人教版数学八年级下册 19.2.3 一次函数与方程、不等式 课件(共27张PPT)

(共27张PPT)
19.2 一次函数
第19章 一次函数
19.2.3 一次函数与方程、不等式
激情引入
前面我们学习了一次函数，它与我们学过的一元一次方程、一元一次不等式、二元一次方程组有着必然的联系.这节课开始，我们就学着用函数的观点去看待方程（组）与不等式，并充分利用函数图象的直观性，形象地看待方程（组）不等式的求解问题.
探究新知
探究点一 一次函数与一元一次方程
问题4：问题1、2有何关系？问题1、3呢？
问题1：解方程2x+1=0.
问题3：画出函数y=2x+1的图象，并确定它与x轴的交点.
问题2：当x取何值时，函数y=2x+1的值为0？
1.老师为了检测小凯的数学学习情况，编了四道测试题.
1
1
2
3
2
3
4
-1
-2
-1
-2
探究新知
归纳：
问题1与问题2可以看作
是同一问题的两种形式.
问题1、2是从数的角度
看，问题3是从图形的角度看.
函数y=2x+1的图象：
你能从函数的角度对解这3个方程进行解释吗？
2.方程2x+1=3，2x+1=－1与2x+1=0有什么共同点和不同点？
探究新知
任何一个以x为未知数的一元一次方程都可以变形为 ax+b=0（a≠0）的形式，所以解一元一次方程相当于“求一次函数y=ax+b（a≠0）的函数值为0时相应的自变量x的值.”从图象上来看，这又相当于“求直线y=ax+b与x轴的交点的横坐标”.
探究新知
探究点二 一次函数与一元一次不等式
1.看下面的问题：
（1）解不等式：3x+2<0.
（2）当自变量x为何值时,函数y=3x+2的值大于0？
（3）画出y=3x+2的图象观察.
探究新知
探究新知
思考：
（1）这两个问题有什么关系？
（2）这两个问题是同一个问题吗？
（3）是不是所有的一元一次不等式都可以转化为一次函数的相关问题呢？
函数y=3x+2的图象：
y=3x+2
（1）解不等式：3x+2<0.
（2）当自变量x为何值时,函数y=3x+2的值大于0？
探究新知
2.不等式3x+2>2, 3x+2<－1，类比3x+2<0，思考：
（1）这3个不等式的共同点和不同点是什么？
（2）利用函数对解3x+2>2与3x+2<－1这两个不等式进行解释？
（3）一元一次不等式都可以转化为ax+b>0或ax+b<0 （a, b为常数，a≠0）的形式吗？
探究新知
归纳：
因为任何一个一元一次不等式都可以转化为ax+b>0或ax+b<0（a≠0）的形式，所以解一元一次不等式相当于在某个一次函数y=ax+b的函数值大于（或小于）0时，求自变量x的取值范围.从函数图象的角度看，就是确定直线y=ax+b在x轴上方或下方部分所有的点的横坐标所构成的集合.
探究新知
探究点三 一次函数与二元一次方程（组）
1.思考：
（1）你会将二元一次方程x+y=3用x的式子表示y吗？
（2）以方程x+y=3的解为坐标的所有点组成的图象就是___________的图象；
（3）一次函数y=3－x的图象上所有点的坐标都是二元一次方程x+y=3的解吗？
是
y=3-x
探究新知
2.归纳:
方程 在一次函数
x+y=3
的解 的图象上
y=3－x
点（s，t）
探究新知
在一次函数y=kx+b的图象上
方程ax+by=c的解
3.总结归纳一般规律：每个二元一次方程都可转化为一次函数.
点（s，t）
探究新知
1号探测气球从海拔5 m 处出发，以1 m/min 的速度上升.与此同时，2号探测气球从海拔15 m 处出发，以0.5 m/min的速度上升.两个气球都上升了1 h.
（1）用式子分别表示两个气球所在位置的海拔 y(单位：m)关于上升时间 x(单位：min)的函数关系；
（2）在某时刻两个气球能否位于同一高度？如果能，这时气球上升了多长时间？位于什么高度？
解：（1）气球上升时间 x 满足0≤x≤60.
对于1号气球，y 关于 x 的函数解析式为 y=x+5.
对于2号气球，y 关于 x 的函数解析式为 y=0.5x+15.
（2）在某时刻两个气球位于同一高度，就是对于 x 的某个值
（0≤x≤60），函数 y=x+5 和 y=0.5x+15有相同的值 y.
即
{
y=x+5,
y=0.5x+15.
解得
{
x=20,
y=25.
所以当上升20 min 时，两个气球都位于海拔25 m 的高度.
5
15
探究新知
思考：怎样利用图象解 的解？
解：
由函数图象的交点知方程组的解为
x=20,
y=25.
{
{
y=x+5,
y=0.5x+15
y=x+5
y=0.5x+15
探究新知
说明：
（1）任何一个二元一次方程组都可以看成是两个一次函数的组合；
（2）求二元一次方程组的解就是求两个一次函数的值相等时自变量的值和函数值；
（3）根据方程组解的意义和函数的观点，就是求当x取什么数值时，两个一次函数的y值相等.它反映在图象上，就是求直线y=x+5和直线y=0.5x+15的交点坐标.
探究新知
归纳：
二元一次方程组的解
从形的角度
两个一次函数的值
相等时自变量的值
两个一次函数的图象的交点坐标
从数的角度
巩固练习
1.利用函数图象求出2x－3=x－2的解.
解：
由图可知方程的解为x=1.
巩固练习
2.用画函数图象的方法解不等式5x+4＜2x+10.
解：
由图可知，不等式的解集为x＜2.
巩固练习
3.一次函数y=5－x与y=2x－1的图象的交点为（2，3），则方程组 的解为_______.
4.若二元一次方程组 的解为 ，则一次函数y=5－x与y=2x－1的
图象的交点为________.
{
x=2，
y=3
（2，3）
巩固练习
5.根据下列图象，你能说出哪些方程组的解？这些解是什么？
y=x+a,
y= kx+b
{
x=3,
y=2.
方程组
的解
{
y=－x+3,
y=2.5x－4
x=2,
y=1.
方程组
的解
{
{
l2
l1
归纳小结
从数的角度看：求 的解
为何值时， 的值为0？
从形的角度看：
求 的解
确定直线 与 轴交点的横坐标
1.一元一次方程与函数.
归纳小结
2.一元一次不等式与函数.
利用图象求 或
的解，就是求一次函数 在 轴上方或下方部分所有的点的横坐标所构成的集合.
回顾与小结
3.二元一次方程组与函数.
（1）对应关系：
二元一次方程组的解 两个一次函数图象的交点坐标
两个一次函数的公共解
（2）图象法解方程组的步骤：
①将方程组中各方程化为y=ax+b的形式；
②画出各个一次函数的图象；
③由交点坐标得出方程组的解.
布置作业
1.教材第98页练习.
2.教材第99~100页习题19.2第8，13，15题.
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