3.1.1.两角差的余弦公式

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第三章 三角恒等变换
3.1.1.两角差的余弦公式

湖南省耒阳市振兴学校
高中数学老师欧阳文丰制作1. 教学重点：通过探索得到两角差的余弦公式；
2. 教学难点：探索过程的组织和适当引导，运用已学知识和方法的能力问题，等等.目标导学
1、了解两角差的余弦公式的推导和证明过程 ；
2、掌握两角差的余弦公式并能利用公式进行简单的三角函数式的求值、化简和证明。其中θ∈[0，π ]大家可以猜想，是不是等于 呢?（一）导入：我们在初中时就知道?，由此我们能否得到根据我们在第一章所学的知识可知
我们的猜想是错误的！
下面我们就一起探讨两角差的余弦公式，在第一章三角函数的学习当中我们知道，在设角 的终边与单位圆的交点为 ， 等于角 与单位圆交点的横坐标，也可以用角 的余弦线来表示，大家思考：怎样构造角 和
角？
（注意：要与它们的正弦线、余弦线联系起来.）（二）探讨过程： ∵ ∴ cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ差角的余弦公式结
论
归
纳
注意：1.公式的结构特点；2.对于α,β,只要知道其正弦或余弦，就可以求出cos(α－β)〖理论升华〗1.判断题
（1）对任意角α,β，一定有cos(α＋β) cosβ＋sin(α＋β)sinβ= cosα 成立； （ ）
（2） 的化简结果为0 （ ）×√+（三）例题讲解例1、利用差角余弦公式求 的值.点评：把一个具体角构造成两个角的和、差形式，有很多种构造方法，例如：
，要学会灵活运用.课堂练习1. 不查表计算下列各式的值： 2. 教材P.127练习第1、2、3、4题.变角:分析：例3.已知cos(α–30 °)=15/17, α为大于30 °的锐角,求cos α的值. 分析： α=(α– 30 °)+ 30 °
解：∵ 30 °＜ α ＜90 ° ,
∴ 0 ° ＜ α – 30 ° ＜60 °,
由cos(α – 30 ° )=15／17,得sin (α – 30 ° )=8／17,
∴cos α=cos[(α – 30 ° )+ 30 °]
= cos(α – 30 ° )cos 30 ° – sin (α – 30 ° )sin 30 °
= 15／17 × √3／2 – 8／17 × 1／2
=（15 √3 – 8）／34.
例4.在△ABC中,cosA=3／5,cosB=5／13,则cosC的值为( ). 分析: ∵C=180 °–(A+B)
∴cosC=–cos(A+B)= –cosAcosB+sinAsinB
已知cosA=3／5 ,cosB=5／13,尚需求sinA,sinB的值.
∵sinA= 4／5 , sinB=12／13,
∴cosC=–3／5 × 5／13 + 4／5 × 12／13=33／65.33／65
1.已知cosθ=–5／13, θ∈(π,3π／2)求cos(θ+π／6)的值.
2.cos 215 °–sin215 °= ----------。
3.在△ABC中,若sinAsinB=cosAcosB,则△ABC是 ( ).
(A)直角三角形 (B)钝角三角形
(C)锐角三角形 (D)不确定.(12–5√3) ／26√3 ／2A答案:
1.( ) ;
2. ( ) ;
3. ( ).
课堂练习课堂小结两角差的余弦公式：(2)在“给值求值”题型中，要能灵活处理
已、未知关系．(1)牢记公式【当堂检测】1.填空:只将最后的结果填在横线上3. 2.已知 是第二象限角，求 的值。