北师大版数学九年级下册 3.2 圆的对称性 课件(共26张PPT)

(共26张PPT)
第3章 圆
3.2 圆的对称性
创设情境，引入新课
等腰三角形是轴对称图形吗？它的对称轴是什么？
什么是轴对称图形？
创设情境，引入新课
如果以刚才演示的等腰三角形的顶点为圆心，腰长为半径作圆，那么圆是否是轴对称图形呢？
O
结论：
（1）圆是轴对称图形；
（2）经过圆心的每一条直线都是它的对称轴；
（3）圆的对称轴有无数条.
创设情境，引入新课
平行四边形绕对角线交点O旋转180°后，结果怎样？这样的图形叫做什么图形？
O
创设情境，引入新课
圆绕圆心O旋转180°后，结果怎样？
圆是以圆心为对称中心的中心对称图形.
O
A
B
创设情境，引入新课
圆绕圆心O旋转30°后，结果怎样？
O
A
B
创设情境，引入新课
圆绕圆心O旋转45°后，结果怎样？
O
A
B
创设情境，引入新课
圆绕圆心O旋转90°后，结果怎样？
不论圆绕圆心旋转多少度，都能够和原来的图形重合.
O
A
B
创设情境，引入新课
圆绕圆心O旋转任意角度α后，会发现什么？
圆的旋转不变性，即圆绕圆心旋转任意一个角度α，都能够与原来的图形重合.
O
A
B
创设情境，引入新课
圆心角：顶点在圆心上，角的两边与圆周相交的角叫做圆心角.如∠AOB.
弦心距：圆心到弦的垂线段的长度称为这条弦的弦心距.如线段OC.
概念：
O
A
B
C
探索新知
如图，先画一圆心角∠AOB，再画一圆心角∠A′OB′，如果∠AOB=∠A′OB′，作出它们所对的弦AB，A′B′和弦的弦心距OM，O′M′，请同学们大胆猜想，其余三组量 与 ，弦AB与A′B′，弦心距OM与OM′的大小关系如何？
AB=A′B′
OM=OM′
O
B′
A′
M′
A
B
M
探索新知
问题1：猜想是否正确，必须进行证明，怎样证明呢？
AB=A′B′ OM=OM′
O
B′
A′
M′
A
B
M
证明：因为圆的半径相等，且圆具有旋转不变性，又∠AOB=∠A′OB′ ，所以扇形AOB与扇形A′OB′ 旋转后能重合，点A与点A′重合，点B与点B′重合.
如何证明OM=OM′ ？
探索新知
问题2：既然等弧的定义是在同圆或等圆中，能够完全重合的弧叫等弧，那么用什么方法让弧重合呢？
O
B′
A′
M′
A
B
M
探索新知
圆心角、弧、弦、弦心距之间相等关系的定理：
在同圆或______中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对的弦的弦心距相等.
等圆
探索新知
已知⊙O与⊙O′为等圆，∠AOB=∠A′O′B′，OM与O′M′分别为AB与A′B′的弦心距，请回答：AB与A′B′，OM与O′M′还相等吗？为什么？
O
A
B
M
O′
A′
B′
M′
以上三组量仍然相等，因为两个等圆可以叠合成同圆.
探索新知
圆心角、弧、弦、弦心距之间相等关系的定理：
在同圆或______中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对的弦的弦心距相等.
等圆
为什么强调在“同圆或等圆中”呢？
O
A
B
C
D
探索新知
圆心角、弧、弦、弦心距之间相等关系的定理：
在同圆或______中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对的弦的弦心距相等.
等圆
条件：在同圆或等圆中，圆心角相等
结论：圆心角所对的弧相等；圆心角所对的弦相等；圆心角所对的弦的弦心距相等.
探索新知
定理是在同圆或等圆这个大前提下，已知圆心角相等，得出其余三组量相等，请同学们思考，在这个大前提下，把圆心角相等与三个结论中的任何一个交换位置，可以得到三个新命题，这三个命题是真命题吗？如何证明？
真命题
可利用旋转变换的思想证明
O
B′
A′
M′
A
B
M
探索新知
圆心角、弧、弦（弦心距）定理的推论：
在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦（两条弦的弦心距）中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等.
利用它可以证明圆心角相等、弦相等、弧相等.一般可以通过三组量中的一组量相等来证明其他各组量相等.
巩固应用
如图，在⊙O中，AB，CD是两条弦，OE⊥AB，OF⊥CD，垂足分别为E，F.
（1）如果∠AOB=∠COD，那么OE与OF的大小有什么关系？为什么？
（2）如果OE=OF，那么AB与CD的大小有什么关系？ 与 的大小有什么关系？∠AOB与∠COD呢？为什么？
O
A
E
B
C
D
F
巩固应用
如图，在⊙O中，AB，CD是两条弦，OE⊥AB，OF⊥CD，垂足分别为E，F.
（1）如果∠AOB=∠COD，那么OE与OF的大小有什么关系？为什么？
O
A
E
B
C
D
F
解：如果∠AOB=∠COD，那么OE=OF.
理由是：∵∠AOB=∠COD，∴AB=CD.
∵OE⊥AB，OF⊥CD，∴AE= AB，CF= CD. ∴AE=CF.
又∵OA=OC，∴Rt△OAE≌Rt△OCF.
∴OE=OF.
巩固应用
O
A
E
B
C
D
F
解：如果OE=OF，那么AB=CD，AB=CD，∠AOB=∠COD.
理由是：∵OA=OC，OE=OF， ∴Rt △OAE≌Rt△OCF.
∴AE=CF.
如图，在⊙O中，AB，CD是两条弦，OE⊥AB，OF⊥CD，垂足分别为E，F.
（2）如果OE=OF，那么AB与CD的大小有什么关系？ 与 的大小有什么关系？∠AOB与∠COD呢？为什么？
又∵OE⊥AB，OF⊥CD，∴AE= AB，CF= CD.
∴AB=2AE，CD=2CF.
∴AB=CD，AB=CD，∠AOB=∠COD.
1.这节课主要学习了两部分内容：一是证明了圆既是轴对称图形，也是中心对称图形，得到圆的特性——圆的旋转不变性；二是学习了在同圆或等圆中，圆心角、圆心角所对的弧、所对的弦、所对的弦的弦心距之间的关系定理及推论.这些内容是我们今后证明弧相等、弦相等、角相等的重要依据.
课堂小结
2.本节通过观察—猜想—论证的方法，从运动变化中发现规律，得出定理及推论，同时遵循由特殊到一般的思维认识规律，渗透了旋转交换的思想.
3.在运用定理及推论解题时，必须注意要有“在同圆或等圆中”这一前提条件.
课堂小结
教材第72~73页习题3.2第1，3题.
布置作业
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