2021-2022学年河北省石家庄外国语教育集团七年级（下）期中数学试卷（Word版 含解析）

2021-2022学年河北省石家庄外国语教育集团七年级（下）期中数学试卷
题号 一 二 三 总分
得分
一、选择题（本大题共16小题，共42分）
下列运算中，计算结果正确的是( )
A. B. C. D.
下列各图中，过直线外的点画直线的垂线，三角尺操作正确的是( )
A. B.
C. D.
同步卫星在赤道上空大约米处．将用科学记数法表示应为( )
A. B. C. D.
现要用三根木棒搭一个三角形，已知其中两根木棒的长分别是和，那么第三根的长可以是( )
A. B. C. D.
已知是方程的一个解，那么的值是( )
A. B. C. D.
如图，若，，，则( )
A.
B.
C.
D.
已知，，，则，，的大小关系为( )
A. B. C. D.
如图，点在的延长线上，下列条件中能判断的是( )
A. B.
C. D.
已知，，则的值为( )
A. B. C. D.
如图，由点引出的两条射线分别交直线，于点和，若且，则的度数是( )
A. B. C. D.
在下列多项式中，与相乘的结果为的多项式是( )
A. B. C. D.
如图，为的平分线，，则下列结论错误的是( )
A.
B.
C.
D.
下列命题中是假命题的是( )
A. 两条直线被第三条直线所截，同旁内角互补
B. 如果，，那么
C. 在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直
D. 直线外一点到这条直线的垂线段的长度叫做点到直线的距离
如图，是的中线，点、分别为、的中点，若的面积为则的面积是( )
A. B. C. D.
某班学生分组搞活动，若每组人，则余下人；若每组人，则有一组少人．设全班有学生 人，分成 个小组，则可得方程组( )
A. B. C. D.
如图，有两个正方形，，现将放在的内部得图甲，将，并列放置后构造新的正方形得图乙若图甲和图乙中阴影部分的面积分别为和，则图乙的边长为( )
A. B. C. D.
二、填空题（本大题共4小题，共12分）
如表，是甲乙两位同学对幂的变形，其中正确的是______．
甲：；
乙：．
计算的结果为______．
已知中，，，则的度数为______．
如图，直线，点在上，若，，的面积为，则的面积为______ ．
三、解答题（本大题共9小题，共66分）
计算：
；
；
简便运算：；
解方程组：．
在正方形网格中，每个小正方形的边长均为个单位长度，的三个顶点的位置如图所示，现将平移，点平移到点的位置，、点平移后的对应点分别是、．
画出平移后的；
连接、，则这两条线段之间的位置关系是______．
如图，图是体育课上跳远的场景，若某同学落地时后脚跟所在的点为，起跳线为，请在图上画出能够表示该同学跳远成绩的线段，并说明其理论依据．
完成下列证明过程：
已知：如图，，，求证：．
证明：，
______，
，
，
______，
____________
，其中，根据表中小明的解法解答下列问题：
小明的解答过程里在标出的几处中出现错误的在第______步；
请你借鉴小明的解题方法，写出此题的正确解答过程；并求出当时的值．
小明的解法如下：
原式
如图，为的高，，为的角平分线，若，．
______；
求的度数；
若点为线段上任意一点，当为直角三角形时，则求的度数．
如图，认真观察下面这些算式，并结合你发现的规律，完成下列问题：
，
，
，
．
请写出：
算式______；
算式______；
上述算式的规律可以用文字概括为：“两个连续奇数的平方差能被整除”，如果设两个连续奇数分别为和为整数，请说明这个规律是成立的；
你认为“两个连续偶数的平方差能被整除”这个说法是否也成立呢？请说明理由．
在石家庄外国语学校组织的读书节活动中，为帮扶山区学校贫困同学，某班班长代表班级购买了一些学习用品，他与学习委员的对话如图所示：
请根据图中信息，列出二元一次方程组，并通过求解说明班长确实算错了；
若要将领来的元全部用来买水笔，恰好花完．班长用列表法将所用方案进行了梳理：
单价元笔的数量
单价元笔的数量
则满足条件的所有方案共______种，表中的最大值是______．
如图至图，在中，，点在边所在直线上，作垂直于直线，垂足为点；为的角平分线，的平分线交直线于点．
特例感悟：
如图，延长交于点，若，．
解决问题：
______；
求证：；
深入探究；
如图，当，与反向延长线交于点，用含的代数式表示______；
拓展延伸：
当点在直线上移动时，若射线与射线相交，设交点为，直接写出与的关系式．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：、，故本选项不合题意；
B、，故本选项不合题意；
C、，故本选项不合题意；
D、，故本选项符合题意；
故选：．
分别根据同底数幂的乘法法则，同底数幂的除法法则，幂的乘方运算法则以及积的乘方运算法则逐一判断即可．
本题考查了同底数幂的乘除法以及幂的乘方与积的乘方，熟记幂的运算法则是解答本题的关键．
2.【答案】
【解析】解：用直角三角板的一条直角边与重合，另一条直角边过点后沿直角边画直线，
选项的画法正确，
故选：．
根据垂线的作法，用直角三角板的一条直角边与重合，另一条直角边过点后沿直角边画直线即可．
此题主要考查了垂线的画法，在平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直．
3.【答案】
【解析】解：，
故选：．
科学记数法就是将一个数字表示成的次幂的形式，其中，表示整数，即从左边第一位开始，在首位非零的后面加上小数点，再乘以的次幂．
此题考查了对科学记数法的理解和运用和单位的换算．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，表示时关键要正确确定的值以及的值．
4.【答案】
【解析】解：设第三根长为，则
由三角形三边关系定理得：，即．
故选：．
根据在三角形中任意两边之和第三边，任意两边之差第三边；可求第三边长的范围，再选出答案．
本题考查了三角形三边关系，此题实际上就是根据三角形三边关系定理列出不等式，然后解不等式即可．
5.【答案】
【解析】解：把代入方程得：，
解得：，
故选：．
把与的值代入方程计算即可求出的值．
此题考查了二元一次方程的解，方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值．
6.【答案】
【解析】解：，，
，
，
，
即，
．
故选：．
根据平行线的性质可求解的度数，再结合垂线的定义可求解．
本题主要考查平行线的性质，垂线的定义，掌握平行线的性质是解题的关键．
7.【答案】
【解析】解：，，，
，
故选：．
先根据零指数幂和负整数指数幂及乘方运算法则计算出、、的值，再比较大小即可得．
本题主要考查零指数幂和负整数指数幂，解题的关键是掌握为正整数及．
8.【答案】
【解析】解：当时，，
故A选项正确；
当或或时，，
故B、、选项错误；
故选：．
同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行，据此进行判断即可．
本题主要考查了平行线的判定，解题时注意：同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行．
9.【答案】
【解析】解：，，
．
故选：．
根据多项式乘以多项式的法则，可表示为，再代入计算即可．
本题主要考查多项式乘以多项式，掌握多项式乘以多项式的法则是本题的关键．注意不要漏项，漏字母，有同类项的合并同类项．
10.【答案】
【解析】解：过点作，如图，
，
，
，，
，，
．
故选：．
过点作，利用平行线的性质可得，从而得，，从而得，，从而可求解．
本题主要考查平行线的性质，解答的关键是熟记平行线的性质：两直线平行，同旁内角互补．
11.【答案】
【解析】解：，故A错误；
，故B错误；
，故C正确；
，故D错误．
故选：．
依据多项式乘多项式法则进行判断即可．
本题主要考查的是多项式乘多项式，熟练掌握多项式乘多项式法则是解题的关键．
12.【答案】
【解析】解：，
，
，
为的平分线，
，
，
故A，，D正确；
中与的大小关系不确定，错误．
故选：．
根据平行线的性质、判定及角平分线的定义计算．
先判断出，再根据平行线的性质分析．
13.【答案】
【解析】解：、两条平行直线被第三条直线所截，同旁内角互补，故错误，是假命题，符合题意；
B、如果，，那么，正确，是真命题，不符合题意；
C、在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，正确，是真命题，不符合题意；
D、直线外一点到这条直线的垂线段的长度叫做点到直线的距离，正确，是真命题，不符合题意．
故选：．
利用平行线的性质与判定方法及点到直线的距离的定义分别判断后即可确定正确的选项．
本题考查了命题与定理，解题的关键是了解平行线的性质与判定方法及点到直线的距离，难度不大．
14.【答案】
【解析】解：是的中点，的面积为，
，
是的中点，
，，
，
的面积．
故选：．
根据三角形的中线把三角形分成两个面积相等的三角形解答即可．
本题考查了三角形的面积，主要利用了三角形的中线把三角形分成两个面积相等的三角形，原理为等底等高的三角形的面积相等．
15.【答案】
【解析】解：根据若每组人，则余下人，得方程；
根据若每组人，则有一组少人，得方程．
可列方程组为．
故选：．
此题中的关键性的信息是：若每组人，则余下人；若每组人，则有一组少人．
考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，根据实际问题中的条件列方程组时，要注意抓住题目中的一些关键性词语，找出等量关系，列出方程组．
16.【答案】
【解析】解：设正方形的边长是，正方形的边长是，
由题可得图甲中阴影部分的面积是，
图乙中阴影部分的面积是，
图甲和图乙中阴影部分的面积分别为和，
，，
图乙面积为：
，
，
故选：．
设正方形的边长是，正方形的边长是，根据图甲和图乙中阴影部分的面积分别为和，列出等式，进而可以求得图乙的面积，最后求得图乙的边长．
本题考查了完全平方公式的几何背景，根据图甲和图乙中阴影部分的面积分别为和，列出等式，这是解题的关键．
17.【答案】甲
【解析】解：如上表，是甲乙两位同学对幂的变形，其中正确的是：甲，
故答案为：甲．
根据同底数幂的除法法则，进行计算即可解答．
本题考查了幂的乘方与积的乘方，同底数幂的除法，熟练掌握它们的运算法则是解题的关键．
18.【答案】
【解析】解：原式
．
故答案为．
幂的乘方法则：底数不变，指数相乘；积的乘方法则：把每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘．
本题考查了积的乘方与幂的乘方，熟练运用公式是解题的关键．
19.【答案】
【解析】解：又三角形内角和定理可知：
，
，，
，
解得：．
故答案为：．
利用题目条件结合三角形内角和即可列出关于的方程，进而求出结果．
本题考查三角形内角和定理，属于基础题．
20.【答案】
【解析】解：过点作于点，
三角形的面积为，，
，
解得，
，
的长是三角形的高，
．
故答案为：．
过点作于点，由三角形的面积为可求出的长，再由可知为三角形的高，由三角形的面积公式即可得出结论．
本题考查的是平行线间的距离及三角形的面积公式，熟知两平行线间的距离相等是解答此题的关键．
21.【答案】解：
；
；
；
，
得：，
得：，
解得：，
把代入得：，
解得：，
故原方程组的解是．
【解析】利用完全平方公式进行求解即可；
利用单项式乘多项式的法则，多项式乘多项式的法则进行运算，最后合并同类项即可；
利用平方差公式进行求解较简便；
利用加减消元法进行求解即可．
本题主要考查整式的混合运算，解元一次方程组，解答的关键是对相应的知识的掌握与运用．
22.【答案】
【解析】解：如图，即为所求；
．
故答案为：．
利用平移变换的性质分别作出，的对应点，即可；
利用平移变换的性质判断即可．
本题考查作图平移变换，解题的关键是掌握平移变换的性质，属于中考常考题型．
23.【答案】解：如图所示：
过点作于点，的长就是该运动员的跳远成绩，
理由：垂线段最短．
【解析】根据垂线段最短解决问题即可．
本题考查作图应用与设计作图，直线，线段，射线等知识，解题的关键是学会利用垂线段最短解决问题，属于中考常考题型．
24.【答案】两直线平行，同位角相等

同位角相等，两直线平行
【解析】
【分析】
本题考查平行线的判定和性质，解题的关键是熟练掌握平行线的性质和判定，属于中考基础题．
只要证明，根据同位角相等，两直线平行即可证明．
【解答】
证明：，
两直线平行，同位角相等，
，
，
，
同位角相等，两直线平行．
故答案为：两直线平行，同位角相等；；；同位角相等，两直线平行．
25.【答案】
【解析】解：小明的解答过程里在标出的几处中出现错误的在第步，
故答案为：；
，
当时，原式
．
根据完全平方公式进行计算，即可判断；
先去括号，再合并同类项，然后把的值代入化简后的式子进行计算即可解答．
本题考查了整式的混合运算化简求值，准确熟练地进行计算是解题的关键．
26.【答案】
【解析】解：平分，
，
，
，
，
故答案为．
，
，
，
平分，
，
．
解：分两种情况：
当时，则，
；
当时，则，
；
综上所述：的度数为或．
根据评价分析的定义求出即可解决问题．
根据，求出即可解决问题．
分两种情况：当时．当时，分别求解即可．
本题考查三角形内角和定理，三角形的外角的性质，角平分线的定义等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
27.【答案】解：；
；
，
，
为整数，
两个连续奇数的平方差能被整除；
不成立，理由如下：
举反例，如，
不是的倍数，
这个说法不成立．
【解析】本题考查平方差公式的应用，将数进行合理的分解是解决整除问题的关键，对不成立的原因，举反例是行之有效的办法．
根据题意得出；
；
理由平方差公式得出，即可得出两个连续奇数的平方差能被整除；
举反例，如，即可判断“两个连续偶数的平方差能被整除”这个说法错误．
28.【答案】
【解析】解：设购买单价为元的水笔支，单价为元的水笔支，
由图可得：，
解得，
，为整数，
班长确实算错了；
由表格可得，
，
，
，
令，
随的增大而减小，
，、均为非负整数，
，，，，
，
取值的个数为，
当时，取得最大值，此时，
由上可得，足条件的所有方案共种，表中的最大值是，
故答案为：，．
根据图中的信息可以列出相应的二元一次方程组，然后求解，再根据水笔数量为整数，即可说明理由；
根据题意，可以写出相应的二元一次方程，再根据水笔数量为整数，可以得到有多少种方案以及的最小值．
本题考查二元一次方程组的应用，解答本题的关键是明确题意，列出相应的方程或方程组．
29.【答案】
【解析】解：，
，
为的角平分线，
，
故答案为：；
证明：由得，，
，
，
，
，
平分，
，
，
；
由八字模型可得，和中，
．
故答案为：；
如图，
由八字模型可得，和中，
；
如图，
由四边形的内角和得，
；
如图，
由八字模型可得，，
；
综上，或．
根据平行线的性质和角平分线的定义可得答案；根据平行线的性质得，再根据垂直的定义和角平分线的定义可得结论；
由八字模型可得，和中，，再整理可得答案；
分情况讨论，分别画出对应图形，再整理即可．
本题考查三角形的内角和定理和平行线的性质，熟练掌握平行线的性质和三角形的内角和是解题关键．
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