函数的奇偶性1[上学期]
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课件13张PPT。2.3 函数的性质 ——奇偶性 我们看到这两个函数的图象都关于y轴对称，而且从刚才的演示中可以看出：当自变量x取一对相反数时，相应的两个函数值相同．
实际上，对于函数 ，在R内任意取一个x,都
有 ,比如：
同样的对于函数 ，在R内任意取一个x,都有
比如： ，
我们就说 与 都是偶函数．
通过我们刚才的分析，同学们能否给偶函数下个定义？ 一般地，如果对于函数 的定义域内任意一个x,都有 那么函数 就叫做偶函数，例如：
函数 ， 都是偶函数．
观察函数 和 的图象，并完成课本３８页的两个表格．
这两个函数的图象都是关于原点对称的．通过刚才的演示，我们知道当x取一对相反数时，相应的函数值也是一对相反数．
实际上，对于函数 ，在定义域R内任取一个x,都有
例如： ， .
同样对于函数 在其定义域 内任意
取一个x都有 .
例如: ,
这时我们说函数 与 为奇函数． 那么奇函数又该如何去定义？ 一般地，如果对于函数 的定义域内任意一个x,都有 ，那么函数 就叫做奇函数．
如函数 和 都是奇函数．说明⑴定义中的等式f(-x)=f(x)（或f(-x)=-f(x)）对定义域里的任意x都要成立，若只对个别x值成立，则不能说这函数是偶函数（或奇函数）；
⑵等式f(-x)=f(x)（或f(-x)=-f(x)）成立，除了表明函数值相等（或互为相反数）外，首先表明对定义域中的任意x来说，－x也应在定义域之中，否则f(－x)无意义；
⑶奇函数和偶函数的定义域必定是关于原点对称的，由此得结论：凡是定义域不关于原点对称的函数一定是非奇、非偶的函数. 二、函数奇偶性的判断方法 例1．判断下列函数是否具有奇偶性：观察常数函数f(x)=a(x∈R) 的图像，判断其奇偶性xxyy00a当a≠0时当a＝0时常数函数f(x)=a(x∈R)，当a≠0时是偶函数，当a=0时，它既是奇函数又是偶函数. 三、奇偶函数图象的性质定理 xy0xy0偶函数y=x2的图象关于y轴对称；奇函数y=x3的图象关于原点对称. 定理：⑴奇函数的图象关于原点对称，反过来， 若一个函数的图象关于原点对称，则这个函数是奇函数；
⑵ 偶函数的图象关于y轴对称，反过来，若一个函数的图象关于y轴对称，则这个函数是偶函数. 例2已知函数y=f(x)是偶函数，它在y轴的右边的图象如图所示，画出函数y=f(x)在y轴左边的图象. yx0小 结⒈要正确理解奇、偶函数的定义，一对实数x与-x必须同时在定义域内，f(x) 与f(-x)才能都有意义，奇、偶函数的定义才有意义，所以判断函数的奇偶性，必须先考虑定义域是否关于原点对称；
⒉奇偶函数的定义公式是判断奇偶函数的依据，有时需将原式变形，化为等价形式：
3.f(-x)=-f(x)或f(-x)+f(x)=0或f(-x)/f(x)=-1(f(x)≠0)；
4.f(-x)=f(x)或f(-x)-f(x)=0
或f(-x)/f(x)=1(f(x)≠0). 1、判断下列函数是否具有奇偶性
(1) f(x)=x4 (2)f(x)=2x+ (3) f(x)=x+ (4)f(x)=2x+1 f(x)=x (x=-2,-1,0,1,2)
2、已知函数y=f(x)是奇函数，它在y轴的右边的图象如图所示，画出函数y=f(x)在y轴左边的图象.
xy0练习:
实际上，对于函数 ，在R内任意取一个x,都
有 ,比如：
同样的对于函数 ，在R内任意取一个x,都有
比如： ，
我们就说 与 都是偶函数．
通过我们刚才的分析，同学们能否给偶函数下个定义？ 一般地，如果对于函数 的定义域内任意一个x,都有 那么函数 就叫做偶函数，例如：
函数 ， 都是偶函数．
观察函数 和 的图象，并完成课本３８页的两个表格．
这两个函数的图象都是关于原点对称的．通过刚才的演示，我们知道当x取一对相反数时，相应的函数值也是一对相反数．
实际上，对于函数 ，在定义域R内任取一个x,都有
例如： ， .
同样对于函数 在其定义域 内任意
取一个x都有 .
例如: ,
这时我们说函数 与 为奇函数． 那么奇函数又该如何去定义？ 一般地，如果对于函数 的定义域内任意一个x,都有 ，那么函数 就叫做奇函数．
如函数 和 都是奇函数．说明⑴定义中的等式f(-x)=f(x)（或f(-x)=-f(x)）对定义域里的任意x都要成立，若只对个别x值成立，则不能说这函数是偶函数（或奇函数）；
⑵等式f(-x)=f(x)（或f(-x)=-f(x)）成立，除了表明函数值相等（或互为相反数）外，首先表明对定义域中的任意x来说，－x也应在定义域之中，否则f(－x)无意义；
⑶奇函数和偶函数的定义域必定是关于原点对称的，由此得结论：凡是定义域不关于原点对称的函数一定是非奇、非偶的函数. 二、函数奇偶性的判断方法 例1．判断下列函数是否具有奇偶性：观察常数函数f(x)=a(x∈R) 的图像，判断其奇偶性xxyy00a当a≠0时当a＝0时常数函数f(x)=a(x∈R)，当a≠0时是偶函数，当a=0时，它既是奇函数又是偶函数. 三、奇偶函数图象的性质定理 xy0xy0偶函数y=x2的图象关于y轴对称；奇函数y=x3的图象关于原点对称. 定理：⑴奇函数的图象关于原点对称，反过来， 若一个函数的图象关于原点对称，则这个函数是奇函数；
⑵ 偶函数的图象关于y轴对称，反过来，若一个函数的图象关于y轴对称，则这个函数是偶函数. 例2已知函数y=f(x)是偶函数，它在y轴的右边的图象如图所示，画出函数y=f(x)在y轴左边的图象. yx0小 结⒈要正确理解奇、偶函数的定义，一对实数x与-x必须同时在定义域内，f(x) 与f(-x)才能都有意义，奇、偶函数的定义才有意义，所以判断函数的奇偶性，必须先考虑定义域是否关于原点对称；
⒉奇偶函数的定义公式是判断奇偶函数的依据，有时需将原式变形，化为等价形式：
3.f(-x)=-f(x)或f(-x)+f(x)=0或f(-x)/f(x)=-1(f(x)≠0)；
4.f(-x)=f(x)或f(-x)-f(x)=0
或f(-x)/f(x)=1(f(x)≠0). 1、判断下列函数是否具有奇偶性
(1) f(x)=x4 (2)f(x)=2x+ (3) f(x)=x+ (4)f(x)=2x+1 f(x)=x (x=-2,-1,0,1,2)
2、已知函数y=f(x)是奇函数，它在y轴的右边的图象如图所示，画出函数y=f(x)在y轴左边的图象.
xy0练习: