湘教版九年级上册数学1.2反比例函数的图象与性质（3）同步教案

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1.2反比例函数的图象与性质(3)教案
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课 题 反比例函数的图象与性质的综合运用 章节 1.2 学科 数学 年级 九
教材分析 这节课是在学生掌握反比例函数的概念、图象和性质的基础上，引导学生学会根据坐标求反比例函数的表达式，并由表达式探索直角坐标系内的点与反比例图象的位置关系，以及利用函数图象解决问题，培养学生综合运用反比例函数的图象与性质的能力.
核心素养分析 本节课核心素养包括：①根据点的坐标求反比例函数的表达式；②判断已知点是否在反比例函数的图象上；③根据表达式，判断反比例函数图象所在象限；④根据表达式，判断反比例函数图象的增减性，比较不同点的坐标大小；⑤正比例函数与反比例函数的综合运用.
教学目标 1.进一步掌握反比例函数图象和性质. 2.能根据点的坐标求反比例函数的解析式，能判断平面直角坐标系内的点与反比例函数的位置关系. 3.能运用反比例函数的图象和性质解决相关的问题. 4.初步学会一次函数与反比例函数的综合运用.
教学重点 1.反比例函数的图象与性质的综合运用； 2.一次函数与反比例函数的综合运用。
教学难点 1.反比例函数的图象与性质的综合运用； 2.一次函数与反比例函数的综合运用。
教 学 活 动
一、复习铺垫 师问生答，ppt展示 反比例函数的性质有哪些？ 反比例函数的图象是两支双曲线，它们与x轴、y轴都不相交. 当k＞0时，双曲线在第 一、三 象限，在每个象限内，函数值y随自变量x的增大而 减小 . 当k＜0时，双曲线在第 二、四 象限，在每个象限内，函数值y随自变量x的增大而 增大 . 二、教学新知 探究问题： 已知反比例函数的图象经过点(2，4). (1)求k的值，并写出该函数的表达式； (2)判断点A(-2，-4)，B(3，5)是否在这个函数的图象上； (3)这个函数的图象位于哪个象限？在每个象限内，函数值y随自变量x的增大如何变化？ 学生互动，教师讲解： (1)因为反比例函数的图象经过点P(2，4)，即点P的坐标满足这一函数表达式，所以 解得 k=8. 因此，这个反比例函数的表达式为 (2)把点A(-2，-4)，B(3，5)的坐标分别代入，可知，点A的坐标 满足 函数表达式，点B的坐标 不满足 函数表达式.所以点A在函数的图象上，点B不在函数的图象上. 介绍简易判法：若一个点的横坐标与纵坐标的乘积等于k，则这个点就在该函数的图象上.如(-2)×(-4)=8，则点A在的图象上；3×5≠8，则点B不在的图象上. (3)因为k＞0，所以这个反比例函数的图象位于第一、三象限，在 每个象限 内，函数值y随自变量x的增大而 减少 . 强调：k的符号决定了反比例函数的图象所在象限，也决定了反比例函数的增减性. 三、讲解例题 例2 如图图是反比例函数的图象.根据图象，回答下列问题： (1)k的取值范围是k＞0还是k＜0？说明理由； (2)如果点A(-3，y )，B(-2，y )是该函数的图象上的两点，试比较y ，y 的大小. 解：(1)由图可知，反比例函数的图象的两支曲线分别位于第一、三象限，在每个象限内，函数值随自变量的增大而减小。因此k＞0； (2)因为点A(-3，y )，B(-2，y )是该函数的图象上的两点，且-3＜0，-2＜0，所以点A，B都位于第三象限. 又因为-3＜-2，由反比例函数图象的性质可知：y ＞y . 例3已知一个正比例函数与一个反比例函数的图象交于点 P(-3，4).试求出它们的表达式，并在同一坐标系内画出这两个函数的图象. 分析 分别设正比例函数与反比例函数的表达式，将点P的坐标分别代入，即可求出两 个函数的表达式.经过原点和点P(-3，4)即可画出正比例函数的图象.通过“列表、描点、连线”画出反比例函数的图象. 解：设正比例函数、反比例函数的表达式分别为，，其中k ，k 为常数，且均不为零. 由于这两个函数的图象交于点P(-3，4)，则点P(-3，4)是这两个函数图象上的点，即点P的坐标分别满足这两个表达式. 因此 4=k ×(-3)， 解得，， 因此，这两个函数的表达式分别是和. 它们的图象如图所示. 四、巩固练习 1、 反比例函数的图象在( ) A. 第一、第二象限 B. 第一、第三象限 C. 第二、第三象限 D. 第二、第四象限 【答案】B 【解析】∵k=3＞0， ∴该反比例函数的图象在第一、第三象限. 2、 若点A(-3，a),B(3，b),C(6，c)三点均在反比例函数的图象上，则a，b，c的大小关系为( ) A. a＜b＜c B. a＜c＜b C. b＜a＜c D. b＜c＜a 【答案】D 【解析】∵ k=-5＜0，∴ 当x=-3＜0时，图象在第二象限，∴ a＞0. 当x＞0时，图象在第四象限，y随x的增大而增大， ∵ 3＜6，∴ b＜c＜0，∴b＜c＜a，故选D。 3、 如图，已知正比例函数y=1/2x与反比例函数y=m/x的图象交于点点A(-4，a)和点B，则点B的坐标是（ ） A. (4，1) B. (1，4) C. (4，2) D. (2，4) 【答案】C 【提示】反比例函数图象关于原点成中心对称. 五、课堂总结 1、 反比例函数的图象有哪些性质？ PPT：反比例函数的图象由两支双曲线组成，它们与x轴、y轴都不相交 当k＞0时，两支双曲线分别在第一、三象限，在每个象限内，函数值y随自变量x的增大而减小. 当k＜0时，两支双曲线分别在第二、四象限，在每个象限内，函数值y随自变量x的增大而增大. 2、 填空： (1)正比例函数y=kx的图象与反比例函数的图象的每一个交点的坐标同时满足这两个函数式；两个交点的坐标关于 原点 对称，即横坐标、纵坐标 互为相反数 . (2)直线y=kx+b与双曲线的每一个交点坐标同时 满足 这两个函数表达式；通过函数图象和 交点 坐标，可以比较函数值的大小. 六、作业布置 课后练习第1、2、3题： 1、 已知反比例函数的图象经过点M(-2，2). (1)求这个函数的表达式； (2)判断点A(-4，1)，B(1，4)是否在这个函数的图象上； (3)这个函数的图象位于哪些象限？在每个象限内，函数值y随自变量x的增大如何变化？ 2、 已知在反比例函数的图象的每一支曲线上，函数值y随自变量x的增大而增大，求m的取值范围.如果点M(-2，y )，N(-4，y )是该图象上的两点，试比较函数值y ，y 的大小. 3、 正比例函数y=x的图象与反比例函数图象的一个交点的纵坐标为3，求当x=-4时，反比例函数的对应函数值. 能力提高： 4、 如图，点A在某反比例函数的图象上，点A的横坐标为a(a＜0)，AB⊥x轴，垂足为点B，且△AOB的面积为2.5. (1)求该反比例函数的表达式； (2)若点(-a，y )，(a，y )，(2a，y )在该反比例函数的图象上，试比较y ，y ，y 的大小(用“＜”连接). 解 (1)设反比例函数的表达式为， ∵ 反比例函数的图象在一、三象限，∴ k＞0. ∵ S△AOB=OB·AB=|xy|=|k|=2.5，∴ k=5. ∴ 该反比例函数的表达式为. (2)∵a＜0，∴ 2a＜a＜0，-a＞0 ∴ 点(-a，y )在第一象限，y ＞0. 点(a，y )和(2a，y )在第三象限. 又∵ 在第三象限内，y随x的增大而减小， ∴ y ＜y ＜0. ∴ y ＜y ＜y . 5、 如图，已知直线与双曲线相交于A(1，3)，B(m，-1.5)两点. (1)求直线和双曲线的表达式； (2)直接写出不等式>的解集； (3)能否在y轴求一点P，使△APB的面积等于6？若能，求 出点P的坐标. 解 (1)∵A(1，3)在上， ∴ k2=1×3=3，∴ . ∵ 点B(m，-1.5)在上， ∴ m=-2. ∴ B(-2，-1.5). ∵ A(1，3),B(-2，-1.5)均在直线上， ∴ y1=1.5x+1.5. (2)∵ 直线与双曲线的交点A，B的坐标分别是(1，3),(-2，-1.5)，观察图象可知，当-2＜x＜0或x＞1时，y1＞y2. 所以，不等式>的解集是-2＜x＜0或x＞1. (3)能。记 y1=1.5x+1.5与y轴的交点坐标为点C，则当x=0时，y1=1.5，∴点C的坐标为(0，1.5). 设点P的坐标为(0，a)，则PC=|a-1.5|. 分别作AD，BD垂直于y轴于点D，点E. 则 S△APB=S△APC+S△BPC=PC AD+PC BE =PC(AD+BE)=PC·(1+2)=|a 1.5|=6. ∴ |a 1.5|=4. 即 a-1.5=4或a-1.5=-4. ∴ a=5.5或a=-2.5. ∴ 点P的坐标是(0，5.5)或(0，-2.5).
板书设计 1.2反比例函数的图象和性质（3） 1、 反比例函数的图象和性质 2、 反比例函数图象和性质的综合运用 3、 一次函数和反比例函数的综合运用
课后反思
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