24.1.3弧、弦、圆心角 课件（共29张PPT）

(共29张PPT)
24.1.3弧、弦、圆心角
人教版九年级上册
教学目标
教学目标：1.理解圆心角的概念，掌握圆的中心对称性和旋转不变性.
2.探索圆心角、弧、弦之间的关系定理并利用其解决相关问题.
3.理解圆心角、弧、弦之间关系定理中的“在同圆或等圆中”
条件的意义.
教学重点:探索圆心角、弧、弦之间的关系定理并利用其解决相关问题
教学难点：理解圆心角、弧、弦之间关系定理中的“在同圆或等圆中”条
件的意义.
把一个图形绕某一个点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心.
★中心对称图形的定义:
1、说一说什么是中心对称图形？
2、圆是中心对称图形吗？
圆是中心对称图形，就是它的旋转中心。
不仅如此，把圆绕圆心旋转任意角度，所得的图形都与原图形重合。
回顾旧知
新知导入
情境引入
圆是中心对称图形.
.
O
A
B
180°
观察：1.将圆绕圆心旋转180°后，得到的图形与原图形重合吗？由此你得到什么结论呢？
2.把圆绕圆心旋转任意一个角度呢？仍与原来的圆重合吗？
结论：圆是旋转对称图形，具有旋转不变性.
·
重合
O
α
O
B
A
思考：观察在⊙O中，这些角有什么共同特点？
顶点在圆心上
A
B
O
C
D
新知讲解
合作学习
圆心角的概念
O
A
B
M
1.定义：顶点在圆心的角叫做圆心角，如∠AOB .
3.圆心角∠AOB 所对的弦为AB.
任意给定圆心角，对应出现三个量：
圆心角
弧
2.圆心角∠AOB 所对的弧为 AB.
⌒
弦
判一判：判断下列各图中的角是不是圆心角，并说明理由.
①
②
③
④
圆内角
圆外角
圆周角
(后面会学到)
圆心角
识点
圆心角与所对的弧、弦之间的关系
思考：如图，将圆心角∠AOB绕圆心O旋转到∠A1OB1的位置，你能发现哪些等量关系？为什么？
·
O
A
B
A1
B1
∵ ∠AOB=∠A1OB1
∴AB=A1B1 ，AB=A1B1 .
⌒
⌒
如图，⊙O与⊙O1是等圆，∠AOB =∠A1OB1=60°，请问上述结论还成立吗？为什么
·
O
A
B
A1
·
O1
B1
·
结论仍然成立
在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等．
∵∠AOB=∠COD
∴AB=CD
⌒ ⌒
AB=CD
A
B
O
D
C
思考：这句话“相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等．”对吗？为什么？
A
B
O
D
C
反例
强调：必须在“在同圆或等圆中”前提条件下，结论才成立.
在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弦相等．
∴∠AOB=∠COD
∵AB=CD
⌒ ⌒
AB=CD
A
B
O
D
C
强调：如果条件为“两条弧相等”，那么“在同圆或等圆中”这个前提条件可以省略了.
在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的优弧和劣弧分别相等．
∴∠AOB=∠COD
∵AB=CD
A
B
O
D
C
AB=CD，ADB=CAD
⌒ ⌒
⌒ ⌒
强调：必须在“在同圆或等圆中”前提条件下，结论才成立.
提炼概念
在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弦相等．
弧、弦与圆心角关系定理的推论：
类比探究可得：
在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的优弧和劣弧分别相等．
思考：在同圆或等圆中，两个圆心角、两条弧、两条弦中如果有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量有什么关系？
A
B
O
D
C
知一推二
典例精讲
证明：
∴ AB=AC．△ABC是等腰三角形.
又∠ACB=60°，
∴ △ABC是等边三角形 , AB=BC=CA.
∴ ∠AOB＝∠BOC＝∠AOC.
·
A
B
C
O
例3 如图，在⊙O中， AB=AC ,∠ACB=60°,
求证：∠AOB=∠BOC=∠AOC.
⌒ ⌒
∵AB=AC，
⌒ ⌒
合作探究
本题中弧、圆心角、弦灵活转化是解题的关键.
还要注意前提条件（在同圆或等圆中）.
归纳概念
合作探究
关系结构图
温馨提示：一条弦对应两条弧，由弦相等得到弧相等时需要区分优弧和劣弧.
在同圆或等圆中
课堂练习
1．如果两个圆心角相等，那么（ ）
A．这两个圆心角所对的弦相等
B．这两个圆心角所对的弧相等
C．这两个圆心角所对的弦的弦心距相等
D．以上说法都不对
D
21cnjy
D
2.如图，已知A，B，C，D是⊙O上的点，∠1=∠2，则下列结论中正确的有（ ）
①AB=CD；
②BD=AC；
③AC=BD；
④∠BOD=∠AOC.
A.1个 B.2个
C.3个 D.4个
）
）
）
）
3.如图，AB、CD是⊙O的两条弦．
（1）如果AB=CD，那么_________，__________ __；
（2）如果 ，那么_________， ；
（3）如果∠AOB=∠COD，那么_________，_______；
·
C
A
B
D
O
AB=CD
AB=CD
AB=CD
(
(
∠AOB=∠COD
∠AOB=∠COD
AB=CD
(
(
AB=CD
(
(
∴AC∥OD.
4.如图，AB是⊙O的直径，若BD=CD .求证：AC∥OD.
）
）
证明 连接OC.
∴∠BOD=∠COD.
∵OA=OC，
∵BD=CD，
）
）
∴∠A=∠C.
∵∠COB=∠A+∠C=∠COD+∠BOD，
∴∠A=∠C=∠COD=∠BOD，
5.如图，AB为⊙O的弦，点C，D为弦AB上的两点，且OC=OD，延长OC，OD分别交⊙O于点E，F.
求证：AE=BF.
）
）
即∠AOE=∠BOF，
证明 ∵OC=OD，
∴∠OCD=∠ODC.
又∵OA=OB，
∴∠OAC=∠OBD，
∴∠OCD-∠OAC=∠ODC-∠OBD，
∴∠AOC=∠BOD，
∴AE=BF.
）
）
6、如图，在⊙O中，2∠AOB=∠COD，那么CD=2AB成立吗？CD=2AB成立吗？请说明理由；如不成立，那它们之间的关系又分别是什么？
⌒ ⌒
解：CD=2AB成立，CD=2AB不成立.
如图：取CD 的中点E，连接OE，CE，DE，
则∠AOB=∠COE=∠DOE， .
所以 CD=2AB，弦AB=CE=DE.
在△CDE中，CE+DE>CD，
则CD＜2AB.
⌒ ⌒
A
B
C
D
E
O
⌒
⌒ ⌒
课堂总结
课堂总结
今天我们学习了哪些知识？
圆心角
弦、弧、圆心角的关系定理
在同圆或等圆中
概念：顶点在圆心的角
应用提醒
①要注意前提条件；
②要灵活转化.
作业布置
教材课后配套作业题。
谢谢
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