选择性必修第三册 随机变量及其分布
查漏补缺稳固练
一、选择题
1.（2021春 金凤区校级期末）已知下列随机变量：
①10件产品中有2件次品，从中任选3件，取到次品的件数X；
②一位射击手对目标进行射击，击中目标得1分，未击中目标得0分，用X表示该射击手在一次射击中的得分；
③刘翔在一次110米跨栏比赛中的成绩X；
④在体育彩票的抽奖中，一次摇号产生的号码数X．
其中X是离散型随机变量的是（ ）
A．①②③ B．②③④ C．①②④ D．③④
【答案】C．
【分析】利用离散型随机变量的定义求解．
【详解】①10件产品中有2件次品，从中任选3件，取到次品的件数X是一个可变化的整数，故是离散型随机变量，正确；
②一位射击手对目标进行射击，击中目标得1分，未击中目标得0分，用X表示该射击手在一次射击中的得分，是一个可变化的整数，故是离散型随机变量，正确；
③刘翔在一次110米跨栏比赛中的成绩X，是在范围内的，因此不是一个离散型的随机变量，不正确；
④在体育彩票的抽奖中，一次摇号产生的号码数X，是一个可变化的整数，故是离散型随机变量，正确．
故选：C．
2.（2022春 让胡路区校级月考）已知随机变量X的分布列是：
X 1 2 3
P a b
则a+b＝（ ）
A． B． C．1 D．
【答案】A．
【分析】直接利用分布列的性质，求解即可．
【详解】由题意可得：1，所以a+b．
故选：A．
3.有名学生，其中有名男生.从中选出名代表，选出的代表中男生人数为，则其数学期望为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】随机变量X的所有可能取值为1，2，3，4.P(X＝k)＝(k＝1，2，3，4)．
所以，随机变量X的分布列为
X 1 2 3 4
P
随机变量X的数学期望E(X)＝.
4.（2022·安徽省亳州市第一中学高二期末）已知随机变量X服从二项分布X~B(4，)，（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
利用二项分布概率计算公式，计算出正确选项.
【详解】
∵随机变量X服从二项分布X~B(4，)，
∴.
故选：D.
5. 红外线自动测温门能有效避免测温者与被测温者的近距离接触，降低潜在的病毒感染风险，为防控新冠肺炎，某厂生产的红外线自动测温门，其测量体温误差服从正态分布，从已经生产出的测温门中随机取出一件，则其测量体温误差在区间内的概率为（ ）
（附：若随机变量服从正态分布，则）
A．27.1% B．34.5% C．13.55% D．17.08%
【答案】C
【解析】
【分析】
根据正态分布的对称性即可求解.
【详解】
由测量体温误差服从正态分布可知，所以
故选:C
6.（2022·山东省滕州市第五中学高二阶段练习）有3台车床加工同一型号的零件，第1台加工的次品率为6%，第2，3台加工的次品率均为5%；加工出来的零件混放在一起，且第1，2，3台车床加工的零件数分别占总数的25%，30%，45%.现从加工出来的零件中任取一个零件，则取到的零件是次品的概率为（ ）
A．0.0415 B．0.0515 C．0.0425 D．0.0525
【答案】D
【解析】
【分析】
设B＝“任取一个零件为次品”，Ai＝“零件为第i台车床加工”(i＝1，2，3)，利用全概率的公式求解.
【详解】
解：设B＝“任取一个零件为次品”，Ai＝“零件为第i台车床加工”(i＝1，2，3)，
则Ω＝A1∪A2∪A3，A1，A2，A3两两互斥．
根据题意得P(A1)＝0.25，P(A2)＝0.3，P(A3)＝0.45，P(B|A1)＝0.06，P(B|A2)＝P(B|A3)＝0.05.
由全概率公式，得P(B)＝P(A1)P(B|A1)＋P(A2)P(B|A2)＋P(A3)P(B|A3)
＝0.25×0.06＋0.3×0.05＋0.45×0.05
＝0.0525.
故选：D
二、填空题
7.（2022·江苏宿迁·高二期末）已知随机变量，则的值为________．
【答案】2
【解析】
【分析】
利用题给条件列出关于的方程组，解之可得的值，进而可求得的值.
【详解】
由随机变量
可得，解之得，
则
故答案为：2
8. 已知事件A和B是互斥事件，，，，则______．
【答案】
【解析】
【分析】
根据题意，结合条件概率计算公式，即可求解.
【详解】
由题意知，，，
则．
故答案为：.
9.已知随机变量的分布列为
1 2 3 4 5
若，则= _．
【答案】
【解析】
因为
所以
答案:
总结:已知 (为常数)，求时．先求出，再利用，分别计算出的值即可．
10.（2022·上海市七宝中学高二期末）设随机事件、，已知，，，则_____________．
【答案】
【解析】
【分析】
根据条件概率的公式即可求解.
【详解】
，
，
由条件概率公式得：
；，
所以，
故答案为：.
三、解答题
11.甲、乙两名同学同时参加学校象棋兴趣小组，在一次比赛中，甲、乙两名同学与同一位象棋教练进行比赛，记分规则如下：在一轮比赛中，如果甲赢而乙输，则甲得2分；如果甲输而乙赢，则甲得－2分；如果甲和乙同时赢或同时输，则甲得0分．设甲赢教练的概率为0.5，乙赢教练的概率为0.4．求：
(1)在一轮比赛中，甲得分X的分布列；
(2)在两轮比赛中，甲得分Y的分布列．
【解析】(1)由题设，的可能取值为－2，0，2，
，
，
．
的概率分布为
X －2 0 2
P 0.2 0.5 0.3
(2)由题设，的可能取值－4，－2，0，2，4，
，
，
，
，
．
的概率分布为
Y －4 －2 0 2 4
P 0.04 0.2 0.37 0.3 0.09
12.某中学小蔡老师在校“五一”表彰活动中，根据学生表现筛选出品学兼优的李好，张好，王学，徐习四人，欲从此4人中选择一人为“校优秀学生”，现进入最后一个互投环节，李好，张好，王学，徐习四人每人一票，必须投给除自己以外的一个人，并且每个人投给其他任何一人的概率相同．
(1)记李好的得票数为X，求X的分布列和数学期望；
(2)求最终仅李好一人获得最高票数的概率．
【解析】 (1)由题意每个人投给其他任何一人的概率均为
X的取值为0,1,2,3
;
;
X的分布列为
X 0 1 2 3
则
(2)最终仅李好一人获得最高票数，则李好得票数为3票或2票（其他人得票数小于2票）
若李好得票数为3票的概率为
李好得票数为2票（其他人得票数小于2票）时，
不妨假设张好，王学投票为李好；
若李好投票给张好，徐习只能投票给王学；
若李好投票给王学，徐习只能投票给张好；
李好投票给徐习，徐习可以投票给张好或王学；
所以其概率为：
所以最终仅李好一人获得最高票数的概率为：
13.（2022·江苏宿迁·高二阶段练习）甲，乙，丙三名同学相约一起打乒乓球，已知丙与甲，乙比赛，丙每局获胜的概率分别为，，每局比赛的结果互不影响，若乙，丙采用“三局两胜制”进行比赛，丙获胜的概率为.
(1)求的值；
(2)在甲，乙两名同学中用抽签法随机选择一名同学与丙进行一局比赛，求丙获胜的概率.
【答案】(1)；(2)
【解析】
【分析】
（1）分情况，丙获胜有两种可能：丙前两局连胜，或者前两局乙，丙各胜一局且第三局丙胜，再根据独立事件的概率公式及互斥事件的概率公式计算可得；
（2）根据全概率公式计算可得.
(1)
由题知，乙，丙进行比赛，丙每局获胜的概率为，若乙，丙采用“三局两胜制”进行比赛，丙获胜有两种可能：丙前两局连胜，概率为；或者前两局乙，丙各胜一局且第三局丙胜，概率为，所以丙获胜的概率为，计算得.
(2)
设事件为：甲与丙进行比赛，事件为：乙与丙进行比赛，事件为：丙比赛获胜，则，，，，所以.
14.（2022·北京八中高二期末）某外语学校的一个社团中有7名同学，其中2人只会法语；2人只会英语，3人既会法语又会英语，现选派3人到法国的学校交流访问．
(1)在选派的3人中恰有2人会法语的概率；
(2)在选派的3人中既会法语又会英语的人数X的分布列和数学期望．
【答案】(1)
(2)分布列见解析；
【解析】
【分析】
（1）利用组合的知识计算出基本事件总数和满足题意的基本事件数，根据古典概型概率公式求得结果；
（2）确定所有可能的取值，根据超几何分布概率公式可计算出每个取值对应的概率，进而得到分布列和数学期望.
(1)
名同学中，会法语的人数为人，
从人中选派人，共有种选法；其中恰有人会法语共有种选法；
选派的人中恰有人会法语的概率.
(2)
由题意可知：所有可能的取值为，
；；
；；
的分布列为：
数学期望为
15．（2022·湖南·邵阳市第二中学模拟预测）年冬季奥林匹克运动会主办城市是北京，北京成为第一个举办过夏季奥林匹克运动会和冬季奥林匹克运动会以及亚洲运动会三项国际赛事的城市！为迎接冬奥会的到来，某地很多中小学开展了模拟冬奥会赛事的活动，为了深入了解学生在“自由式滑雪”和“单板滑雪”两项活动的参与情况，在该地随机选取了所学校进行研究，得到如下数据：
(1)“单板滑雪”与“自由式滑雪”每项参与人数都超过人的学校可以作为“参与冬奥运动积极学校”，现在从这所学校中随机选出所，记为选出“参与冬奥运动积极学校”的学校个数，求的分布列和数学期望；
(2)现在有一个“单板滑雪”集训营，对“滑行、转弯、跳跃、停止”这个动作技巧进行集训，且在集训中进行了多轮测试．规定：在一轮测试中，这个动作中至少有个动作达到“优秀”，则该轮测试记为“优秀”．在集训测试中，小明同学“滑行”这个动作达到“优秀”的概率均为，其余每个动作达到“优秀”的概率都为，每个动作互不影响且每轮测试互不影响．如果小明同学在集训测试中要想获得“优秀”的次数的平均值达到次，那么理论上至少要进行多少轮测试？
【答案】(1)分布列见解析，期望为
(2)轮
【解析】
【分析】
（1）分析可知“单板滑雪”与“自由式滑雪”每项参与人数超过人的学校共所，的所有可能取值为、、、，计算出随机变量在不同取值下的概率，可得出随机变量的分布列，进一步可求得的值；
（2）记“小明同学在一轮测试中要想获得优秀”为事件，计算出的值，利用二项分布的期望公式可得出关于的不等式，求解即可.
(1)
解：“单板滑雪”与“自由式滑雪”每项参与人数超过人的学校共所，的所有可能取值为、、、，
所以，，，，
所以的分布列如下表：
所以．
(2)
解：记“小明同学在一轮测试中要想获得优秀”为事件，
，
由题意，小明同学在集训测试中获得“优秀”的次数服从二项分布，
由题意可得，得到，因为，所以的最小值为，故至少要进行27轮测试．选择性必修第三册 随机变量及其分布
查漏补缺稳固练
一、选择题
1.（2021春 金凤区校级期末）已知下列随机变量：
①10件产品中有2件次品，从中任选3件，取到次品的件数X；
②一位射击手对目标进行射击，击中目标得1分，未击中目标得0分，用X表示该射击手在一次射击中的得分；
③刘翔在一次110米跨栏比赛中的成绩X；
④在体育彩票的抽奖中，一次摇号产生的号码数X．
其中X是离散型随机变量的是（ ）
A．①②③ B．②③④ C．①②④ D．③④
2.（2022春 让胡路区校级月考）已知随机变量X的分布列是：
X 1 2 3
P a b
则a+b＝（ ）
A． B． C．1 D．
3.有名学生，其中有名男生.从中选出名代表，选出的代表中男生人数为，则其数学期望为（ ）
A． B． C． D．
4.（2022·安徽省亳州市第一中学高二期末）已知随机变量X服从二项分布X~B(4，)，（ ）
A． B． C． D．
5. 红外线自动测温门能有效避免测温者与被测温者的近距离接触，降低潜在的病毒感染风险，为防控新冠肺炎，某厂生产的红外线自动测温门，其测量体温误差服从正态分布，从已经生产出的测温门中随机取出一件，则其测量体温误差在区间内的概率为（ ）
（附：若随机变量服从正态分布，则）
A．27.1% B．34.5% C．13.55% D．17.08%
6.（2022·山东省滕州市第五中学高二阶段练习）有3台车床加工同一型号的零件，第1台加工的次品率为6%，第2，3台加工的次品率均为5%；加工出来的零件混放在一起，且第1，2，3台车床加工的零件数分别占总数的25%，30%，45%.现从加工出来的零件中任取一个零件，则取到的零件是次品的概率为（ ）
A．0.0415 B．0.0515 C．0.0425 D．0.0525
二、填空题
7.（2022·江苏宿迁·高二期末）已知随机变量，则的值为________．
8. 已知事件A和B是互斥事件，，，，则______．
9.已知随机变量的分布列为
1 2 3 4 5
若，则= _．
10.（2022·上海市七宝中学高二期末）设随机事件、，已知，，，则_____________．
三、解答题
11.甲、乙两名同学同时参加学校象棋兴趣小组，在一次比赛中，甲、乙两名同学与同一位象棋教练进行比赛，记分规则如下：在一轮比赛中，如果甲赢而乙输，则甲得2分；如果甲输而乙赢，则甲得－2分；如果甲和乙同时赢或同时输，则甲得0分．设甲赢教练的概率为0.5，乙赢教练的概率为0.4．求：
(1)在一轮比赛中，甲得分X的分布列；
(2)在两轮比赛中，甲得分Y的分布列．
12.某中学小蔡老师在校“五一”表彰活动中，根据学生表现筛选出品学兼优的李好，张好，王学，徐习四人，欲从此4人中选择一人为“校优秀学生”，现进入最后一个互投环节，李好，张好，王学，徐习四人每人一票，必须投给除自己以外的一个人，并且每个人投给其他任何一人的概率相同．
(1)记李好的得票数为X，求X的分布列和数学期望；
(2)求最终仅李好一人获得最高票数的概率．
13.（2022·江苏宿迁·高二阶段练习）甲，乙，丙三名同学相约一起打乒乓球，已知丙与甲，乙比赛，丙每局获胜的概率分别为，，每局比赛的结果互不影响，若乙，丙采用“三局两胜制”进行比赛，丙获胜的概率为.
(1)求的值；
(2)在甲，乙两名同学中用抽签法随机选择一名同学与丙进行一局比赛，求丙获胜的概率.
14.（2022·北京八中高二期末）某外语学校的一个社团中有7名同学，其中2人只会法语；2人只会英语，3人既会法语又会英语，现选派3人到法国的学校交流访问．
(1)在选派的3人中恰有2人会法语的概率；
(2)在选派的3人中既会法语又会英语的人数X的分布列和数学期望．
15．（2022·湖南·邵阳市第二中学模拟预测）年冬季奥林匹克运动会主办城市是北京，北京成为第一个举办过夏季奥林匹克运动会和冬季奥林匹克运动会以及亚洲运动会三项国际赛事的城市！为迎接冬奥会的到来，某地很多中小学开展了模拟冬奥会赛事的活动，为了深入了解学生在“自由式滑雪”和“单板滑雪”两项活动的参与情况，在该地随机选取了所学校进行研究，得到如下数据：
(1)“单板滑雪”与“自由式滑雪”每项参与人数都超过人的学校可以作为“参与冬奥运动积极学校”，现在从这所学校中随机选出所，记为选出“参与冬奥运动积极学校”的学校个数，求的分布列和数学期望；
(2)现在有一个“单板滑雪”集训营，对“滑行、转弯、跳跃、停止”这个动作技巧进行集训，且在集训中进行了多轮测试．规定：在一轮测试中，这个动作中至少有个动作达到“优秀”，则该轮测试记为“优秀”．在集训测试中，小明同学“滑行”这个动作达到“优秀”的概率均为，其余每个动作达到“优秀”的概率都为，每个动作互不影响且每轮测试互不影响．如果小明同学在集训测试中要想获得“优秀”的次数的平均值达到次，那么理论上至少要进行多少轮测试？
