华师大版 八年级数学上册 12.3.2 两数和（差）的平方 教案

完全平方公式 教学设计
一、教材内容的分析
（一）教材的地位和作用
完全平方公式是初中代数的一个重要组成部分，是学生在已经掌握单项式乘法、多项式乘法及平方差公式基础上的拓展，对以后学习因式分解、解一元二次方程、配方法、勾股定理及图形面积计算都有举足轻重的作用。本节内容共安排两个课时，本节课是其中第一个课时。
（二）教学目标的确定
1、经历探索完全平方公式的过程，熟悉完全平方公式的特征，进一步发展符号意识和推理能力，
2、会推导完全平方公式，并能运用完全平方公式进行简单计算。
3、使学生体会数、形结合的优势，培养学生数学建模的思想，发展几何直观能力。鼓励学生自己探索算法的多样化，有意识地培养学生的创新能力。
（三） 教学重难点
重点：体会完全平方公式的发现和推导过程，理解公式的本质，并会运用公式进行简单的计算。
难点：判别要计算的代数式是哪两个数的和(或差)的平方。
（四） 教（学）具准备
教师：多媒体课件.
学生：课前进行预习工作.
二、学生学情的分析
初一学生的抽象思维能力、逻辑思维能力、数学化能力有限，理解完全平方公式的几何解释、推导过程、结构特点有一定困难。所以教学中应尽可能多地让学生动手操作，突出完全平方公式的探索过程，自主探索出完全平方公式的基本形式，并用语言表述其结构特征，进一步发展学生的合情推理能力、合作交流能力和数学化能力。
三、教法学法的选择
（一）教法：由本节课实际，我采用自主探索，启发引导，合作交流展开教学，引导学生主动地进行观察、猜测、验证和交流。考虑到学生的认知方式、思维水平和学习能力的差异进行分层次教学，让不同层次的学生都能主动参与并都能得到充分的发展。边启发，边探索，边归纳，突出以学生为主体的探索性学习活动，遵循知识产生过程，从特殊→一般→特殊，将所学的知识用于实践中。
（二）学法：引导学生积极思维，鼓励学生进行合作学习，让每个学生都动口、动手、动脑，自己归纳出运算法则，培养学生学习的主动性和积极性。
四、教学过程
一 设问质疑，探究尝试
师：（出示多媒体课件）
1.观察下列算式及其运算结果，你有什么发现？（m+3）2 （2+3x）2= (m+3)(m+3) =(2+3x)(2+3x)=m2+3m+3m+9 =4+2×3x+2×3x+9x2=m2+2×3m+9 =4+2×2×3x+9x2=m2+6m+9 =4+12x+9x22.再举两例验证你的发现.
请同学们观察屏幕上两个算式及其运算结果，你有什么发现？
生：（观察、思考、交流、讨论、争相举手发表自己的发现）.
生1：我发现两个算式都是两个数和的平方，结果是三项，都有这两个数的平方.
师：很好.
生：我发现算式都是两个数和的平方，结果是这两个数的平方和，再加上这两个数的乘积的2倍.
师：太好了.同学们看一下是这么回事吗？
生：（齐声）是.
师：你能再举两例验证你的发现吗？
生:(积极动手、动脑，验证结论，派代表发言.)
师：同学们是否都验证了这个发现？
生：是.
师：你能用式子表示这个规律吗？
生：能.（举手）
生1：(a+b)2=a2+2ab+b2 .
师：（板书，进而问）你能验证这个规律吗？
生：（用多项式乘法验证了正确性）
师：用语言怎样叙述？
生：两数和的平方，等于它们的平方和加上它们的积的2倍.
师：（板书）（出示课件）
你能用图1-7解释这一公式吗？
生：（思考、讨论后，积极举手）
生1：和验证平方差公式一样，用两种方法表示图中大正方形的面积为：(a+b)2和a2+2ab+b2，这两个算式相等，就得到(a+b)2=a2+2ab+b2.
师：太棒了！
刚才，我们从数和形两个方面验证了这个规律的正确性，今后遇见形如(a+b)2的式子，就可以用这个公式来计算.如：
（m+3）2=m2+2×3 m+9=m2+6m+9.
比较一下两种做法，哪一种较简单？
生：用公式简单.
师：试着用公式计算：（2+3x）2 .
生：（动手计算，体会公式可以使运算简便.）
设计意图：通过特例的探索，引入完全平方公式，再让学生自己举例加深对公式的体会.而在计算图形的面积时，通过对比这些表示方式可以使学生对于公式有一个直观的认识.通过自主探究和交流学到了新的知识，学生的学习积极性和主动性得到大大的激发.
二 探究规律、形成结论
1.初识完全平方公式.
师：（出示课件）你能计算：(a－b)2 吗？
生：（思考、积极动脑，在练习本上试着计算.）
师：（巡视，发现两种不同解法，让这两名学生板演.）
生1：(a－b)2 = (a－b) (a－b)=a2－2ab+b2.
生2：(a－b)2=[a+(－b) ] 2=a2－2a(－b)+b2=a2－2ab+b2.
师：看这两个同学的做法是否正确？他们是怎样做的？
生：一个是利用多项式的乘法，一个是利用公式，把差的形式化成了和的形式，都正确.
师：很好！你能用语言描述一下这个结果吗？
生：两数差的平方，等于它们的平方和减去它们的积的2倍.
师：我们把这个规律也当成公式，和前面的公式合起来称为完全平方公式.请你体会一下“完全”的含义.
生：（七嘴八舌，最后形成统一意见）“全部”的意思.
师：我们把(a+b)2=a2+2ab+b2称为和的完全平方公式，(a－b)2 =a2－2ab+b2称为差的完全平方公式.
2. 再识完全平方公式.
师：你能分析一下完全平方公式的结构特点，并用语言进行完整地描述吗？
生：（讨论，争相回答）
生1: 结构特点：左边是二项式（两数和或差））的平方；
右边是两数的平方和加上（或减去）这两数乘积的2倍.
生2：两数和（或差）的平方，等于这两数的平方和加上（或减去）这两数积的2倍.
设计意图：让学生从代数运算的角度，推导出两数差的完全平方公式，并在此基础上加以总结，从而完善了完全平方公式，同时培养学生有条理的思考和语言表达能力.
三 学以致用、巩固新知
师：完全平方公式和平方差公式一样，也是整式乘法中的重要公式，应用它们可以使运算简便.（出示多媒体课件）
例1 用完全平方公式计算：
(1) (2x 3)2 ； (2) (4x+5y)2 ; (3) (mn a)2
生：分析算式的特点，找准谁相当于公式中的a，谁相当于公式中的b，试着用公式解题.
师：派两名同学板演，师生共同评价.
巩固练习.1.计算：
（1） ； （2） ；
（3）(2x2－3y2)2 ； （4）(n+1)2－n2 .
生：板演，师生共同评价.
师：发现学生有新解法，指名板演.
生：(n+1)2－n2＝（n +1+ n)( n +1 n) ＝（2n +1)
师：给出肯定，建议学生试着用这种解法做一做.
2.纠错练习：指出下列各式中的错误，并加以改正：
（1） (2a 1)2＝2a2 2a+1;
（2） (2a+1)2＝4a2 +1；
（3）(a 1)2＝a2 2a 1.
生：分析错误原因，并改正.
设计意图：对照公式，进行独立的简单计算，体会公式在解题中的应用，进一步熟悉公式.并通过小组交流，自我检验，巩固反馈.考察个人的实际运用能力，并及时查漏补缺.
例2 利用完全平方公式计算：
(1) (-2x+1)2 ； (2) (-1-2x)2
师：指导学生分析算式特点.
生：找出相当于公式中a与b的数或式，试着解答.
设计意图：例2是对课本内容的补充，使学生从更深的一个角度来认识完全平方公式，防止解题时中间项的符号出现问题，并能在解题中通过灵活的变形来运用公式，解决问题.教学时，首先放手让学生独立来解决第一个题目，学生可能出错较多，且都集中在中间项的符号上，由此引出有进一步认识公式的必要，从而教师引导学生再次观察题目，仔细分析题目当中谁相当于公式当中的a与b，从而运用不同的方法和思路，解决问题.在解题过程中学生认识到了解决问题之前恰当选择公式和正确分析题目的必要性，学习的积极性再次被激发.
四 总结串联，纳入系统
师：引导学生从完全平方公式和平方差公式不同和解题过程中要注意的事项两方面总结本节课所学内容.
生：分析.
1.完全平方公式和平方差公式不同：
（1）形式不同．
（2）结果不同：完全平方公式的结果是三项，即 (a b)2＝a2 2ab+b2；
平方差公式的结果是两项， 即(a+b)(a b)＝a2 b2.
2. 解题过程中要准确确定a和b，对照公式原形的两边, 做到不丢项、不弄错符号、2ab时不少乘2.
设计意图：课堂小结并不只是课堂知识点的回顾，要尽量让学生畅谈自己的切身感受，教师对于发言进行鼓励，进一步梳理本节所学，更要有所思考，达到对所学知识巩固的目的.
板书设计
1.6 完全平方公式（1）
完全平方公式： (a b)2＝a2 2ab+b2 两数和（或差）的平方，等于这两数的平方和加上（或减去）这两数积的两倍. 例题 练习
教学设计反思
有前一节平方差公式的学习做基础，绝大多数学生能够很顺利地进行自主探究和用图形验证和的完全平方公式，并从中建立了数形结合的意识.关于差的完全平方公式的几何解释，本节课没有让学生给出完全平方差公式的几何验证方法，放到课下进行探索，是为了降低难度.
本节课的不足之处在于：
一：在公式探索过程中没有给与学生足够的时间让其充分思考，不够信任学生，过于担心学生的能力，从而导致教师讲的太多，遏制了学生的思维发展，没有真正意义上培养学生的数学能力和数学素养。
二：处理达标检测题目的时间有些紧，原因是学生对完全平方式的理解不是很好，变式训练题用的时间稍多一些，建议把变式训练放到课下探究，本节课练好完全平方公式的基本使用方法才是重点。.
b
b
a
a
图1-7
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