6.1.1　空间向量的线性运算(word版含答案)

第6章
空间向量与立体几何
向量是具有大小和方向的量，这一概念既适用于平面，也适用于空间．空间向量的引入，为处理立体几何问题提供了新的视角，它是研究空间图形位置关系和度量问题的有力工具．本章我们在必修第二册“平面向量”的基础上，利用类比方法，学习空间向量的概念、运算(包括线性运算和数量积)、基本定理，并运用空间向量研究空间基本图形的平行、垂直等位置关系和距离、角度等度量问题．学习本章时应重视以下方面：第一，类比的方法．引导学生经历向量及其运算由平面向空间的推广过程．第二，直线的方向向量和平面的法向量的重要作用．第三，程序思想方法(即通性通法)．通过用向量法求空间角和距离的解决过程，体会程序思想方法的优越性．
本章重点提升学生的直观想象、数学运算、逻辑推理素养．
6.1.1　空间向量的线性运算
知识技能
1. 了解空间向量及其线性运算由平面向空间推广的过程，掌握空间向量的线性运算及其性质．
2. 掌握空间向量共线的概念及定理．
思想方法
类比平面向量及其线性运算，尝试研究空间向量及其线性运算，建构空间向量及其线性运算的知识结构，发现并归纳它们的异同点．
核心素养
1. 将平面向量向空间推广的过程中，提升逻辑推理素养．
2. 在线性运算中提升数学运算素养．
教学重点：空间向量的概念、空间向量的线性运算及其运算律．
教学难点：空间向量的线性运算及其运算律．
问题导引
预习教材P5～7，思考下面的问题：
1. 什么是空间向量？如何表示空间向量？
2. 空间向量线性运算的运算法则和运算律有哪些？
3. 共线向量定理的内容是什么？
4. 空间向量与前面所学的平面向量有什么共性内容？
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1. (多选)下列等式中正确的是(ABD)
A. a＋0＝a
B. a＋b＝b＋a
C. ＋＝0
D. ＝＋＋
2. 给出下列命题：
① 向量的长度与向量的长度相等；
② 若向量a与向量b平行，则a与b的方向相同或相反；
③ 两个有共同起点并且长度相等的向量的终点必相同；
④ 两个有共同终点的向量一定是共线向量；
⑤ 若向量与向量是共线向量，则A, B, C三点必在同一条直线上；
⑥ 有向线段就是向量，向量就是有向线段．
其中假命题有_4__个．
一、 问题情境
如图1，湖面上有三个景点O, A, B，一游艇将游客从景点O送至景点A，半小时后，游艇再将游客送至景点B.从景点O到景点A有一个位移，从景点A到景点B也有一个位移．
(图1)
问题1游客的位移与路程是否相同？(从大小与方向两方面考虑)
问题2游客的实际位移是什么？可以用什么数学概念来表示？
解　是向量，即＋＝.
(图2) (图3)
问题3如果游客还要到景点B下100m深处的海底世界D处游玩，游客实际发生的位移是什么？还是向量吗？它与上面的位移向量相同吗？为什么？
生：不同，因为O, A, B, D不在同一个平面内．
师：这就是我们今天要学习研究的内容——空间向量．(点题)
师：回忆一下平面向量的相关知识点，告诉我空间向量应该学习那些内容？用什么方法？
二、 数学建构
问题4空间向量与平面向量的相同点与不同点有哪些？[1]
1. 概念梳理
平面向量 空间向量
定义 既有大小又有方向的量
表示法 几何表示：―→ 字母表示：a,
向量的模 向量的大小
相同的向量 方向相同且大小相等的向量
相反向量 方向相反且大小相等的向量
单位向量 模长等于1的向量
2. 空间向量的线性运算(类比平面向量的线性运算)
(图4)
加法：a＋b＝＋＝；
减法：a－b＝－＝；
数乘：λa＝(λ∈R)．
3. 空间向量的运算律(类比平面向量的运算律)
　　　　　　
(图5)
(1) 加法交换律：a＋b＝b＋a；　
(2) 加法结合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)；
(3) 数乘分配律：λ(a＋b)＝λa＋λb(λ∈R)．
4. 共线(平行)向量
(1) 定义：如果表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，那么这些向量叫作共线向量或平行向量．
记作：a ∥b.
规定：零向量与任意向量共线．
(2) 共线向量定理：对空间任意两个向量a, b(a≠0), b与a共线的充要条件是存在实数λ，使b＝λa.
三、 数学运用
例1　(教材P6例1)如图，在三棱柱ABC A1B1C1中，M是BB1的中点．化简下列各式，并在图中标出化简得到的向量．
(例1)
(1) ＋； (2) ＋＋；
(3) －－.[2]
(见学生用书课堂本P1)
[处理建议]　运用向量加减法的三角形法则，若其中某个向量无法直接运用法则，则先将其化为适合法则的向量再运算．
[规范板书]　解　(1) ＋＝.
(2) 因为M是BB1的中点，所以＝.又＝，所以＋＋＝＋＝.
(3) －－＝－＝.
向量， ， ，如图所示．
　(1) ＋＋…＋An－1An＝；
(2) ＋＋…＋An－1An＋＝ 0　.
[题后反思]　注意：若有多个向量参与运算，按照“尾首相接，首尾相联”的原则进行运算.
例2　如图，在正方体ABCD A1B1C1D1中，点E是上底面A1B1C1D1的中心．若＝m＋n＋，求m, n的值．[3]
(见学生用书课堂本P2)
(例2)
[处理建议]　引导学生将问题转化为向量如何用向量， ， 表示，即可求得m, n的值．
[规范板书]　解　因为点E是上底面A1B1C1D1的中心，所以＝(＋)＝(＋)＝＋.又因为＋＝，所以m＝n＝.
　在平行六面体ABCD A′B′C′D′中，若＝x＋＋，则x＋y＋z＝_6__.
[规范板书]　解　在平行六面体ABCD A′B′C′D′中，＝＋＋，而＝x＋＋， 所以 得 所以x＋y＋z＝6.
[题后反思]　逆向思维及转化思想是解决数学问题常用的方法.
例3 如图，在三棱锥A BCD中，M是AD的中点，P是BM的中点，点Q在线段AC上，且AQ＝3QC.求证：PQ∥平面BCD.[4]
(见学生用书课堂本P2)
(例3)
[处理建议]　利用空间向量共线的定义，证明线线平行及线面平行问题．
[规范板书]　证明　过点P, Q分别作PS∥AD交BD于点S, QT∥AD交CD于点T，连接ST，则＝， ＝.因为＝，所以＝，所以四边形PQTS是平行四边形，则＝.所以PQ∥ST.又因为PQ 平面BCD, ST 平面BCD，所以PQ∥平面BCD.
[题后反思]　将立体几何中的平行问题化归为向量共线问题，是解决立体几何中证明题的常用方法．
　已知E, F, G, H分别为四面体ABCD的棱AB, BC, CD, DA的中点，且E, F, G, H四点共面，求证：BD∥平面EFGH.
(变式)
[规范板书]　证明　因为＝－＝－＝，所以EH∥BD.又因为EH 平面EFGH, BD 平面EFGH，所以BD∥平面EFGH.
例4 设e1，e2是空间两个不共线的非零向量，已知＝2e1＋ke2, ＝e1＋3e2, ＝2e1－e2，且A, B, D三点共线，求实数k的值．[5]
[处理建议]　A, B, D三点共线即＝λ，转化为向量共线问题进而求得k的值．
[规范板书]　解　＝e1＋3e2, ＝2e1－e2，故＝＋＝(e1＋3e2)＋(－2e1＋e2)＝－e1＋4e2. 因为A, B, D三点共线，所以＝λ，即2e1＋ke2＝λ(－e1＋4e2). 因为e1，e2是不共线的向量，所以 得k＝－8.
[题后反思]　点共线问题可转化为向量共线问题来求解，再充分运用向量共线的充要条件“a＝λb”和向量运算法则来解题．
　已知e1, e2是空间两个不共线的非零向量，且＝e1＋ke2, ＝e1＋3e2, ＝2e1－e2，若A, B, D三点共线，则k＝－4.
四、 课堂练习
1. 化简：＋＋＋＝ 0　.
2. 在正方体ABCD A1B1C1D1中，下面化简后为零向量的是(A)
A. ＋＋
B. －＋
C. ＋＋
D. ＋
3. (多选)已知正方体ABCD A1B1C1D1的中心为O，则下列结论正确的有(ACD)
A. ＋与＋是一对相反向量
B. －与－是一对相反向量
C. ＋＋＋与＋＋＋是一对相反向量
D. －与－是一对相反向量
4. 如图，在平行六面体ABCD A1B1C1D1中，G为△A1BD的重心．设＝a, ＝b, ＝c，则＝a＋b＋c.(用a, b, c表示)
　　(第4题)
提示　＝＋＝＋(＋)＝＋(－)＋(－)＝＋＋＝a＋b＋c.
5. 如图，已知四边形ABCD与ABEF都是平行四边形且不共面，M, N分别是AC, BF的中点，判断与是否共线．
(第5题)
解　由题意知＝＋＋＝＋＋， ＝＋＋＋＝－＋－－，两式相加得2＝， 所以与共线．
五、 课堂小结
1. 空间向量的基本概念、线性运算及其运算律．
2. 运用类比的思想，掌握平面向量与空间向量的异同点．
[1] 阅读教材P5～6，要求学生通读一遍，精读一遍，复读一遍，然后完成下表．
[2] 此题主要是帮助学生熟悉空间向量的线性运算，熟练掌握运算法则，为后续学习奠定扎实的基础.
[3] 此题注重培养学生的转化思维方式，进一步巩固空间向量的加法法则．
[4] 通过本题深化对共线向量定理的理解，并能够运用共线向量定理证明．
[5] 此题深化向量共线定理，将其与端点共线建立关联，引导学生举一反三，加深理解，提高学生数学运算素养．