1.2.2 子集(共44张PPT)

(共44张PPT)
1.2　子集、全集、补集
　
理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集.
课标要求
素养要求
会用三种语言(自然语言、图形语言、符号语言)表示集合间的基本关系，并能进行转换，重点提升数学抽象素养和直观想象素养.
课前预习
课堂互动
分层训练
内容索引
课前预习
知识探究
1
1.子集、真子集
(1)如果集合A的任意一个元素______集合B的元素(若a∈A，则a∈B)，那么集合A称为集合B的子集，记为________________.读作“集合A包含于集合B”或“集合B包含集合A”.
(2)如果A B，并且________，那么集合A称为集合B的真子集，记为________________.读作“A真包含于B”或“B真包含A”.
都是
A B或B A
A≠B
A?B或B?A
2.子集、真子集的性质
(1)任意集合A都是它自身的______，即A A.
(2)空集是任意一个集合A的子集，即________；空集是任意一个非空集合B的真子集，即________.
(3)对于集合A，B，C，如果A B，B C，那么________.
(4)对于集合A，B，C，如果A?B，B?C，那么________.
子集
A
?B
A C
A?C
3.用维恩图表示非空集合的基本关系
点睛
对子集的理解
A B能否理解为子集A是B中的“部分元素”所组合的集合？
A B不能理解为集合A是B中的“部分元素”所组成的集合.因为若A＝ ，则A中不包含任何元素；若A＝B，则A中含有B中的所有元素，而此时可以说集合A是集合B的子集.
1.思考辨析，判断正误
(1)1 {1，2，3}.( )
提示　“ ”表示集合与集合之间的关系，而不是元素和集合之间的关系.
(2)任何集合都有子集和真子集.( )
提示　空集只有子集，没有真子集.
(3)若a∈A，则{a}?A.( )
提示　也有可能{a}＝A.
(4)若A B，且B A，则A＝B.( )
×
×
×
√
B
2.已知集合A＝{－1，0，1}，A的子集中，含有元素0的子集共有(　　)
A.2个 B.4个 C.6个 D.8个
解析　根据题意，在集合A的子集中，
含有元素0的子集有{0}，{0，1}，{0，－1}，{－1，0，1},
故选B.
3.已知集合A＝{1，2，3}，B＝{2，3}，则(　　)
A.A＝B B.A B C.A?B D.B?A
解析　∵A＝{1，2，3}，B＝{2，3}，∴B A.
又1∈A且1 B，
∴B是A的真子集，故选D.
D
4.已知集合A＝{－1，3，m}，B＝{3，4}，若B A，则实数m＝________.
解析　∵B A，
∴ 元素3，4必为A中元素，
∴m＝4.
4
课堂互动
题型剖析
2
题型一　集合关系的判断
【例1】　指出下列各对集合之间的关系：
(1)A＝{－1，1}，B＝{(－1，－1)，(－1，1)，(1，－1)，(1，1)}；
(2)A＝{x|x是等边三角形}，B＝{x|x是等腰三角形}；
解　(1)集合A的元素是数，集合B的元素是有序实数对，故A与B之间无包含关系.
(2)等边三角形是三边相等的三角形，等腰三角形是两边相等的三角形，故A?B.
(4)由列举法知M＝{1，3，5，7，…}，N＝{3，5，7，9，…}，故N?M.
(3)A＝{x|－1(4)M＝{x|x＝2n－1，n∈N*}，N＝{x|x＝2n＋1，n∈N*}.
解　(3)集合B＝{x|x<5}，用数轴表示集合A，B，
如图所示，由图可知A?B.
思维升华
判断集合关系的方法
(1)观察法：一一列举观察.
(2)元素特征法：首先确定集合的元素是什么，弄清集合元素的特征，再利用集合元素的特征判断关系.
(3)数形结合法：利用数轴或Venn图.
【训练1】　(1)设集合M＝{菱形}，N＝{平行四边形}，P＝{四边形}，Q＝{正方形}，则这些集合之间的关系为(　　)
A.P N M Q B.Q M N P
C.P M N Q D.Q N M P
(2)设集合A＝{0，1}，集合B＝{x|x<2或x>3}，则A与B的关系为(　　)
A.A∈B B.B∈A C.A B D.B A
解析　(1)正方形都是菱形，菱形都是平行四边形，平行四边形都是四边形，故选B.
(2)∵0<2，∴0∈B.
又∵1<2，∴1∈B.∴A B.
B
C
题型二　集合的子集、真子集
【例2】　(1)集合{a，b，c}的所有子集为_______________________________，其中它的真子集有________个.
　解析　集合{a，b，c}的子集有：
，{a}，{b}，{c}，{a，b}，{a，c}，{b，c}，{a，b，c}，
其中，除{a，b，c}外，都是{a，b，c}的真子集，共7个.
，{a}，{b}，{c}，{a，b}，
{a，c}，{b，c}，{a，b，c}
7
(2)写出满足{3，4}?P {0，1，2，3，4}的所有集合P.
解　由题意知，集合P中一定含有元素3，4，
并且是至少含有三个元素的集合，
因此所有满足题意的集合P为：
{0，3，4}，{1，3，4}，{2，3，4}，{0，1，3，4}，{0，2，3，4}，{1，2，3，4}，{0，1，2，3，4}.
思维升华
1.假设集合A中含有n个元素，则：
(1)A的子集有2n个；
(2)A的非空子集有(2n－1)个；
(3)A的真子集有(2n－1)个；
(4)A的非空真子集有(2n－2)个.
2.求给定集合的子集的两个注意点：
(1)按子集中元素个数的多少，以一定的顺序来写；
(2)在写子集时要注意不要忘记空集和集合本身.
【训练2】　已知集合A＝{(x，y)|x＋y＝2，x，y∈N}，试写出A的所有子集.
解　∵A＝{(x，y)|x＋y＝2，x，y∈N}，
∴A＝{(0，2)，(1，1)，(2，0)}.
∴A的子集有：
，{(0，2)}，{(1，1)}，{(2，0)}，{(0，2)，(1，1)}，{(0，2)，(2，0)}，{(1，1)，(2，0)}，{(0，2)，(1，1)，(2，0)}.
题型三　子集关系的应用
【例3】　已知集合A＝{x|－2≤x≤5}，B＝{x|m＋1≤x≤2m－1}，若B?A，求实数m的取值范围.
解　(1)当B≠ 时，如图所示.
解这两个不等式组得2≤m≤3.
(2)当B＝ 时，
由m＋1>2m－1，得m<2.
综上可得，实数m的取值范围是{m|m≤3}.
【迁移1】　(变换条件)若本例条件“A＝{x|－2≤x≤5}”改为“A＝{x|－2解　(1)当B＝ 时，由m＋1>2m－1，得m<2.
(2)当B≠ 时，如图所示.
即2≤m<3，
综上可得，实数m的取值范围是{m|m<3}.
【迁移2】　(变换条件)若本例条件“B?A”改为“A B”，其他条件不变，求实数m的取值范围.
解　当A B时，如图所示，此时B≠ .
∴m∈ ，即实数m的取值范围为 .
(1)利用数轴处理不等式表示的集合间的关系问题时，可化抽象为直观，要注意端点值的取舍，“含”用实心点表示，“不含”用空心点表示.
(2)涉及到“A B”或“A?B且B≠ ”的问题，一定要分A＝ 和A≠ 两种情况讨论，不要忽视空集的情况.
思维升华
【训练3】　已知集合A＝{x|1≤x≤2}，集合B＝{x|1≤x≤a，a≥1}.
(1)若A?B，求实数a的取值范围；
(2)若B A，求实数a的取值范围.
解　(1)若A?B，由图可知a>2.
∴实数a的取值范围为{a|a＞2}.
(2)若B A，由图可知1≤a≤2.
∴实数a的取值范围为{a|1≤a≤2}.
1.理清3个概念
(1)子集；(2)真子集；(3)空集.
2.掌握3种方法
(1)会判断两集合的关系，当所给的集合是与不等式有关的无限集时，常借助数轴，利用数形结合思想判断.
(2)会求子集、真子集的个数问题.
(3)对于用不等式给出的集合，已知集合的包含关系求相关参数范围时，常采用数形结合思想，借助数轴.
3.注意2个易错点
(1) 是任何集合的子集；(2)当集合中含有字母参数时，一般需要分类讨论.
课堂小结
分层训练
素养提升
3
C
一、选择题
1.已知集合N＝{1，3，5}，则集合N的真子集个数为(　　)
A.5 B.6 C.7 D.8
解析　集合N的真子集有23－1＝7(个).
2.已知集合A＝{x|x2－1＝0}，则下列式子：①{1}∈A；②－1 A；③ A；
④{1，－1} A.其中表示正确的有(　　)
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
解析　因为A＝{x|x2－1＝0}＝{－1，1}，所以{1} A，①不正确；－1∈A，②不正确；
A，符合子集的定义，所以③正确；
{－1，1} A，符合子集的定义，所以④正确.
综上可知，正确的式子有2个.
B
3.已知集合A＝{x|0A.A∈B B.A?B C.B?A D.B A
解析　由数轴易知A中元素都属于B，B中至少有一个元素如－2 A，故有A?B.
B
ABD
4.(多选题)设集合A＝{x|x2＋x－6＝0}，B＝{x|mx＋1＝0}，则满足B A的实数m的值可以为(　　 )
解析　∵A＝{x|x2＋x－6＝0}＝{－3，2}，又∵B A，∴当m＝0时，mx＋1＝0无解，故B＝ ，满足条件；
C
5.已知集合A＝{x∈Z|(x－1)(x＋2)<0}，则集合A的一个真子集为(　　)
A.{x|－2C.{0} D.{ }
解析　A＝{x∈Z|(x－1)(x＋2)<0}＝{－1，0}，
所以A的真子集为 ，{0}，{－1}，故选C.
{0，1，3}
二、填空题
6.集合A＝{x|ax－3＝0，a∈Z}，若A?N*，则实数a的所有取值组成的集合为____________.
解析　当a＝0时，A＝ ，满足题意；
7.已知集合A＝{x∈R|x2＋x＝0}，则集合A＝____________.若集合B满足{0}?B A，则集合B＝____________.
解析　∵解方程x2＋x＝0，得x＝－1或x＝0，
∴集合A＝{x∈R|x2＋x＝0}＝{－1，0}.
又{0}?B A，∴B＝{－1，0}.
{－1，0}
{－1，0}
8.设A＝{x|2解析　因为B?A，又B≠ ，
{a|3≤a≤4}
所以3≤a≤4，即a的取值范围是{a|3≤a≤4}.
三、解答题
9.判断下列集合间的关系：
(1)A＝{x|x－3>2}，B＝{x|2x－5≥0}；
(2)A＝{x∈Z|－1≤x<3}，B＝{x|x＝|y|，y∈A}.
所以可利用数轴判断A，B的关系.如图所示，A?B.
(2)因为A＝{x∈Z|－1≤x<3}＝{－1，0，1，2}，
B＝{x|x＝|y|，y∈A}，
所以B＝{0，1，2}，
所以B?A.
10.已知A＝{x∈R|x<－2或x>3}，B＝{x∈R|a≤x≤2a－1}，若B A，求实数a的取值范围.
解　由题意知B的可能情况有B≠ 和B＝ 两种.
①当B≠ 时，∵B A，
②当B＝ 时，由a>2a－1，解得a<1.
综上可知，实数a的取值范围是{a|a<1或a>3}.
A
11.若集合A＝{x|x＝2k＋1，k∈Z}，B＝{x|x＝2k－1，k∈Z}，C＝{x|x＝4k－1，k∈Z}，则A，B，C的关系是(　　)
A.C?A＝B B.A C B
C.A＝B?C D.B A C
解析　∵A＝{x|x＝2(k＋1)－1，k∈Z}，B＝{x|x＝2k－1，k∈Z}，C＝{x|x＝2×2k－1，k∈Z}，
∴C?A＝B，
故选A.
12.若集合A＝{x|ax2＋2x＋1＝0，x∈R}至多有一个真子集，求实数a的取值范围.
②当A只有一个真子集时，A为单元素集，这时有两种情况：
当a＝0时，方程化为2x＋1＝0，
解　①当A无真子集时，A＝ ，即方程ax2＋2x＋1＝0无实根，
当a≠0时，由Δ＝4－4a＝0，
解得a＝1.
综上，当集合A至多有一个真子集时，a的取值范围是{a|a＝0或a≥1}.
13.已知集合M＝{x|x2＋2x－a＝0}.
(1)若 ?M，求实数a的取值范围；
解　由题意得方程x2＋2x－a＝0有实数解，
∴Δ＝22－4·(－a)≥0，得a≥－1，
∴实数a的取值范围是{a|a≥－1}.
(2)若N＝{x|x2＋x＝0}且M N，求实数a的取值范围.
解　∵N＝{x|x2＋x＝0}＝{0，－1}，且M N，
∴当M＝ 时，Δ＝22－4·(－a)<0，得a<－1；
当M≠ 时，
i)当Δ＝0时，a＝－1，
此时M＝{－1}，满足M N，符合题意.
ii)当Δ>0时，a>－1，M中有两个元素，
综上，实数a的取值范围为{a|a≤－1}.
14.已知三个集合A＝{x|x2－3x＋2＝0}，B＝{x|x2－ax＋(a－1)＝0}，C＝{x|x2－bx＋2＝0}，同时满足B?A，C A的实数a，b是否存在？若存在，求出a，b所有的值；若不存在，请说明理由.
解　A＝{x|x2－3x＋2＝0}＝{1，2}.
∵B＝{x|x2－ax＋(a－1)＝0}＝{x|(x－1)[x－(a－1)]＝0}，∴1∈B.
又∵B?A，∴a－1＝1，即a＝2.
∵C＝{x|x2－bx＋2＝0}，且C A，
当C＝{1，2}时，b＝3；
当C＝{1}或{2}时，Δ＝b2－8＝0，
∴C＝ 或{1}或{2}或{1，2}.
当C＝ 时，Δ＝b2－8<0，
本节内容结束