4.2.1 等差数列1 课件 (共30张PPT)

(共30张PPT)
（第一课时）
4.2.1 等差数列
1.数列的定义：
按一定次序排列的一列数。
2.数列的通项公式：
数列 的第 项 与项数 之间的函数关系式，即 。
复习回顾
（1）1896年，雅典举行第一届现代奥运会，到2008年的北京奥运会已经是第29届奥运会。
1896，1900，1904，…，2008，2012，（ ）
你能预测出第31届奥运会的时间吗？
2016
相差4
情境导入
情境导入
(2)2000年女子举重4个体重级别：48,53,58,63.
(4)气温随高度的变化/km：28, 21.5, 15, 8.5, 2 ,-4.5.
(3)各年末本利和（存100元）：104.25, 108.5, 112.75, 117,121.25，……
8848.86m
单利：本利和=本金×（1+利率×存期）
利率：4.25%
问题探究1
(1)2008，2012，2016.
(2)48,53,58,63.
(4)28, 21.5, 15, 8.5, 2 ,-4.5.
(3)104.25, 108.5, 112.75, 117,121.25，……
问题1：(1)以上数列有什么共同点？　
对于数列(1),从第2项起，每一项与前一项的差都等于
对于数列(2),从第2项起，每一项与前一项的差都等于
对于数列(3),从第2项起，每一项与前一项的差都等于
对于数列(4),从第2项起，每一项与前一项的差都等于
4
4.25
-6.5
等差数列
(2)你能归纳出等差数列的定义吗？　
什么是等差数列？
5
概念形成
等差数列定义：
一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列.
公差d
符号表示：
起始位置
作差顺序
定值特征
(1)2008， 2012， 2016.
(2)48, 53, 58, 63.
(4)28, 21.5, 15, 8.5, 2 ,-4.5.
(3)104.25, 108.5, 112.75, 117,121.25
a1,
a2,
a3,
a4,
an-1,
an,
an+1,……
…,
d
d
说一说
活动：寻找身边的等差数列
19,23,27,31
2006, 2010, 2014, 2018,
2022
概念辨析
1.判断以下数列是等差数列吗？
公差是3
(3)1,1,1,1,1；
公差是0
(2)6，4，2；
公差是-2
(1)4，7，10，13，16;
(4)-3，-2，-1，1，2，3 .
d>0 增数列
d<0 减数列
d=0 常数列
总结：可以利用等差数列定义判断一个数列
是否为等差数列.
是
是
是
不是
概念形成
(3)1,1,1,1,1；
(2)6，4，2；
(1)4，7，10，13，16;
(4)-3，-2，-1，1，2，3 .
(1)2008，2012，2016.
(3)48,53,58,63.
(4)28, 21.5, 15, 8.5, 2 ,-4.5.
(2)104.25, 108.5, 112.75, 117,121.25……
由三个数a，A，b组成的等差数列
特点：
由三个数构成
a与b的等差中项.
概念形成
(2)6，4，2；
(1)2008，2012，2016;
由三个数a，A，b组成的等差数列,A为
特点：
由三个数构成
a与b的等差中项.
试一试：在横线填入一个数，让数列成为一个等差数列
（1）2， ，4；(2)-8， ，0；(3)a， ，b
-4, -1, 2, 5, 8，……
问题探究2
如何求等差数列的通项公式？
问题2：如何求an ？　
a2= -4 + 1×3
a3= -4 + 2×3
a4= -4 + 3×3
a1= -4
3
3
3
3
……
a1
d
a1 , a2 , a3 , a4, a5…， an， …
d
d
d
d
观察
归纳
所以
由此得到：
问题：如果已知一个等差数列的首项是 a1 ，公差是 d ，那么这个数列的通项an 能求出吗？
分析1：根据等差数列的定义：
不完全归纳
（通项公式）
问题探究2
由此得到：
（通项公式）
分析2：根据等差数列的定义：
累加法
问题探究2
在等差数列通项公式中，有四个量，
知道其中的任意三个量，就可以求出另一个量，
即知三求一 .
等差数列的通项公式：
知识归纳
解：∵
例题精讲
例1.(1)求等差数列8，5，2，…的第20项；
a20= -49
知三求一
例题精讲
例1.(2)判断-401是不是等差数列–5,-9 ,-13…的项
如果是，是第几项，如果不是，说明理由。
∵
即 -401是数列的第100项。
解：
说明：判断一个数是否为数列的项，只需令通项公式等于这个数，得到关于n的方程。若方程有正整数解，则它就是，否则不是。
知三求一方程思想
1. 求等差数列3，7，11，… …的第4，7，10项；
2. -20是不是等差数列 0，- ，-7, … …中的项；
小试牛刀
解：由等差数列通项公式
解得：
an=a1+(n-1)d
得：
说明：由此可以看到：已知等差数列的两项就
可以确定这个数列.
例题精讲
例2.
例题精讲
例3.《孙子算经》是我国古代的数学名著，书
中有如下问题：“今五等诸侯，共分橘六
十，人别加三颗，五人各几何？”
6,9,12,15,18
意思为
“有5个人分60个橘子，他们分得的橘子数
成公差为3的等差数列，问5人各得多少橘
子？”
解：
1.已知等差数列{an}的首项a1＝2，公差d＝3，则数列{an}的通项公式为(　　)
A.an＝3n－1　 B.an＝2n C.an＝2n＋3 D.an＝3n＋2
2.等差数列的第3项是7，第7项是－1，则它的第5项是________
课堂检测
A
3
3.地面到10km高空气温随高度的变化成等差数列：
高度/km 1 2 3 4 …… 9
气温/ 21.5 15 8.5 2 …… ？
-30.5
4．在过去的三百多年里，人们分别在下列时间里观测到了哈雷慧星：
1682，1758，1834，1910，1986，
你能预测出下一次哈雷彗星出现的大致时间吗？
2062
课堂检测
（1）两个定义：等差数列；等差中项
（2）两个公式：
（3）两种方法：归纳法；累加法
（4）两种思想：化归思想；方程思想.
课堂小结
再会！
-4, -1, 2, 5, 8，……
问题探究2
如何求等差数列的通项公式？
问题2：如何求an ？　
a2= -4 + 1×3
a3= -4 + 2×3
a4= -4 + 3×3
a1= -4
3
3
3
3
……
a1
d
a1 , a2 , a3 , a4, a5…， an， …
d
d
d
d
观察
归纳
不完全归纳
（通项公式）
由此得到：
……
分析1：
课本作业：（基础题）40页 1，3，4，5题
（探究题）已知等差数列{an}的公差为d
求证：
实践作业：寻找生活中的等差数列，了解数学在生
活中的应用
课后作业
探究：已知等差数列{ }中，公差为d，则 与 (n , m ∈ N*) 有什么关系？
解：由等差数列的通项公式知
①－②
①
②
（这是等差数列通项公式的推广形式 ）
小试牛刀
在等差数列{an}中
(1)已知a1=2,d =3,n =10,求an;
(2)已知a1=3,an=21,d =2,求n;
(3)已知d =1,a7=14,求a1;
(4)已知a1=2,a6=12,求d.
an=29
n =10
a1=8
d =2
知三求一方程思想
《张丘建算经》约成书于公元466-485年间，共三卷93题，包括测量、纺织、交换、纳税、冶炼、土木工程、利息等各方面的计算问题。其体例为问答式，条理精密，文词古雅，是中国古代数学史上的杰作，也是世界数学资料库中的一份宝贵的遗产。后世学者北周甄鸾、唐李淳风相继为该书做了注释。特别是唐代，经太史令李淳风注释整理，收入《算经十书》，成为当时算学馆先生的必读书目。《张丘建算经》现传本有92问，比较突出的成就有最大公约数与最小公倍数的计算，各种等差数列问题的解决、某些不定方程问题求解等。
现卷上第22题为“今有女善织，日益功急”即从第二天开始，每一天比前一天多织相同多的布，第一天织5尺，现在一月（按30天算）共织390尺，则从第二天开始，每天比前一天多织几尺布？
拓展延伸
观察可能导致发现，观察将揭示某种规律、模式或定理。
---波利亚
送给同学们的话
学习目标
1、能通过具体实例，发现数列的等差关系，理解等差数列的概念，会用定义判断一个数列是否为等差数列;
2、了解等差数列的通项公式的推导过程及思想，会求等差数列中的公差及通项公式；
3、体会用化归思想与方程思想解决问题.