八年级上册数学沪教版 暑期-第06讲一元二次方程的概念、一般式、直接开平方法 讲义（无答案）

一群猴子在林中欢闹，
不知疲倦不知烦恼．
有数量为总数八分之一再平方的大猴小猴，
在树上不停的蹦跳；
还有12只猴子摘果取乐，
一边蹄叫一边乱抛．
树枝摇曳果遍地，林中猴子共多少？
这是古印度的一道有趣的数学题目，你能求出猴子总数吗？
要点一：一元二次方程的概念
1.问题：一块长方形绿地的面积为1200平方米，并且长比宽多10米，那么长和宽各为多少米？
2.一元二次方程的概念
（1）整式方程：方程的两边都是关于未知数的整式的方程叫做整式方程．
（2）一元二次方程：只含有一个未知数，且未知数的最高次数是2的的整式方程称作一元二次方程．
3. 一元二次方程的一般式
例如， ， 都是一元二次方程.方程 ，经过移项可以化成
所以： 任何一个关于的一元二次方程都可以化成的形式，这种形式简称为一元二次方程的一般式．其中叫做二次项，是二次项系数；叫做一次项，是一次项系数；叫做常数项．
要点二：直接开平方法
我们从特殊形式的一元二次方程着手，讨论解一元二次方程的问题.
1.问题：怎样解方程
2.直接开平方法
如果一元二次方程的一边是含有未知数的代数式的平方，另一边是一个非负的常数，那么就可以用直接开平方法求解，这种方法适合形如的形式求解．
要点一：一元二次方程的概念
【例1】下列方程中，哪些是一元二次方程？哪些不是一元二次方程．
①； ②；
③； ④；
⑤； ⑥（为已知数）； ⑦．
【难度】★
【例2】m为何值时，关于x的方程是一元二次方程．
【难度】★★
【例3】当取何值时，方程是一元二次方程．
【难度】★★
【例4】关于的方程．
（1）当取何值时，方程为一元二次方程？
（2）当取何值时，方程为一元一次方程？
【难度】★★
【例5】已知关于的方程是一元二次方程，求的取值范围．
【难度】★★
【例6】把下列一元二次方程化成一般式，并写出方程中的各项和各项的系数．
（1）； （2）；
（3）； （4）．
【难度】★
【例7】将下列一元二次方程化成一般式，并写出方程中的各项及各项系数．
（1） （、是常数，且）；
（2）； （3）．
【难度】★
【例8】若一元二次方程的常数项为零，则的值为_________．
【难度】★★
【例9】判断下列是不是一元二次方程的根．
①；②；③．
【难度】★
【例10】判断方程后面括号里的数是否为方程的根．
（1）； （2）．
【难度】★
【例11】已知关于的一元二次方程有一个根为0，求的值．
【难度】★★
【例12】已知关于的一元二次方程有一个根为1，有一个根为，求的值．
【难度】★★
【例13】已知关于的一元二次方程有一个根为0，求的值．
【难度】★★
【例14】若在一元二次方程中，二次项系数、一次项系数、常数项和为0，则方程必有一个根是 ．
【难度】★★
【例15】已知方程和有共同的解，求与的值．
【难度】★★
要点二：直接开平方法
【例16】解关于的方程：．
【难度】★
【例17】解关于的方程：．
【难度】★
【例18】解关于的方程：．
【难度】★
【例19】解关于的方程：．
【难度】★★
【例20】解关于的方程：．
【难度】★★
【例21】解关于的方程：．
【难度】★★
1、一元二次方程的概念
（1）整式方程：方程的两边都是关于未知数的整式的方程叫做整式方程．
（2）一元二次方程：只含有一个未知数，且未知数的最高次数是2的的整式方程称作一元二次方程．
2、一元二次方程一般式的概念
任何一个关于的一元二次方程都可以化成的形式，这种形式简称为一元二次方程的一般式．其中叫做二次项，是二次项系数；叫做一次项，是一次项系数；叫做常数项．
必须强调后面会涉及到含有字母系数的一元二次方程，讨论二次项系数取值范围问题
能够使一元二次方程左右两边的值相等的未知数的值叫做方程的解．只含有一个未知数的方程，它的解又叫做方程的根．
3、直接开平方法
如果一元二次方程的一边是含有未知数的代数式的平方，另一边是一个非负的常数，那么就可以用直接开平方法求解，这种方法适合形如的形式求解．
（1）未知数为的一元二次方程的两个根通常用 表示.
（2）通过开平方，把解一元二次方程的问题转化为解一元一次方程的问题，其数学思想是“化归”，基本策略是“将次”.
【巩固1】下列方程中，哪些是一元二次方程？哪些不是一元二次方程．
①； ②；
③； ④；
⑤； ⑥．
【难度】★
【巩固2】判断下列方程是否为一元二次方程．
①； ②；
③； ④；
⑤； ⑥；
⑦； ⑧．
【难度】★
【巩固3】填空：
（1）关于的方程，当 ，方程为一元二次方程．
（2）关于的方程，当 为一元一次方程；当 时为一元二次方程．
【难度】★
【巩固4】将下列一元二次方程化成一般式，并写出方程中的各项及各项系数．
（1）； （2）；
（3）； （4）；
（5）； （6）．
【难度】★
【巩固5】关于的方程是一元二次方程，求m的值？
【难度】★
【巩固6】关于的方程是一元二次方程，求的值．
【难度】★★
【巩固7】关于的方程有一个根为0，求的值．
【难度】★★
【巩固8】已知关于的一元二次方程的各项系数和为5，求的值．
【难度】★★
【巩固9】已知关于的方程是一元二次方程，求的取值范围．
【难度】★★
【巩固10】用开平方法解下列方程：
（1）； （2）；
（3）； （4）；
（5）； （6）；
（7）； （8）．
【难度】★★
【巩固11】用开平方法解下列方程：
（1）； （2）；
（3）； （4）；
（5）； （6）．
【难度】★★
【巩固12】已知方程是关于的一元二次方程，求、的值．
【难度】★★
【例1】若是关于的一元二次方程，求、的值．
【难度】★★★
【例2】已知是一元二次方程的根，求的值．
【难度】★★★
【例3】已知是一元二次方程的根，求的值．
【难度】★★★
【例4】关于的一元二次方程中计算得两根分别为，则的值是多少？
【难度】★★★
【例5】已知两个一元二次方程有一个公共根为1，
求证：也有一个根为1．
【难度】★★★
【例6】解关于的方程： ．
【难度】★★★
【例7】解关于的方程：．
【难度】★★★
【巩固1】已知关于的方程：．
（1）当取何值时，方程是一元二次方程？
（2）当取何值时，方程是一元一次方程？
【难度】★★★
【巩固2】已知是的一个不为0的根，不解方程，请求出的值，如果不能求出，请说明理由．
【难度】★★★
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