1.2.1　全集、补集(共37张PPT)

(共37张PPT)
1.2.2　全集、补集
1.理解全集、补集的概念.
2.会求给定子集的补集.
课标要求
素养要求
学会运用图形语言、符号语言、自然语言表达全集、补集及相互转换.培养数学抽象素养和数学运算素养.
课前预习
课堂互动
分层训练
内容索引
课前预习
知识探究
1
1.全集
如果一个集合包含我们所研究问题中涉及的__________，那么就称这个集合为全集.全集通常记作____.
2.补集
设A S，由S中__________的所有元素组成的集合称为S的子集A的补集，记为________ (读作“A在S中的补集”)，即 SA＝____________________.
所有元素
U
不属于A
SA
{x|x∈S且x A}
点睛
对全集和补集的理解
(1)全集不是固定不变的，它因所研究问题而异.
(2)补集是相对全集而言的，二者缺一不可.
1.思考辨析，判断正误
(1)全集一定是实数集R.( )
提示　全集是一个相对概念，因研究问题的不同而变化.
(2)存在x0∈U，x0 A，且x0 UA.( )
提示　要么x0∈A，要么x0∈ UA，且有且只有一个成立.
(3)设集合A＝{1，2}，相对于集合M＝{0，1，2，3}，N＝{1，2，3}，则 MA＝ NA.( )
提示　 MA＝{0，3}， NA＝{3}，∴ MA≠ NA.
(4)一个集合的补集一定含有元素.( )
提示　全集的补集是空集，此时就没有元素.
×
×
×
×
2.若全集U＝R，集合A＝{x|x≥1}，则 UA＝________.
解析　由补集的定义，结合数轴可得 UA＝{x|x<1}.
{x|x<1}
3.已知全集U＝{x|x≥－3}，集合A＝{x|－3A.{x|x≤－3或x>4} B.{x|x>4}
C.{x|x＝－3或x>4} D.{x|x≥4}
解析　借助数轴得 UA＝{x|x＝－3或x>4}.
C
4.已知集合A＝{3，4，m}，集合B＝{3，4}，若 AB＝{5}，则实数m＝________.
解析　∵ AB＝{5}，
∴5∈A，∴m＝5.
5
课堂互动
题型剖析
2
题型一　简单的补集运算
【例1】　(1)设集合U＝R，M＝{x|x>2或x<－2}，则 UM＝(　　)
A.{x|－2≤x≤2} B.{x|－2C.{x|x<－2或x>2} D.{x|x≤－2或x≥2}
(2)已知全集为U，集合A＝{1，3，5，7}， UA＝{2，4，6}， UB＝{1，4，6}，则集合B＝______________.
解析　(1)如图，在数轴上表示出集合M，可知 UM＝{x|－2≤x≤2}.
A
{2，3，5，7}
(2)A＝{1，3，5，7}， UA＝{2，4，6}，
则U＝{1，2，3，4，5，6，7}， UB＝{1，4，6}，
∴B＝{2，3，5，7}.
思维升华
求补集的方法
(1)列举法表示：从全集U中去掉属于集合A的所有元素后，由所有余下的元素组成的集合.
(2)由不等式构成的无限集表示：借助数轴，取全集U中集合A以外的所有元素组成的集合.
【训练1】　(1)设全集U＝{1，2，3，4，5}，集合A＝{1，2}，则 UA＝(　　)
A.{1，2} B.{3，4，5}
C.{1，2，3，4，5} D.
(2)若全集U＝R，集合A＝{x|1A.{x|x<1或x≥3} B.{x|x≤1或x>3}
C.{x|x<1或x>3} D.{x|x≤1或x≥3}
解析　(1)∵U＝{1，2，3，4，5}，A＝{1，2}，
∴ UA＝{3，4，5}.
(2)U＝R， UA＝{x|x≤1或x>3}.
B
B
题型二　由全集与补集的关系求参数
【例2】　设全集U＝{3，6，m2－m－1}，A＝{|3－2m|，6}， UA＝{5}，求实数m.
解　∵ UA＝{5}，∴5∈U且|3－2m|＝3，
由m2－m－1＝5，得m2－m－6＝0，
∴m＝－2或m＝3.
由|3－2m|＝3，得m＝0或m＝3.
∴m＝3.
思维升华
集合A与 UA中没有公共元素；若集合中元素个数有限时，可利用补集定义并结合Venn图求解，若集合中元素有无限个时，可利用数轴分析法求参数.
【训练2】　(1)设全集U＝{1，3，5，7}，集合M＝{1，|a－5|}， UM＝{5，7}，则实数a的值为________.
(2)设U＝R，A＝{x|a≤x≤b}，若 UA＝{x|x<3或x>4}，则a＋b＝________.
解析　(1)由U＝{1，3，5，7}，M＝{1，|a－5|}， UM＝{5，7}知M＝{1，3}.
∴|a－5|＝3，∴a＝8或2.
(2)∵U＝R，A＝{x|a≤x≤b}，
∴ UA＝{x|xb}.
又∵ UA＝{x|x<3或x>4}，
∴a＝3，b＝4，a＋b＝7.
2或8
7
题型三　补集与集合关系的综合应用
【例3】　已知集合A＝{x|2a－2解　 RB＝{x|x≤1或x≥2}≠ .
∵A? RB，
∴分A＝ 和A≠ 两种情况讨论.
①若A＝ ，此时有2a－2≥a，∴a≥2.
综上所述，实数a的取值范围为{a|a≤1或a≥2}.
如果所给集合是无限集，一般用数轴分析法求出其补集，要注意端点的取舍；结合两集合的子集、真子集关系，要注意分空集与非空集合两种情况讨论.
思维升华
【训练3】　已知全集U＝R，集合A＝{x|－2≤x≤5}，B＝{x|a＋1≤x≤2a－1}，且A UB，求实数a的取值范围.
解　若B＝ ，则a＋1>2a－1，即a<2时，此时 UB＝R，所以A UB.
若B≠ ，则a＋1≤2a－1，即a≥2时，
此时 UB＝{x|x2a－1}，
所以实数a的取值范围为{a|a<2或a>4}.
1.理解2个概念——全集、补集
(1)补集是相对于全集而言的，它与全集不可分割.一方面，若没有定义全集，则不存在补集的说法；另一方面，补集的元素逃不出全集的范围.
(2)补集既是集合之间的一种关系，同时也是集合之间的一种运算.求集合A的补集的前提是A为全集U的子集，随着所选全集的不同，得到的补集也是不同的.
2.掌握1个策略——正难则反
补集作为一种思想方法，为我们研究问题开辟了新思想，在正向思维受阻时，改用逆向思维，如若直接求A困难，则使用“正难则反”策略，先求 UA，再由 U( UA)＝A求A.
课堂小结
分层训练
素养提升
3
C
一、选择题
1.已知全集U＝{x|－1≤x≤5，x∈Z}，集合A＝{x|0≤x<3，x∈N}，则 UA＝(　　)
A.{x|－1≤x<0或3C.{－1，3，4，5} D.{3，4，5}
解析　U＝{x|－1≤x≤5，x∈Z}＝{－1，0，1，2，3，4，5}，A＝{x|0≤x<3，x∈N}＝{0，1，2}，
∴ UA＝{－1，3，4，5}.
2.(多选题)已知全集U＝R，集合A＝{x|1≤x≤3或4＜x＜6}，集合B＝{x|2≤x＜5}，则下列结论正确的是(　　)
A. UA＝{x|x＜1或3＜x≤4或x≥6}
B. UB＝{x|x＜2或x≥5}
C. UA UB
D. UB UA
解析　由补集的定义知A，B正确；
由子集的定义知C，D都不正确.
AB
3.已知全集U＝{1，2，a2－2a＋3}，A＝{1，a}， UA＝{3}，则实数a等于(　　)
A.0或2 B.0 C.1或2 D.2
D
C
4.若全集U＝{0，1，2，3，4，5}，且 UA＝{x∈N*|1≤x≤3}，则集合A的真子集共有(　　)
A.3个 B.4个 C.7个 D.8个
解析　 UA＝{x∈N*|1≤x≤3}＝{1，2，3}，
∴A＝{0，4，5}，
∴集合A的真子集共有23－1＝7(个).
B
5.设全集U＝R，集合A＝{x|x<0，或x≥1}，B＝{x|x≥a}，若 UA UB，则实数a的取值范围是(　　)
A.{a|a>1} B.{a|a≥1}
C.{a|a<1} D.{a|a≤1}
解析　由题意知 UA＝{x|0≤x<1}， UB＝{x|x画出数轴并表示出 UA与 UB.
因为 UA UB，
所以结合数轴可得a≥1.
－3
二、填空题
6.设U＝{0，1，2，3}，A＝{x|x2＋mx＝0}，若 UA＝{1，2}，则实数m＝________.
解析　∵ UA＝{1，2}，∴A＝{0，3}，
∴0，3是方程x2＋mx＝0的两个根，
∴m＝－3.
2
7.已知全集U＝R，A＝{x|1≤x解析　因为 UA＝{x|x<1或x≥2}，
所以A＝{x|1≤x<2}.
所以b＝2.
8.若集合A＝{x|－1≤x<1}，当S＝R时， SA＝__________________；当S＝{x|－4≤x≤1}时， SA＝_______________________.
解析　∵A＝{x|－1≤x<1}，
∴S＝R时， SA＝{x|x<－1或x≥1}；
S＝{x|－4≤x≤1}时， SA＝{x|－4≤x<－1或x＝1}.
{x|x<－1或x≥1}
{x|－4≤x<－1或x＝1}
三、解答题
9.(1)设U＝{x|x是小于9的正整数}，A＝{1，2，3}，B＝{3，4，5，6}，求 UA和 UB；
(2)U＝{x|x是三角形}，A＝{x|x是等腰三角形}，B＝{x|x是等边三角形}，求 UB和 AB；
(3)U＝R，A＝{x|1解　(1)根据题意可知，U＝{1，2，3，4，5，6，7，8}，
所以 UA＝{4，5，6，7，8}， UB＝{1，2，7，8}.
(2) UB＝{x|x是三边不都相等的三角形}；
AB＝{x|x是有且仅有两边相等的三角形}.
(3) UA＝{x|x≤1，或x≥5}，A与 UA在数轴上分别表示如下.
10.已知集合A＝{x|－1解　 RA＝{x|x≤－1或x>3}.
综上可知，实数m的取值范围是
当B≠ 时，要使B RA成立，
9
11.设全集U＝{1，2，3，4}，集合A＝{x|x2－mx＋n＝0，x∈U}，若 UA＝{2，3}，则m＋n＝________.
解析　因为 UA＝{2，3}，
所以A＝{x|x2－mx＋n＝0，x∈U}＝{1，4}，
即方程x2－mx＋n＝0的两个实根为1和4，
得m＝5，n＝4，m＋n＝9.
12.已知全集U＝R，集合P＝{x|x≤0或x≥6}，M＝{x|a解析　∵全集U＝R，∴ UP＝{x|0若M＝ ，即a≥2a＋4，解得a≤－4，符合M UP.
若M≠ ，要使M UP，
{x|0{a|a≤－4或0≤a≤1}
∴a≤－4或0≤a≤1.
13.设全集U＝R，M＝{x|3a解　 UP＝{x|x<－2，或x>1}.
∵M? UP，
∴分M≠ 和M＝ 两种情况讨论：
若M＝ ，则3a≥2a＋5，∴a≥5.
14.设全集U＝R，集合A＝{x|x≤2或x≥5}.
(1)求 UA；(2)若B＝{x|2a－3≤x≤－a}且B UA，求实数a的取值范围.
解　(1)由题意 UA＝{x|2＜x＜5}.
(2)当B＝ 时，有－a＜2a－3，∴a＞1；
综上实数a的取值范围为{a|a＞1}.
本节内容结束