人教A版（2019）选择性必修第三册7.2离散型随机变量及其分布列 课件（共25张PPT）

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7.2离散型随机变量及其分布列
新课程标准解读 核心素养
1.通过具体实例，了解离散型随机变量的概念. 2.理解随机变量的分布列，会求一些离散型随机变量的分布列. 1.数学抽象：离散型随机变量概念.
2.数学运算、数学建模：求解离散型随机变量的分布列.
情境导入
掷一枚骰子，出现的点数可以用数字1，2，3，4，5，6来表示，那么掷一枚硬币的结果是否也可以用数字来表示呢？
正面向上1，反面向上 0
在上面问题中，我们把随机试验的每一个结果都用一个确定的数字来表示，这样试验结果的变化就可看成是这些数字的变化。
一、随机试验的样本点与实数的关系
对于任何一个随机试验，总可以把它的每个样本点与一个实数对应. 即通过引入一个取值依赖于样本点的变量X，来刻画样本点和实数的对应关系，实现样本点的数量化. 因为在随机试验中样本点的出现具有随机性，所以变量X的取值也具有随机性.
考察下列随机试验及其引入的变量：
试验1：从100个电子元件（至少含3个以上次品）中随机抽取三个
进行检验，变量X表示三个元件中的次品数
如果用0表示“元件为合格品”，1表示“元件为次品”.
用0和1构成的长度为3的字符串表示样本点,则
样本空间为 Ω={000，001,010,011,100,101,110,111 }
X=0, 1, 2, 3
试验2：抛掷一枚硬币直到出现正面为止，变量Y表示需要的抛掷次数.
如果用0表示“反面朝上”，1表示“正面朝上”。
Y=1, 2, 3, 4, ……
变量X，Y有哪些共同的特征？
(1)取值都依赖于样本空间里的样本点；
(2)所有可能取值是明确的.
这个随机试验的样本空间各是什么 各个样本点与变量的值是如何对应的
则样本空间为 Ω={1，01,001,0001,…… }
二、随机变量与离散型随机变量
随机变量的定义
　　一般地，对于随机试验样本空间Ω中的每个样本点 ，都有唯一的实数X( )与之对应，我们称X为随机变量.常用字母X，Y， ， 表示，随机变量分离散型随机变量和连续型随机变量。
可能取值为有限个或可以一一列举的随机变量，我们称之为离散型随机变量.通常用大写英文字母表示随机变量，例如X，Y，Z；用小写英文字母表示随机变量的取值，例如x，y，z.
离散型随机变量
随机变量将随机事件的结果数量化．
随机变量的特点
①可以用数字表示
②试验之前可以判断其可能出现的所有值
③在试验之前不可能确定取何值
离散型随机变量的特点：在上述基础上加一个，④试验结果能一一列出.
随机变量与函数的关系
随机变量和函数都是一种映射，随机变量把随机试验的结果映为实数，函数把实数映为实数。在这两种映射之间，试验结果的范围相当于函数的定义域，随机变量的取值范围相当于函数的值域。我们把随机变量的取值范围叫做随机变量的值域。
例1指出下列随机变量是不是离散型随机变量，并说明理由：
(1)某立交桥一天经过的汽车的数量；
(2)一个袋中装有大小相同的5个白球和5个黑球，从中任取3个，其中所含白球的个数；
(3)区间[0,10]内任一实数与它四舍五入取整后的整数的差值；
(4)从100张已编好号码的卡片(从1号到100号)中任取一张，被取出的卡片的号数
(1)是离散型随机变量．因为某立交桥一天内经过的汽车的数量有限，可以一一列出．
(2)是离散型随机变量．因为从10个球中取3个球，所得的结果有以下几种：3 个白球；2个白球和1个黑球；1个白球和2个黑球；3个黑球．所以所含白球的个数可以一一列出，
(3)不是离散型随机变量．因为任一实数与它四舍五入取整后的整数的差值是一个随机变量，它可以取[0,0.5]内的一切值，无法一一列举，所以不是离散型随机变量．
(4)是离散型随机变量．因为只要取出一张，便有一个号码，所以被取出的卡片号数可以一一列出，符合离散型随机变量的定义．
例2写出下列随机变量可能的取值，并说明随机变量所取的值表示的随机试验的结果．
(1)从一个装有编号为1号到10号的10个球的袋中，任取1个球，被取出的球的编号为X；
(1)X的可能取值为1,2,3，…，10，X＝k(k＝1,2，…，10)表示“取出k号球”．
(2)一个袋中装有10个红球，5个白球，从中任取4个球，其中所含红球的个数为X；
(2)X的可能取值为0,1,2,3,4，X＝k表示“取出k个红球，(4－k)个白球”，其中k＝0,1,2,3,4.
(3)投掷甲、乙两枚骰子，所得点数之和为X，所得点数之和是偶数为Y.
(3)若以(i，j)表示“投掷甲、乙两枚骰子后，骰子甲得i点且骰子乙得j点”．X的可能取值为2,3,4，…，12.X＝2表示(1,1)；X＝3表示(1,2)，(2,1)；X＝4表示(1,3)，(2,2)，(3,1)；…；X＝12表示(6,6)．Y的可能取值为2,4,6,8,10,12.Y＝2表示(1,1)；Y＝4表示(1,3)，(2,2)，(3,1)；Y＝6表示(1,5)，(2,4)，(3,3)，(4,2)，(5,1)；…；Y＝12表示(6,6)．
课堂练习：
1. 写出下列随机变量可能的取值，并说明随机变量所取的值表示的随机试验的结果：
（1）一个袋中装有2个白球和5个黑球，从中任取3个，其中所含白球的个数ξ；
（2）一个袋中装有5个同样大小的球，编号为1，2，3，4，5，现从中随机取出3个球，被取出的球的最大号码数ξ.
解：(1)ξ＝０，表示取出０个白球三个黑球；
ξ＝１，表示取出１个白球两个黑球；
ξ＝２，表示取出２个白球一个黑球；
（2）ξ＝3，表示取出123号球；
ξ＝4，表示取出124，134,234号球；
ξ＝5，表示取出125, 135, 145，235, 245，345号球；
若X是随机变量,则Y=aX+b(其中a、b是常数)也是随机变量.
三、离散型随机变量的概率分布列
抛掷一枚质地均匀的骰子，用X表示骰子向上一面的点数，那么随机变量X的值域是什么？X取各个不同值的概率为多少？
X∈{1，2，3，4，5，6}，
我们可以将随机变量X的可能取值，以及X取这些值的概率用下列表格表示：
利用上表，随机事件{X＜3}，{X为偶数}的概率分别为多少？
X
P
1
2
3
4
5
6
1
6
1
6
1
6
1
6
1
6
1
6
1
2
1
3
(1)分布列的定义：一般地，设离散型随机变量X的可能取值为x1，x2，…，xn，我们称X取每一个值xi的概率P(X＝xi)＝pi，i＝1，2，…，n
为X的概率分布列，简称分布列，以表格的形式表示如下：
pn
…
pi
…
p2
p1
P
xn
…
xi
…
x2
x1
X
上表称为离散型随机变量X的概率分布列，简称为X的分布列.
1.离散型随机变量的分布列不仅能清楚地反映随机变量的所有可能取值，而且能清楚地看到取每一个值时的概率的大小，从而反映了随机变量在随机试验中取值的分布情况．
2.离散型随机变量的分布列类似于函数，也有三种表示形式，即解析式、表格和图象，但离散型随机变量的分布列多是用表格或解析式表示．
袋中有大小相同的1个红球，2个白球和3个黑球，从中任取一个球，用X表示所得球的颜色.
解析法：P (X=i)= (i=1,2,3)
i
6
图象法：
X
P
O
1
2
3
1/3
1/6
1/2
(2)离散型分布列的性质：
①pi≥0，i＝1，2，…，n； ②p1＋p2＋…＋pn＝1．
例3　同时掷两枚质地均匀的骰子，观察朝上一面出现的点数，求两枚骰子中出现的最大点数X的分布列．
解析：同时掷两枚质地均匀的骰子，朝上一面出现的点数有36种等可能的情况，X的可能取值为1，2，3，4，5，6，如下表：
X 出现的点数 情况数
1 (1，1) 1
2 (2，2)，(2，1)，(1，2) 3
3 (3，3)，(3，2)，(3，1)，(2，3)，(1，3) 5
4 (4，4)，(4，3)，(4，2)，(4，1)，(3，4)，(2，4)，(1，4) 7
5 (5，5)，(5，4)，(5，3)，(5，2)，(5，1)，(4，5)，(3，5)，(2，5)，(1，5) 9
6 (6，6)，(6，5)，(6，4)，(6，3)，(6，2)，(6，1)，(5，6)，(4，6)，(3，6)，(2，6)，(1，6) 11
由古典概型可知X的分布列为
　一袋中装有6个同样大小的小球，编号为1、2、3、4、5、6，现从中随机取出3个小球，以 表示取出球的最大号码，求 的分布列．
的所有取值为：3、4、5、6．
“ =3”表示其中一个球号码为3，另两个都比3小
P ( =3)=
C1
1
C2
2
C6
3
=
1
20
“ =4”表示其中一个球号码为4，另两个都比4小
P ( =4)=
C1
1
C3
2
C6
3
=
3
20
“ =5”表示其中一个球号码为5，另两个都比5小
P ( =5)=
C1
1
C4
2
C6
3
=
3
10
“ =6”表示其中一个球号码为6，另两个都比6小
P ( =6)=
C1
1
C5
2
C6
3
=
1
2
随机变量 的分布列为

P
3
4
5
6
1
20
3
20
3
10
1
2
由C( )＝1，
所以P(0.5例4从装有除颜色外完全相同的6个白球，4个黑球，2个黄球的箱中随机地取出2个球，规定每取出1个黑球赢2元，而每取出1个白球输1元，取出黄球无输赢．
(1)以X表示赢得的钱数，随机变量X可以取哪些值？求X的分布列；
(2)求出赢钱(即X>0时)的概率．
(1)从箱中取2个球的情形有以下6种：
{2个白球}，{1个白球，1个黄球}，{1个白球，1个黑球}，{2个黄球}，{1个黑球，1个黄球}，{2个黑球}．
当取到2个白球时，随机变量X＝－2；
当取到1个白球，1个黄球时，随机变量X＝－1；
当取到1个白球，1个黑球时，随机变量X＝1；
当取到2个黄球时，随机变量X＝0；
当取到1个黑球，1个黄球时，随机变量X＝2；
当取到2个黑球时，随机变量X＝4.
所以随机变量X的可能取值为－2，－1,0,1,2,4.
所以X的分布列为
(2)P(X>0)＝P(X＝1)＋P(X＝2)＋P(X＝4)
＝
求离散型随机变量的分布列的步骤
(1)找出随机变量X的所有可能的取值xi(i＝1,2，…，n)，并确定X＝xi表示的意义；
(2)借助概率知识求出随机变量X取每一个值时的概率P(X＝xi)＝pi(i＝1,2，…，n)；
(3)列成表格的形式．
四、两点分布及其分布列
篮球比赛中每次罚球命中得1分，不中得0分.若姚明罚球命中的概率为0.95，则其罚球命中的分布列用列表法怎样表示？
0.95
0.05
P
1
0
X
一批产品中次品率为5%，随机抽取1件，定义X=
1，抽到次品
0，抽到正品
0.95
0.05
P
0
1
X
两点分布
X 0 1
P 1－p p
对于只有两个可能结果的随机试验，若随机变量X的分布列具有上表的形式，则称X服从两点分布或0－1分布.
两点分布适用于研究只有两个结果的随机试验的概率分布规律，如购买的彩票是否中奖、新生儿的性别、投篮是否命中等问题.
例5一个袋中有质地、大小完全相同的3个白球和4个红球.
(1)从中任意摸出1个球，用0表示摸出白球，用1表示摸出红球，
求X的分布列；
　(1)由题意知，
所以X的分布列为
(2)从中任意摸出2个球，
求η的分布列.
所以η的分布列为
课时小结
1．离散型随机变量可能取的值为有限个或可列举的无限个，或者说能将它的可能取值按一定次序一一列出．
2．求离散型随机变量分布列时应注意以下几点：
(1)确定离散型随机变量X的分布列的关键是要搞清X取每一个值对应的随机事件，进一步利用排列、组合知识求出X取每一个值的概率．
(2)在求离散型随机变量X的分布列时，要充分利用分布列的性质，这样可以减少运算量，也可利用分布列的性质验证分布列是否正确．
3．两点分布是一种简单的概率分布，两点分布的试验结果只有两种可能．