1.1 集合的概念与表示(共42张PPT)

(共42张PPT)
第一章
1.1 集合的概念与表示
1.通过实例了解集合的含义；理解元素与集合的属于关系.
2.记住常用数集的表示符号，并会应用.
课标要求
素养要求
通过集合概念及元素与集合关系的学习，培养数学抽象素养，提升数学运算素养.
课前预习
课堂互动
分层训练
内容索引
课前预习
知识探究
1
1.集合与元素
(1)一般地，一定范围内某些________、________对象的全体组成一个集合，常用大写字母A，B等表示集合.
(2)集合中的____________称为该集合的元素，简称元，常用小写字母a，b等表示元素.
(3)集合中元素的特性：________、________、________.
确定的
不同的
每一个对象
确定性
互异性
无序性
2.元素与集合的关系
知识点 关系 概念 记法 读法
元素与 属于 如果a是集合A中的元素，就说a______A ________ “a属于A”
集合的关系 不属于 如果a不是集合A中的元素，就说a________A ________ “a不属于A”
属于
a∈A
不属于
a A
3.常用数集及表示符号
名称 自然数集 正整数集 整数集 有理数集 实数集
记法 ____ ____________ ____ ____ ____
N
N*或N＋
Z
Q
R
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点睛
对元素与集合的关系的理解
(1)a∈A与a A这两种有且只有一种成立.
(2)集合具有两方面的意义，即凡是符合条件的对象都是它的元素；只要是它的元素必须符合条件.　
1.思考辨析，判断正误
(1)漂亮的花可以组成集合.( )
提示　“漂亮的花”具有不确定性，故不能组成集合.
(2)元素1，2，3和元素3，2，1组成的集合不是同一集合.( )
提示　集合中的元素具有无序性，所以元素1，2，3和元素3，2，1组成的集合是同一集合.
(3)若直线y＝x＋1上的所有点构成集合A，则点(1，2)∈A.( )
(4)若a∈Q，则一定有a∈R.( )
×
×
√
√
B
2.考察下列每组对象，能构成集合的是(　　)
①中国各地的美丽乡村；
②直角坐标系中横、纵坐标相等的点；
③不小于3的自然数；
④截止到2020年1月1日，参加“一带一路”的国家.
A.③④ B.②③④
C.②③ D.②④
解析　①中“美丽”标准不明确，不符合确定性，②③④中的元素标准明确，均可构成集合，故选B.
3.已知1，x，x2三个实数构成一个集合，则x满足的条件是(　　)
A.x≠0 B.x≠1
C.x≠±1 D.x≠0且x≠±1
解析　根据集合中元素的互异性，
D
4.用“∈”或“ ”填空.
课堂互动
题型剖析
2
题型一　集合概念的理解
【例1】　考察下列每组对象能否构成一个集合.
(1)不超过20的非负数；
(2)方程x2－9＝0在实数范围内的解；
(3)某班的所有高个子同学；
解　(1)对任意一个实数能判断出是不是“不超过20的非负数”，所以能构成集合；
(2)能构成集合；
(3)“高个子”无明确的标准，对于某个人算不算高个子无法客观地判断，因此不能构成一个集合；
思维升华
判断给定的对象能不能构成集合，关键在于是否给出一个明确的标准，使得对于任何一个对象，都能按此标准确定它是不是给定集合的元素.
【训练1】　(1)下列说法中正确的有________(填序号).
①单词book的所有字母组成的集合的元素共有4个；
②集合M中有3个元素a，b，c，如果a，b，c是△ABC的三边长，则△ABC不可能是等腰三角形；
③将小于10的自然数按从小到大的顺序排列和按从大到小的顺序排列分别得到不同的两个集合.
解析　①不正确.book的字母o有重复，共有3个不同字母，元素个数是3.
②正确.集合M中有3个元素a，b，c，所以a，b，c互不相等，它们构成的三角形三边互不相等，故不可能是等腰三角形.
③不正确.小于10的自然数不管按哪种顺序排列，里面的元素都是0，1，2，3，4，5，6，7，8，9这10个数，集合是相同的，和元素的排列顺序无关.
②
(2)下列各组对象可以组成集合的是(　　)
A.数学必修第一册课本中所有的难题
B.小于8的所有素数
C.直角坐标平面内第一象限的一些点
D.所有小的正数
解析　A中“难题”的标准不确定，不能构成集合；B能构成集合；C中“一些点”无明确的标准，对于某个点是否在“一些点”中无法确定，因此“直角坐标平面内第一象限的一些点”不能构成集合；D中“小”没有明确的标准，所以不能构成集合.
B
题型二　元素与集合的关系
【例2】　用符号“∈”或“ ”填空：


∈

∈
思维升华
符号“∈”“ ”仅可用来表示元素与集合的关系，有且只有其中的一种情况成立，a∈A还是a A取决于a是不是集合A中的元素.
解析　(1)①正确；②③④不正确.
(2)集合M中的元素是第二象限的点，而2是实数，故2 M.点(－2，1)是第二象限内的点，故(－2，1)∈M.而(1，3)在第一象限，∴(1，3) M.
(2)已知集合M是由平面直角坐标系中所有第二象限的点组成的集合，则2________M；(－2，1)________M；(1，3)________M.(填“ ”或“∈”)
A.1 B.2 C.3 D.4
A

∈

题型三　集合中元素的性质及应用
【例3】　已知集合A有三个元素：a－3，2a－1，a2＋1，集合B也有三个元素：0，1，x.
(1)若－3∈A，求a的值；
(2)若x2∈B，求实数x的值；
解　(1)由－3∈A且a2＋1≥1，
可知a－3＝－3或2a－1＝－3，
当a－3＝－3时，a＝0；当2a－1＝－3时，a＝－1.
经检验，0与－1都符合要求.
∴a＝0或－1.
(2)由x2∈B，得x2＝0或x2＝1或x2＝x，
∴x＝0，1，－1.
但考虑到集合元素的互异性，x≠0且x≠1，故x＝－1.
若a－3＝0，则a＝3，A包含的元素为0，5，10，与集合B中元素不相同.
(3)是否存在实数a，x，使集合A与集合B中元素相同？
解　显然a2＋1≠0.由集合元素的无序性，只可能a－3＝0或2a－1＝0.
故不存在实数a，x，使集合A与集合B中元素相同.
集合中的元素是确定的、互异的、没有顺序的.其中互异性主要体现在求出参数后要代入检验，同一集合中的元素要互不相等.元素的无序性主要体现在：给出元素属于某集合，它可能表示集合中的任一元素.
思维升华
所以a2 021＋b2 021＝(－1)2 021＋0＝－1.
1.记牢3个知识点
(1)元素与集合的概念，元素与集合的关系.
(2)常用数集的表示.
(3)集合中元素的特性及应用.
2.掌握2种方法
(1)元素与集合关系的判定方法.
(2)解答含有字母的元素与集合关系的问题时，要有分类讨论意识.
3.注意1个易错点
集合中的元素具有三个特性，求解与集合有关的字母参数值(范围)时，需借助元素的互异性来检验所求参数是否符合要求.
课堂小结
分层训练
素养提升
3
B
一、选择题
1.以下各组对象不能组成集合的是(　　)
A.中国古代四大发明
B.地球上的小河流
C.方程x2－7＝0的实数解
D.周长为10 cm的三角形
解析　因为没有明确的标准确定什么样的河流称为小河流，故地球上的小河流不能组成集合.
2.若a是R中的元素，但不是Q中的元素，则a可以是(　　)
D
3.(多选题)下列说法正确的是(　　 )
A.N中最小的元素是1
B.由单词“banana”中的所有字母组成的集合中有3个元素
C.若x∈N，则满足2x－5<0的元素组成的集合中的所有元素之和为3
D.在直角坐标系中，在坐标轴上的所有点组成一个集合
解析　N表示自然数集，最小的元素是0，故A错；B正确，元素分别为字母b，a，n；C中，由2x－5<0且x∈N，知x＝0，1，2，故所有元素之和为3，正确；D正确.
BCD
D
4.若a，b，c，d为集合A的四个元素，则以a，b，c，d为边长构成的四边形可能是(　　)
A.矩形 B.平行四边形
C.菱形 D.梯形
解析　由集合中的元素具有互异性可知a，b，c，d互不相等，而梯形的四条边可以互不相等，故选D.
C
5.由a2，2－a，4组成一个集合A，且集合A中含有3个元素，则实数a的取值可以是(　　)
A.1 B.－2 C.－1 D.2
解析　由题意知a2≠4，2－a≠4，a2≠2－a，解得a≠±2，且a≠1，结合选项知C正确，故选C.

二、填空题
6.已知集合M中有2个元素x，2－x，若－1 M，则3________M，1________M.(用∈， 填空)
解析　若3∈M，则－1∈M，不合题意，故3 M.当x＝1时，2－x＝1，M中的两元素为1，1，不合题意，故1 M.

3
7.已知集合A是由0，m，m2－3m＋2三个元素构成的集合，且2∈A，则实数m＝________.
解析　由题意知，m＝2或m2－3m＋2＝2，
解得m＝2或m＝0或m＝3.经验证，
当m＝0或m＝2时，不满足集合中元素的互异性，
当m＝3时，满足题意，故m＝3.

8.用∈， 填空：
(1)0________N*；
(2)π________Q；

∈
∈
三、解答题
9.已知集合A中的元素为0，2，4，2－a，若a2－a＋2∈A，求实数a.
解　(1)若a2－a＋2＝0，无解；
(2)若a2－a＋2＝2，即a2－a＝0，∴a＝0或1.
但a＝0时，2－a＝2，不满足元素互异性，舍去，a＝1满足；
(3)若a2－a＋2＝4，即a2－a－2＝0，a＝2或a＝－1.
但a＝2时，2－a＝0，不满足元素互异性，舍去，a＝－1满足；
(4)若a2－a＋2＝2－a，a＝0，由以上可知不满足题意.
综上，a＝1或－1.
10.已知集合A中的元素x满足ax2－3x＋1＝0，a∈R.
(1)若1∈A，求实数a的值；
(2)若A为单元素集合，求实数a的值；
解　(1)∵1∈A，∴a·12－3×1＋1＝0，∴a＝2.
当a≠0时，要使A为单元素集合，则方程ax2－3x＋1＝0有两个相等的实数根，
(3)若A为双元素集合，求实数a的取值范围.
解　若A为双元素集合，则方程ax2－3x＋1＝0有两个不相等的实数根，
∴a≠0且Δ＝(－3)2－4a＞0，
2
3
0
且3个元素的和为2＋(－2)＋0＝0.
即a2＋a－1＝0，
(1)若2∈A，任意写出A中的两个元素；
(2)若A为单元素集合，求实数a.
23
14.对于任意两个自然数m，n，定义 运算如下：当m，n都为奇数或偶数时，m n＝m＋n；当m，n中一个为偶数，另一个为奇数时，m n＝mn，则在此定义下，集合M中满足a b＝18，a∈N，b∈N的元素(a，b)个数为________.
解析　a b＝18，a∈N，b∈N，若a和b一奇一偶，则ab＝18，满足此条件的有1×18＝2×9＝3×6，故(a，b)有6个；若a和b都为奇数或偶数，则a＋b＝18，满足此条件的有1＋17＝2＋16＝3＋15＝4＋14＝……＝17＋1，故(a，b)有17个，所以集合M中满足a b＝18，a∈N，b∈N的元素(a，b)个数为6＋17＝23.
本节内容结束