2.1.1　倾斜角与斜率 同步练习（Word版含解析）

第二章　直线和圆的方程
2.1　直线的倾斜角与斜率
2.1.1　倾斜角与斜率
基础过关练
题组一　直线的倾斜角与斜率
1.下列说法中,正确的是(　　)
A.直线的倾斜角为α,则此直线的斜率为tan α
B.直线的斜率为tan α,则此直线的倾斜角为α
C.若直线的倾斜角为α,则sin α>0
D.任意直线都有倾斜角α,且α≠90°时,斜率为tan α
2.已知直线l的斜率的绝对值为1,则直线l的倾斜角为(　　)
　　　　　 　　　　　 　　　　　
A.45° B.135°
C.45°或135° D.以上均不正确
3.若直线l向上的方向与y轴的正方向成30°角,则直线l的倾斜角为(　　)
A.30° B.60°
C.30°或150° D.60°或120°
4.如图,直线l1,l2,l3的斜率分别为k1,k2,k3,则(　　)
A.k1C.k35.已知直线l的倾斜角为2α-20°,则α的取值范围是　　　　.
6.如图所示,菱形OBCD的顶点O与坐标原点重合,且OB在x轴的正半轴上.已知∠BOD=60°,求菱形各边和两条对角线所在直线的倾斜角及斜率.
题组二　直线的斜率公式与直线的方向向量
7.(2020河南河大附中高二上期中)已知两点A(-1,2),B(3,4),则直线AB的斜率为(　　)
A.2 B.- C. D.-2
8.若过点M(-2,m),N(m,4)的直线的斜率等于1,则m的值为(　　)
A.1 B.4 C.1或3 D.1或4
9.过A(4,y),B(2,-3)两点的直线的一个方向向量为n=(-1,-1),则y=(　　)
A.- B. C.-1 D.1
10.已知直线l经过点P(3,m)和点Q(m,-2),直线l的方向向量为(2,4),则直线l的斜率为　　　　,实数m的值为　　　　.
11.已知点A(2,-1),若在坐标轴上存在一点P,使直线PA的倾斜角为45°,则点P的坐标为　　　　　　.
题组三　直线斜率、方向向量的综合运用
12.若A(-2,3),B(3,2),C三点共线,则实数m的值为(　　)
A.2 B.-2 C. D.-
13.若A(3,1),B(-2,k),C(8,1)三点能构成三角形,则实数k的取值范围为　　　　　　　.
14.(1)设坐标平面内三点A(m,-m-3),B(2,m-1),C(-1,4),若直线AC的斜率等于直线BC的斜率的3倍,求实数m的值;
(2)已知直线l1的方向向量为n=(2,1),直线l2的倾斜角是直线l1倾斜角的2倍,求直线l2的斜率.
能力提升练
题组一　直线的倾斜角与斜率
1.()已知A(0,1),B(0,-1),则直线AB的倾斜角为(　　)
　　　　　 　　　　　 　　　　　
A.0° B.90° C.180° D.不存在
2.(2020吉林大学附属中学高二上第一次月考,)若两直线l1,l2的倾斜角和斜率分别为α1,α2和k1,k2,则下列四个命题中正确的是(　　)
A.若α1<α2,则k1B.若α1=α2,则k1=k2
C.若k1D.若k1=k2,则α1=α2
3.()若某直线的斜率k∈(-∞,],则该直线的倾斜角α的取值范围是(　　)
A. B.
C.∪ D.
4.(多选)()下列四个命题中,为假命题的是(　　)
A.坐标平面内的任何一条直线均有倾斜角和斜率
B.直线的倾斜角的取值范围是[0,π)
C.若一条直线的斜率为tan α,则此直线的倾斜角为α
D.若一条直线的倾斜角为α,则此直线的斜率为tan α
5.(2020黑龙江齐齐哈尔实验中学高二上月考,)若直线l的倾斜角的变化范围为,则直线斜率的取值范围是　　　　.
题组二　直线的斜率公式与直线的方向向量
6.()已知直线l经过点P(1,2)和点Q(-2,-2),则直线l的单位方向向量为(　　)
A.(-3,-4) B.
C. D.±
7.()已知经过坐标平面内A(1,2),B(-2,2m-1)两点的直线的方向向量为(1,sin α),则实数m的取值范围为　　　　.
题组三　直线斜率的综合运用
8.(2020山西临汾第一中学高一期中,)若点A(-2,-3),B(-3,-2),直线l过点P(1,1)且与线段AB(包括端点)相交,则直线l的斜率k的取值范围是(　　)
A.k≤或k≥
B.k≤-或k≥-
C.≤k≤
D.-≤k≤-
9.(2020山东日照一中期中,)已知函数f(x)=log3(x+2),若a>b>c>0,则 ,,的大小关系为(　　)
A.< <
B.< <
C.< <
D.< <
10.()已知点M(x,y)在函数y=-2x+8的图象上,当x∈[2,5]时,求的取值范围.
11.(2020安徽芜湖第一中学月考,)已知A(3,3),B(-4,2),C(0,-2)三点.
(1)求直线AB和AC的斜率;
(2)若点D在线段BC(包括端点)上移动,求直线AD的斜率的变化范围.
答案全解全析
基础过关练
1.D　对于A,当α=90°时,直线的斜率不存在,故A不正确;对于B,虽然直线的斜率为tan α,但只有0°≤α<180°时,α才是此直线的倾斜角,故B不正确;对于C,当直线与x轴平行或重合时,α=0°,sin α=0,故C不正确.故选D.
2.C　设直线l的倾斜角为α,则由题意知tan α=±1,又0°≤α<180°,所以当tan α=1时,α=45°;当tan α=-1时,α=135°.故选C.
3.D　如图,直线l有两种情况,故l的倾斜角为60°或120°.
4.D　由题图可知,直线l1的倾斜角为钝角,所以k1<0;直线l2与直线l3的倾斜角为锐角,且直线l2的倾斜角较大,所以k2>k3>0,所以k2>k3>k1.
5.答案　10°≤α<100°
解析　由0°≤2α-20°<180°,得10°≤α<100°.
6.解析　因为OD∥BC,∠BOD=60°,所以直线OD,BC的倾斜角都是60°,斜率kOD=kBC=tan 60°=.
因为OB在x轴的正半轴上,DC∥OB,
所以直线OB,DC的倾斜角都是0°,斜率kOB=kDC=tan 0°=0.
由菱形的性质知,∠COB=30°,∠OBD=60°,
所以直线OC的倾斜角为30°,斜率kOC=tan 30°=,直线BD的倾斜角为∠DBx=180°-60°=120°,斜率kBD=tan 120°=-.
7.C　由A、B的坐标得kAB==,故选C.
8.A　由M、N的坐标得直线的斜率kMN==1,化简,得2m=2,解得m=1,故选A.
9.C　解法一:由直线上的两点A(4,y),B(2,-3),得=(-2,-3-y),
又直线AB的一个方向向量为n=(-1,-1),因此n∥,
∴(-2)×(-1)-(-3-y)×(-1)=0,解得y=-1,故选C.
解法二:由直线的方向向量为(-1,-1)得,直线的斜率为=1,
所以=1,解得y=-1.故选C.
10.答案　2;
解析　由直线l的方向向量为(2,4)得,直线l的斜率为=2,因此=2,解得m=.
11.答案　(3,0)或(0,-3)
解析　若设点P的坐标为(x,0),则=tan 45°=1,解得x=3,即P(3,0).
若设点P的坐标为(0,y),则=tan 45°=1,解得y=-3,即P(0,-3).
12.C　因为A(-2,3),B(3,2),C三点共线,
所以方向向量=(5,-1)与=共线,所以5(m-3)-(-1)×=0,解得m=,故选C.
13.答案　(-∞,1)∪(1,+∞)
解析　要使A,B,C三点能构成三角形,需A,B,C三点不共线,
从而方向向量=(-5,k-1)与=(5,0)不共线,因此5(k-1)-(-5)×0≠0,解得k≠1.
故实数k的取值范围为(-∞,1)∪(1,+∞).
14.解析　(1)由kAC=3kBC,得=3·,解得m=1或m=2,经验证均符合题意,故m的值是1或2.
(2)设直线l1的倾斜角为α,则直线l2的倾斜角为2α.由直线l1的方向向量为n=(2,1),得直线l1的斜率为tan α=,因此直线l2的斜率为tan 2α==.
能力提升练
1.B　∵A(0,1),B(0,-1),
∴直线AB的斜率不存在,
∴直线AB的倾斜角为90°.故选B.
2.D　令α1=45°,α2=135°,则k1=1,k2=-1,k1>k2,故A错误;易知C错误;令α1=α2=90°,则k1、k2不存在,故B错误;由k1=k2知,α1=α2,故D正确.故选D.
3.C　∵直线的斜率k∈(-∞,],∴k≤tan,∴该直线的倾斜角α的取值范围是∪.故选C.
4.ACD　对于A,当直线与x轴垂直时,直线的倾斜角为90°,斜率不存在,∴A是假命题;对于B,直线的倾斜角的取值范围是[0,π),∴B是真命题;对于C,一条直线的斜率为tan α,但此直线的倾斜角不一定为α,如直线y=x的斜率为tan,它的倾斜角为,∴C是假命题;对于D,一条直线的倾斜角为α时,它的斜率为tan α或不存在,∴D是假命题.故选ACD.
5.答案　
解析　设直线l的倾斜角为α,斜率为k,则k=tan α,又≤α<,∴tan≤tan α6.D　由题意得,直线l的一个方向向量为=(-2-1,-2-2)=(-3,-4),
则||==5,
因此直线l的单位方向向量为±=
±(-3,-4)=±,故选D.
7.答案　[0,3]
解析　由题意知直线的斜率一定存在.
设直线AB的斜率为k.
由直线的方向向量为(1,sin α),
得k=sin α,∴k∈[-1,1].
又∵k==,∴-1≤≤1,解得0≤m≤3.
8.C　在平面直角坐标系中描出A、B、P三点,如图所示.
依题意知,kPB=,kPA=.
结合题意及图形知,直线l的斜率k的取值范围是≤k≤.故选C.
9.B　作出函数f(x)=log3(x+2)的大致图象,如图所示.
由图象可知y轴右侧曲线上各点与原点连线的斜率随x的增大而减小,因为a>b>c>0,所以< < ,故选B.
10.解析　=的几何意义是过M(x,y),N(-1,-1)两点的直线的斜率.因为点M在函数y=-2x+8的图象上,且x∈[2,5],所以设该线段为AB且A(2,4),B(5,-2),如图.
因为kNA=,kNB=-,所以-≤≤,所以的取值范围为.
11.解析　(1)由斜率公式可得直线AB的斜率kAB==,直线AC的斜率kAC==.
(2)如图所示,当点D由点B运动到点C时,直线AD的斜率由kAB增大到kAC,所以直线AD的斜率的变化范围是.