1.4.2 充要条件 同步练习（Word版含答案）

1.4.2 充要条件（同步练习）
一、选择题
1.已知p：|a|＞|b|，q：a2＞b2，则p是q的(　　)
A．充分不必要条件　　B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
2.已知集合A＝{1，a}，B＝{1,2,3}，则“a＝3”是“A B”的(　　)
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
3．x2－x－2≠0的充要条件是(　　)
A．x≠1 B．x≠2
C．x≠－1或x≠2 D．x≠－1且x≠2
4.已知实数a，b满足ab＞0，则“＜成立”是“a＞b成立”的(　　)
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
5.设全集为U，在下列条件中，①A∪B＝A；②( UA)∩B＝ ；③ UA UB；
④A∪ UB＝U. 是B A的充要条件的有(　　)
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
6.已知a，b∈R，则“a＜0，b＞0且a＋b＜0”是“a＜－b＜b＜－a”的(　　)
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
7.(多选)下列结论中正确的是(　　)
A．“x2＞4”是“x＜－2”的必要不充分条件
B．在△ABC中，“AB2＋AC2＝BC2”是“△ABC为直角三角形”的充要条件
C．若a，b∈R，则“a2＋b2≠0”是“a，b不全为0”的充要条件
D．“x为无理数”是“x2为无理数”的必要不充分条件
8.(多选)对任意实数a，b，c，下列命题中真命题是(　　)
A．“a＝b”是“ac＝bc”的充要条件
B．“a＋5是无理数”是“a是无理数”的充要条件
C．“a＞b”是“a2＞b2”的充分条件
D．“a＜5”是“a＜3”的必要条件
9.(多选)已知p是r的充分条件而不是必要条件，q是r的充分条件，s是r的必要条件，q是s的必要条件，下列命题正确的是(　　)
A．r是q的充要条件
B．p是q的充分条件而不是必要条件
C．r是q的必要条件而不是充分条件
D．r是s的充分条件而不是必要条件．
10.(多选)有限集合S中元素的个数记作card(S)．设A，B都为有限集合，则下列命题中是真命题的有(　　)
A．A∩B＝ 的充要条件是card(A∪B)＝card(A)＋card(B)
B．A B的必要条件是card(A)≤card(B)
C．A B的必要条件是card(A)≤card(B)
D．A＝B的充要条件是card(A)＝card(B)
二、填空题
11.集合A＝{x|a－2＜x＜a＋2}，B＝{x|x≤－2或x≥4}，则A∩B＝ 的充要条件是________
12.设n∈N*，一元二次方程x2－4x＋n＝0有整数根的充要条件是n＝________
13.设p，q，r，s是四个命题．已知p，q都是r的充分条件，s是r的必要条件，q是s的必要条件，那么(1)s是q的______条件；(2)r是q的________条件；(3)p是q的________条件．(填“充分”“必要”或“充要”)
三、解答题
14.判断下列命题中p是q的什么条件．(充分不必要条件，必要不充分条件，充要条件，既不充分也不必要条件)
(1)p：x＞1，q：x2＞1； (2)p：△ABC有两个角相等，q：△ABC是正三角形；
(3)若a，b∈R，p：a2＋b2＝0，q：a＝b＝0；(4)p：a＜b，q：＜1.
15.若集合A＝{x|x＞－2}，B＝{x|x≤b，b∈R}，试写出：
(1)A∪B＝R的一个充要条件；(2)A∪B＝R的一个必要不充分条件；
(3)A∪B＝R的一个充分不必要条件．
16.已知a，b，c∈R，a≠0.判断“a－b＋c＝0”是“一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有一根为－1”的什么条件？并说明理由．
17．p：－2＜m＜0,0＜n＜1；q：关于x的方程x2＋mx＋n＝0有两个小于1的正根．试分析p是q的什么条件．
参考答案
一、选择题
1.C　 2.A　 3.D　 4.C　 5.D　
6.C　 7.ACD　 8.BD　 9.AB　 10.AB　
二、填空题
11.答案：0≤a≤2 12.答案：3或4 13.答案：(1)充要　(2)充要　(3)充分
三、解答题
14.解：(1)因为x＞1能推出x2＞1，即p q；但当x2＞1时，如x＝－2，推不出x＞1，即qp，
所以p是q的充分不必要条件．
(2)因为“△ABC有两个角相等”推不出“△ABC是正三角形”，所以pq；
但“△ABC是正三角形”能推出“△ABC有两个角相等”，即q p，所以p是q的必要不充分条件．
(3)若a2＋b2＝0，则a＝b＝0，即p q；若a＝b＝0，则a2＋b2＝0，即q p，故p q，
所以p是q的充要条件．
(4)当a＝－2，b＝－1时，－2＜－1推不出＜1，知pq；
又当a＝1，b＝－2时，＜1推不出1＜－2，知qp，所以p是q的既不充分也不必要条件．
15.解：集合A＝{x|x＞－2}，B＝{x|x≤b，b∈R}，
(1)若A∪B＝R，则b≥－2，故A∪B＝R的一个充要条件是b≥－2.
(2)由(1)知A∪B＝R的充要条件是b≥－2，所以A∪B＝R的一个必要不充分条件可以是b≥－3.
(3)由(1)知A∪B＝R的充要条件是b≥－2，所以A∪B＝R的一个充分不必要条件可以是b≥－1.
16.解：“a－b＋c＝0”是“一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有一根为－1”的充要条件．理由如下：
当a，b，c∈R，a≠0时，若a－b＋c＝0，则－1满足一元二次方程ax2＋bx＋c＝0，
即一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有一根为－1，充分性成立；
若一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有一根为－1，则a－b＋c＝0，必要性成立．
综上所述，“a－b＋c＝0”是“一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有一根为－1”的充要条件．
17.解：若关于x的方程x2＋mx＋n＝0有两个小于1的正根，设为x1，x2，则0＜x1＜1,0＜x2＜1，有0＜x1＋x2＜2且0＜x1x2＜1.
根据根与系数的关系得即－2＜m＜0,0＜n＜1，故有q p.
反之，取m＝－，n＝，x2－x＋＝0，Δ＝－4×＜0，方程x2＋mx＋n＝0无实根，所以pq.
综上所述，p是q的必要不充分条件．