第一章 有理数
1.3 有理数的加减法
1.3.2 有理数的减法
第2课时 有理数的加减混合运算
一、教学目标
【知识与技能】
1.理解有理数加减法可以互相转化，能把有理数加减混合运算统一为加法运算，灵活应用运算律进行计算．
2. 会正确熟练地进行有理数加减混合运算，发展学生的运算能力．
【过程与方法】
1.经历综合运用有理数加减法解决实际问题的过程，培养学生分析问题解决问题的能力．
2. 会使用计算器进行有理数的加、减混合运算，培养学生的程序意识，提高学生的学习积极性与学习数学的兴趣，以及学好数学的信心．
【情感态度与价值观】
体会数学与现实生活的联系，提高学生学习数学的兴趣．
二、课型
新授课
三、课时
第2课时
四、教学重难点
【教学重点】
有理数加减法统一为加法运算，掌握有理数加减混合运算．
【教学难点】
省略括号和加号的加法算式的运算方法．
五、课前准备
教师：课件、直尺、飞机模型等。
学生：三角尺、练习本、铅笔、圆珠笔或钢笔。
六、教学过程
（一）导入新课
一口深3.5米的深井，一只青蛙从井底沿井壁往上爬，第一次爬了0.7米又下滑了0.1米，第二次往上爬了0.42米又下滑了0.15米，第三次往上爬了1.25米又下滑了0.2米，第四次往上爬了0.75米又下滑了0.1米，第五次往上爬了0.65米.
请问小青蛙爬出井了吗？（出示课件2）
（二）探索新知
1.师生互动，探究有理数加减的混合运算
教师问1：一架飞机作特技表演，起飞后的高度变化如下表：
此时飞机比起飞点高了多少千米？
学生小组讨论并得出答案，学生可能出现的算式：
（1）4.5＋（－3.2）＋1.1＋（－1.4）
(2)4.5－3.2＋1.1－1.4
教师问2：回顾小学加减法混合运算的顺序．
学生回答：从左到右，依次计算.
教师问3：计算
（－20）＋（＋3）－（－5）一（＋7）（出示课件4）
这个式子中有加法，也有减法，我们可不可以利用有理数的减法法则，把这个算式改变一下？
学生回答：(–20)+(+3)+(+5)+(–7)
教师问4：请同学们算一算，你发现了什么？
学生回答：（出示课件5）
（－20)＋(3)一（－5)一（＋7)
＝（－20)＋（＋3)＋（＋5)＋（－7）
＝［（－20）＋（－7）］＋［（＋3）＋（＋5）］
=（－27）＋（＋8）
＝－19
教师问5：经过计算，你发现了什么？
学生回答：引入相反数后，加减混合运算可以统一为加法运算.
教师问6：观察上边的算式，你发现了什么？师生共同解答如下：把减法都转化为加法可以使用运算律，计算会简单些等.
总结点拨：“减法可以转化为加法”．
加减混合运算可以统一为加法运算，
如：a＋b－c=a＋b＋（－C）．
教师讲解：式子(－20)＋（＋3）十（＋5）＋（一7）是－20,+3，＋5,-7的和，为了书写简单，可以省略式中的括号和加号，把它写为－20+3+5-7，读作：“负20正3正5负7的和”，或读作“负20加3加5减7".
例1：计算：(–2)＋(+30)–(–15)–(＋27) （出示课件8）
师生共同解答如下：
方法一：减法变加法
解：原式＝(–2)＋(＋30)＋(＋15)＋(–27) 减法转化成加法
＝[(–2)＋(–27)]＋[(＋30)＋(＋15)] 运用加法交换律、结合律使同号两数分别相加
＝(–29)＋(＋45) 按有理数加法法则计算
＝16
方法二：去括号法（出示课件9）
解：原式＝–2+30+15–27 省略括号
＝–2–27+(30+15) 运用加法交换律、结合律使同号两数分别相加
＝–2+(–27)+45 按有理数加法法则计算
＝–29+45
＝16
总结点拨：（出示课件10）
有理数加减混合运算的步骤：
（1）将减法转化为加法运算；
（2）省略加号和括号；
（3）运用加法交换律和结合律，将同号两数相加；
（4）按有理数加法法则计算．
例2：2021年中国空军在南海进行了军事演习，一架飞机做特技表演，起飞后的高度变化如下表：
高度变化 上升4.5千米 下降3.2千米 上升1.1千米 下降1.4千米
记 作 +4.5千米 –3.2千米 +1.1千米 –1.4千米
此时飞机比起飞点高了多少千米
师生共同解答如下：
解： 4.5＋(–3.2)＋1.1＋(–1.4)
= (4.5＋1.1)＋[(–3.2)＋(–1.4)]
= 5.6＋(–4.6)=1 (千米)
答：此时飞机比起飞点高了1千米.
例3：动物园在检验成年麦哲伦企鹅的身体状况时，最重要的一项工作就是称体重. 已知某动物园对6只成年麦哲伦企鹅进行体重检测，以4kg为标准，超过或者不足的千克数分别用正数、负数表示，称重记录如下表所示，求这6只企鹅的总体重. （出示课件14）
编号 1 2 3 4 5 6
差值（kg) –0.08 +0.09 +0.05 –0.05 +0.08 +0.06
师生共同解答如下：（出示课件15）
解：(–0.08)+(+0.09)+(+0.05)+(–0.05)+(+0.08)+(+0.06)
= [(–0.08)+(+0.08)]+[(–0.5)+0.5]+(0.09+0.06)
= 0.15 (kg)
4×6+0.15=24.15（kg）.
答：这6只企鹅的总体重为24.15kg.
（三）课堂练习（出示课件17-21）
1. 某市某一天的最高气温为2℃，最低气温为–8℃，则这天的最高气温比最低气温高（ ）
A．10℃ B．6℃
C．–6℃ D．–10℃
2. 下列交换加数的位置的变形中，正确的是（ ）
A. 1–4+5–4=1–4+4–5
B.
C. 1–2+3–4=2–1+4–3
D. 4.5–1.7–2.5+1=4.5–2.5+1–1.7
3. 计算：6 – (3–5)=_________．
4. 若a= –2，b=3，c= –4 ，则a–(b–c)的值为 ________.
5. –4，–5， +7这三个数的和比这三个数的绝对值的和小________.
6. 计算1–2+3–4+5+ …+99–100=________.
7. 计算：(–7)–(+5)+(–4)–(–10).
8. 某水利勘察队，第一天向上游走了 千米，第二天又向上游走了 千米，第三天向下游走了4.5千米，第四天又向下游走了 千米，试求第四天勘察队在出发点的什么位置？
参考答案：
1.A
2.D
3.8
4.-9
5.18
6.-50
7. 解：(–7)–(+5)+(–4)–(–10)
= (–7)+(–5)+(–4)+10
= (–16)+10
= –6.
8. 解：设向上游为正，则向下游为负，根据题意得
（千米）
答：第四天勘察队在出发点的上游 千米处.
（四）课堂小结
今天我们学了哪些内容:
有理数加减混合运算通常统一成加法运算，运算时常用交换律和结合律使计算简便，一般情况采用：（1）凡相加是整数的，可以先加；（2）分母相同或易于通分的分数相结合；（3）有互为相反数可以互相抵消的，先相加；（4）正、负数分别相加．总之要认真观察，灵活运用运算律．
（五）课前预习
预习下节课（1.4.1）28页到31页的相关内容。
知道有理数乘法法则和倒数的定义.
七、课后作业
1、教材24页练习.
2、下表是某水位站记录的潮汛期某河流一周内的水位变化情况(“＋”号表示水位比前一天上升，“－”号表示水位比前一天下降，上周末的水位恰好达到警戒水位．单位：米).
星期 一 二 三 四 五 六 日
水位变化 0.2 0.81 －0.35 0.13 0.28 －0.36 －0.01
(1)本周哪一天河流水位最高，哪一天河流水位最低，它们位于警戒水位之上还是之下，与警戒水位的距离分别是多少？
(2)与上周末相比，本周末河流的水位是上升还是下降了？
八、板书设计：
有理数加减法混合运算的步骤
方法一：减法转化成加法
1. 减法变加法：a+b–c=a+b+(–c);
2. 运用加法交换律、结合律使同号两数分别相加；
3. 按有理数加法法则计算.
方法二：省略括号法
1. 省略括号；2. 同号放一起；3.进行加减运算.
九、教学反思：
本节课的教学设计是以人教版教材和课程标准为依据的，在教学方法上突出了创设情境，提出问题，建立模型，解决问题的思路，以下就本节设计做几点简单说明：
1.在引人新课时，创设了一个较为实际的问题情境（飞机起飞的上升与下降），让学生通过对这个问题的感知、思考与解决的过程，体会到生活中进行加减混合运算的必要性，激发学生的学习兴趣，并能通过对这个问题的两种解法思路的探讨去思考，将学生的注意力朝着减法转化为加法的思路引导，为紧接着探究新知打好基础．
2.在学生的合作交流、探求新知之中，首先让学生考虑运算顺序的问题，这是所有混合运算必需首先解决好的问题，然后再从引例的角度遵循减法法则，让学生尝试将加减混合运算统一为加法运算；通过运算的比较，让学生感受到其中的必要性，而在整个探索活动中都充满着学生与学生之间的交流合作，给学生以充分发表意见的机会；让学生在自己与同伴的合作中去发现与探究．同时也注意教师与学生之间的对话；引导学生的思维方向，渗透了转化的思想．
3.在例题中做了适当的处理，首先是把教科书上的两道练习题作为新知应用的例题，让学生利用新获得的知识去解决，而在这个过程之中，采用的是师生合作的方式来进行．通过适当计算教科书上的例7指出，计算器可以帮助我们处理一些较为复杂的运算，引导学生尝试使用计算器．第一章 有理数
1.3 有理数的加减法
1.3.2 有理数的减法
第1课时 有理数的减法法则
一、教学目标
【知识与技能】
1.理解并掌握有理数的减法法则，能进行有理数的减法运算．
2.通过把减法运算转化为加法运算，让学生了解转化思想．
【过程与方法】
1.经历探索有理数的加法运算律的过程，培养学生的观察能力和思维能力．
2. 能解决简单的实际问题，体会数学与现实生活的联系．
【情感态度与价值观】
体会有理数加法运算律的应用价值．
二、课型
新授课
三、课时
第1课时
四、教学重难点
【教学重点】
有理数的减法法则，减法转化为加法的条件，把减数变为它的相反数.
【教学难点】
1.通过实例引人有理数减法的法则；
2.转化过程中两类符号的改变．
五、课前准备
教师：课件、直尺、温度计等。
学生：三角尺、练习本、铅笔、圆珠笔或钢笔。
六、教学过程
（一）导入新课
你听说过国家级森林公园抱犊崮吗？
已知抱犊崮某日山下温度为5 ℃，山上温度为–5 ℃，你能列式表示出山上温度与山下温度的温差吗？（出示课件2）
（二）探索新知
1.师生互动，探究有理数的减法法则
教师问1：同学们，在前面的学习中，我们知道生活中有许多地方需要用到有理数的加法，那么请同学们想一想，生活中有没有需要用减法的呢？
学生讨论后回答：小明同学前段时间就碰到过这样一个问题：某地一天的气温是一3～4℃，求这天的温差，可是他不会算，同学们能帮助他解决这个问题吗？学生回答：“我知道－3 ~ 4℃这一天的温差是多少度， 但我不知道4－（－3）该怎么算．”
教师问2：你能从温度计上看出4℃比－3℃高多少摄氏度吗？(出示课件4)
学生观察温度计后回答：7℃.
教师问3：上面的问题如何用式子表示呢？
学生回答：4-（-3）=7
教师问4：如何计算4－（－3）呢？在回答之前，我们想一想：被减数、减数、差之间的关系是怎样呢？
学生回答：被减数－减数=差.
教师问5：再利用减法是加法的逆运算，我们可以得到：差、减数和被减数的关系是怎样的？
学生回答：差＋减数=被减数.
教师讲解：计算4－3就是求一个数“x”，使它加上3等于4，同样的，要计算4－（－3）就是求一个数“x”，使x与－3相加等于4.请同学们列出算式是？
学生回答：X+（－3） =4.
教师问6：解方程：X+（－3） =4.
学生回答：因为7+（－3） =4，所以4－（－3） =7,所以x=7
教师问7：刚才，我们用多种方法得出了4－ (－3) =7,可是，如果每次进行减法运算都要这样做的话，太麻烦了；看来我们还要继续努力，争取找到更简洁的方法．请同学们想一想，4十？=7
学生回答：4＋（＋3) = 7.
教师问8：用彩色粉笔在4－（－3）与4十（＋3)处画出着重号．请同学们观察4＋（＋3)=7与4－（－3)=7，你得到什么呢？
学生回答：4（－3）=4＋（＋3）．
教师问9：用上面的方法考虑：（出示课件5）
0–(–3)=___，0+(+3)=___；
1–(–3)=___，1+(+3)=____；
–5–(–3)=___，–5+(+3)=___．
学生回答：3,3,4,4，-2，-2
教师问10：你发现这个等式有什么特点？
学生回答：0–(–3)= 0+(+3)；
1–(–3)= 1+(+3)；
–5–(–3)=–5+(+3)．
教师问11：计算下列各题，你发现了什么：
9–8=___； 9+(–8)=____；
15 –7=___； 15+(–7)=____．
学生回答：9–8= 9+(–8)；
15 –7=15+(–7)．
教师问12：如果把上边的数字改为字母，例如a-(-b)与a+b,这两个式子的结果相等吗？
学生回答：相等，即a-(-b)=a+b
教师问13：上边的式子你能语言描述吗？
学生讨论后回答：减去一个数与加上这个数的相反数是相等的.
总结点拨：（出示课件6）
通过上面的探究可得结论
例1：计算:（出示课件7）
(1)(–3)–(–5); (2)0–7; (3)7.2–(–4.8).
师生共同解答如下：
解：(1) (–3)–(–5)= (–3)+5=2
(2) 0–7 = 0+(–7) = –7
(3) 7.2–(–4.8) = 7.2+4.8 = 12
总结点拨：（出示课件8）
1. 有理数减法的运算步骤：①根据有理数的减法法则将减法运算变为加法运算；②根据有理数的加法法则和运算律计算出结果.
2. 有理数的减法是有理数加法的逆运算 ，在转化过程中，应注意“两变一不变”，即减法变加法、减数变成它的相反数、被减数不变.
3. 有理数减法运算的四种情况：
（1）任意一个数减去一个正数等于加上一个负数，如a-b=a+(-b);
（2）任意一个数减去一个负数等于加上一个正数，如a-(-b)=a+b；
（3）任何一个数减去0仍得这个数，如a-0=a;
（4）0减去 一个数等于这个数的相反数，如0-a=-a.
例2：已知│a│= 5，│b│= 3，且a>0，b<0，
则a–b=_______________.（出示课件11）
师生共同解答如下：
解析：由│a│= 5，│b│= 3，得a=± 5，b= ±3.
又因为a>0，b<0，所以a= 5，b= –3.
所以a–b=5–(–3)=5+3=8.
答案：8
例3：世界上最高的山峰是珠穆朗玛峰，其海拔高度是 8844 米，吐鲁番盆地的海拔高度是–155 米，两处高度相差多少米？（出示课件13）
师生共同解答如下：
解：8844 –(–155)
=8844+155
=8999（米）
答：两处高度相差8999米.
例4：某日哈尔滨、长春等五个城市的最高气温与最低气温记录如下表.
城市 哈尔滨 长春 沈阳 北京 大连
最高气温 2 ℃ 3 ℃ 3 ℃ 12 ℃ 6 ℃
最低气温 –12 ℃ –10 ℃ –8 ℃ 2 ℃ –2 ℃
哪个城市的温差最大？哪个城市的温差最小？（出示课件15）
师生共同解答如下：（出示课件16）
分析：温差即最高气温与最低气温的差．
首先要根据题意列式，利用法则求解，最后比较大小．
解：哈尔滨的温差为 2–(–12)＝2＋(＋12)＝14（ ℃ ），
长春的温差为 3–(–10)＝3＋(＋10)＝13（ ℃ ），
沈阳的温差为 3–(–8)＝3＋(＋8)＝11 （ ℃ ），
北京的温差为 12–2＝10 （ ℃ ），
大连的温差为 6–(–2)＝6＋(＋2)＝8（ ℃ ）．
答：五个城市中哈尔滨的温差最大，为14 ℃；
大连的温差最小，为8 ℃.
（三）课堂练习（出示课件18-23）
1. –3–（–2）的值是（ ）
A．–1 B．1 C．5 D．–5
2. 比–1小2的数是（ ）
A．3 B．1 C．–2 D．–3
3. 计算：
（1）(+7) –(–4);
（2）(–0.45)–(–0.55);
（3） 0–(–9)；
（4） (–4)– 0 ；
（5）(–5)–(+3).
4. 填空：
（1）温度4℃比–6℃高________℃ ；
（2）温度–7℃比–2℃低_________℃ ；
（3）海拔高度–13m比–200m高_______m；
（4）从海拔20m到–40m，下降了______m.
5. 判断并说明理由.
（1）在有理数的加法中，两数的和一定比加数大.（ ）
（2）两个数相减，被减数一定比减数大.（ ）
（3）两数之差一定小于被减数.（ ）
（4）0减去任何数，差都为负数.（ ）
（5）较大的数减去较小的数，差一定是正数.（ ）
6. 某次法律知识竞赛中规定：抢答题答对一题得20分，答错一题扣10分，问答对一题与答错一题得分相差多少分？
7. 已知|x|＝3，|y|＝5，且|x–y|＝|x|＋|y|，求x＋y和x–y的值．
参考答案：
1.A 解析：–3–（–2）= –3+2= –1．
2.D 解析：–1–2= –3.
3. 答案：（1）11；（2）0.1；（3）9；（4）–4；（5）–8.
4.（1）10，（2）5，（3）187，（4）60.
5.（1）× 也可能小于加数或等于加数，例如–2+（–3）=–5，–3+0=–3.
（2）× 也可能小于减数或相等，例如–4–10；6–6.
（3）×也可能大于被减数或相等，例如–4–（–10）=6；6–0=6.
（4）×也可能是正数或0，例如0–0=0，0–（–2）=2.
（5）√
6. 解：20–(–10)=20+10=30 (分)
答：答对一题与答错一题相差30分.
7. 解：∵|x–y|＝|x|＋|y|，
∴x与y异号或x，y中至少有一个为0，
又|x|＝3，|y|＝5，
∴x＝3时，y＝–5；x＝–3时，y＝5.
当x＝3，y＝–5时，x＋y＝3＋(–5)＝–2，x–y＝3–(–5)＝8；
当x＝–3，y＝5时，x＋y＝–3＋5＝2，x–y＝–3–5＝–8.
（四）课堂小结
今天我们学了哪些内容:
有理数减法法则：减去一个数，等于加上这个数的相反数．
引进负数后，任意两个有理数都可以求出它们的差，结果可能为正数（大数减去小数），也可能为负数（小数减去大数），还可能为0（相等的两数相减），学习有理数减法，关键在于处理好两个“变”字；（1）改变运算符号──即把减法转化为加法．（2）改变减数的符号──即减数变为它的相反数，这两个“变”要同时进行，而被减数不变．
（五）课前预习
预习下节课（1.3.2）23页到24页的相关内容。
知道知道有理数加减混合运算可以统一为加法，会算式的读法.
七、课后作业
1、教材23页练习1,2
2、已知有理数a＜0，b＜0，且|a|＞|b|，试判定a－b的符号．
八、板书设计：
有理数减法法则：减去一个数，等于加上这个数的相反数．
九、教学反思：
1.本节在引入有理数减法时花了较多的时间，目的是让学生有充分的思考空间与时间进行探索，法则的得出，是在经历从实际例子（温度计上的温差）到抽象的过程中形成种，减法法则的归纳得出是本节课的难点，在这个过程中，设计了师生的交流对话，教师适时、适度的引导，也体现教师是学生学习的引导者、伙伴的新型师生关系．
2.在教学设计中，除了考虑学生探索新知的需要，还考虑学生对法则的理解和掌握是建立在一定量的练习基础之上的，因此，在例题中增加了一道实际问题，让学生在解决实际间题过程中培养运算能力．另外教师引导（提倡）学生进行解题后的反思，意在逐步培养学生思维的全面性、系统性．在反思的基础上又让学生（或教师启发引导）去寻找一些（如减正数即加负数；减负数即加正数）规律，目的是让学生顺利地掌握法则，并达到熟练运用的程度.
