16．4角的平分线（共3课时）
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16．4 角的平分线（第1课时，共3课时）
【教学目标】
1．探索角平分线的性质定理和它的逆定理，掌握它们的作图方法。
2．经历探索角平分线的性质定理和它的逆定理的过程，体会这两个定理的作用。
3．培养良好的逻辑思维能力，感悟逻辑推理在现实生活中的应用价值。
【教学重点】
角平分线的性质定理、判定定理
【教学难点】
能够利用尺规法作一个已知角，利用角平分线的性质定理、判定定理解决几何问题
【教学过程】
问题：角是一个轴对称图形，角平分线所在的直线是它的对称轴。
如何作出一个角的平分线呢？
通过折纸可以作出一个角的平分线。也可以通过量角器来画一个角的平分线。
下面介绍用 尺规作图的方法作出∠AOB的平分线。
如何作出∠AOB的角平分线OP
作法：
1.用圆规在OA、OB边上分别截取等长的两线段OM、ON。
2.分别以点M、点N为圆心，以大于长为半径(为什么？)在角的内部画弧,交点为P点。
3.作射线OP。则OP为所要求的∠AOB的平分线。
这样做的原理，实际上是利用了三角形全等的一个判定定理（边边边定理）。
以上为例说明：
在所作的ONP和OMP中，
OM＝ON
OP＝OP（公共边）
MP＝NP
所以ONP≌OMP
所以∠NOP＝∠MOP（全等三角形对应角相等）
即OB是∠AOB的平分线。
思考：当∠AOB得两边成一条直线时（即∠AOB=）时，如何作这个角的平分线呢？这时角平分线与直线AB是什么关系呢？
通过上面的作图，启发我们用尺规作图完成：“经过一点作已知直线的垂线。”
由于一点可能在直线外或在直线上，这个作图要分两种情况:
1.经过已知直线上的一点作这条直线的垂线。
作法：见课本P126
2. 经过已知直线外的一点作这条直线的垂线。
作法：见课本P126
二．课堂练习：
见课本P127第1题、第2题。
三．课堂小结
四．作业：校本作业
五．教学反思
16．4角的平分线（第2课时，共3课时）
【教学目标】
1．应用三角形全等的知识，解释角平分线的原理
2．会用尺规作一个已知角的平分线
3．初步了解角平分线的性质在生活、生产中的应用
【教学重点】
作角的平分线的方法及角的平分线的性质
【教学难点】
熟练运用角的平分线的性质解决实际问题
【教学过程】
问题：OP是∠AOB的平分线，P是OP上一点，过点P分别作PC⊥OA,PD⊥OB,C、D是垂足，猜想PC和PD长度间有什么关系？
根据你猜想的结论，写出这个问题的已知、求证和证明。（由学生完成）
定理：角平分线上任意一点到角的两边的距离相等
符号语言
∵ 点P在∠AOB的角平分线上，PE⊥OA，PD⊥OB
∴ PD = PE
写出上面定理逆命题的已知、求证和证明。（由学生完成）
定理：在一个角的内部，到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上。
符号语言
∵ PE⊥OA，PD⊥OB，且PD = PE
∴ 点P在∠AOB的角平分线上
二．例题精解
例1、如图, △ABC的角平分线BM,CN相交于点P,
求证：点P到三边AB、BC、CA的距离相等
分析：略
三．课堂练习：
见课本P127第1题、 第2题
3.如图，在△ABC中，AC = BC，∠C = 90°，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，
垂足为E。
（1）已知CD = 4cm，求AC的长；
（2）求证：AB = AC + CD。
4.如图，为了促进当地旅游发展，某地要在三条公路围成的一块平地上修建一个度假村。要使这个度假村到三条公路的距离相等，应在何处修建
四．课堂小结：
五．作业：校本作业
六．教学反思
16．4角的平分线（第3课时，共3课时）
【教学目标】
1．应用三角形全等的知识，解释角平分线的原理
2．会用尺规作一个已知角的平分线
3．初步了解角平分线的性质在生活、生产中的应用
【教学重点】
熟练掌握作角的平分线的方法及角的平分线的性质的运用
【教学难点】
熟练运用角的平分线的性质解决实际问题
【教学过程】
一、复习引入
定理：角平分线上任意一点到角的两边的距离相等
∵ 点P在∠AOB的角平分线上，PE⊥OA，PD⊥OB
∴ PD = PE
定理：在一个角的内部，到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上。
∵ PE⊥OA，PD⊥OB，且PD = PE
∴ 点P在∠AOB的角平分线上
二．例题精讲
例1．如图, △ABC中，的平分线BM、CN相交于点P,
求证：AP平分
分析：略
证明：略
三．课堂练习：
见课本P128第1题、 第2题
3.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A、∠B的平分线交于点I，ID⊥AB于D.
若AB=5，AC=3，BC=4，求ID的长.
4.如图，若AD是△ABC中BC的中线，ED平分∠ADB，DF平分∠ADC，
探索BE、FC与EF之间长度的关系？
四．课堂小结：
五．作业：校本作业
六．教学反思：
A
B
C
P
M
N
A
B
C
P
M
N
第3题图
D
I
C
B
A
第4题
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【教学目标】
1．探索角平分线的性质定理和它的逆定理，掌握它们的作图方法。
2．经历探索角平分线的性质定理和它的逆定理的过程，体会这两个定理的作用。
3．培养良好的逻辑思维能力，感悟逻辑推理在现实生活中的应用价值。
【教学重点】
角平分线的性质定理、判定定理
【教学难点】
能够利用尺规法作一个已知角，利用角平分线的性质定理、判定定理解决几何问题
【教学过程】
问题：角是一个轴对称图形，角平分线所在的直线是它的对称轴。
如何作出一个角的平分线呢？
通过折纸可以作出一个角的平分线。也可以通过量角器来画一个角的平分线。
下面介绍用 尺规作图的方法作出∠AOB的平分线。
如何作出∠AOB的角平分线OP
作法：
1.用圆规在OA、OB边上分别截取等长的两线段OM、ON。
2.分别以点M、点N为圆心，以大于长为半径(为什么？)在角的内部画弧,交点为P点。
3.作射线OP。则OP为所要求的∠AOB的平分线。
这样做的原理，实际上是利用了三角形全等的一个判定定理（边边边定理）。
以上为例说明：
在所作的ONP和OMP中，
OM＝ON
OP＝OP（公共边）
MP＝NP
所以ONP≌OMP
所以∠NOP＝∠MOP（全等三角形对应角相等）
即OB是∠AOB的平分线。
思考：当∠AOB得两边成一条直线时（即∠AOB=）时，如何作这个角的平分线呢？这时角平分线与直线AB是什么关系呢？
通过上面的作图，启发我们用尺规作图完成：“经过一点作已知直线的垂线。”
由于一点可能在直线外或在直线上，这个作图要分两种情况:
1.经过已知直线上的一点作这条直线的垂线。
作法：见课本P126
2. 经过已知直线外的一点作这条直线的垂线。
作法：见课本P126
二．课堂练习：
见课本P127第1题、第2题。
三．课堂小结
四．作业：校本作业
五．教学反思
16．4角的平分线（第2课时，共3课时）
【教学目标】
1．应用三角形全等的知识，解释角平分线的原理
2．会用尺规作一个已知角的平分线
3．初步了解角平分线的性质在生活、生产中的应用
【教学重点】
作角的平分线的方法及角的平分线的性质
【教学难点】
熟练运用角的平分线的性质解决实际问题
【教学过程】
问题：OP是∠AOB的平分线，P是OP上一点，过点P分别作PC⊥OA,PD⊥OB,C、D是垂足，猜想PC和PD长度间有什么关系？
根据你猜想的结论，写出这个问题的已知、求证和证明。（由学生完成）
定理：角平分线上任意一点到角的两边的距离相等
符号语言
∵ 点P在∠AOB的角平分线上，PE⊥OA，PD⊥OB
∴ PD = PE
写出上面定理逆命题的已知、求证和证明。（由学生完成）
定理：在一个角的内部，到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上。
符号语言
∵ PE⊥OA，PD⊥OB，且PD = PE
∴ 点P在∠AOB的角平分线上
二．例题精解
例1、如图, △ABC的角平分线BM,CN相交于点P,
求证：点P到三边AB、BC、CA的距离相等
分析：略
三．课堂练习：
见课本P127第1题、 第2题
3.如图，在△ABC中，AC = BC，∠C = 90°，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，
垂足为E。
（1）已知CD = 4cm，求AC的长；
（2）求证：AB = AC + CD。
4.如图，为了促进当地旅游发展，某地要在三条公路围成的一块平地上修建一个度假村。要使这个度假村到三条公路的距离相等，应在何处修建
四．课堂小结：
五．作业：校本作业
六．教学反思
16．4角的平分线（第3课时，共3课时）
【教学目标】
1．应用三角形全等的知识，解释角平分线的原理
2．会用尺规作一个已知角的平分线
3．初步了解角平分线的性质在生活、生产中的应用
【教学重点】
熟练掌握作角的平分线的方法及角的平分线的性质的运用
【教学难点】
熟练运用角的平分线的性质解决实际问题
【教学过程】
一、复习引入
定理：角平分线上任意一点到角的两边的距离相等
∵ 点P在∠AOB的角平分线上，PE⊥OA，PD⊥OB
∴ PD = PE
定理：在一个角的内部，到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上。
∵ PE⊥OA，PD⊥OB，且PD = PE
∴ 点P在∠AOB的角平分线上
二．例题精讲
例1．如图, △ABC中，的平分线BM、CN相交于点P,
求证：AP平分
分析：略
证明：略
三．课堂练习：
见课本P128第1题、 第2题
3.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A、∠B的平分线交于点I，ID⊥AB于D.
若AB=5，AC=3，BC=4，求ID的长.
4.如图，若AD是△ABC中BC的中线，ED平分∠ADB，DF平分∠ADC，
探索BE、FC与EF之间长度的关系？
四．课堂小结：
五．作业：校本作业
六．教学反思：
A
B
C
P
M
N
A
B
C
P
M
N
第3题图
D
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C
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第4题
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