第一章第二节第一课时子集,真子集[上学期]

课件22张PPT。集合间的基本关系问：浙江省在什么地方？问：中国的区域与浙江省的区域有何关系？ 如果我们把浙江省的区域用集合A来表示，中国区域用集合B来表示，则A在集合B内；也就是说集合A的每一个元素都在集合B内。 请列举类似的例子观察以下每组中的两个集合A、B，看看这两个集合中的元素有什么关系：
（1）A={1，2}，B={1，2，3}
（2）A=N，B=R
（3）A={x ︱x为北京人}
B={x ︱x为中国人} 以上几组集合中，集合A中的元素都在集合B中。对于集合A中的任何一个元素都是集合B的元素(若a∈A，则a∈B )，则称集合A是集合B的子集（subset)。记作A?B，或B?A。读作“集合A包含于集合B”或“集合B包含集合A”用数学语言来表示就是：若x∈A，则x∈B，我们就说A是B的子集。记作A?B，或B?A。一、子集A?B可以用Venn图来表示：规定：空集是任何集合的
子集， 即 对于任何一
个集合A，都有Φ ?A。思考：A?B与B?A是否同时成立？设A={x|x是两条边相等的三角形}
B={x|x是等腰三角形}A与B是什么关系？A=B一般地，对于两个集合A与B，如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素，同时集合B的任何一个元素都是集合A的元素，我们就说集合A等于集合B，记作A=B。用数学语言来表述上面的话就是：若A?B，且B?A，
则A=B。二、集合相等集合相等的定义1：课本第3页对于两个集合A与B，如果A?B，且A≠B，我们就说A是B的真子集（proper set)，记作 。读作A真包含于B（或B真包含A）。我们也可以这样说：如果集合A是集合B的子集，并且集合B中至少有一个元素不是集合A的元素，那么A是B的真子集。三、真子集集合A=B和A真包含于B可以用下面的图形来表示：ABA=B BAA真包含于B根据子集的定义，易知子集具有以下性质：（1） Φ ? A（空集是任何集合的子集）。（2）A ? A（任何一个集合是它本身的子集）（3）若A ?B，B ?C，则A ?C（包含关系
具有传递性）。类似地，真子集具有以下性质：（1）若A≠ Φ，则Φ真包含于A（空集是任何非空集合的真子集）。（2）若A 真包含于B，B 真包含于C， 则A 真包含于C（真包含关系也具有传递性）。例1、写出集合{a,b} 的所有子集。解：集合{a,b} 的所有子集为Φ，{a}，{b}，{a，b}。写出集合{a,b,c,d} 的所有真子集。写出集合{a,b,c,} 的所有真子集。元素个数与集合子集个数的关系:一般地，若集合A中有n个元素，则集合A有 个子集， -1个非空子集， -1个真子集， -2个非空真子集。课本第8页练习1、2、3例2、已知{a，b}?A真包含于{a，b，c，d}求所有满足条件的集合A。解：∵{a，b}?A，∴A中必有元素a，b。
又∵ A?{a，b，c，d}，
∴A中的元素有2个或3个。
因此满足条件的集合A有：
{a，b}，{a，b，c}，{a，b，d}。例3、已知A={x︱x＜3}，B={x︱x＜a}
（1）若B?A，求a的取值范围。
（2）若A? B，求a的取值范围。分析：本题是将不等式的知识与集合的内容联系起来，通过不等式在数轴上的表示即可获解。解：（1）∵ B?A，如右图，


∴a≤3。（2）∵ A ? B， 如右图，∴a 3。
例4、已知A={1，x，y}，B={x，x ，xy}，
且A=B，求实数x，y。分析：此题从集合A中的已知数1入手，因
为A=B，则B中必有1，根据元素的互异性
知，x≠1，故x =1，或xy=1，从而分别求
出x，y的值。注意所求值是否使集合元素
满足互异性是这类题容易忽略而引起错解
的地方。 解：由A={1，x，y}可知，x≠1，y≠1。
∵A=B，∴① 或②
由①得 或 （舍）
由②得 （舍）。
故综上所述，x = -1，y=0。再分析：由于本题给出的两个相等的集合
是有限集，故可根据相等的有限集的性
质：（1）两个集合的所有元素之和相等；
（2）两个集合的所有元素之积相等。
列出关于x，y的方程组，求解即可。解法二、∵A=B，
∴依题义有
即
由集合中元素的互异性可知：x≠1，x≠0，
∴解方程组得x = -1，y=0。例5、设A={x︱x –8x+15=0}，
B={x︱ax –1=0}，若B?A，
求实数 a 组成的集合。分析：易知A={3，5}，而集合B为一个一
次方程的解集，因此集合B中最多有一
个元素，有因为B?A，所以B= Φ或{3}或{5}，由此便可解出 a 的值。小结：再见