八年级上册数学沪教版暑期-第04讲二次根式的概念及运算（三） 讲义（无答案）

1.思考：把代数式 和 中分数线下的式子看作分母，前一个分母是根式，后一个分母是整式，这两个分母之间有什么关系？怎样把分母中的化为？
把 的分数线上，下两式看作两个数相除，利用除法的性质以及根式乘法的法则，可得
这个化简的过程就是分母有理化.
要点一：分母有理化
1.分母有理化：
（1）把分母中的根号化去就是分母有理化，即是指分母中不含二次根式的运算．
（2）分母有理化的方法：是把分子和分母都乘以同一个适当的代数式，使分母不含根号．
2.问题：
3.有理化因式：
两个含有二次根式的非零代数式相乘，如果它们的积不含有二次根式，我们就说这两个含有二次根式的非零代数式互为有理化因式．如 互为有理化因式. 与 也互为有理化因式.
要点二：二次根式综合运算
1.二次根式的综合运算
（1）实数的运算律、运算性质以及运算顺序规定，在二次根式运算中都适用；
（2）二次根式的运算中要灵活运用运算律、运算性质、乘法公式等进行解题．
要点一：分母有理化
【例1】把下列各式分母有理化．
（1）； （2）； （3）； （4）．
【难度】★
【例2】填空：
（1）的一个有理化因式是 ；
（2）的一个有理化因式是 ．
【难度】★
【例3】把下列各式分母有理化．
（1）； （2）； （3）．
【难度】★
【例4】化简．
（1）； （2）．
【难度】★
【例5】把下列各式分母有理化．
（1）； （2）．
【难度】★★
【例6】把下列各式分母有理化．
（1）； （2）； （3）．
【难度】★★
【例7】把下列各式分母有理化．
（1）； （2）．
【难度】★★
【例8】化简：
（1）； （2）； （3）．
【难度】★★
【例9】解下列方程．
（1）； （2）．
【难度】★★
要点二：二次根式综合运算
【例10】化简：
（1）； （2）；
（3）．
【难度】★★
【例11】计算：
（1）； （2）．
【难度】★★
【例12】化简下列各式．
（1）； （2）； （3）．
【难度】★★
【例13】化简下列各式．
（1）； （2）．
【难度】★★
【例14】解下列方程组或不等式．
（1）； （2）．
【难度】★★
【例15】化简求值：，其中，．
【难度】★★
【例16】设的整数部分是，小数部分是，试求的值．
【难度】★★
【例17】下列分母有理化计算.
，，，，
……从计算结果中找出规律，并利用这一规律计算：
.
【难度】★★
1.分母有理化：
（1）把分母中的根号化去就是分母有理化，即是指分母中不含二次根式的运算．
（2）分母有理化的方法：是把分子和分母都乘以同一个适当的代数式，使分母不含根号．
2.有理化因式：
两个含有二次根式的非零代数式相乘，如果它们的积不含有二次根式，我们就说这两个含有二次根式的非零代数式互为有理化因式．
3.二次根式的加减运算：
把二次根式化简为最简二次根式，再合并同类项（加或者减）．
4.二次根式的乘除运算：
（1）两个二次根式相乘，被开方数相乘，根指数不变；
（2）两个二次根式相除，被开方数相除，根指数不变．
【巩固1】将下列各式分母有理化．
（1）； （2）； （3）； （4）．
【难度】★
【巩固2】将下列各式分母有理化．
（1）； （2）； （3）； （4）．
【难度】★
【巩固3】将下列各式分母有理化．
（1）； （2）； （3）．
【难度】★
【巩固4】不求方根的值比较 与的大小．
【难度】★
【巩固5】化简：
（1）； （2）；
（3）； （4）．
【难度】★
【巩固6】计算．
（1）； （2）．
【难度】★
【巩固7】化简下列各式．
（1）； （2）；
（3）； （4）．
【难度】★★
【巩固8】计算．
（1）； （2）；
（3） （4）．
【难度】★★
【巩固9】计算．
（1）； （2）．
【难度】★★
【巩固10】化简并求值：，其中，．
【难度】★★
【巩固11】已知：，，且，求的值.．
【难度】★★
【巩固12】已知的整数部分为，小数部分为，求的值．
【难度】★★
【巩固13】已知，求的值．
【难度】★★
【例1】解下列不等式．
（1）； （2）．
【难度】★★★
【例2】化简下列各式．
（1）； （2）；
（3）．
【难度】★★★
【例3】已知，求代数式：的值．
【难度】★★★
【例4】先化简再求值：，其中，．
【难度】★★★
【例5】已知：，，求的值．
【难度】★★★
【例6】已知，，求 的值．
【难度】★★★
【例7】已知，求出的值．
【难度】★★★
【巩固1】已知，求代数式的值．
【难度】★★★
【巩固2】已知：，，求的值．
【难度】★★★
【巩固3】已知：，，求的值．
【难度】★★★
【巩固4】若，求的值．
【难度】★★★
【巩固5】已知，求下列各式的值：
（1）； （2）．
【难度】★★★
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