人教A版（2019）必修第二册8.3.1 棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积 课件（共35张PPT）

(共35张PPT)
高一—人教版—数学—必修二第八章
棱柱、棱锥、棱台的
表面积和体积
1、知道棱柱、棱锥、棱台的表面积与体积的计算公式
2、能利用计算公式解决简单的实际问题
3、通过本节课的学习，感悟转化、类比、一般化与特殊化的数学思想方法，提高逻辑推理、直观想象、数学运算等数学素养
学习目标
在日常生活中，我们经常会遇到类似下面的产品包装问题：
包装品能装多少东西？产品的包装需用多少材料做成？
这类问题都与数学中的表面积和体积知识相关。
表面积是指几何体表面的面积，它表示几何体表面的大小。
体积是指几何体所占空间的大小。
情境引入
由平面内求多边形周长的定义及求法，类比可知：
要求多面体的表面积只要求围成多面体各个面的面积的和。
空间图形问题转化为平面图形问题。
探索新知
问题1：如何计算棱柱、棱锥、棱台的表面积？
【例1】如图，四面体P-ABC 的各棱长均为a ，求它的表面积。
B
C
A
P
【解】因为△PBC是正三角形，其边长为a，
所以
因此，四面体P-ABC的表面积
思路分析：因为四面体各棱长均相等，所以四个面全等，
所以只要求出等边三解形的面积，再乘以4
如图所示，已知正四棱台(上、下底是正方形，上底面的中心在下底面的
投影是下底面中心)上底面边长为6，高和下底面边长都是12，
求正四棱台的侧面积。
课本P116练习1变式题
正四棱台四个侧面是全等的等腰梯形
要构造出侧面等腰梯形的高
6
6
12
12
12
归纳总结
在实际求多面体表面积问题中，为了便于求出各侧面的面积，
首先要注意各个面的形状，
其次要注意构造直角三角形、直角梯形等特殊平面图形。
回顾特殊棱柱——正方体、长方体的体积公式
Ｖ正方体＝a3（a是正方体的棱长）
Ｖ长方体＝abc（a，b，c分别是长方体的长、宽、高）
问题2：如何计算棱柱的体积？
公式变形为：
V正方体=a2·a （底面积乘以高）
V长方体=ab·c (底面积以乘高)
一般的，棱柱的体积公式可类比正方体、长方体的体积公式推广得到
如图示
棱柱的高是指两底面之间的距离
　　一般地，如果棱柱的底面面积为S，高为h，那么这个棱柱的体积
特别的，直棱柱的侧棱为直棱柱的高
类比推广得到：
　　一般地，如果棱柱的底面面积为S，高为h，那么这个棱柱的体积
类比推广得到：
在平面内
平行四边形面积等于底乘以高， 所以等底等高的两平行四边形面积相等
　　一般地，如果棱柱的底面面积为S，高为h，那么这个棱柱的体积
类比推广得到：
比如用一叠较厚的书，
由长方体推移成斜四棱柱，
体积不变。
在空间中
棱柱的体积等于底面积乘以高，
所以底面积与高都相等的两棱柱体积相等
类比可得：
问题3、如何计算棱锥的体积？
回顾初中学的一个结论：
如果一个圆柱和一个圆锥的底面积相等，高也相等，那么，圆柱的体积是圆锥体积的3倍。
类比上述圆柱与圆锥的体积关系
棱柱与棱锥间这种关系也成立。
　　如图所示，如果一个棱柱和一个棱锥的底面积相等，高也相等，那么，棱柱的体积是棱锥的体积的3倍。
　　因此，如果棱锥的底面面积为S，高为h，那么这个棱锥的体积：
类比推广：
棱锥的高是指从顶点向底面作垂线，顶点与垂足之间的距离.
　　以正方体为例，直观感受等底等高的棱柱与棱锥体积之间的3倍关系。
小结：类比推广得到棱柱、棱锥体积公式
如何证明棱柱、棱锥体积公式呢？
见教科书P121
棱台的高是指两底面之间的距离
　　若S′，S分别为棱台的上、下底面面积，
h为棱台的高。




问题4、如何计算棱台的体积？
如何推导棱台体积公式呢？
棱柱、棱锥、棱台的体积公式之间有什么关系？你能用棱柱、棱锥、棱台的结构特征来解释这种关系吗？












为什么三个公式形式类似，但又完全不相同？
是什么导致了这样的结果？
小结：棱柱、棱锥、棱台体积公式
用运动变化的观点研究三个体积公式间的逻辑关系量变会引起质变
柱体和锥体的体积公式可以统一为台体的体积公式
【例2】如图，一个漏斗的上面部分是一个长方体，下面部分是一个四棱锥，两部分的高都是0.5m，公共面ABCD是边长为1m的正方形，那么这个漏斗的容积是多少立方米？（不考虑漏斗厚度）
1
1
1
1
0.5
抽象成棱柱和棱锥组合体
【例2】如图，一个漏斗的上面部分是一个长方体，下面部分是一个四棱锥，两部分的高都是0.5m，公共面ABCD是边长为1m的正方形，那么这个漏斗的容积是多少立方米？（不考虑漏斗厚度）
1
1
1
1
0.5
例4 如图，在多面体ABCDEF中，已知四边形ABCD是边长为4的正方形，EF∥AB，EF＝2，EF上任意一点到平面ABCD的距离均为3，求该多面体的体积。
分析：
1.EF∥AB，EF上任意一点到平面ABCD的距离均为3，说明多面体ABCDEF是动态的几何体，初步估计多面体体积应该不会变。
2.由图可知，多面体ABCDEF不是棱柱、不是棱锥、也不是棱台。
3.根据已知条件EF上任意一点到平面ABCD的距离均为3可考虑将多面体ABCDEF初步转化成一个四棱锥和一个三棱锥的组合体。
4
4
4
2
4
例4 如图，在多面体ABCDEF中，已知四边形ABCD是边长为4的正方形，EF∥AB，EF＝2，EF上任意一点到平面ABCD的距离均为3，求该多面体的体积。
4
4
4
2
4
分割
多面体的体积V＝V四棱锥E－ABCD＋V三棱锥F－EBC
2
4
4
4
4
3
例4 如图，在多面体ABCDEF中，已知四边形ABCD是边长为4的正方形，EF∥AB，EF＝2，EF上任意一点到平面ABCD的距离均为3，求该多面体的体积。
4
4
4
2
4
2
4
4
4
4
3
多面体的体积V＝V三棱锥E－ACD＋V三棱锥E－ABC＋V三棱锥F－EBC
同顶点C,高相等
组合体体积的求法
课堂小结
1、学习了棱柱、棱锥、棱台的表面积、体积公式。
2、感悟转化思想（空间图形问题转化为平面图形问题，不规则几何体转化为规则几何体）。
3、感悟类比思想（求多面体面积问题类比求多边形周长问题；求多面体体积问题类比求多边形面积问题）。
课后作业
教科书P119 习题8.3第1、2、3、6题
各面面积之和
棱柱、棱锥、棱台表面积
棱锥
棱台
棱柱
棱柱、棱锥、棱台的体积
利用计算公式解决简单的实际问题
【题组训练1】求表面积
1、如图所示,正方体的棱长为4,以其所有面的中心为顶点的多面体的表面积为　　　　.
四棱锥底面的棱长都为2√2
四棱锥侧棱长都为2√2
总结：要善于利用截面
将空间图形计算问题转化为平面图形计算问题
【题组训练2】求体积
如图,ABC -A′B′C′是体积为1的棱柱,则四棱锥C -AA′B′B的体积是
(　　)
【题组训练2】求体积
如图,ABC -A′B′C′是体积为1的棱柱,则四棱锥C -AA′B′B的体积是
(　　)
选C
总结：利用体积差，间接求几何体体积
【题组训练3】体积的应用
如图,在棱长为a的正方体ABCD -A1B1C1D1中,点A到平面A1BD的距离d=　　　　.
总结：利用三棱锥等体积法间接求点到面的距离