选择性必修第三册 随机变量及其分布
基础回归扎实练
一、选择题
1.（2021·全国·高二课时练习）设随机变量的正态分布密度函数为，，则参数，的值分别是（ ）
A．， B．，
C．， D．，
【答案】D
【解析】
【分析】
由正态分布密度函数的概念即得.
【详解】
由正态分布密度函数表达式知，.
故选：D.
2.已知，，则等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据条件概率公式计算．
【详解】由，可得.故选：C.
3.有一批种子的发芽率为0.9,出芽后的幼苗成活率为0.8,在这批种子中,随机抽取一粒,则这粒种子能成长为幼苗的概率是( )
A．0.72 B．0.8 C． D．0.9
【答案】A
【解析】
【分析】
设一批种子的发芽率为事件，则，出芽后的幼苗成活率为事件B，则，根据条件概率公式计算即可，
【详解】
设一批种子的发芽率为事件，则，
出芽后的幼苗成活率为事件，则，
∴这粒种子能成长为幼苗的概率.
故选：A．
【点睛】
本题主要考查了条件概率的问题，关键是分清是在什么条件下发生的，属于基础题
4.若在一次测量中出现正误差和负误差的概率都是，则在5次测量中恰好出现2次正误差的概率是( )
A. B.
C. D.
【答案】 A
【解析】 P＝C×2×3＝.
5. 袋中装有大小相同的5个球，分别标有1，2，3，4，5五个号码，现在在有放回的条件下依次取出两个球，设两个球的号码之和为随机变量ξ，则ξ所有可能取值的个数是（ ）
A．25 B．10 C．15 D．9
【答案】D
【解析】由题意得：两个球的号码之和可能为2，3，4，5，6，7，8，9，10，共9个.
故选：D
6.一袋中装有10个球，其中3个黑球、7个白球，从中先后随意各取一球(不放回)，则第二次取到的是黑球的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
明确第二次取到黑球分两类情况，结合全概率公式求解即可.
【详解】
记事件A，B分别表示第一、二次取到的是黑球，
则，
由题设易知P(A)＝，，P(B|A)＝，，
于是P(B)＝.
故选：C
7.若随机变量的分布列如下表所示，则的值为（ ）
1 2 3
0.2
A．0.1 B．0.2 C．0.3 D．0.42
【答案】B
【解析】由题意得，解得，故选：B
8.（2022·全国·模拟预测）同时抛掷两枚质地均匀的硬币一次，若两枚硬币都正面向上，就说这次试验成功，则3次试验中至少有2次成功的概率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
先求出一次试验中两枚硬币都正面向上的概率，进而根据独立重复试验求概率的方法求得答案.
【详解】
在一次试验中，两枚硬币都正面向上的概率为，设X为3次试验中成功的次数，则，故所求概率.
故选：B.
二、填空题
9.若，，，则______．
【答案】
【分析】
由条件概率公式直接计算得到结果.
【详解】
.
故答案为：.
10.设随机变量X的分布列，则常数a的值为______；______．
【答案】 .
【解析】解题思路由题意得随机变量X的分布列为
X 1
P a 2a 3a 4a 5a
由分布列的性质得，
解得，；
故答案为： .
11.（2022·吉林·东北师大附中高二期末）某n重伯努利试验中，事件A发生的概率为p，事件A发生的次数记为X，，，则______．
【答案】
【解析】
【分析】
根据二项分布的均值和方差的计算公式可求解．
【详解】
依题意得X服从二项分布，则，解得，
故答案为：．
12.某人外出出差，委托邻居给家里植物浇一次水，设不浇水，植物枯萎的概率为0.8，浇水，植物枯萎的概率为0.15．邻居记得浇水的概率为0.9．则该人回来植物没有枯萎的概率为______．
【答案】0.785
【解析】
【分析】根据题意，结合条件概率计算公式，即可求解.
【详解】
记A为事件“植物没有枯萎”，W为事件“邻居记得给植物浇水”，
则根据题意，知，，，，
因此．
故答案为：0.785．
三、解答题
13.已知一个不透明的口袋中有4个白球和8个红球，球除颜色外完全相同.
（1）若一个人从口袋中随机抽取一个球，求其抽取到白球的概率；
（2）若一个人从口袋中随机不放回连续抽取球两次，每次抽取一个球，求在第一次抽取出白球的条件下第二次抽取出的也是白球的概率.
【答案】（1）；（2）.
【解析】
【分析】（1）利用古典概型的概率计算得解；（2）先计算出,再利用条件概率计算得解.
【详解】
（1）从口袋中随机抽取一个球，抽取到白球的概率.
（2）记“第一次抽取出球是白球”为事件，“第二次抽取出球是白球”为事件，则第一次抽取出白球和第二次抽取出球也是白球的概率，,
所以在第一次取出白球的条件下第二次取出的也是白球的概率.
【点睛】本题主要考查古典概型的概率的计算，考查条件概率的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.
14.甲和乙两个箱子中各装有10个球，其中甲箱中有5个红球、5个白球，乙箱中有8个红球、2个白球．掷一枚质地均匀的骰子，如果点数为1或2，从甲箱子随机摸出1个球；如果点数为3，4，5，6，从乙箱子中随机摸出1个球．求摸到红球的概率．
【答案】
【解析】
设事件A为“掷一枚质地均匀的骰子，点数为1或2”，则事件为“掷一枚质地均匀的骰子，点数为3，4，5，6”；设事件B为“摸到红球”．
．
【点拨】全概率也是条件概率.
15.袋中有4个红球，3个黑球，这些球除颜色外完全相同，从袋中随机抽取球，设取到一个红球得2分，取到一个黑球得1分，从袋中任取4个球．
(1)求得分X的分布列；
(2)求得分大于6分的概率．
【答案】（1）
X 5 6 7 8
P
（2）
【解析】
(1)从袋中任取4个球的情况为1红3黑，2红2黑，3红1黑，4红，共四种情况，得分分别为5分，6分，7分，8分，故X的可能取值为5,6,7,8.
P(X＝5)＝＝，
P(X＝6)＝＝，
P(X＝7)＝＝，
P(X＝8)＝＝.
故所求分布列为
X 5 6 7 8
P
(2)根据随机变量的分布列可以得到大于6分的概率为P(X>6)＝P(X＝7)＋P(X＝8)＝＋＝.
16.2021年5月12日，2022北京冬奥会和冬残奥会吉祥物冰墩墩、雪容融亮相上海展览中心．为了庆祝吉祥物在上海的亮相，某商场举办了一场赢取吉祥物挂件的“双人对战”游戏，游戏规则如下：参与对战的双方每次从装有3个白球和2个黑球（这5个球的大小、质量均相同，仅颜色不同）的盒子中轮流不放回地摸出1球，摸到最后1个黑球或能判断出哪一方获得最后1个黑球时游戏结束，得到最后1个黑球的一方获胜．设游戏结束时对战双方摸球的总次数为X．
（1）求随机变量X的概率分布；
（2）求先摸球的一方获胜的概率，并判断这场游戏是否公平．
【答案】（1）X的分布列为：
X 2 3 4
P
（2）这场游戏不公平．
【分析】（1）首先列出随机变量X的所有可能取值，再按照相互独立事件的概率计算公式计算出对应的概率，即可求出分布列．
（2）分析出先摸球一方获胜的情形，即可求出先摸球一方获胜的概率，进而可判断该游戏是否公平．
【解析】（1）由题可得X的所有可能取值为2，3，4，
P（X＝2），
P（X＝3），
P（X＝4）＝1﹣P（X＝2）﹣P（X＝3），
∴X的分布列为：
X 2 3 4
P
（2）先摸球的一方获胜，包含以下几种情况：
双方共摸3次球，出现白黑黑，黑白黑，白白白这三种情况，即P（X＝3），
双方共摸球4次球，出现的恰好是三白一黑且前三次必定出现一次黑球的情形，
概率为P，
∴先摸球一的方获胜的概率为，
∵，∴这场游戏不公平．
17.（2022·全国·高二单元测试）溺水 校园欺凌等与学生安全有关的问题越来越受到社会的关注和重视，为了普及安全教育，某市组织了一次学生安全知识竞赛，规定每队3人，每人回答一个问题，答对得1分，答错得0分.在竞赛中，甲 乙两个中学代表队相遇，假设甲队3人回答正确的概率均为，乙队3人回答正确的概率分别为，，，且两队各人回答问题正确与否互不影响.
(1)求甲队总得分为2分且乙队总得分为1分的概率；
(2)求甲队总得分X的分布列和数学期望.
【答案】(1)；
(2)分布列见解析，.
【解析】
【分析】
（1）利用独立事件的乘法公式及互斥事件加法公式求甲队总得分为2分且乙队总得分为1分的概率；
（2）由题意有，利用二项分布概率公式求各可能值对应的概率，进而写出分布列，再根据分布列求期望即可.
(1)
由题设，甲队得2分，即2人答对1人答错，概率为，
乙队得1分，即1人答对2人答错，概率为，
所以甲队总得分为2分且乙队总得分为1分的概率.
(2)
由题设，，且，，，，
甲队总得分X的分布列如下：
0 1 2 3
所以.
18.9粒种子分别种在三个坑内，每坑3粒，每粒种子发芽的概率为0．5．若一个坑内至少
有1粒种子发芽，则这个坑不需要补种；若一个坑内的种子都没有发芽，则这个坑需要补
种，假定每个坑至多补种一次．
(1)求某个坑补种次数的数学期望与方差;
(2)每补种一个坑需10元，用表示补种费用，写出的分布列，并求出的数学期望与方差．
【答案】（1）， （2）；
【解析】
(1)某坑补种次数，服从两点分布
又因为每个坑需要补种的概率为
所以的分布列为
0 1
所以，
(2)方法1: 设为需要补种的坑数，则
又因为，故的取值可能为0，10，20，30
则；
；
故的分布列为
0 10 20 30选择性必修第三册 随机变量及其分布
基础回归扎实练
一、选择题
1.（2021·全国·高二课时练习）设随机变量的正态分布密度函数为，，则参数，的值分别是（ ）
A．， B．，
C．， D．，
2.已知，，则等于（ ）
A． B． C． D．
3.有一批种子的发芽率为0.9,出芽后的幼苗成活率为0.8,在这批种子中,随机抽取一粒,则这粒种子能成长为幼苗的概率是( )
A．0.72 B．0.8 C． D．0.9
4.若在一次测量中出现正误差和负误差的概率都是，则在5次测量中恰好出现2次正误差的概率是( )
A. B. C. D.
5. 袋中装有大小相同的5个球，分别标有1，2，3，4，5五个号码，现在在有放回的条件下依次取出两个球，设两个球的号码之和为随机变量ξ，则ξ所有可能取值的个数是（ ）
A．25 B．10 C．15 D．9
6.一袋中装有10个球，其中3个黑球、7个白球，从中先后随意各取一球(不放回)，则第二次取到的是黑球的概率为（ ）
A． B． C． D．
7.若随机变量的分布列如下表所示，则的值为（ ）
1 2 3
0.2
A．0.1 B．0.2 C．0.3 D．0.42
8.（2022·全国·模拟预测）同时抛掷两枚质地均匀的硬币一次，若两枚硬币都正面向上，就说这次试验成功，则3次试验中至少有2次成功的概率是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
9.若，，，则______．
10.设随机变量X的分布列，则常数a的值为______；______．
11.（2022·吉林·东北师大附中高二期末）某n重伯努利试验中，事件A发生的概率为p，事件A发生的次数记为X，，，则______．
12.某人外出出差，委托邻居给家里植物浇一次水，设不浇水，植物枯萎的概率为0.8，浇水，植物枯萎的概率为0.15．邻居记得浇水的概率为0.9．则该人回来植物没有枯萎的概率为______．
三、解答题
13.已知一个不透明的口袋中有4个白球和8个红球，球除颜色外完全相同.
（1）若一个人从口袋中随机抽取一个球，求其抽取到白球的概率；
（2）若一个人从口袋中随机不放回连续抽取球两次，每次抽取一个球，求在第一次抽取出白球的条件下第二次抽取出的也是白球的概率.
14.甲和乙两个箱子中各装有10个球，其中甲箱中有5个红球、5个白球，乙箱中有8个红球、2个白球．掷一枚质地均匀的骰子，如果点数为1或2，从甲箱子随机摸出1个球；如果点数为3，4，5，6，从乙箱子中随机摸出1个球．求摸到红球的概率．
15.袋中有4个红球，3个黑球，这些球除颜色外完全相同，从袋中随机抽取球，设取到一个红球得2分，取到一个黑球得1分，从袋中任取4个球．
(1)求得分X的分布列；
(2)求得分大于6分的概率．
16.2021年5月12日，2022北京冬奥会和冬残奥会吉祥物冰墩墩、雪容融亮相上海展览中
心．为了庆祝吉祥物在上海的亮相，某商场举办了一场赢取吉祥物挂件的“双人对战”游
戏，游戏规则如下：参与对战的双方每次从装有3个白球和2个黑球（这5个球的大小、
质量均相同，仅颜色不同）的盒子中轮流不放回地摸出1球，摸到最后1个黑球或能判断
出哪一方获得最后1个黑球时游戏结束，得到最后1个黑球的一方获胜．设游戏结束时对
战双方摸球的总次数为X．
（1）求随机变量X的概率分布；
（2）求先摸球的一方获胜的概率，并判断这场游戏是否公平．
17.（2022·全国·高二单元测试）溺水 校园欺凌等与学生安全有关的问题越来越受到社会的关注和重视，为了普及安全教育，某市组织了一次学生安全知识竞赛，规定每队3人，每人回答一个问题，答对得1分，答错得0分.在竞赛中，甲 乙两个中学代表队相遇，假设甲队3人回答正确的概率均为，乙队3人回答正确的概率分别为，，，且两队各人回答问题正确与否互不影响.
(1)求甲队总得分为2分且乙队总得分为1分的概率；
(2)求甲队总得分X的分布列和数学期望.
18.9粒种子分别种在三个坑内，每坑3粒，每粒种子发芽的概率为0．5．若一个坑内至少
有1粒种子发芽，则这个坑不需要补种；若一个坑内的种子都没有发芽，则这个坑需要补
种，假定每个坑至多补种一次．
(1)求某个坑补种次数的数学期望与方差;
(2)每补种一个坑需10元，用表示补种费用，写出的分布列，并求出的数学期望与方差．
