24.3相似三角形（共5课时）
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八年级（上）数学教学课件24.3相似三角形华东师大版九年级（上册）（第1课时）相似三角形相似三角形的概念
相似三角形的基本性质
相似三角形的预备定理 三个角对应相等,三条边对应成比例的两个三角形, 做相似三角形(similar trianglec)△ ABC与△ DEF相似，就记作：
△ ABC∽ △DEF注意:要把表示对应角顶点的字母写在对应位置上!基本性质：相似三角形的各对应角相等，各对应边对应成比例.如果△ ABC∽ △DEF,那么
∠A = ∠D,∠B = ∠E,∠C = ∠F.如果△ ABC∽ △DEF,那么哪些角是对应角?哪些边是对应边?对应角有什么关系?对应边呢?以小组为单位,开展竟赛.如果△ ABC∽ △DEF,那么
∠A = ∠D,∠B = ∠E,∠C = ∠F.这个结论在今后学习的过程中作用很大,
你可要认真噢！１. 两个全等三角形一定相似吗？
为什么？２.两个直角三角形一定相似吗？为什么？两个等腰直角三角形呢？３.两个等腰三角形一定相似吗？为什么？两个等边三角形呢？相似.因为对应角相等,对应边成比例. 两个直角三角形不一定相似.因为对应角不一定相等,对应边也不一定成比例;两个等腰直角三角形相似.因为对应角相等,对应边成比例. 两个等腰三角形不一定相似;两个等边三角形相似.交流讨论你注意到没有,相似三角形的各对应角相等，各对应边对应成比例.在解题时的作用了吗?1、在下面的两组图形中,各有两个相似三角形,试确定x ,y ,m ,n 的值. 你准备如何去做?
x=32,y=20/3,m=80°,n=55°.如图，已知DE ∥ BC，则……若DE ∥ BC则∠DAE=∠BAC, ∠ADE=∠ A BC,
∠AED=∠ACB,
故△ADE∽ △ABC,若DE ∥ BC 则
∠A=∠D, ∠B=∠E,
∠ACB=∠DCE,若△ABC∽ △DEC,从上面的解答中，你获得了那些信息？ 平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似。相似三角形的预备定理这是两个极具代表性的
相似三角形基本模型：“A”型和“X” 型这个两个模型在今后学习的过程中作用很大,你可要认真噢！看过例题过后，你又有什么收获？例１ 如图，有一块呈三角形形状的草坪，其中一边的长是20m，在这个草坪的图纸上，这条边长5cm，其他两边的长度都是3.5cm。求该草坪其他两边的实际长度。 解: 草坪的实际形状和它在图纸上相应的形状相似.
所以实际的三角形与图上的三角形相似,且它们的相似比2000:5= 400:1.如果设其它两边的实际长度都是xcm,那么 例题欣赏x=3.5×400=1400(cm),
1400cm=14m.
所以,草坪其它两边的实际长度都是14m.例2 如图,已知DE ∥ BC,AE=50cm,EC=30cm,BC=70cm,
∠BAC=45°,∠ACB=40°.
(1)求∠AED和∠ADE的大小;(2)求DE的长.
解: 因为DE ∥ BC ，所以△ADE∽△ABC.
(1)由相似三角形对应角相等,得∠AED=∠C=40°.
在△ADE中, ∠ADE=180°-40°-45°=95°.（2）由相似三角形对应边成比例。得预备定理 平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似。 想一想,相似比等于1的两个三角形会是什么样的关系？三个角对应相等,三条边对应成比例的两个三角形, 叫做相似三角形(similar trianglec).
△ABC与△DEF相似,就记作:△ABC∽△DEF.
注意:要把表示对应角顶点的字母写在对应的位置上！
性质：相似三角形的各对应角相等,各对应边对应成比例.
如果△ ABC∽ △DEF,那么∠A = ∠D,∠B = ∠E,∠C = ∠F. 如图，分别根据下列已知条件和刚学得知识，试写出你能得出的结论。我思，我进步（1） DE ∥ BC；（1）（2）DE ∥AB；
（3）△ABC∽△ADE，其中∠ADE = ∠B（2）（3）23.4相似三角形华东师大版九年级（上册）相似三角形的判定方法1（第2课时） 1. 三个角对应_______,三条边对应——————的两个
三角形, 叫做相似三角形 相等成比例2. 相似三角形的———————, 各对应边——————。对应角相等成比例如果△ ABC∽ △DEF, 那么∠A=∠D, ∠B=∠E, ∠C=∠F1．任意画两个三角形△ABC， △A’B’C’，使其三组对角分别对应相等。2．用刻度尺量一量各边长，它们的对应边是否会成比例?与同伴交流，是否有相同结果。3．发现什么现象 ？ 如果一个三角形的三个角与另一个三角形的三个角对应相等，那么这两个三角形相似。 探索根据三角形内角和定理，我们知道如果两个三角形有两对角对应相等，那么第三对角也一定对应相等．
于是，我们可以得到识别两个三角形相似的一个较为简便的方法：两组对应角分别相等的两个三角形相似.相似三角形的识别方法1：
如果一个三角形的两角分别与另一个三角形的两角对应相等，那么这两个三角形相似．用数学符号表示：∵ ∠A=∠A'， ∠B=∠B'∴ ΔABC ∽ ΔA'B'C'下列图形中两个三角形是否相似？思 考能否再简便一些? 有一对角对应相等的两个三角形相似吗?例1 如图，在两个直角三角形△ABC和△A′B′C′中，∠B＝∠B′＝90°，∠A＝∠A′，证明这两个三角形是否相似． 证明：∵ ∠B＝∠B′＝90°（已知），
∠A＝∠A′（已知）， ∴ △ABC∽△A′B′C′（两组对应角分别相等的两个三角形相似）. 例2 如图，△ABC中，DE∥BC，EF∥AB，证明：△ADE∽△EFC.证明: ∵ DE∥BC （已知） ∴ ∠AED＝∠C （两直线平行，同位角相等）， ∴ ∠CEF＝∠A（两直线平行，同位角相等）∴ △ADE∽△EFC（两组对应角分别相等的两个三角形相似） 又∵ EF∥AB （已知）练习
1.已知，如图,要△ABC∽△ACD，
需要条件 .图2练习
2.已知，如图,要使ABE∽△ACD，
需要条件 .3．在△ABC与△A′B′C′中,∠A＝∠A′＝50°，∠B＝70°，∠B′＝70°，这两个三角形相似吗?∠A＝∠A′＝50° ∠B＝70°∠B′＝60°这两三角形仍然相似吗？ 超级变变变：ABCA′ B′ C′ 24.3相似三角形华东师大版九年级（上册）（第3课时）相似三角形的判定方法2、3 观察下图，如果有一点E在边AC上，那么点E应该在什么位置才能使△ADE与△ABC相似呢？知识探索 如果一个三角形的两条边与另一个三角形的两条边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似吗？ 利用刻度尺和量角器画两个三角形，使它们的两条对应边成比例，并且夹角相等．量一量第三条对应边的长，计算它们的比与前两条对应边的比是否相等．另两个角是否对应相等？你能得出什么结论？ABCDEF 如果一个三角形的两条边与另一个三角形的两条边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似． Flash探索二例题解析例 如图，证明图中△AEB和△FEC相似．证明: ∵ ∴ ∴ △AEB∽△FEC（如果一个三角形的两条边与另一个三角形的两条边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似）． ∵ ∠AEB＝∠FEC，如果两个三角形的三条边对应成比例，那么这两个三角形相似吗？感觉上应该是能“相似”了． 在下图的方格上任画一个三角形，再画出第二个三角形，使它的三边长都是原来三角形的三边长的相同倍数．画完之后，用量角器比较两个三角形的对应角，你发现了什么结论？大家的结论都一样吗？ Flash探索三例 在△ABC和△A′B′C′中，已知： AB＝6cm，BC＝8cm，AC＝10cm，A′B′＝18cm，B′C′＝24cm，A′C′＝30cm．试证明△ABC与△A′B′C′相似．证明 ∵ ∴ ∴ △ABC∽△A′B′C′（如果一个三角形的三条边和另一个三角形的三条边对应成比例，那么这两个三角形相似）． 丰收园通过本堂课的学习 我学会了… … 我感到困惑的是… … 我体会到… …4． 依据下列各组条件，判断△ABC和△A′B′C′是不是相似，如果相似，请给出证明过程．
（1） ∠A＝70°，∠B＝46°，∠A′＝70°，∠C′＝64°；
（2） AB＝10厘米，BC＝12厘米，AC＝15厘米，A′B′＝150厘米，B′C′＝180厘米，A′C′＝225厘米；
（3） ∠B=35°，BC=10，BC上的高AD=7，∠B′=35°，B′C′=5，B′C′上的高A′D′=3．5．习题24.324.3相似三角形华东师大版九年级（上册）相似三角形的性质（第4课时）画一画：请你在课本后面的方格纸图中，画出两个相似但不全等的三角形，再画一组对应高。 量一量：你画的两个相似三角形的相似比是多少？对应高AD与A1D1的比是多少？相似比与对应高的比相等吗？ 推一推：如果△ABC∽△A1B1C1相似比为k， AD、A1D1分别为BC、B1C1边上的高，那么AD、A1D1之间有什么关系？请说说你的理由。
想一想：如果AD，A1D1分别是相似三角形对应角平分线，对应中线，那么上述结论是否还成立？
1、相似三角形对应高的比等于相似比；
2、相似三角形对应中线的比等于相似比；
3、相似三角形对应角平分线的比等于相似比。相似三角形的性质：我们再仔细观察下面一组图形：图中(1)(2)(3)分别是边长为1、2、3的等边三角形，它们都相似吗？为什么？1﹕21﹕21﹕41﹕31﹕31﹕92﹕32﹕34﹕9从上表中可以看出，当相似比为k时，周长
比= ；面积比= 。kk21、相似三角形对应高的比等于相似比。
2、相似三角形对应中线的比等于相似比。
3、相似三角形对应角平分线的比等于相似比。相似三角形的性质：4、相似三角形周长的比等于相似比。
5、相似三角形面积的比等于相似比的平方。提示：相似多边形和相似三角形有同样的
性质。试一试：1、相似三角形对应边的比为3∶5 ,那么相似比为_________,对应角的角平分线的比为______,对应边的中线比为_______，周长的比为_____,面积的比为_______。3∶53∶53∶59∶253∶52、把一个三角形扩大成和它相似的三角形，
（1）如果把边长扩大为原来的10倍，那么面积扩大为原来的 倍。
（2）如果把面积扩大为原来的10倍，则边长应扩大为原来的 倍。100试一试：3、两个相似三角形对应的中线长分别是6cm和18cm，若较大三角形的周长是42cm，面积是12cm2,则较小三角形
的周长是 cm，面积 cm2。14试一试：4、如图，DF∥EG∥BC,且AD=DE=EB,则△ABC被分成的三部分的面积比S1:S2:S3为 。 S3BEDFGCS2AS1试一试：5、如图，△ABC中，点D,E,F分别在边AB，
AC，BC上，DF∥BC， EF∥AB ,
AF:FC=2 :3，S△ABC=S，
求平行四边形BEFD的面积。 试一试：ADEFBC6、如图；△ABC中，D为BC上一点，CE⊥AB于E，CF⊥AD于F，且AC:CD=BC:AC=k，试说明CE:CF=k.试一试：如图，已知梯形ABCD中，△ADM的面积为1，△CBM的面积为4，试求出图中尽可能多的三角形的面积。思维训练 你能说说今天在数学知识方面有哪些收获吗？小结：华东师大版九年级（上册）24.3相似三角形 相似三角形的应用（第5课时）神秘的埃及金字塔走进生活! 探索自然!相似三角形的应用相似三角形的判定（1）两个角对应相等的两三角形相似（2）两边对应成比例且夹角相等的
两三角形相似（3）三边对应成比例的两三角形相似复习6、相似三角形周长的比等于相似比5、相似三角形对应角平分线的比等于相似比复习4、相似三角形对应中线的比等于相似比7、相似三角形面积的比等于3、相似三角形对应高的比等于相似比1、相似三角形对应角相等2、相似三角形对应边成比例相似比的平方相似三角形的性质1. 如图(1)，在△ABC中，DE∥AC，BD=10，DA=15，BE=8，则EC=
.课前训练:BDECA2.如图(2),已知 ∠ 1 = ∠ 2,若再增加一个条件就能使结论“△ADE∽△ABC”成立,则这条件可以是(1)ADBE(2)C12解：设楼的高度为x米，由题意，得
例1 在同一时刻物体的高度与它的影长成正比例.在某一时刻,有人测得一高为1.8米的竹竿的影长为3米,某一高楼的影长为60米,那么高楼的高度是多少米? 解得x=36（米）答：楼的高度是36米。 测量学校旗杆的高度。
古埃及所有金字塔中最大的一座是第四王朝法老胡夫王的金字塔。这座大金字塔原高146.59m，经过几千年的风吹雨打，顶端被风化吹蚀了近10m。在巴黎埃菲尔铁塔完成之前，它一直是世界上最高的建筑物。这座金字塔的底面呈正方形，边长大约230m。但由于经过几千年的风吹雨打,顶端被风化吹蚀.所以高度有所降低 。 走近金字塔小小考古家: 埃及著名的考古专家穆罕穆德决定重新测量胡夫金字塔的高度.在一个烈日高照的上午.他和儿子小穆罕穆德来到了金字塔脚下,他想考一考年仅14岁的小穆罕穆德.给你一条2米高的木杆,一把皮尺,一面平面镜.你能利用所学知识来测出塔高吗?2米木杆皮尺平面镜古代一位数学家想出了一种测量金字塔高度的方法：如图所示，为了测量金字塔的高度DE，先竖一根已知长度的木棒BC, 比较棒子的影长FC与金字塔的影长AE，即可近似算出金字塔的高度. 如果BC＝2，FC＝4，AE＝274，求金字塔的高度DE.AF解 由于太阳光是平行光线，因此
∠DAE=∠BFC．
又因为 ∠DEF＝∠BCF＝90°．
所以 △ADE∽△FBC
DE∶BC＝AE∶FC，
DE＝ （米）
答:该金字塔高为137米．ACBDE┐┐例2 小丽用下面的方法来测量学校教学大楼AB的高度，如图，在水平面上放一面镜子，镜子与教学大楼的距离EA＝21米，当她与镜子的距离CE=2.5米时，她刚好能从镜子中看到教学大楼的顶端B，已知她的眼睛距地面高度DC=1.6米，请你帮助小计算出教学大楼AB的高度是多少米？ 探索:如图,有一边长为5cm的正方形ABCD和等腰△PQR,PQ=RP,PE=3cm,QR=8cm,点B,C,Q,R共线.当C与Q重合时, △PQR以1cm/s 的速度沿着直线l按箭头的方向匀速运动, t秒后正方形ABCD与△PQR重合部分的面积为Scm2 ABCDl(1)当t=3秒时,求S的值. G(2) t=5秒呢?
小小科学家:1.如图,铁道口的栏杆短臂长1m,长臂长16m,当短臂端点下降0.5m时,长臂端点升高 m? oBDCA┏┛(第1题)1m16m0.5m8给我一个支点我可以撬起整个地球!---阿基米德2. 小明在打网球时，使球恰好能打过网，而且落在离网5米的位置上，求球拍击球的高度h.
(设网球是直线运动)
(第2题)ADBCE┏┏小小科学家:oBDCA┏┛(第1题)1m16m0.5m(第2题)ADBCE┏┏问题二 如图，为了估算河的宽度，我们可以在河对岸选定一个目标作为点A，再在河的这一边选点B和C，使AB⊥BC，然后，再选点E，使EC⊥
BC，用视线确定BC和AE的交点D．此时如果测得BD＝120米，DC＝60米，EC＝50米，求两岸间的大致距离AB． 解: 因为∠ADB＝∠EDC，
∠ABC＝∠ECD＝90°
所以 △ABD∽△ECD，
那么
解得AB＝
＝
＝100（米）．
答： 两岸间的大致距离为100米． 小小设计家: 如图,钱塘江的一侧有A,B两个工厂.现要在江边建造一个水厂C,把水送到这两个工厂,要使供水管路线最短.这样可以节省成本.ABED1.请你设计一下水厂应该建造在哪里? 2.若AE=0.5千米,BD=1.5千米,且DE=3千米.求水厂C距离D处有多远? ..FC小小实践家:ABDCO有一如图所示的容器,现给出下列工具请测量出CD的长度1. 如图，是一池塘的平面图，请你利用相似三角形的知识，设计出一种测量A、B两点间距离的方案，并对这种方案作出简要的说明。解：如图在池塘外选一点P，连AP并延长，连BP并延长使 或其他值）， 则△ABP∽△CDP得 ，量出CD的长就可算出 AB的长。
小小实践家:液面木棒 如何来测量液面的高度呢?提供工具:
木棒(足够长),刻度尺DBCA小小实践家:液面BCA木棒ABCDEGD小小实践家:液面BCA木棒ABCDEGBCAEDD小小演说家: 通过本堂课的学习和探索，你学会了什么?
2. 谈一谈!你对这堂课的感受?
1. 在实际生活中, 我们面对不能直接测量物体的高度和宽度时. 可以把它们转化为数学问题,建立相似三角形模型,再利用对应边成比例来达到求解的目的!
2. 能掌握并应用一些简单的相似三角形模型. ⑴⑶⑷ 作 业1. 在同一时刻物体的高度与它的影长成正比例.在某一时刻,有人测得一高为1.8米的竹竿的影长为3米,某一高楼的影长为60米,那么高楼的高度是多少米?ABCED2. 小明要测量一座古塔的高度,从距他2米的一小块积水处C看到塔顶的倒影,已知小明的眼部离地面的高度DE是1.5米,塔底中心B到积水处C的距离是40米.求塔高?
八年级（上）数学教学课件24.3相似三角形华东师大版九年级（上册）（第1课时）相似三角形相似三角形的概念
相似三角形的基本性质
相似三角形的预备定理 三个角对应相等,三条边对应成比例的两个三角形, 做相似三角形(similar trianglec)△ ABC与△ DEF相似，就记作：
△ ABC∽ △DEF注意:要把表示对应角顶点的字母写在对应位置上!基本性质：相似三角形的各对应角相等，各对应边对应成比例.如果△ ABC∽ △DEF,那么
∠A = ∠D,∠B = ∠E,∠C = ∠F.如果△ ABC∽ △DEF,那么哪些角是对应角?哪些边是对应边?对应角有什么关系?对应边呢?以小组为单位,开展竟赛.如果△ ABC∽ △DEF,那么
∠A = ∠D,∠B = ∠E,∠C = ∠F.这个结论在今后学习的过程中作用很大,
你可要认真噢！１. 两个全等三角形一定相似吗？
为什么？２.两个直角三角形一定相似吗？为什么？两个等腰直角三角形呢？３.两个等腰三角形一定相似吗？为什么？两个等边三角形呢？相似.因为对应角相等,对应边成比例. 两个直角三角形不一定相似.因为对应角不一定相等,对应边也不一定成比例;两个等腰直角三角形相似.因为对应角相等,对应边成比例. 两个等腰三角形不一定相似;两个等边三角形相似.交流讨论你注意到没有,相似三角形的各对应角相等，各对应边对应成比例.在解题时的作用了吗?1、在下面的两组图形中,各有两个相似三角形,试确定x ,y ,m ,n 的值. 你准备如何去做?
x=32,y=20/3,m=80°,n=55°.如图，已知DE ∥ BC，则……若DE ∥ BC则∠DAE=∠BAC, ∠ADE=∠ A BC,
∠AED=∠ACB,
故△ADE∽ △ABC,若DE ∥ BC 则
∠A=∠D, ∠B=∠E,
∠ACB=∠DCE,若△ABC∽ △DEC,从上面的解答中，你获得了那些信息？ 平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似。相似三角形的预备定理这是两个极具代表性的
相似三角形基本模型：“A”型和“X” 型这个两个模型在今后学习的过程中作用很大,你可要认真噢！看过例题过后，你又有什么收获？例１ 如图，有一块呈三角形形状的草坪，其中一边的长是20m，在这个草坪的图纸上，这条边长5cm，其他两边的长度都是3.5cm。求该草坪其他两边的实际长度。 解: 草坪的实际形状和它在图纸上相应的形状相似.
所以实际的三角形与图上的三角形相似,且它们的相似比2000:5= 400:1.如果设其它两边的实际长度都是xcm,那么 例题欣赏x=3.5×400=1400(cm),
1400cm=14m.
所以,草坪其它两边的实际长度都是14m.例2 如图,已知DE ∥ BC,AE=50cm,EC=30cm,BC=70cm,
∠BAC=45°,∠ACB=40°.
(1)求∠AED和∠ADE的大小;(2)求DE的长.
解: 因为DE ∥ BC ，所以△ADE∽△ABC.
(1)由相似三角形对应角相等,得∠AED=∠C=40°.
在△ADE中, ∠ADE=180°-40°-45°=95°.（2）由相似三角形对应边成比例。得预备定理 平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似。 想一想,相似比等于1的两个三角形会是什么样的关系？三个角对应相等,三条边对应成比例的两个三角形, 叫做相似三角形(similar trianglec).
△ABC与△DEF相似,就记作:△ABC∽△DEF.
注意:要把表示对应角顶点的字母写在对应的位置上！
性质：相似三角形的各对应角相等,各对应边对应成比例.
如果△ ABC∽ △DEF,那么∠A = ∠D,∠B = ∠E,∠C = ∠F. 如图，分别根据下列已知条件和刚学得知识，试写出你能得出的结论。我思，我进步（1） DE ∥ BC；（1）（2）DE ∥AB；
（3）△ABC∽△ADE，其中∠ADE = ∠B（2）（3）23.4相似三角形华东师大版九年级（上册）相似三角形的判定方法1（第2课时） 1. 三个角对应_______,三条边对应——————的两个
三角形, 叫做相似三角形 相等成比例2. 相似三角形的———————, 各对应边——————。对应角相等成比例如果△ ABC∽ △DEF, 那么∠A=∠D, ∠B=∠E, ∠C=∠F1．任意画两个三角形△ABC， △A’B’C’，使其三组对角分别对应相等。2．用刻度尺量一量各边长，它们的对应边是否会成比例?与同伴交流，是否有相同结果。3．发现什么现象 ？ 如果一个三角形的三个角与另一个三角形的三个角对应相等，那么这两个三角形相似。 探索根据三角形内角和定理，我们知道如果两个三角形有两对角对应相等，那么第三对角也一定对应相等．
于是，我们可以得到识别两个三角形相似的一个较为简便的方法：两组对应角分别相等的两个三角形相似.相似三角形的识别方法1：
如果一个三角形的两角分别与另一个三角形的两角对应相等，那么这两个三角形相似．用数学符号表示：∵ ∠A=∠A'， ∠B=∠B'∴ ΔABC ∽ ΔA'B'C'下列图形中两个三角形是否相似？思 考能否再简便一些? 有一对角对应相等的两个三角形相似吗?例1 如图，在两个直角三角形△ABC和△A′B′C′中，∠B＝∠B′＝90°，∠A＝∠A′，证明这两个三角形是否相似． 证明：∵ ∠B＝∠B′＝90°（已知），
∠A＝∠A′（已知）， ∴ △ABC∽△A′B′C′（两组对应角分别相等的两个三角形相似）. 例2 如图，△ABC中，DE∥BC，EF∥AB，证明：△ADE∽△EFC.证明: ∵ DE∥BC （已知） ∴ ∠AED＝∠C （两直线平行，同位角相等）， ∴ ∠CEF＝∠A（两直线平行，同位角相等）∴ △ADE∽△EFC（两组对应角分别相等的两个三角形相似） 又∵ EF∥AB （已知）练习
1.已知，如图,要△ABC∽△ACD，
需要条件 .图2练习
2.已知，如图,要使ABE∽△ACD，
需要条件 .3．在△ABC与△A′B′C′中,∠A＝∠A′＝50°，∠B＝70°，∠B′＝70°，这两个三角形相似吗?∠A＝∠A′＝50° ∠B＝70°∠B′＝60°这两三角形仍然相似吗？ 超级变变变：ABCA′ B′ C′ 24.3相似三角形华东师大版九年级（上册）（第3课时）相似三角形的判定方法2、3 观察下图，如果有一点E在边AC上，那么点E应该在什么位置才能使△ADE与△ABC相似呢？知识探索 如果一个三角形的两条边与另一个三角形的两条边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似吗？ 利用刻度尺和量角器画两个三角形，使它们的两条对应边成比例，并且夹角相等．量一量第三条对应边的长，计算它们的比与前两条对应边的比是否相等．另两个角是否对应相等？你能得出什么结论？ABCDEF 如果一个三角形的两条边与另一个三角形的两条边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似． Flash探索二例题解析例 如图，证明图中△AEB和△FEC相似．证明: ∵ ∴ ∴ △AEB∽△FEC（如果一个三角形的两条边与另一个三角形的两条边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似）． ∵ ∠AEB＝∠FEC，如果两个三角形的三条边对应成比例，那么这两个三角形相似吗？感觉上应该是能“相似”了． 在下图的方格上任画一个三角形，再画出第二个三角形，使它的三边长都是原来三角形的三边长的相同倍数．画完之后，用量角器比较两个三角形的对应角，你发现了什么结论？大家的结论都一样吗？ Flash探索三例 在△ABC和△A′B′C′中，已知： AB＝6cm，BC＝8cm，AC＝10cm，A′B′＝18cm，B′C′＝24cm，A′C′＝30cm．试证明△ABC与△A′B′C′相似．证明 ∵ ∴ ∴ △ABC∽△A′B′C′（如果一个三角形的三条边和另一个三角形的三条边对应成比例，那么这两个三角形相似）． 丰收园通过本堂课的学习 我学会了… … 我感到困惑的是… … 我体会到… …4． 依据下列各组条件，判断△ABC和△A′B′C′是不是相似，如果相似，请给出证明过程．
（1） ∠A＝70°，∠B＝46°，∠A′＝70°，∠C′＝64°；
（2） AB＝10厘米，BC＝12厘米，AC＝15厘米，A′B′＝150厘米，B′C′＝180厘米，A′C′＝225厘米；
（3） ∠B=35°，BC=10，BC上的高AD=7，∠B′=35°，B′C′=5，B′C′上的高A′D′=3．5．习题24.324.3相似三角形华东师大版九年级（上册）相似三角形的性质（第4课时）画一画：请你在课本后面的方格纸图中，画出两个相似但不全等的三角形，再画一组对应高。 量一量：你画的两个相似三角形的相似比是多少？对应高AD与A1D1的比是多少？相似比与对应高的比相等吗？ 推一推：如果△ABC∽△A1B1C1相似比为k， AD、A1D1分别为BC、B1C1边上的高，那么AD、A1D1之间有什么关系？请说说你的理由。
想一想：如果AD，A1D1分别是相似三角形对应角平分线，对应中线，那么上述结论是否还成立？
1、相似三角形对应高的比等于相似比；
2、相似三角形对应中线的比等于相似比；
3、相似三角形对应角平分线的比等于相似比。相似三角形的性质：我们再仔细观察下面一组图形：图中(1)(2)(3)分别是边长为1、2、3的等边三角形，它们都相似吗？为什么？1﹕21﹕21﹕41﹕31﹕31﹕92﹕32﹕34﹕9从上表中可以看出，当相似比为k时，周长
比= ；面积比= 。kk21、相似三角形对应高的比等于相似比。
2、相似三角形对应中线的比等于相似比。
3、相似三角形对应角平分线的比等于相似比。相似三角形的性质：4、相似三角形周长的比等于相似比。
5、相似三角形面积的比等于相似比的平方。提示：相似多边形和相似三角形有同样的
性质。试一试：1、相似三角形对应边的比为3∶5 ,那么相似比为_________,对应角的角平分线的比为______,对应边的中线比为_______，周长的比为_____,面积的比为_______。3∶53∶53∶59∶253∶52、把一个三角形扩大成和它相似的三角形，
（1）如果把边长扩大为原来的10倍，那么面积扩大为原来的 倍。
（2）如果把面积扩大为原来的10倍，则边长应扩大为原来的 倍。100试一试：3、两个相似三角形对应的中线长分别是6cm和18cm，若较大三角形的周长是42cm，面积是12cm2,则较小三角形
的周长是 cm，面积 cm2。14试一试：4、如图，DF∥EG∥BC,且AD=DE=EB,则△ABC被分成的三部分的面积比S1:S2:S3为 。 S3BEDFGCS2AS1试一试：5、如图，△ABC中，点D,E,F分别在边AB，
AC，BC上，DF∥BC， EF∥AB ,
AF:FC=2 :3，S△ABC=S，
求平行四边形BEFD的面积。 试一试：ADEFBC6、如图；△ABC中，D为BC上一点，CE⊥AB于E，CF⊥AD于F，且AC:CD=BC:AC=k，试说明CE:CF=k.试一试：如图，已知梯形ABCD中，△ADM的面积为1，△CBM的面积为4，试求出图中尽可能多的三角形的面积。思维训练 你能说说今天在数学知识方面有哪些收获吗？小结：华东师大版九年级（上册）24.3相似三角形 相似三角形的应用（第5课时）神秘的埃及金字塔走进生活! 探索自然!相似三角形的应用相似三角形的判定（1）两个角对应相等的两三角形相似（2）两边对应成比例且夹角相等的
两三角形相似（3）三边对应成比例的两三角形相似复习6、相似三角形周长的比等于相似比5、相似三角形对应角平分线的比等于相似比复习4、相似三角形对应中线的比等于相似比7、相似三角形面积的比等于3、相似三角形对应高的比等于相似比1、相似三角形对应角相等2、相似三角形对应边成比例相似比的平方相似三角形的性质1. 如图(1)，在△ABC中，DE∥AC，BD=10，DA=15，BE=8，则EC=
.课前训练:BDECA2.如图(2),已知 ∠ 1 = ∠ 2,若再增加一个条件就能使结论“△ADE∽△ABC”成立,则这条件可以是(1)ADBE(2)C12解：设楼的高度为x米，由题意，得
例1 在同一时刻物体的高度与它的影长成正比例.在某一时刻,有人测得一高为1.8米的竹竿的影长为3米,某一高楼的影长为60米,那么高楼的高度是多少米? 解得x=36（米）答：楼的高度是36米。 测量学校旗杆的高度。
古埃及所有金字塔中最大的一座是第四王朝法老胡夫王的金字塔。这座大金字塔原高146.59m，经过几千年的风吹雨打，顶端被风化吹蚀了近10m。在巴黎埃菲尔铁塔完成之前，它一直是世界上最高的建筑物。这座金字塔的底面呈正方形，边长大约230m。但由于经过几千年的风吹雨打,顶端被风化吹蚀.所以高度有所降低 。 走近金字塔小小考古家: 埃及著名的考古专家穆罕穆德决定重新测量胡夫金字塔的高度.在一个烈日高照的上午.他和儿子小穆罕穆德来到了金字塔脚下,他想考一考年仅14岁的小穆罕穆德.给你一条2米高的木杆,一把皮尺,一面平面镜.你能利用所学知识来测出塔高吗?2米木杆皮尺平面镜古代一位数学家想出了一种测量金字塔高度的方法：如图所示，为了测量金字塔的高度DE，先竖一根已知长度的木棒BC, 比较棒子的影长FC与金字塔的影长AE，即可近似算出金字塔的高度. 如果BC＝2，FC＝4，AE＝274，求金字塔的高度DE.AF解 由于太阳光是平行光线，因此
∠DAE=∠BFC．
又因为 ∠DEF＝∠BCF＝90°．
所以 △ADE∽△FBC
DE∶BC＝AE∶FC，
DE＝ （米）
答:该金字塔高为137米．ACBDE┐┐例2 小丽用下面的方法来测量学校教学大楼AB的高度，如图，在水平面上放一面镜子，镜子与教学大楼的距离EA＝21米，当她与镜子的距离CE=2.5米时，她刚好能从镜子中看到教学大楼的顶端B，已知她的眼睛距地面高度DC=1.6米，请你帮助小计算出教学大楼AB的高度是多少米？ 探索:如图,有一边长为5cm的正方形ABCD和等腰△PQR,PQ=RP,PE=3cm,QR=8cm,点B,C,Q,R共线.当C与Q重合时, △PQR以1cm/s 的速度沿着直线l按箭头的方向匀速运动, t秒后正方形ABCD与△PQR重合部分的面积为Scm2 ABCDl(1)当t=3秒时,求S的值. G(2) t=5秒呢?
小小科学家:1.如图,铁道口的栏杆短臂长1m,长臂长16m,当短臂端点下降0.5m时,长臂端点升高 m? oBDCA┏┛(第1题)1m16m0.5m8给我一个支点我可以撬起整个地球!---阿基米德2. 小明在打网球时，使球恰好能打过网，而且落在离网5米的位置上，求球拍击球的高度h.
(设网球是直线运动)
(第2题)ADBCE┏┏小小科学家:oBDCA┏┛(第1题)1m16m0.5m(第2题)ADBCE┏┏问题二 如图，为了估算河的宽度，我们可以在河对岸选定一个目标作为点A，再在河的这一边选点B和C，使AB⊥BC，然后，再选点E，使EC⊥
BC，用视线确定BC和AE的交点D．此时如果测得BD＝120米，DC＝60米，EC＝50米，求两岸间的大致距离AB． 解: 因为∠ADB＝∠EDC，
∠ABC＝∠ECD＝90°
所以 △ABD∽△ECD，
那么
解得AB＝
＝
＝100（米）．
答： 两岸间的大致距离为100米． 小小设计家: 如图,钱塘江的一侧有A,B两个工厂.现要在江边建造一个水厂C,把水送到这两个工厂,要使供水管路线最短.这样可以节省成本.ABED1.请你设计一下水厂应该建造在哪里? 2.若AE=0.5千米,BD=1.5千米,且DE=3千米.求水厂C距离D处有多远? ..FC小小实践家:ABDCO有一如图所示的容器,现给出下列工具请测量出CD的长度1. 如图，是一池塘的平面图，请你利用相似三角形的知识，设计出一种测量A、B两点间距离的方案，并对这种方案作出简要的说明。解：如图在池塘外选一点P，连AP并延长，连BP并延长使 或其他值）， 则△ABP∽△CDP得 ，量出CD的长就可算出 AB的长。
小小实践家:液面木棒 如何来测量液面的高度呢?提供工具:
木棒(足够长),刻度尺DBCA小小实践家:液面BCA木棒ABCDEGD小小实践家:液面BCA木棒ABCDEGBCAEDD小小演说家: 通过本堂课的学习和探索，你学会了什么?
2. 谈一谈!你对这堂课的感受?
1. 在实际生活中, 我们面对不能直接测量物体的高度和宽度时. 可以把它们转化为数学问题,建立相似三角形模型,再利用对应边成比例来达到求解的目的!
2. 能掌握并应用一些简单的相似三角形模型. ⑴⑶⑷ 作 业1. 在同一时刻物体的高度与它的影长成正比例.在某一时刻,有人测得一高为1.8米的竹竿的影长为3米,某一高楼的影长为60米,那么高楼的高度是多少米?ABCED2. 小明要测量一座古塔的高度,从距他2米的一小块积水处C看到塔顶的倒影,已知小明的眼部离地面的高度DE是1.5米,塔底中心B到积水处C的距离是40米.求塔高?