′,则OA=OA′.∵AA′⊥CD，∴CD是AA′的垂直平分线.∴对于圆上任意一点A，在圆上都有关于直线CD的对称点A′，即⊙O关于直线CD对称.圆的对称性：圆是轴对称图形，任何一条直径所在直线都是圆的对称轴.注意：不能说圆的直径是圆的对称轴，因为对称轴是直线，而直径是线段.环节二：探究垂径定理及推论如图， 把圆沿着直径CD折叠时，除了点A与点A'重合之外，还有哪些相等的线段和弧？AM=A'M，AD=A'D，AC=A'C直径CD平分弦AA'，并且平分AA' ，A'CA垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧. 垂径定理的几个基本图形：如图， ⊙O的直径CD垂直于弦AB，垂足为M. 仔细观察，图形中有哪些相等的线段和弧？为什么？已知：CD是直径，CD⊥AB 结论：AM=A'M，AD=A'D，AC=A'C垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧.推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧.已知：AB不是直径，CD过圆心 ，AM=BM结论：CD⊥AB，AD=BD，AC=BC思考：为什么平分的弦不是直径？如果弦AB是过圆心的弦呢 平分弦AB的直径CD一定会垂直弦AB吗？不会提炼概念 典例精讲 n-m例 例2 解：过点O作OC⊥AB，连接OA. 如图，设赵州桥主桥拱的半径为R m.由题意，可知AB=37m，CD=7.23m，则AD=18.5m，OD=R-7.23在Rt△OAD中，由勾股定理得R2=18.52+（R-7.23）2.解得R≈27.3.因此，赵州桥的主桥拱半径约为27.3 m.垂径定理中辅助线的添加方法：在圆中有关弦长a，半径r，弦心距d（圆心到弦的距离），弓形高h的计算题时，常常通过连半径或作弦心距构造直角三角形，利用垂径定理和勾股定理求解.弓形中的数量关系：弦a，弦心距d，弓形高h，半径r之间有以下关系：d+h=r 巩固训练AD4.解 设圆弧的圆心为点O，过点O作OD⊥AB，交AB于点D，交圆弧于点E，5. 解：分两种情况进行讨论：①当弦AB和CD在圆心同侧时，如图1，过点O作OF⊥CD，垂足为F，交AB于点E，连接OC，OA.∵ AB//CD，∴OE⊥AB.∵AB=16cm，CD=12cm,∴AE=8cm，CF=6cm，∵OA=OC=10cm，由勾股定理，得EO=6cm，OF=8cm，∴EF=OF-OE=2 cm.②当弦AB和CD在圆心异侧时，过点O作OE⊥CD，交CD于点E，延长EO交AB于点F，连接OC、OA，如图2所示∵ AB//CD，∴ OF⊥AB∵AB=16cm，CD=12cm，∴AF=8cm，CE=6cm.∵OA=OC=10cm，由勾股定理，得OE=8cm，OF=6cm， ∴EF=OF+OE=14cm.综上所述：AB和CD之间的距离为2cm或14cm.
课堂小结
A
B
C
D
O
h
r
d
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C
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垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧
内容
①过圆心;②垂直于弦; ③平分弦（不是直径）; ④平分弦所对的优弧;⑤平分弦所对的劣弧.
推论
连半径，作弦心距
辅助线
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课题 24.1.2 垂直于弦的直径 单元 第23单元 学科 数学 年级 九年级上册
学习目标 1.进一步认识圆，了解圆是轴对称图形.2.理解垂直于弦的直径的性质和推论，并能应用它解决一些简单的计算、证明和作图问题.3.灵活运用垂径定理解决有关圆的问题.
重点 1．理解垂直于弦的直径的性质和推论，并能应用它解决一些简单的计算、证明和作图问题.2.灵活运用垂径定理解决有关圆的问题.
难点 灵活运用垂径定理解决有关圆的问题．
教学过程
导入新课 【引入思考】 环节一：探究圆的轴对称性剪一张圆形纸片，沿着它的任意一条直径对折，重复几次，你发现了什么？由此你能得到什么结论？你能证明你的结论吗？猜想：圆是轴对称图形，任意一条直径所在的直线都是圆的对称轴.求证：圆是轴对称图形. 分析：要证明圆是轴对称图形，只需证明圆上任意一点关于直径所在直线（对称轴）的对称点也在圆上.环节二：探究垂径定理及推论如图， 把圆沿着直径CD折叠时，除了点A与点A'重合之外，还有哪些相等的线段和弧？试一试证明你的发现！你能用文字语言、符号语言归纳出上述结论吗？（1）垂径定理： （2）符号语言：∵是⊙的 又∵ ∴ = ； =_________ 我们把这个定理分成几个结论分别有：①CD是直径、AB是弦，②CD⊥AB③AE＝BE④=⑤我们知道①②可以推出结论③④⑤，那么如果交换符号结论是否有更多的结论成立？试一试：例如：① 直径过圆心 ③ 平分弦推出② 垂直于弦④ 平分弦所对优弧 ⑤ 平分弦所对的劣弧证明这个结论。形成推论1：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧．已知：AB不是直径，CD过圆心 ，AM=BM结论：CD⊥AB，AD=BD，AC=BC类比推论1你可以写出相应的命题吗 相信自己是最棒的!小组之间讨论思考：为什么平分的弦不是直径？如果弦AB是过圆心的弦呢 平分弦AB的直径CD一定会垂直弦AB吗？垂径定理中出现的常见三角形，用于计算：在a，d，r，h中，已知其中任意两个量，可以求出其它两个量．
新知讲解 提炼概念根据垂径定理与推论可知对于一个圆和一条直线来说，如果具备：（1）过圆心（2）垂直于弦（3）平分弦（非直径）（4）平分弦所对的优弧（5）平分弦所对的劣弧上述五个条件中的任意两个条件，都可以推出其他三个结论.(知二推三)典例精讲 例2 赵州桥是我国隋代建造的石拱桥，距今约有1400年的历史，是我国古代人民勤劳与智慧的结晶.它的主桥拱是圆弧形，它的跨度（弧所对的弦的长）为37m，拱高(弧的中点到弦的距离)为7.23m. 求赵州桥主桥拱的半径(结果保留小数点后一位). 垂径定理中辅助线的添加方法：在圆中有关弦长a，半径r，弦心距d（圆心到弦的距离），弓形高h的计算题时，常常通过连半径或作弦心距构造直角三角形，利用垂径定理和勾股定理求解.弓形中的数量关系：弦a，弦心距d，弓形高h，半径r之间有以下关系：d+h=r
课堂练习 巩固训练 1.如图，AB是圆O的弦，半径OC⊥AB于点D，若圆O的半径为5，AB=8，则CD的长是( )A.2 B.3 C.4 D.52. AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为M，则下列结论不一定正确的是( ) A.CM=DM B.BC=BD C.∠ACD=∠ADC D.OM=MB3.如图，⊙O的弦AB＝8cm ，直径CE⊥AB于D，DC＝ 2cm，求半径OC的长.4.如图，有一个拱桥是圆弧形，它的跨度为60 m，拱高为18 m，求拱桥的半径.5.已知圆O的半径为10 cm，AB，CD是圆O的两条弦，AB//CD，AB=16 cm，CD=12 cm，则弦AB和CD之间的距离是多少？分析：弦AB、CD可能在圆心的同侧，也可能在圆心的异侧. 分类讨论 答案引入思考环节一证明：如图，CD是⊙O的任意一条直径，AA ′是弦，使AA′⊥CD，垂足为M连接OA，OA′,则OA=OA′.∵AA′⊥CD，∴CD是AA′的垂直平分线.∴对于圆上任意一点A，在圆上都有关于直线CD的对称点A′，即⊙O关于直线CD对称.圆的对称性：圆是轴对称图形，任何一条直径所在直线都是圆的对称轴.注意：不能说圆的直径是圆的对称轴，因为对称轴是直线，而直径是线段.环节二：探究垂径定理及推论如图， 把圆沿着直径CD折叠时，除了点A与点A'重合之外，还有哪些相等的线段和弧？AM=A'M，AD=A'D，AC=A'C直径CD平分弦AA'，并且平分AA' ，A'CA垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧. 垂径定理的几个基本图形：如图， ⊙O的直径CD垂直于弦AB，垂足为M. 仔细观察，图形中有哪些相等的线段和弧？为什么？已知：CD是直径，CD⊥AB 结论：AM=A'M，AD=A'D，AC=A'C垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧.推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧.已知：AB不是直径，CD过圆心 ，AM=BM结论：CD⊥AB，AD=BD，AC=BC思考：为什么平分的弦不是直径？如果弦AB是过圆心的弦呢 平分弦AB的直径CD一定会垂直弦AB吗？不会提炼概念 典例精讲 n-m例 例2 解：过点O作OC⊥AB，连接OA. 如图，设赵州桥主桥拱的半径为R m.由题意，可知AB=37m，CD=7.23m，则AD=18.5m，OD=R-7.23在Rt△OAD中，由勾股定理得R2=18.52+（R-7.23）2.解得R≈27.3.因此，赵州桥的主桥拱半径约为27.3 m.垂径定理中辅助线的添加方法：在圆中有关弦长a，半径r，弦心距d（圆心到弦的距离），弓形高h的计算题时，常常通过连半径或作弦心距构造直角三角形，利用垂径定理和勾股定理求解.弓形中的数量关系：弦a，弦心距d，弓形高h，半径r之间有以下关系：d+h=r 巩固训练AD4.解 设圆弧的圆心为点O，过点O作OD⊥AB，交AB于点D，交圆弧于点E，5. 解：分两种情况进行讨论：①当弦AB和CD在圆心同侧时，如图1，过点O作OF⊥CD，垂足为F，交AB于点E，连接OC，OA.∵ AB//CD，∴OE⊥AB.∵AB=16cm，CD=12cm,∴AE=8cm，CF=6cm，∵OA=OC=10cm，由勾股定理，得EO=6cm，OF=8cm，∴EF=OF-OE=2 cm.②当弦AB和CD在圆心异侧时，过点O作OE⊥CD，交CD于点E，延长EO交AB于点F，连接OC、OA，如图2所示∵ AB//CD，∴ OF⊥AB∵AB=16cm，CD=12cm，∴AF=8cm，CE=6cm.∵OA=OC=10cm，由勾股定理，得OE=8cm，OF=6cm， ∴EF=OF+OE=14cm.综上所述：AB和CD之间的距离为2cm或14cm.
课堂小结
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垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧
内容
①过圆心;②垂直于弦; ③平分弦（不是直径）; ④平分弦所对的优弧;⑤平分弦所对的劣弧.
推论
连半径，作弦心距
辅助线
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