课件13张PPT。第11章 几何证明初步§ 11.1 定义与命题思考下列问题：
1、什么叫做角？
2、什么叫做平行线？
3、什么叫做直角三角形？有公共端点的两条射线所组成的图形叫做角。
同一平面内两条不相交的直线叫做平行线。
有一个内角是直角的三角形叫做直角三角形。用来说明一个名词含义的语句叫做定义。
定义常用的叙述方式是“… …叫做… …”。
定义一方面可以作为性质使用，
另一方面又可以作为判定的方法。
判断下列语句是定义吗？命题：对某件事情作出判断的语句。
命题通常由条件和结论两部分组成，条件是已知的事项，
结论是由已知事项推断出的事项。命题的一般叙述形式为
“如果……，那么……”，其中，“如果”所引出的部分是
条件，“那么”所引出的部分是结论。例题讲解例1 说出下列命题的条件和结论：
（1）如果两条直线都垂直于第三条直线，那么这两条直线互相垂直；
（2）平面内，两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，
那么这两条直线平行；
（3）全等三角形的对应边相等。
解:（1）条件：两条直线都垂直于第三条直线；
结论：；这两条直线互相垂直。
（2）条件：平面内，两条直线被第三条直线所截，内错角相等；
结论：这两条直线平行。
（3）条件：两个三角形全等；结论：这两个三角形的对应边相等。1、将下列命题改写成“如果……，那么……”的形式，并指出
命题中的条件和结论：
（1）同角的补角相等；
（2）正方形都相似。思考：例1中的哪些命题是错误的？你是如何发现的？
错误的命题叫做假命题，
正确的命题叫做真命题。
指出一个命题是假命题，只要能够举出一个例子，使它
具备命题的条件，而不符合命题的结论就可以了。
这种例子称为反例。
判断命题“相等的角是对顶角”是真命题还是假命题？当堂测试今天你有什么收获？习题11.1A组 第 3 题数学就在我们的身边课件12张PPT。第11章 几何证明初步§ 11.2 为什么要证明思考下列问题：
在以前的学习中我们都是用什么方法来得到数学命题的。
并举例说明。通常我们运用的是观察、实验、归纳和类比等方法。判断这些方法得出的结论一定正确吗？
（1）蝴蝶泉是云南大理的一处著名景点。每年春天，成千
上万只“蝴蝶”从四面八方云集泉边的合欢树下，成为一大
奇观，此泉由此而得名。明代地理学家徐霞客在游记中曾写
道：“还有真碟万千，连须钩足，自述颠倒悬而下，及于泉
面，缤纷络绎，五色焕然”。（2）1962年我国数学家华罗庚在给中学生作报告时，讲过一个
故事： 一只公鸡被一位买主买回了家，第1天，主人喂了公鸡一把
米。第2天，主人又喂了公鸡一把米；第3天，主人也喂了公鸡一把
米。连续10天，主人每天都给公鸡一把米。公鸡有了10天的经验，
它就下结论说，主人一定每天都喂它一把米。但是就在它得出这个
结论不久，主人家里来了一位客人，公鸡就被杀掉下菜了。由观察、实验、归纳和类比得到的命题仅仅是一种猜想，
未必都是真命题，要确定命题是真命题，还需要一步一步
有根据地说明理由，通过推理的方法加以证实。
推理的过程叫做证明。1、小亮从a(b+c)=ab+ac联想，应有sin（A+B）=sinA+sinB.
小亮的结论正确吗？
2、通过画图，小莹发现三角形的三条中线都在三角形的
内部，三角形的三条角平分线也都在三角形的内部，于是
推断三角形的三条高也都在三角形的内部。小莹的结论正
确吗？当堂测试小莹由“周长相等的两个等边三角形是全等形”，“周长
相等的两个正方形是全等形”，归纳出“周长相等的两个
边数相同的多边形是全等形”、小莹的归纳正确吗？说出
你的理由。今天你有什么收获？习题11.2A组 第 3 题数学就在我们的身边课件11张PPT。第11章 几何证明初步§ 11.3什么是几何证明1、两点确定一条直线。
2、经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行。
3、等式的基本性质和不等式的基本性质。
4、两条平行线被第三条直线所截，同位角相等。
5、两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线
平行。
6、ASA；SAS；SSS。
7、全等三角形的对应边相等，对应角相等。
8、等量代换。
说出你学过的公理例题讲解证明平行线的判定定理1：两条直线被第三条直线所截，如果内错角
相等，那么这两条直线平行。已知：如图，直线AB，CD被EF所截， ∠1= ∠2.
求证：AB ∥CD。证明： ∵ ∠3= ∠2（对顶角相等），
∠1= ∠2 （已知），
∴ ∠1= ∠3（等量代换）。
∴ AB ∥CD（同位角相等，两直线平行）。
可以简单地说成：内错角相等，两直线平行。平行线的判定定理2：两条直线被第三条直线所截，如果同旁
内角互补，那么这两条直线平行。简单地说成：同旁内角互补，两直线平行。交流与发现分析下面的两个命题，回答它们的条件和结论之间有什么关系？
1、两直线平行，内错角相等；
2、内错角相等，两直线平行。
在两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命题的结论，而
第一个命题的结论是第二个命题的条件，那么这两个命题叫做互
逆命题。
如果把其中一个命题叫做原命题，那么另一命题叫做它的逆命题。小试牛刀说出下列命题的逆命题，并判断它们的逆命题是真命题还是
假命题？
1、同角的补角相等；
2、全等三角形的对应边相等。
如果一个定理的逆命题也是真命题，那么这个逆命题就是原来
定理的逆定理。巩固练习证明：两条平行线被第三条直线所截，内错角相等。当堂检测1、如图，直线a∥b.求证：∠1=∠3.今天你有什么收获？习题11.3A组 第 4、5 题数学就在我们的身边课件12张PPT。第11章 几何证明初步§ 11.3什么是几何证明思考下列问题：
1、什么叫做公理？
2、你学过什么公理？用来证实其他命题的起始依据的真命题叫做公理。1、两点确定一条直线。
2、经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行。
3、等式的基本性质和不等式的基本性质。
4、两条平行线被第三条直线所截，同位角相等。
5、两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线
平行。
6、ASA；SAS；SSS。
1、两点确定一条直线。
2、经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行。
3、等式的基本性质和不等式的基本性质。
4、两条平行线被第三条直线所截，同位角相等。
5、两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线
平行。
6、ASA；SAS；SSS。
7、全等三角形的对应边相等，对应角相等。
8、等量代换。
证明：两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补。小结证明：对命题的真实性进行证明的推理过程。由已知条件、定义、公理或已经证实了的真命题出发，通过推理的方法得到证实的真命题称作定理。
定理可以进一步作为判断其他命题真假的依据。例题讲解例1 求证：如果两个角是对顶角，那么这两个角相等。小结几何证明过程的步骤：
1、根据题意，画出图形。
为了叙述方便，在图中要标出必要的字母和符号。
2、结合图形，写出已知、求证。
“已知”是命题的条件，“求证”是命题的结论。在书写时，应
把命题的文字语言和图形所表达的图形语言转化为符号语言。
3、找出由已知推出求证的途径，写出证明。
证明要求每一步推理都要有根据，推理的根据包括命题给出的已知
条件，已经学过的定义、公理，已经证明过的定理。当堂检测今天你有什么收获？习题11.3A组 第 1 题数学就在我们的身边课件9张PPT。第11章 几何证明初步§11.4 三角形内角和定理思考下列问题：
1、三角形的内角和定理。
2、三角形的内角和定理的推理是什么？复习导入例1 已知：如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB。
求证：∠1= ∠B .证明：在Rt△ABC中，
∵ ∠ACB=90°（已知），
∴ ∠B =90°－ ∠A（直角三角形的两个锐角互余）.
在 △ADC中，
∵CD ⊥AB（已知），
∴ ∠ADC=90°（垂直的定义）.
∴ △ADC是直角三角形.
∴ ∠1 =90°－ ∠A(直角三角形的两个锐角互余）.
∴ ∠1=∠B.（等量代换）
例题讲解巩固练习1、已知：如图， ∠ACD是△ABC的外角，CE平分∠ACD，
且BA∥CE。
求证： ∠A=∠B.例题讲解例2 求证：三角形的外角和等于360°.已知：如图， ∠BAF， ∠CBD，∠ACE是
△ABC的三个外角.
求证：∠BAF+ ∠CBD+ ∠ACE= 360°.
证明： ∵ ∠BAF= ∠ 2+ ∠ 3，
∠CBD= ∠ 3+ ∠ 1，
∠ACE= ∠ 2+ ∠ 1（三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和）。
∴ ∠BAF+ ∠CBD+ ∠ACE=2（ ∠ 1+ ∠ 2+ ∠ 3）（等式的性质）。
∵ ∠ 1+ ∠ 2+ ∠ 3= 180°（三角形的内角和定理）.
∴ ∠BAF+ ∠CBD+ ∠ACE= 2 × 180°= 360°（等量代换）.巩固练习1、已知：如图，∠1=∠2， ∠,3=∠4,∠E＝90 °.
求证：AB ∥CD.今天你有什么收获？习题11.4A组 第4题数学就在我们的身边课件13张PPT。第11章 几何证明初步§11.4 三角形内角和定理思考下列问题：
1、什么角 的度数为180°？
2、你能怎样得到三角形的内角和的
度数？探索新知已知：△ABC的三个内角是∠A，∠B，∠C。
求证： ∠A+∠B+∠ＡCＢ＝180 °.证明：如图，作BC的延长线CD，在△ABC的
外部，以CA为一边，作∠ACE= ∠A。
∴CE ∥AB（内错角相等，两直线平行）。
∴ ∠B= ∠ECD（两直线平行，同位角相等）。
∵ ∠ACB+∠ACE+∠ECD＝180 °.（平角的定义），
∴ ∠A+∠B+∠ＡCＢ＝180 °（等量代换）.
三角形内角和定理 三角形三个内角的和等于180 °.辅助线：为了证明的需要，在原来图形上添加的线。
辅助线通常画成虚线。运用下列添加辅助线的方法，证明三角形内角和定理。方法1：如图，经过A作DE ∥BC；运用下列添加辅助线的方法，证明三角形内角和定理。方法2：如图，经过A作AD∥BC；运用下列添加辅助线的方法，证明三角形内角和定理。方法3：如图，在BC上任取一点D，作DE∥AC交AB于点E，
作DF ∥AB交AC于点F。推理1 三角形的一个外角等于与它不相邻 的两个内角的和。
推理2 三角形的一个外角大于与它不相邻的任意一个内角。巩固练习1、已知：如图，四边形ABCD是一个任意四边形。
求证： ∠A+∠B+∠C +∠CD＝360 °.当堂测试1、如图所示，在△ABC中， ∠1是它的一个外角，E为边AC
上一点，延长BC到D，连接DE。
求证： ∠1 >∠D.今天你有什么收获？习题11.4A组 第3 题数学就在我们的身边课件9张PPT。第11章 几何证明初步§11.5 几何证明举例（1）思考下列问题：
1、全等三角形的判定方法。
2、全等三角形有什么性质？复习导入例1 已知：如图，AB和CD相交于点O，OA=OD，OC=OB.
求证：△OAC≌△ODB.例题讲解证明：在△OAC和△ODB中，
∵ OA=OD（已知），
∠ AOC= ∠ DOB（对顶角相等），
OC=OB（已知），
∴ △OAC≌△ODB（SAS）.巩固练习1、已知：如图， AB=AC， ∠B=∠C。
求证： BD=CE.例2 求证：如果一个三角形的两角及其中一角的对边与另一个三角形
的两角及其中一角的对边对应相等，那么这两个三角形全等。
已知：如图，在△ABC和△A’B’C’中，AB=A’B’,∠B= ∠B’，∠C= ∠C’.
求证： △ABC ≌ △A’B’C’.例题讲解证明：在△ABC和△A’B’C’中，
∵ ∠B= ∠B’，∠C= ∠C’（已知）.
∠A=180 ° － ∠B － ∠C，
∠A’=180 °－ ∠B’ － ∠C’（三角形内角和定理），
∴ ∠A= ∠A’（等量代换）。
∵AB=A’B’（已知），
∴ △ABC ≌ △A’B’C’（ASA）.
巩固练习1、求证：线段垂直平分线上的点到这条线段两端点的距离相等。今天你有什么收获？习题11.5A组 第1题数学就在我们的身边课件10张PPT。第11章 几何证明初步§11.5 几何证明举例（2）思考下列问题：
1、一个直角三角形的两条直角边与另一个直角三角形
的两条直角边分别相等，这两个直角三角形全等吗？
为什么？。
2、一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角
三角形的斜边和一条直角边分别相等，这两个直角三角
形全等吗？为什么？交流与发现例1 已知：如图，在Rt△ABC和Rt△A’B’C’中， ∠ C和∠ C ‘
都是直角，AB=A’B’，AC=A’C’.
求证：Rt△ABC≌Rt△ A’B’C’.例题讲解小结如果一个直角三角形的斜边及一条直角边与另一个直角三角形的斜边及一条直角边对应相等，那么这两个直角三角形全等。
简单记作：“斜边、直角边”或“HL”。巩固练习1、已知：如图，BD,CE是△ABC的高，且BD=CE。
求证： ∠BCE= ∠ CBD.例题讲解例1 求证：到一条线段两个端点的距离相等的点，在
这条线段的垂直平分线上。
已知：点P和线段AB，PA=PB。
求证：点P在线段AB的垂直平分线上。证明：（1）当P点不在线段AB所在的直线上时，
如图，过点P作PC⊥AB，垂足为点C。
在Rt△PCA和Rt△PCB中，
∵PA=PB（已知），PC=PC（公共边），
∴ Rt△PCA ≌ Rt△PCB（HL）.
∴AC=AB（全等三角形的对应边相等）.
∴点P在线段AB的垂直平分线上。（2）当P点在线段AB上时，
∵PA=PB，
∴点P是线段AB的中点。
∴点P在线段AB的垂直平分线上（垂直平分线的定义）。
由（1）（2）可知，该命题成立。巩固练习1、已知：如图，在△ABC中，边AB，BC的垂直平分线相交于点P。
求证：点P在边AC的垂直平分线上。今天你有什么收获？习题11.5A组 第4题数学就在我们的身边课件10张PPT。第11章 几何证明初步§11.5 几何证明举例（3）思考下列问题：
1、“等腰三角形的两个底角相等”是真命题吗？
怎样证明？
2、说出命题“等腰三角形的两个底角相等”的逆命题；
3、这个逆命题是真命题吗？怎样证明它的正确性？交流与发现例1 如果一个三角形有两个角相等，那么这个三角形是等腰三角形。
已知：如图，在△ABC中， ∠ B=∠ C .
求证: AB=AC.例题讲解证明 作BC边上的高AD，则∠ADB=∠ADC=90°.
在Rt △ABD和Rt△ACD中，
∵ ∠ B=∠ C ， ∠ADB=∠ADC（已知），
AD=AD（公共边），
∴ △ABD≌△ACD（AAS）.
∴AB=AC（全等三角形的对应边相等）.
∴ △ABC是等腰三角形（等腰三角形的定义）.小结等腰三角形的判定定理：
如果一个三角形有两个角相等，那么这个三角形是等腰三角形。
等腰三角形的性质定理：
等腰三角形的两个底角相等。
等腰三角形底边上的高线、中线、顶角平分线重合（三线合一）。巩固练习1、已知：如图，在△ABC中，AB=AC，D是BC的中点，DE⊥AB，
DF⊥AC，垂足分别为E，F.
求证： DE= DF.例题讲解例1 求证：等边三角形的每个内角都等于60°.
已知：如图，△ABC中，AB=BC=CA。
求证：∠A= ∠B=∠C= 60°.
证明：在△ABC中，
∵AB=BC（已知），
∴ ∠A=∠C（等腰三角形的两个底角相等）.
同理， ∵BC=CA， ∴ ∠A= ∠B.
∴ ∠A= ∠B=∠C(等式的性质）.
又∵ ∠A+∠B+∠C=180 °（三角形内角和定理），
∴ ∠C+∠C+∠C=180 °（等量代换）.
∴ ∠C= 60°.
∴ ∠A= ∠B=∠C= 60°.(等式的性质）.ABC巩固练习1、求证：等腰三角形两底角的平分线相等。今天你有什么收获？习题11.5A组 第6题数学就在我们的身边课件10张PPT。第11章 几何证明初步§11.5 几何证明举例（4）思考下列问题：
1、等腰三角形的判定方法？
2、等腰三角形的性质是什么？
3、全等三角形的性质是什么？交流与发现例1 求证：两个全等三角形的对应高相等。
已知：如图，△ABC≌△A’B’C’，AD，A’D
’分别是边BC，B’C’上的高.
求证: AD=A’D’.例题讲解证明 ∵ △ ABC≌△A’B’C’ （已知）.
∴AB=A’B’（全等三角形的对应边相等）.
∴ ∠ B= ∠ B’ （全等三角形的对应角相等）.
又∵ △ABD≌△A’B’D’（AAS）.
∴AD=A’D’（全等三角形的对应边相等）.
交流与发现1、全等三角形对应边上的中线相等吗？怎样证明？
2、全等三角形对应角的平分线分别相等吗？怎样证明？巩固练习1、已知：如图，在△ABC中，∠ABC=90°，D是BC延长线上的一点，
并且CD=CA，∠ADC=15°.例题讲解例1 求证：在直角三角形中，如果有一个锐角等于30°，那么这个
锐角所对的直角边等于斜边的一半。
已知：如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，
∠BCA=30°.
证明：延长AB到D，使BD=AB，连接CD.
∵∠ABC=90°，∠BCA=30°（已知）. ∴ ∠BAC= 60°（三角形内角和定理）.
∵AC=DC（线段垂直平分线上的点到这条线段两端点的距离相等）.
∴ ∠BDC= ∠BAC =60°（等腰三角形
的两个底角相等）.∠ACD=180 ° － ∠BDC
－ ∠BAC =60°.
∵ ∠BDC= ∠ACD（等量代换），
∴AC=AD（等腰三角形的判定
定理），
∴巩固练习1、已知：如图，AB=BD=DC， ∠A= ∠C，DE ⊥AB，BF ⊥DC，
垂足分别为E，F。
求证：DE=BF.今天你有什么收获？习题11.5A组 第9题数学就在我们的身边课件10张PPT。第11章 几何证明初步§11.6 反证法交流与发现小结反证法：不是由已知条件出发直接证明命题的结论，而是先提出与命题的结论相反的假设，推出矛盾，从而证明命题成立。运用反证法的一般步骤：
1、否定结论——假设命题的结论不成立；
2、推出矛盾——从假设出发，根据已知条件，经过推理论证，得出
一个命题的已知条件或定义、公理、定理等相矛盾的结果；
3、肯定结论——由矛盾判定假设不正确，从而肯定命题 结论正确。例1 已知：如图，直线a∥c，b∥c.
求证: a∥b.例题讲解证明 假设直线a，b不平行，那么它们
一定相交，设交点为P，这样过点P就有
两条直线a，b与直线c平行，这与“经过
直线外一点有且只有一条直线与
已知直线平行”矛盾。所以 a∥b.
巩固练习1、求证：两条直线相交，只能有一个交点。例题讲解巩固练习1、已知：如图，在同一平面内，直线a⊥直线c，直线b与直线c
相交，但不垂直。
求证：a与b必定相交。今天你有什么收获？习题11.6A组 第1、2题数学就在我们的身边
