1.1.2　集合的表示方法(共41张PPT)

(共41张PPT)
1.1.2　集合的表示方法
1.掌握集合的常用表示方法：列举法和描述法.
2.学会选择合适的方法表示集合，理解集合的相等、有限集、无限集等概念.
课标要求
素养要求
在集合表示方法的选择中，经历由具体到抽象、由自然语言和图形语言到符号语言的表达过程，发展学生的数学抽象素养和数学运算素养.
课前预习
课堂互动
分层训练
内容索引
课前预习
知识探究
1
1.集合的常用表示方法
(1)列举法：将集合的元素__________出来，并置于花括号“{}”内.用这种方法表示集合，元素之间要用逗号分隔，但列举时与元素的次序无关.
(2)描述法：将集合的所有元素都具有的性质(满足的条件)表示出来，写成_____________的形式.其中x为集合的__________.p(x)指元素x具有的性质.
一一列举
{x|p(x)}
代表元素
2.为了直观地表示集合，常画一条封闭的曲线，用__________来表示一个集合，称为Venn图.
3.含有________元素的集合称为有限集，含有________元素的集合称为无限集，不含任何元素的集合称为______，记作____.
4.如果两个集合所含的元素__________，那么称这两个集合相等.
它的内部
有限个
无限个
空集

完全相同
点睛
描述法的几点说明
①竖线前写清代表元素的符号，竖线后用简明、准确的语言描述元素的共同特征.
②同一个集合可以有不同的表述形式，如{x|x≥0}，{y|y≥0}，{y|y＝x2，x∈R}表示同一个集合.
1.思考辨析，判断正误
(1)由1，1，2，3组成的集合可用列举法表示为{1，1，2，3}.( )
提示　集合中的元素不能重复，是互异的.
(2)集合{(1，2)}中的元素是1和2.( )
提示　(1，2)是集合中的元素.
提示　两集合的代表元素不同.
(4)列举法不可以表示无限集.( )
提示　列举法可以表示有限集，也可以表示无限集.若集合中元素个数较多或无限多，但呈现一定的规律性，在不致发生误解的情况下，也可列出几个元素作为代表，其他元素用省略号表示.
×
×
×
×
AC
2.(多选题)实数1是下面哪一个集合中的元素(　　)
解析　A中，x＝1满足x＝|x|；
B中，x＝1不满足－1＜x＜1；
3.用列举法表示集合{x|x2－2x＋1＝0}为(　　)
A.{1，1} B.{1}
C.{x＝1} D.{x2－2x＋1＝0}
解析　方程x2－2x＋1＝0的解为x1＝x2＝1，故集合{x|x2－2x＋1＝0}用列举法表示为{1}.
B
4.设a，b为实数，已知M＝{1，2}，N＝{a，b}且M＝N，则a，b的值为
_________________.
课堂互动
题型剖析
2
题型一　列举法表示集合
【例1】　用列举法表示下列集合：
(1)不大于10的非负偶数组成的集合；
(2)方程x2＝2x的所有实数解组成的集合；
(3)直线y＝2x＋1与y轴的交点所组成的集合；
(4)由所有正整数构成的集合.
解　(1)因为不大于10是指小于或等于10，非负是大于或等于0的意思，所以不大于10的非负偶数集是{0，2，4，6，8，10}.
(2)方程x2＝2x的解是x＝0或x＝2，所以方程的解组成的集合为{0，2}.
(3)将x＝0代入y＝2x＋1，得y＝1，即所求交点是(0，1)，故交点组成的集合是{(0，1)}.
(4)正整数有1，2，3，…，所求集合为{1，2，3，…}.
思维升华
用列举法表示集合应注意的两点
(1)应先弄清集合中的元素是什么，是数还是点，还是其他元素.
(2)若集合中的元素是点时，则应将有序实数对用小括号括起来表示一个元素.
【训练1】　用列举法表示下列给定的集合：
(1)大于1且小于6的整数组成的集合A；
(2)方程x2－9＝0的实数根组成的集合B；
(3)一次函数y＝x＋2与y＝－2x＋5的图象的交点组成的集合C.
解　(1)因为大于1且小于6的整数包括2，3，4，5，
所以A＝{2，3，4，5}.
(2)方程x2－9＝0的实数根为－3，3，
所以B＝{－3，3}.
所以一次函数y＝x＋2与y＝－2x＋5的交点为(1，3)，
所以C＝{(1，3)}.
题型二　描述法表示集合
【例2】　用描述法表示下列集合：
(1)正偶数集；
(2)被3除余2的正整数集合；
(3)平面直角坐标系中坐标轴上的点组成的集合.
解　(1)偶数可用式子x＝2n，n∈Z表示，但此题要求为正偶数，故限定n∈N*，所以正偶数集可表示为{x|x＝2n，n∈N*}.
(2)设被3除余2的数为x，则x＝3n＋2，n∈Z，但元素为正整数，故n∈N，所以被3除余2的正整数集合可表示为{x|x＝3n＋2，n∈N}.
(3)坐标轴上的点(x，y)的特点是横、纵坐标中至少有一个为0，即xy＝0，故平面直角坐标系中坐标轴上的点的集合可表示为{(x，y)|xy＝0}.
思维升华
利用描述法表示集合应关注三点
(1)写清楚该集合代表元素的符号.例如，集合{x|x<1}不能写成{x<1}，且要分清是点集还是数集.
(2)所有描述的内容都要写在花括号内.例如，{x|x＝2k}，k∈Z，这种表示方式就不符合要求，需将k∈Z也写进花括号，即{x|x＝2k，k∈Z}.
(3)不能出现未被说明的字母.
【训练2】　试用描述法表示下列集合.
(1)方程x2－2＝0的所有实数根组成的集合；
(2)由大于10且小于20的所有整数组成的集合；
(3)二次函数y＝x2－2图象上的所有点组成的集合.
解　(1)设方程x2－2＝0的实数根为x，并且满足条件x2－2＝0，因此，用描述法表示为{x∈R|x2－2＝0}.
(2)设大于10且小于20的整数为x，它满足条件x∈Z，且10(3)二次函数y＝x2－2图象上的所有的点用描述法表示为{(x，y)|y＝x2－2}.
题型三　集合表示方法的综合应用
【例3】　已知集合A＝{x|kx2－8x＋16＝0}，若集合A中只有一个元素，求实数k的值组成的集合.
解　①当k＝0时，方程kx2－8x＋16＝0变为－8x＋16＝0，解得x＝2，满足题意；
②当k≠0时，要使集合A＝{x|kx2－8x＋16＝0}中只有一个元素，则方程kx2－8x＋16＝0有两个相等的实数根，所以Δ＝64－64k＝0，解得k＝1，此时集合A＝{4}，满足题意.
综上所述，k＝0或k＝1，
故实数k的值组成的集合为{0，1}.
(1)若已知集合是用描述法给出的，读懂集合的代表元素及其属性是解题的关键，如本例集合A中的元素就是所给方程的根，由此便把集合的元素个数问题转化为方程的根的个数问题.
(2)在学习过程中要注意数学素养的培养，如本例中用到了等价转化思想和分类讨论的思想.
思维升华
【训练3】　已知A＝{x|x2＋px＋q＝x}，B＝{x|(x－1)2＋p(x－1)＋q＝x＋3}，当A＝{2}时，求集合B.
解　∵A＝{x|x2＋px＋q＝x}＝{2}，
∴方程x2＋px＋q＝x有两个相等实根x＝2，
∴B＝{x|(x－1)2＋p(x－1)＋q＝x＋3}＝{x|x2－6x＋5＝0}＝{1，5}.
1.掌握2种方法——列举法和描述法
表示一个集合可以用列举法，也可以用描述法.一般地，若集合元素为有限个，常用列举法，集合元素为无限个，多用描述法.
2.注意1个易错点——点集与数集的区别
处理描述法给出的集合问题时，首先要明确集合的代表元素，特别要分清数集和点集.　
课堂小结
分层训练
素养提升
3
B
一、选择题
1.下列各组集合中表示同一集合的是(　　)
A.M＝{(3，2)}，N＝{(2，3)}
B.M＝{3，2}，N＝{2，3}
C.M＝{(x，y)|x＋y＝1}，N＝{y|x＋y＝1}
D.M＝{3，2}，N＝{(3，2)}
解析　由于集合中的元素具有无序性，故{3，2}＝{2，3}.
解析　方程组解的形式是有序实数对，故可排除A，B，而D中的用描述法表示集合的形式不正确，排除D.
A.{x＝3，y＝0} B.{3}
C.{(3，0)} D.{(x，y)|(3，0)}
C
3.集合{(x，y)|y＝2x－1}表示(　　)
A.方程y＝2x－1
B.点(x，y)
C.平面直角坐标系中的所有点组成的集合
D.函数y＝2x－1图象上的所有点组成的集合
解析　集合{(x，y)|y＝2x－1}的代表元素是(x，y)，x，y满足的关系式为y＝2x－1，因此集合表示的是满足关系式y＝2x－1的点组成的集合，故选D.
D
ABC
4.(多选题)下列说法中不正确的是(　　 )
解析　对于A，由x3＝x，即x(x2－1)＝0，得x＝0或x＝1或x＝－1.因为－1 N，所以集合{x∈N|x3＝x}用列举法表示应为{0，1}.
对于B，集合表示中的符号“{　}”已包含“所有”“全体”等含义，而符号“R”表示所有的实数构成的集合，所以实数集正确的表示应为{x|x为实数}或R.
对于D，由(x－2)2＋(y＋3)2＝0，得x－2＝0，y＋3＝0，解得x＝2，y＝－3，故集合为{(2，－3)}.
D
5.对集合{1，5，9，13，17}用描述法来表示，其中正确的是(　　)
A.{x|x是小于18的正奇数}
B.{x|x＝4k＋1，k∈Z，且k<5}
C.{x|x＝4t－3，t∈N，且t≤5}
D.{x|x＝4s－3，s∈N*，且s≤5}
解析　对于x＝4s－3，当s依次取1，2，3，4，5时，恰好对应的x的值为1，5，9，13，17.
{1，2，3，4}
二、填空题
6.集合{x∈N*|x－3<2}用列举法可表示为__________________.
解析　{x∈N*|x－3<2}＝{x∈N*|x<5}＝{1，2，3，4}.
{x|x＝2n，n∈N*}
7.由能被2整除的正整数组成的集合，用描述法可表示为__________________.
解析　正整数中所有的偶数均能被2整除.
{0，1}
8.已知集合A＝{－1，0，1}，集合B＝{y|y＝|x|，x∈A}，则B＝________.
解析　∵x∈A，∴当x＝－1时，y＝|x|＝1；
当x＝0时，y＝|x|＝0；当x＝1时，y＝|x|＝1.
∴B＝{0，1}.
三、解答题
9.用适当的方法表示下列集合，并指出哪些是有限集，哪些是无限集.
(1)大于1且小于70的正整数构成的集合；
(2)方程x2－x＋2＝0的实数解构成的集合.
解　(1)设大于1且小于70的正整数构成的集合为A，
则可用描述法表示为A＝{x|1(2)设方程x2－x＋2＝0的实数解构成的集合为B，
因为Δ＝1－8＝－7<0，
所以该方程无实数解，即集合B中不存在任何元素，
所以B＝ .B是有限集.
10.用指定的方法表示下列集合[(1)(2)用列举法，(3)(4)用描述法]：
(1)M＝{(x，y)|x＋y＝4，x∈N*，y∈N*}；
所以M＝{(1，3)，(2，2)，(3，1)}.
解　(1)由x＋y＝4，x∈N*，y∈N*，
所以所求集合为{(3，－2)}.
(3)大于3的全体偶数构成的集合；
(4)平面直角坐标系中，x轴上的所有点.
解　(3)所求集合为{x|x＝2k，k>1，且k∈N*}.
(4)所求集合为{(x，y)|y＝0，x∈R}.
D
此时x＝5，4，2，－2，即A＝{5，4，2，－2}.
A.{－2} B.{－2，2}
C.{－2，2，4} D.{－2，2，4，5}
不是
12.若一数集的任一元素的倒数仍在该集合中，则称该数集为可倒数集，则集
合A＝{－1，1，2}________(填“是”或“不是”)可倒数集.试写出一个含三个元素的可倒数集_________(答案不唯一).
13.下列三个集合：
A＝{x|y＝x2＋1}，B＝{y|y＝x2＋1}，C＝{(x，y)|y＝x2＋1}.
(1)它们是不是相同的集合？
(2)它们各自的含义分别是什么？
解　(1)不是.
(2)集合A＝{x|y＝x2＋1}的代表元素是x，且x∈R，所以{x|y＝x2＋1}＝R，即A＝R，可以认为集合A表示函数y＝x2＋1中自变量的取值范围；
集合B＝{y|y＝x2＋1}的代表元素是y，满足条件y＝x2＋1的y的取值范围是y≥1，所以{y|y＝x2＋1}＝{y|y≥1}，可以认为集合B表示函数y＝x2＋1中因变量的取值范围.
集合C＝{(x，y)|y＝x2＋1}的代表元素是(x，y)，是满足y＝x2＋1的数对.
可以认为集合C是由坐标平面内函数y＝x2＋1图象上的点(x，y)构成的.
解　集合S中的元素不能只有一个.理由如下：
(2)在集合S中，元素能否只有一个？若能，把它求出来，若不能，请说明理由.
∵Δ＝(－1)2－4＜0，
因此集合S中不可能只有一个元素.
本节内容结束