八年级上册数学沪教版 暑期-第05讲综合复习（一） 讲义 （无答案）

二次根式是中考中的重点内容，主要是性质的运用和二次根式的运算，其中掌握二次根式的运算是重点，理解二次根式的性质是关键．二次根式的性质包括二次根式的有理化因式和分母有理化以及最简二次根式和同类二次根式；二次根式的运算包括二次根式的加减和二次根式的乘除以及它们的混合运算．把二次根式化为最简二次根式，不仅是简明表达的需要，而且是研究那些表示形式不同但实质一样的二次根式的需要，明确了同类二次根式和有理化因式的意义，那么，实施二次根式的加减运算，归结为合并同类二次根式；实施二次根式的除法运算，归结为分母有理化，从二次根式运算的全过程来看，就是按照一定的法则，把二次根式的运算转化为类似于整式、分式的运算，体现了化归的数学思想．
要点一：二次根式的概念及非负性
1.代数式（）叫做二次根式，读作“根号”，其中是被开方数．
2.二次根式有意义的条件是被开方数是非负数.
要点二：二次根式的性质
1. 二次根式的性质
性质1：；
性质2：；
性质3：（，）；
性质4：（，）．
2.与的关系：
．
3.把二次根式里被开方数所含的完全平方因式移到根号外，或者化去被开方数的分母的过程，称为“化简二次根式”.
要点三：最简二次根式
1.最简二次根式的概念：
（1）被开方数中各因式的指数都为1；
（2）被开方数不含分母．
被开方数同时符合上述两个条件的二次根式，叫做最简二次根式．
要点四：同类二次根式
1.同类二次根式的概念：
几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，那么这几个二次根式叫做同类二次根式．
要点五：分母有理化
1.分母有理化：
（1）把分母中的根号化去就是分母有理化，即是指分母中不含二次根式的运算．
（2）分母有理化的方法：是把分子和分母都乘以同一个适当的代数式，使分母不含根号．
2.有理化因式：
两个含有二次根式的非零代数式相乘，如果它们的积不含有二次根式，我们就说这两个含有二次根式的非零代数式互为有理化因式．
要点六：二次根式的运算
1.二次根式的加法和减法：
先把各个二次根式化为最简二次根式，再把同类二次根式分别合并（化简合并）．
2.二次根式的乘除运算：
（1）两个二次根式相乘，被开方数相乘，根指数不变；
（2）两个二次根式相除，被开方数相除，根指数不变．
要点七：二次根式综合运算
1.二次根式的综合运算
（1）实数的运算律、运算性质以及运算顺序规定，在二次根式运算中都适用；
（2）二次根式的运算中要灵活运用运算律、运算性质、乘法公式等进行解题．
要点一：二次根式的概念及非负性
【例1】下列各式中、、、、、、、，二次根式的个数是（ ）．
A.4 B.3 C.6 D.5
【难度】★
【例2】求下列各式有意义的所有x的取值范围：
（1）； （2）； （3）； （4）； （5）．
【难度】★★
【例3】下列各式中一定成立的是（ ）．
A．； B．；
C．； D．．
【难度】★
【例4】已知，试化简．
【难度】★
要点二：二次根式的性质
【例5】设分别是三角形三边的长，化简：．
【难度】★★
【例6】是的小数部分，求的值．
【难度】★★
【例7】已知：，求的值．
【难度】★★
要点三：最简二次根式
【例8】判断下列根式是否是最简二次根式．
（1）； （2）； （3）；
（4）； （5）； （6）．
【难度】★
【例9】化简二次根式：= ．
【难度】★★
【例10】化简．
（1）； （2）
（3）； （4）
【难度】★★
要点四：同类二次根式
【例11】已知二次根式、是同类二次根式，写出三个的可能值．
【难度】★
【例12】若最简根式与是同类根式，则_________．
【难度】★
【例13】若最简根式与是同类根式，则____；_____．
【难度】★
要点五：分母有理化
【例14】将下列式子分母有理化：
（1）； （2）； （3）．
【难度】★★
【例15】把下列各式分母有理化：
（1）； （2）； （3）．
【难度】★★
要点六：二次根式的运算
【例16】计算下列各式：
（1）； （2）；
（3）．
【难度】★
【例17】计算下列各式：
（1）； （2）．
【难度】★
【例18】计算下列各式：
（1）； （2）；
（3）．
【难度】★★
【例19】化简下列各式．
（1）； （2）；
（3）； （4）．
【难度】★★
【例20】已知：，，求的值．
【难度】★★
【例21】已知，求的值．
【难度】★★★
要点七：二次根式综合运算
【例22】已知，求的值．
【难度】★★
【例23】已知：、为实数，且，化简：．
【难度】★★
1.二次根式的非负性：_________________________________________________
2.最简二次根式的条件：______________________________________________
3.分母有理化：______________________________________________________
4.二次根式混合元算的顺序：_________________________________________
【巩固1】下列结论正确的是（ ）
A．是最简二次根式； B．；
C．的有理化因式是；D．不等式的解集是．
【难度】★
【巩固2】下列二次根式中，是最简二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
【难度】★
【巩固3】式子：有意义的条件是（ ）
A．x＞—2 B．—2＜x≤0 C．x≠2 D．x≤0
【难度】★
【巩固4】已知：的有理化因子是（ ）
A． B． C． D．
【难度】★
【巩固5】化简的结果是（ ）
A． B． C． D．
【难度】★★
【巩固6】已知的值（ ）
A．9 B． C．3 D．5
【难度】★★
【巩固7】化简为最简根式是__________．
【难度】★
【巩固8】化简：__________．
【难度】★
【巩固9】化简：的结果为_________．
【难度】★
【巩固10】若最简二次根式是同类二次根式，则______．
【难度】★
【巩固11】的有理化因式是______．
【难度】★
【巩固12】计算：__________．
【难度】★
【巩固13】数和的关系是__________．
【难度】★★
【巩固14】当为__________时，式子在实数范围内有意义．
【难度】★★
【巩固15】如果，则的取值范围是__________．
【难度】★★
【巩固16】=____________．
【难度】★★
【巩固17】，那么y的值______．
【难度】★★
【巩固18】已知：、，则的值为_________．
【难度】★★
【巩固19】最简根式：与是同类二次根式，求的值．
【难度】★★
【巩固20】化简：．
【难度】★★
【巩固21】已知、，求的值．
【难度】★★
【巩固22】已知实数、、在数轴上的位置如图所示化简．
【难度】★★
【巩固23】计算：
（1）；
（2）；
（3）．
【难度】★★
【巩固24】计算：
（1）； （2）；
【难度】★★
【巩固25】已知，求的值．
【难度】★★
【巩固26】已知 求的值．
【难度】★★
【巩固27】验证找规律：
“数字穿墙”现象
、、、、……
（1）对上述等式的正确性加以验证；
（2）针对上述各式出来的规律，请用（为任意正整数，且≥2）表示的整式且加以证明．
【难度】★★★
【例1】已知，求的值．
【难度】★★★
【例2】化简下列各式．
（1）；
（2）
【难度】★★★
【例3】已知求代数式的值．
【难度】★★★
【例4】已知，化简：．
【难度】★★★
【例5】已知：，，求的值．
【难度】★★★
【例6】已知，求的值．
【难度】★★★
【例7】已知实数满足：，求的值．
【难度】★★★
【巩固1】验证找规律：
“数字穿墙”现象
、、、、……
（1）对上述等式的正确性加以验证；
（2）针对上述各式出来的规律，请用（为任意正整数，且≥2）表示的整式且加以证明．
【难度】★★★
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